Уравнивание триангуляционной сети при измерениях углов с пренебрежимо малой погрешностью Текст научной статьи по специальности «Математика»

УРАВНИВАНИЕ ТРИАНІУННЦИВННВЙ СЕТИ ПРИ ИЗМЕРЕНИЯХ УГЛВВ G ПРЕНЕБРЕЖИМО МАЛОЙ НОГРЕШНВСТЫВ

Д. г.-м. н.

Ю. А. Ткачев

tkachev@geo. komisc. ni

Преподаватель В. В. Кириллова*

instHuí@sli. коті, сот

При создании местной триангуляционной сети общераспространенными теодолитами (Т15, ТЗО) горизонтальные углы измеряются с гораздо большей точностью, чем расстояния нитяным оптическим дальномером. Так, теодолитом Т15 можно измерить угол с относительной точностью I :(360-60-4) = 86400- = 86400 * 10“5, тогда как расстояния измеряются с точностью 1:100 £ 1:300.

Рассмотрим случай, когда триангуляционная сеть состоит из цепочки п треугольников, имеющих только по две общие стороны за исключением первого и последнего треугольников, имеющих одну общую сторону (см. рис. 1). Для определенности и упрошеній записи введем систему обозначений.

{¿у}, /= 1..и,у= 1..3, при этом вторые индексы у сторон в каждом треугольнике будут также увеличиваться при движении по часовой стрелке.

Истинные значения углов по условию задачи равны измеренным, а уравновешенные значения длин сторон^ обозначим в виде суммы наблюденных величин d¡j и абсолютных погрешнос-

тей А

V

dfJ -dij +Д ¡j.

(1)

Равенства (3) позволяют однозначно выразить все іїі ] через d\ |, поэтому варьирующей переменной является величина ¿/у, т. е., по су ществу, величина Д] , в условии (2).

Выразим все Ау через Д( Для простоты ограничимся триангуляционной сетью из трех треугольников, с надеждой обобщить полученный результат для произвольного п (см. рис. 2). Для первого треугольника по теореме синусов имеем:

Задача заключается в нахождении таких уравновешенных значений^ (т. е., по существу, значений Д^), которые минимизировали бы сумму квадратов отклонений уравновешенных значений от измеренных, т. е. минимизировали бы сумму квадратов Д(у:

4,2 _ d\

1,1

где через S:J обозначено выражение

sin и,у

или

4.2 +Д|,2 _ 4,1 +А1,1

>1,2

SU

откуда

д!,2 =

_ (4,1 +Дц)$1,2

-di

>1,1

1.2-

Аналогично получим

(4,1 + Аі,і)^і,з

Рис. 1. Триашуляциоиная сеть из цепочки

общей

Пронумеруем треугольники от первого в цепочке до последнего: / = I..«, где / будет первым индексом в обозначениях углов и сторон. Углы в каждом треугольнике пронумеруем по часовой стрелке, причем первым углом обозначим угол, предшествующий общей стороне с предыдущим треугольником. В первом треугольнике цепи первым окажется угол, предшествующий единственной общей стороне. Таким образом, обозначения углов будут содержать два индекса: номер треугольника (г) и номер угла в треугольнике (/):

{Иу}, /= \..п^= 1..3.

Стороны треугольника (длины сторон d), противолежащие названным углам, обозначим индексами, такими же, как и индексы этих углов:

‘ Сыктывкарский лесной институт

треугольников, имеющих по одной или две стороны

¿1.3 =

-4

>і,і

и-

(4)

(5)

п 3

ZX4

i=1/=1

• rain

(2)

при условии, что все треугольники «правильные», т. е. являются замкнутыми, следовательно удовлетворяют соотношению углов и сторон по теореме синусов:

4f//sin U\ J = consty ,j = 1..3, (3) djj /sin w2j = const2 ,j = 1 -3,

d„ j /sin un j = const„ ,y = l ..3.

Сторона d\ з первого треугольника является общей со стороной d■¡_-¡t второго треугольника:

4,3 = ^2,3 • или 4,3 +Д),з = 4г.з +Дг,з>

откуда Д2,3 = 4,з + Д1,з - dг¿.

