CC BY
25
УДК 622.272: 516.02
С.В. Черданцев
УРАВНЕНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ВИНТОВОИ КРЕПИ В РЕЖИМЕ ЗАДАННОЙ НАГРУЗКИ
Расчетная модель устойчивости винтовой крепи, осевая линия которой является винтовой (рис. 1), разрабатывается в предположении, что материал крепи следует закону Гука, а деформациями удлинения и сдвига пренебрегаются по сравнению с углами поворота.
Рис. 1. Геометрические параметры винтовой крепи
Назовем некоторую форму равновесия винтовой крепи невозмущенной и рассмотрим достаточно близкие к ней возмущенные формы равновесия.
Равновесие крепи назовем устойчивым, если сколь угодно малые «причины» вызывают в ней сколь угодно малые отклонения от невозмущенного равновесия. Если же сколь угодно малые «причины» вызывают конечные отклонения от невозмущенного равновесия крепи, то такое равновесие назовем неустойчивым [1].
Отметим, что роль возмущающего воздействия могут играть различные малые импульсы, малые дополнительные нагрузки, не учтенные в расчете, малые дефекты и отступления от проектных размеров и т.п. Мерой же отклонения от невозмущенного равновесия в винтовой крепи могут служить как перемещения и деформации, так и дополнительные внутренние усилия и моменты, возникающие в ней.
Предположим возмущения, действующие на крепь, достаточно малыми и исследуем их характер, исходя из линеаризованных дифференциальных уравнений. Такое предположение нам представляется вполне уместным, поскольку в подавляющем большинстве технических задач невозмущенное состояние, предшествующее потере устойчивости, как правило, мало отличается от первоначального недеформированного состояния и лишь переход от устойчивости к неустойчивости характеризуется быстрым нарастанием пере-
мещений. Поэтому будем полагать углы поворота осевой линии крепи в невозмущенном (критическом) состоянии достаточно малыми. Тогда невозмущенное состояние винтовой крепи описывается системой дифференциальных уравнений [2]
ds
• + s Vl
jkiKkQi + qj -0!
dM,
ds
+ sjkiKkMi - 52 jQ3 + $3 jQ2 — 0!
dS
d^r+sjkiKkSi- Aj:Mj— 0 ,
(1)
du
j
ds
+ i
s jkiKkui $2 jS3 + $3 jS2 0
и граничными условиями
(0) = о, м] (0) = о, (і) = о, и] (і) = о
(2)
соответствующими консольному закреплению винтовой крепи.
В системе (1) и условиях (2) приняты следующие обозначения: 5 - координата, связанная с осью винтовой крепи (длина оси і); - внутрен-
ние усилия, М] - внутренние моменты в произвольном поперечном сечении крепи; 3] - компоненты вектора угла поворота; Н] - компоненты
вектора перемещения; к - компоненты кручения и кривизны осевой линии крепи в невозмущенном состоянии;
Ajj -
жесткости поперечного сечения
крепи. Sj, Sjki - соответственно символы Кроне-кера и Леви-Чивита, определяемые как
$ Г1, если i — j,
ij |0, если i Ф j,
0 - среди индексов есть одинаковые 1 - индексы 123, 312, 231 -1 - индексы 213, 321,132
Компоненты q¡, q2, q3 распределенной погонной нагрузки создаются весом отслоившихся от массива кусков породы. Следуя [3] компоненты q¡, q2, q3 можно определить по формулам q¡ — -прв R(1 - m) sin 2 р sin а, q2 —првR[1 + m + (1 - m)cos2ptga, (3) q3 —првR(1 - m)sin2psina • tga,
где m = рг/рв; рв, рг - соответственно вертикальная и горизонтальная составляющие поверхностной нагрузки, создаваемые весом пород и
38
С.В. Черданцев
если рв = рг, то m = 1, поэтому
qi = 0, = 0, q2 = 2лрвRtga (4)
и, следовательно, на винтовую крепь будет действовать равномерно распределенная нагрузка, направленная по нормали к ее осевой линии.
Отметим, что решение краевой задачи (1), (2), описывающее невозмущенное состояние винтовой стояния.
крепи, получено в работе [3]. Здесь приведем аналитические выражения лишь для компонентов внутренних усилий и моментов, поскольку выражения для углов поворота и перемещений слишком громоздки
Ql(s) = -прв Rtga х
(1 + m)(1 - cos s) + — (1 - m)(cos 2s - cos S)
мущенного состояния крепи, Uj , 9 j , Кj , qj, п., М j - компоненты ее возмущенного состояния, а Uj ,Ъ., Акj, qj, Qj,М j представляют собой малые отклонения от невозмущенного со-
Компоненты возмущенного состояния (6) также должны удовлетворять дифференциальным уравнениям (1) и граничным условиям (2)
d (Qj + п. )
ds
- +
3
^ ПРв Rtga Q2(s ) =------в------х
+ £ jki (кк + AKk )(Qi + Qi) + qj + qj = 0, d (Mj + Mj)
cos a
1 + m + 3(1 - m)(1 + 2 coss)
_ 2
Q3(s) = ПРвRtg ax
(1 + m)(1 - coss) + 3(1 - m)(cos2s - coss)
Mi(s ) = -npeR2tg2a x
[(1 + m)(s sin s + 2 cos s - 2) +
1 _ _ _ 2 _
+ 9(1 - m)(3ssins + 4coss + cos s - 5)
(5)
sms
ds -jki (Kk + AKk )(Mi + Mi)
S2 j dQ3 + Q3) + S3 j (Q2 + Q2) = 0, d (3. + 3j) ds
+
+£ jki (Kk + AKk )(3i + 3) - a~ (Mj + M j) =0,
и
d(u j + u j)
J ]' ds
+ £
M2
npe R2tg2af.1 . “Uj
(s) =----в--------[(1 + m)(scoss - sms) +-------+ £ Jki
cos a J~
Jki (Kk + AKk )(ui + ui) -.
