Решение линейной краевой задачи о равновесии винтового стержня, обжатого внешней средой Текст научной статьи по специальности «Физика»

44

С.В. Черданцев

ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ

УДК 622.272 : 516.02

С.В. Черданцев

РЕШЕНИЕ ЛИНЕИНОИ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ О РАВНОВЕСИИ ВИНТОВОГО СТЕРЖНЯ, ОБЖАТОГО ВНЕШНЕЙ СРЕДОЙ

В [1] решена линейная краевая задача о равновесии винтового стержня, обжатого внешней нагрузкой. Здесь рассматривается задача о равновесии в следующей постановке.

Пусть винтовой стержень круглого поперечного сечения длины l установлен без зазоров и без закрепления его концов в круговую цилиндрическую оболочку радиуса R в качестве ребра жесткости. Пусть оболочка равномерно обжимается внешней средой на величину А = const и обжимает винтовой стержень. Требуется определить углы поворота, перемещения, внутренние моменты и усилия в обжатом стержне.

Предположим, что при равномерном обжатии оболочки стержень останется винтовым. Поэтому угол поворота стержня относительно бинормали З3 = 0, а параметры обжатого стержня можно определить как

и2=А Ri=R-u2, a1=a-32, sin2aj cos2 ai , (і)

— =-

,-3 =-

2R1 3 R1

где Я!, а1 — радиус и угол подъема витков обжатого стержня, К, к3 — кручение и кривизна его осевой линии.

Поскольку концы стержня не закреплены, то их перемещения, очевидно, симметричны относительно точки, находящейся посередине стержня, а сама срединная точка не перемещается. Следовательно, если начало связанной системы координат совместить с этой точкой, то перемещения и1, и3 и угол поворота 31 относительно

оси стержня в начале координат и1(0)=0, и3(0)=0,3=0 (2)

В силу (1), линейные уравнения равновесия винтового стержня [1,2] упрощаются к виду:

¿0,1

ds

-k3oQ2 + qj = 0 • (3)

dQ2

ds

—30Q1 ~kJ0Q3 + q2 = 0(4)

dQ3

ds

—10Q2 + 43 = 0• (5)

dM

1 — -30M2 = 0 • (6)

dM2

ds

ds

+ K30MJ — KJ0M3 — Q3 = 0

dM

(7)

— + KjoM2 + Q2 = 0 • (8)

d»

ds

ds

1 — »2-30 ——M1 = 0• (9)

41

» + »1-30 — —A—M2 = 0,(10) ds A22

ds

—Lm3 = 0 • <n>

a—3 3

— K30U2 = 0 (12)

»2—10 —~. m3

a33

duj

du—

ds

-30u1 — -10u3 = 0 • (13)

+ K10U2 + »2 = 0 • (14)

Здесь 5 — координата, связанная с осью винтового стержня; д1, д2, д3 — компоненты распределенной нагрузки, действующие на стержень в процессе его обжатия внешней средой; 01 — продольная сила, 02, 03 — перерезывающие силы, М1 — крутящий момент, М2, М3 — изгибающие моменты в произвольном поперечном сечении

стержня; 3], 32 - компоненты вектора угла поворота соответственно относительно оси стержня и главной нормали; Ы], и3 - компоненты вектора перемещения соответственно вдоль оси и вдоль бинормали; к]0 -кручение, к3о - кривизна осевой линии винтового стержня в естественном состоянии; Ац, А22, А33 - соответственно крутильная и изгибные жесткости поперечного сечения стержня.

Совместно с условиями (2) система уравнений (3) - (14) образует краевую задачу о равновесии винтового стержня, равномерно обжатого внешней средой, структура которой такова, что ее решение может быть получено в квадратурах.

Так, из уравнения (12) и граничного условия (2)1 получаем выражение для перемещения вдоль оси стержня

(15)

— к30-----

u1 =~^ u2s •

а из (13) для перемещения -2

щ = —^ñ2s • (16)

-10X

В (15) и (16) безразмерные координата s и компоненты перемещения Ü1,Ü2 отнесены к

радиусу R, а безразмерные кручение -10 • кривизна ——о и

параметр X определяются как

—10 = sin a cos а,

— 2 X

-30 = cos а, X = cosa.