Подставляя сюда выражение Д| 3 из (5), получим

д2,3 = 4,3 “^2,3 +

| (4.1 + дц)^и 5ц

_ (4.1+ Аі,і)5і,з

- 4,3 =

-4>,з- (6>

Рис. 2. Система обозначений в триангуляционной сети из трех треугольников

Далее по теореме синусов для второй стороны второго треугольника получаем

¿2,3 _ ¿2,2 %3 52.2

или

¿2,3 + А2.3 _ ¿2.2 + А2,2

2.3

52,2

откуда

А2.2 ~

(¿2,3 + А 23^2,2

2.3

2,2-

Подставляя вместо Д2 3 его выражение из (6). получим

Д,2=-

. (¿и+Аи)5и 1

¿2^ + ••••’:„-----«2.3

Ли

’2,2

5,-

.%вНн Ч|)Хи

' 52,3

2.2’

Аналогично для первой стороны второго треугольника:

¿2,1 _ ¿2,2 52,1 52,2 ’

¿24 + А2,1 _ ¿2,2 + А2,2

ИЛИ

откуда

,1

'2,2

¿2,2 +

А2,1 =

(¿1,1 + Ац)$,3 '^2Д

' зьАэ

“¿2.2

-5'и

Л2,1

т, е. через равенство

-‘2,3

Д2,1 =

( , (¿1,1 + Д1д)5'1,3 , 1 0

¿2,3+ ----------ё-------------¿2.3 -*2,1

________________^

%3

(¿1,1 +Д1Л )^1,3 ' ‘^2.1

— ¿2,1 =

-<1-

2.1, (9)

«и >52,3

что аналогично (8), если указанное выражение сократить на 52.2-

Для стороны третьего треугольника, общей со стороной второго треугольника, имеем

¿3,3 + Д3,3 = ¿2,2 + Д2.2 , т. е. Д3 3 = ¿2 2 + Д2>2 - ¿э<3 • Подставляя Д22 из (7), получим

^ . (¿1,1 + Дц)‘51,3 ' ^2,2

Д3,3 = ¿2.2 +--------~----ё-----------

•41 ‘^2,3

- ¿22 - ¿3.3 =

= (¿1,1 + Д1Д^1.3 ‘^2,2 _ . (10

*1,1 *2,3 ’

Величину д2 3 определим из следующего соотношения:

¿3.2 + Д3.2 _ ¿3,3 + А3,3 53,2 53,3

(¿3.3 + дз.з)'5зл

ИЛИ Аз 2 = •

53,3

- - ¿3>2.

(¿2 2 + д2,2)^2,1 ,

Д2,1 =-----------------------¿2.1-

л2 л

Подставив вместо его выражение из (7), получим

¿3,3 +

д3,2 =

(¿1.1 ~|~Д1,1)'-^1,3 '^2.2 % ' ¿>2,3

я3,3

>3,2

52,2

, |МГЙ , (8)

А* с с с ^

Однако Д2 ! можно определить иным путем, а именно — с использованием величины не Д2 2. а Д2 3:

¿2.1 + Д2.1 _ ¿2.3 + Д2.3

$

3,1

Чз

откуда

дз,1 =

(¿3 3 + А3 з) • 53 1

*3.3

“¿3.1-

Величину Д-(, подставим из (10):

Д 3,1 =

¿3,3 +

(¿1,1 + Л1,1)'‘Чз '-^2,2

51,1 ‘52.3

— ¿:

>3.1

Зз,з

л (¿2,3 + Д2,з)^2.1 (¿1.1 + А1л)^1,3 '$2,2 '¿>3,1

2,1 =--------7----------- - ¿2,1, =--------т—-------------------

5 2,3

Подставляя Д2^ вместо его выражения ю (6), получаем:

18 -----------------------------------—......--

51.1 • 52.3 ‘ 53,3

дем выражение для суммы квадратов отклонений наблюденных длин сторон от «правильных», записанное в (2). При этом следует обсудить важный вопрос: включать ли в эту сумму невязки всех сторон всех треугольников (т. е. должна ли эта сумма состоять из 3п слагаемых) или общие стороны должны входить в сумму только один раз (т. е. должна ли эта сумма состоять из 3«— (п- I) = = 2/7 + I слагаемых). Проверка показала, что верным является второй вариант, т. е. для трех треугольников сумма должна состоять из 7 слагаемых.