- S2J (33 + 33) + S3J (32 + 32) = 0
С учетом уравнения (1), получаем систему уравнений dQ.
х
1
+ 9 (1 - m)(3s cos s - sin 2s - sin s )
2
трв Rtga M3(s ) = Vв *
cos a
/ сил (Л
{(1 + m)[s sin2 a sin s + cos 2a(1 - cos s)] +
ds _]kl _ __ _
(KkQi + A4Qi + A4Qi) + q] = 0, dM-.
+ £Jki (KkMi + AKkMi + AKkMi) ' - §2jQ3 + S3jQ2 = 0,
]
ds
+ ^(1 - m) x 9
j
ds
■ + £
jki (Kkji + AKk3i +AKkji )■
, [1 + coss + cos a(5 - 4coss) +
+ 3s sin2 a sins - (2 + cos2 a)cos2 s]J
—M. = 0, A J Ajj
(7)
где
s
s = — cos a.
R
Рассмотрим далее возмущенное состояние винтовой крепи, компоненты которого ввиду малости описываются следующими соотношениями
Uj = uj + й], jj =jj +jj, KJ =KJ + Akj, qj = qj + qj, Qj = Qj + Qj, Mj = Mj + Mj,
(6)
в которых u., 3j, K],qj,Qj,M] - компоненты невоз-
+ 8(кки1 + Дкки1 + Дкки1) -- ^2.Ъ + ^3.92 = °>
анализируя которую, отметим следующее.
Ввиду малости компонентов возмущенного
состояния, слагаемые АКкП^ АКкМ^, АКкЗ[,
АКкЩ в уравнениях (7) можно опустить, поскольку они являются членами второго порядка малости [1]. Еще одно упрощение вытекает из предположения о малости углов поворота осевой
X
X
линии крепи в невозмущенном состоянии, поэтому можно пренебречь также и слагаемыми
АКк$1, АКки1.
В силу сказанного, система уравнений (7) упрощается и с учетом того, что АКк = Мк / Акк окончательно приобретает вид
f _ Мкп л -----+ 8.к1 Кк_ +~— П
йя
йы]
йя
(
■ + Є
]кі
Акк — М
+ д] = О-
\
КкМі +-кМі
Чк
82 ]0з + 83 ]0-2 = 0
й3
йя
+ 8 ]кікк3і
А
М] — 0, (8)
]]
йи ] йя
+ є]кіккиі - 82]33 + 83]32 — 0.
Отметим, что поскольку внешняя нагрузка, создаваемая весом пород, является «мертвой» нагрузкой, то малые отклонения компонентов внешних сил д. [2]
где
Ад =
4] = Ад3]
0 - 43 42 "
43 0 - 4і
- 42 4і 0 )
Из условий (2) и в силу выражений (6), получаем граничные условия для дополнительных компонентов внутренних усилий и перемещений
(0) = 0, м. (0) = 0, 3. (I) = 0, и. (I) = 0 .(9)
Уравнения (8), которые, следуя Пуанкаре, принято называть уравнениями в вариациях, и граничные условия (9) образуют краевую задачу о статической устойчивости винтовой крепи в «малом».
В проекциях на связанную систему осей уравнения (8) представляются в виде:
+ —2(2з - М30-2 - к302 + к203 + д1 = 0
йя А22
й0 2 —1
йя
33
— 3 — — -0,3 + —Оі + кзОі - кі02 + 42 = 0 А33
_ Аіі
йОз — ]^ —2 _ т=г- т=г- _
' +--------02 - —.— 0і - к2° + кі02 + 43 = 0
йя
й—і
Аіі
—2
22
—3
йя А
+--------—3-—2 - К3— 2 + к 2—3 = 0
22
А
33
йя
й—
—1 +
41
33
+ К3—1 — к^^^ з — 0з — 0
3
—
+ •
йя А
—2 -
11
—2 А22
—1 -
й3і —
йя
й32
йя
й&з
йя
йи
Аіі —^ А22 —з
йя
- К2—1 + к^—2 + 02 = 0 -— кз32 + к23з — 0,
+ кз3 - к3з — 0,
- к23і + кі32 — 0,
0,
Азз
к3ЇЇ2 +к2^3
йи? _ _ тт л
—— + кзиі - кіиз -3з = 0,
йя
йНз - - ~п л
—----к2иі + кіи2 +32 = 0.
йя
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. - М.: Физматгиз, 1961. -340 с.
2. Светлицкий В.А. Механика стержней. Часть I. -М.: Высшая школа, 1987. -320 с.
3. Краевые задачи о равновесии обжатого винтового стержня / С. В. Черданцев, Н. А. Кучер, С. Н. Рогозин. - Кемерово: Изд.-во Кузбас. гос. техн. ун-т, 2003. - 204 с.
□ Автор статьи:
Черданцев Сергей Васильевич - докт.техн.наук, проф. каф. математики КузГТУ Тел. 8-3842-39 - 63 - 19 , 9-3842- 53-57-85