Из уравнения (14), с учетом формулы (16), определяем угол

»2 = —-°u.2 • (17)

-10

Динамика и прочность

45

который не зависит от 5.

Учитывая, что моменты в стержне пропорциональны изменениям кручения и кривизны Мі = Лц(К - К0), а также формулы (1), приводим уравнение (9) к виду

¿3] -г- К30 ( _ 1

—1Я +-3° I 1 + и2--------

¿5 К10 V 1 — и2,

. (18) Величина, стоящая в скобках, при степени обжатия Ш2 =

0.1, 0.05 , 0.01 составляет соответственно -0.011 , -2.632-10-3 , -1.01-10-4 и, следовательно, ею можно пренебречь, в связи с чем (18) упрощается

3 = 0,

а его решение, в силу граничного условия (2)3, тривиально

3=0. (19)

Далее из (9) — (11), учитывая формулы (17), (19), определяем внутренние моменты

М, = М1Я Кй2,М2=0-

Л11 К10

-- М зЯ __________ __ (20)

М3 =—-------= ~К30и2’ ( )

Лзз

а безразмерный расчетный момент, вычисляемый по критерию Треска — Сен-Венана, определяем по формуле:

M

pac

M pac R A33

(21)

K30 - Ш2 , 2 2

Ы

K10 v

= ^“u2yjK30 +r K

10 ■■

где r= A33/A11.

Из уравнения (7) определяем перерезывающую силу, дей-

ствующую вдоль бинормали

о - 0^ -

03 А11 (22)

к30 у 2 , 2 Ы

-^~ (* 30 + ^Ю)и2, к10

а из уравнений (8) и (5) следует, что перерезывающая сила вдоль главной нормали и распределенная нагрузка, действующая вдоль бинормали, отсутствуют 02=0 , Я3=0 . (23)

Приводя (3) и (4) к безразмерной форме, имеем

а0]

ds

-Л + ql = 0 :

(24)

K30Q1 - K10Q3 + q2 = 0, (25)

где

Ql =

QlR2 A11

q = q1R q = q2R3 q1 =^------, q2 =■

А11 ' А11

являются соответственно продольной силой и компонентами распределенной нагрузки в безразмерной форме.

Система уравнений (24), (25) содержит три неизвестных и потому является неопределенной. Чтобы исключить эту неопределенность, воспользуемся гипотезой Кулона, согласно которой сила трения винтового стержня об оболочку пропорциональна силе нормального давления и всегда направлена противоположно перемещению.

Очевидно, что силой трения является компонента 4 и поэтому закон Кулона в безразмерной форме

91 - 142, (26)

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

где / - коэффициент трения стержня об оболочку.

Поскольку сила трения 9 противоположна перемещению и1 , то в уравнении (24) ее следует принять отрицательной. В силу сказанного, приведем систему уравнений (24) - (25) к одному уравнению

¿01

ds

в котором ß = f K30

+ ß Ql-- = 0,

(27)

S = fKoQ3 •

o, =ß{l - e-ß<s-05l> J (29)

X X

Так как концы стержня не закреплены, то продольная сила в концевых сечений равна нулю

01(0,51) - 0. (28)

Выражение (28) является граничным условием для уравнения (27), решение которого в этом случае будет таким

’ -I

Ру

Далее из уравнения (24) определяем распределенную нагрузку

91 -хре-Р(*-0,5), (30) а нагрузку 92 определяем из формулы (26)

92-КюОве-т-05) .(31)

Выражения (15) - (17), (19) -(23), (29) - (31) представляют собой решение линейной краевой задачи о равновесии винтового стержня, обжатого внешней средой, и позволяют исследовать его напряженно-

деформированное состояние.

1. Першин В.В., Черданцев С.В., Игнатов Е.В. К решению системы линейных дифференциальных уравнений, описывающих работу винтовой пространственной крепи //Вестн.КузГТУ, 1998, №5. С.11-13.

2. Светлицкий В.А. Механика стержней. - М.: Высшая школа . - 1987. - 320 с.

□ Автор статьи:

Черданцев Сергей Васильевич - канд. техн.наук, доц. каф. строительства подземных сооружений и шахт