Итак, I !>/,,= Ду +

/=У=1

\2

(¿1.1 + Д1.1)^1,2 5М

(¿1.1 +Ди)£|.3 51.1

-¿I

1,2

-¿1.:

После подстановки из (10) получим

(¿1,1 +д1,1)'^1,3 '^2,2 % >52,3

(¿1.1 + Д1,|)~3ц ‘^2,1

ч 51,1 ’52,3

(¿1,1 + Д1.1) • ^ЦЗ • ¿>2,2 • ¿>3,2 ' 52,3 • %

"¿2,2

л2

-4

2,1

-С/-.

3,2

(¿1,1 +Д1,1)‘51.3 ' '^2.2 ' ¿>3,1

»3,1

¿3,3

И)

¿1.1^23‘^ЗЗ Последнюю из требующихся нам величин, Д3 |, определим аналогично:

¿3,1 + д3.1 _ ¿3,3 + А3,3

51.1 '52,3 ’53,3 Упрощая это выражение и раскрывая скобки в квадрате, будем оставлять только члены, содержащие Д| 1э так как в последующем будет необходимо брать произвольную по Д]^:

" 3 ?

ХЕд1,

/=1у=1

2 (¿1,1+Д1Д)2^2

Аи + ——з---------

¿3.1- (12>

Используя выражения Д,у через Д, ,, полученные в (4)—(8) и (10)—(12), най-

2 (¿1,1 + Дц )^1,2 ' ¿1,2 |

%

(¿1,1 + А1,|)2 '¿>6 р2

(¿и + А1,1 )-5Г1,3 • ¿1,3 |

%

| (¿1,1 + АцГ '^и '$2.2 5ц$2,3

^(¿1 I+А1,1)-5| 3-5^2.2‘¿2,2 | • 52 3

{ (¿1,1 + А1Л)2 '^Гз '^2.1 5и • 52.3

-2

-,(4.1 + \|)'% ~^2.1 '¿2Л :

5и ■ sx3 | (4.1 + А1,1 )2 • З?3 • S2.2 ■ S3.2

п2 г»2 £*2

¿U ¿23 ’¿3,3

**•: "!

(4.1 + Дц)' 5U ‘ 52,2 ‘ S3.2 ’ ¿3,2 . * с-2 с-2

---------------------~----------------------—+ А*1.3-¿2.1

о2 о.2

*1,1 *2,3

^1.3 • 4.3 . 4л*Ц '^2,2 | AS’fj ' $2,2

S'' % ‘ ^2.3 '5Ц ’ S2.3

+?LL:h? ,d

2.2

5i.3-52.,

^1.3 '‘S2,2 ' ¿2.2 , 4.l‘S’l~3 '^2,1 , ІЦ ^2,3 " “

SU 'S2,3 'S3.3

Sl,l • S2,3 S|,3 ' ^2,1 ¿2,1

5I,I ' 52,3

| SU 'S2,2'S3.2 SU 'S2,3'S3,3

% ' $2,2 'S3,\

51,I '^2,3

’ ¿2,1 +

■d-

3,2

=tr

■d

!3,1

-2

(4,1 + Д 1,1) • $\,3 ' ‘*>2,2 ' $3*1

г»2 п2 п2

¿!Д * ¿2,3 * ¿3,3 (4.1 + дц)-5и -52,2 ^3.1 ‘¿3,1

51Л ' 52,3 '53,3 Освобождаясь от очередных скобок, вновь оставим только те члены, которые содержат величину Д(

\2 л (4,Г Ау +А]> 1)5["2

1а Ац +2-------------------—---------------

'=>7=1 ¿Ц

А 1,1 '4,2 |

51.1

+ -,(4.1 • Ац + АК1) • ^Пз

А]Л ' *1.3 ' 4 J |

Щ:

(4.1 Ац + A]i)-5|J •,<?2.2 _ 5ц • 5£з

-,Дц '^1,3'^2.2‘¿2,2 {

5Ц ’ S2,3 (4.1 ' Ац + Ац ) • Sjj • 52j

г»2 г*2

¿1,1 ¿2,3 т Ац • 5р • S2.i ~ ¿2.1 [

5М ' S2.3 (4.1 'Ац +Дц)-5|^з •Sij -$3,2

п2 г» 2 г» 2

¿1,1 * ¿2,3 * ¿3,3

ДЦ • % • $2,2 ~ $3,2 ' ¿3.2 t $1,1 ‘$2,3 -$3,3

(4,1 ' Ац + Ац )“ • Si2 ■ $2,2 • $3.1

$Ц ' $2,3 ’ $3.3

>1,1 -‘>2J5

= 0.

+ 2

+ 2

+ 2

+ 2

-2

Ац -S|,3 '$2,2 '$3,1 ¿3,1

>1,1 41 • S?

>i,i

>1,2 ' «1,2 , «1,1. AS[r3

1 H z------ i *

41

>1,1

$ІЛ

d\ iSf-? ■ St 7 ■S?

$1,1 '$2,3 -$3.3

2 7

4l°I-3 ' °2.2 ' J3,2 ASI 3 -S2 2 '$3,2

?2 c2 c2 o2 c2 c2

*1.1 ' *2,3 ' *3.3

¿>1.1 ‘ $2,3 ' 53.3 Отсюда оптимальное значение Д| I = А будет равно

B-du-A

$1,3 ‘ S2,2 ~ S3,2 ' ¿3.2 t Sl,l ' 52,3 ’ S3,3

| 4л^123 ' ‘^2,2 ' ^3,2 | ASjj ■ S22 ' Si \

Ац =■

(14)

su • sh • s3.3

r»2 c2 r»2

¿1,1 * ¿2.3 *¿3,3

S|.3 • ^2,2 • ^3,1 • ¿3,1 Sl.l ' ‘^2,3 ‘ S3,3

(13)

Группируя отдельно члены, содер-30BL1 ей i/| I и Д. получим

Д + ¿11 • А + А.4-В = О,

о2 р2 р2 ri2

( _ *1.2 , *1,3 , *1,3 ’*2,2 ,

где л «2 о2 гг2 с2 ,

*Ц *1.1 *1,1 ’*2,3

г 2 г*2 о2 гт2 г. 2

*1.3 ’*2,1 *1,3 *2,2 '*3,2

о2 с2 о2 с2 с2

*1.1-*2.3 *1,1 ‘ *2,3 -*3,3

о2 г-2 о2

| *и~ *2,2 '*3,1

о2 р2 п2

Л| I -05 3 ' 0-1,

1 + А

Простейшую проверку правильности решения сделаем, рассмотрев три равносторонних треугольника, причем такие, в которых наблюденные длины сторон равны, т. е. измерены без погрешностей. Если решение (14) верно, ТО ДОЛЖНО получиться Д| | = 0.

Подставляя в А и В значения dt , = 1

S

и Su = const = —. получим А = 6.

В = 6, откуда Ац =

К , -64../

1+ А

13 =

U ' 2,3 • 3;3

Г ^1.2 , 51,3 ,

1,2 +-^---------¿1.3 +

ЧЛ1.1 *1,1

т. е. проверка подтвердила правильность решения.

Более суровая проверка заключается в рассмотрении цепочки из прямоугольных треугольников, сочлененных, как показано на рис. 3.

Составим таблицу синусов углов и длин сторон для этого случая: ((10 равно диагонали треугольника).

Рис. 3. Система прямоугольных треуголь ников лля проверки решений

5Ц ' 52,3 ' 53,3 Возьмем производную этого выражения по Д| | и приравняем ее к нулю, предварительно опуская постоянную 2:

/ _ / _ л , ¿У ' ^12 , А 5^2 /д., -/д—А + —-=------+ —^------

Индекс Угол S d

1,1 60° 1/2V3 \/2&d0

1,2 90° 1 ld0

1.3 О о 1/2 1/2 d0

2,1 90° 1; щ

2,2 60° 1/2л/з 1/2 л/3d0

2,3 и> о о 1/2 1/2 ¿0

3,1 90° % 1 ¿0

3,2 30° 1/2 1/2 ¿0

3,3 Os О 0 1/2 V3 1/2л/зd0

Подставим эти значения в В и А.

11 _1.V3.V3 A =

B = 11 + 2 ' 2 + 2 2 2 +

= л/3 + V3 + л/3 1 +

2

2

2 2

Г /Т*2 Г /Г*2 -^3*2

2

, )

л/3 Г [л/3

Подставляем эти значения в (14):

В — ¿11 • А

Д11 =-------------------1,1-= 0 ^

1,1 1 — А

1 , , 1 л/3 1 1

— *1*1 —•

2

1 3 1

4*4*4

17

17

= 0

+ 2 2 2 2 +

л/3 1 л/3 1 л/3

Т*2 *2 _2_

-л/3 (21 Гл/3 *

2 2 1 1 =JL л/3 1 л/3 2л/3; 2*2*2

2л/3 2л/3

что и требовалось доказать, т. е. значение Д11, удовлетворяющее условию наименьших квадратов отклонений измеренных длин сторон от истинных, определяется равенством (14).

Для уравнивания триангуляционной сети такого типа составлены алгоритм и программа на языке Турбо Паскаль-7.

55 ЛЕТ В СТРОЮ

Александр Иванович Елисеев в Институте геологии работает ровно 55 лет. Он является старейшим сотрудником не только в Институте, но и, возможно, во всем Коми научном центре. О своей полувековой трудовой научной деятельности на ниве геологии Александр Иванович написал в «Вестнике» №8 за 2002 г. Страсть к приключениям и путешествиям привела его в геологию. Еще в студенческие годы он увлекся осадочными породами — самыми информативными для познания истории Земли. После окончания Петрозаводского уни верситета он приехал в нашу республику и никогда не жалел, что стал изучать не древние до кембрийские граниты родной Карелии, а каменноугольные карбонатные породы Коми.

Тщательно, внимательно, с огром ным трудолюбием в сотнях тяжелых маршрутов по тайге и тундре он раскрывал тайны известняков и доломитов сначала гряды Чернышева, а затем Лемвинской зоны Полярного Урала. Книги, посвященные этим объектам, стали настольными и «рюкзачными», как охарактеризовали их геологи, работавшие там после него. Александр Ивано вич делает свои обобщения в работах на огромном фактическом материале. Такое отношение к работе он пытается привить и своим ученикам.

Многие годы Александр Иванович занимается анализом породных парагенезов — формаций. Многочисленные и продолжительные полевые работы на гряде Чернышева, Северном, Приполярном и Полярном Урале, Тимане и Пай-Хое, охватывающие ордовикско-пермский стратиграфический диапазон разрезов, позволили ему сформулировать оригинальную концепцию осадочных формаций. Он предус-

матривает комплексный подход при выделении формаций: литологический, стратиграфический и тектонический. Весьма важным оказалось выделение им двух резко различных формационных рядов в зоне сочленения платформ и геосинклиналей — вначале на севере Урала и Пай-Хоя, а затем и в планетарном масштабе на основе глобального обобщения. Что внесло ясность в проведение границ между этими крупнейшими структурами. Тем не менее учение о формациях, как считает Александр Иванович, ■ все еще находится в стадии накопления фактического материала («Вестник» № 4, 2007). А это значит, что работы в этой области хватит и последующему поколению геологов.

Александр Иванович — добрый, открытый, веселый, щедрый и душевный человек. Поражает его профессиональная память — он помнит многие детали тех геологических разрезов, на которых работал десятки лет назад. Александр Иванович замечательный лектор и рассказчик. Его научные доклады всегда яркие и понятные. Студенты, которым он читал курсы литологии и исторической геологии, с восхищением вспоминают его лекции. О присутствии Александра Ивановича рядом можно легко узнать по его громкому голосу. Однако в последнее время, к сожалению, голос его притих — дают о себе знать нескончаемые болезни.

Дорогой Александр Иванович! Поздравляем Вас с 55-летием работы в Институте геологии! Желаем Вам здоровья и дальнейших творческих успехов — особенно в обобщении геологических данных по палеозойским осадочным формациям континентов.

Ваши коллеги

2

1

+

+

+

2

+

2

4

2

+