CC BY
29
Рис. 4. Зоны нарушения сплошности в различных сечениях сопряжения (см. рис. 2)
Ф=агс8т(г1/Л1)=30°.
Для определения напряжений и ЗНС вокруг заданного сооружения использована система
7 6 5 4 3 2 1
Сечение
Рис. 5. Изменение вертикального размера зоны нарушения сплошности по сечениям выработки и сопряжения (см. рис. 2)
МАТИСАБ.
На рис. 3, 4 приведены зоны нарушения сплошности в некоторых сечениях горизонтальной выработки и сопряжения, на рис.5 - график изменения вертикального размера зоны нарушения сплошности горизонтальной выработки и сопряжения при различных сечениях сооружения.
Из графика следует, что наибольший вертикальный размер ЗНС приходится на сечение 4, т.е. сечение, в котором начинается переход от горизонтальной выработки к стволу.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Широков А.П., Писляков Б.Г. Расчет и выбор крепи сопряжений горных выработок. - М.: Недра, 1988.-214 с.
2. Изаксон В.Ю. Методы расчета устойчивости выработок, пройденных комбайнами, в условиях Кузбасса: Дис. ... докт. техн. наук. Новосибирск, 1975. - 361с.
3. Лурье А. И. Теория упругости. - М.: Наука. - 1970. -940 с.
□Автор статьи:
Черданцев Николай Васильевич
- канд. техн. наук, докторант каф. строительства подземных сооружений и шахт
УДК 622.272 : 516.02
С.В. Черданцев
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ВИНТОВОИ КРЕПИ В УСЛОВИЯХ ЕЕ СОВМЕСТНОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ С МАССИВОМ ГОРНЫХ ПОРОД
По данным авторов [1] подавляющее большинство горизонтальных и наклонных вскрывающих выработок, а также подготовительных откаточных штреков, бремсбергов и уклонов шахт Кузбасса крепят металлической трехзвенной крепью КМП - А3 из спецпрофиля СВП.
В зависимости от реализации механических процессов в массиве горных пород возможны три характерных режима взаимодействия крепи и массива [2]: а) режим заданной нагрузки, когда ее величина не зависит от деформационных характеристик крепи; б) режим заданных деформаций, при котором величина деформаций не зависит от
деформационных характеристик крепи; в) режим взаимовлияющих деформаций, когда величина нагрузки зависит от деформационных характеристик крепи.
Выбор крепи КМП - А3 для крепления выработок шах Кузбасса не случаен, поскольку эта крепь способна надежно работать во всех перечисленных режимах. Для работы крепи в режиме заданных и взаимовлияющих деформаций необходимо, чтобы крепь была податливой, в противном случае она может разрушиться. Одним из
мероприятий по обеспечению податливости крепи является выбор материала для забутовки закреп-
ного пространства, который можно рассматривать как часть крепи. Другим (основным) мероприятием является наличие в конструкции крепи узлов податливости. Так, в конструкции крепи КМП-А3 предусмотрены два узла податливости, позволяющие регулировать смещения контура выработки.
В последние годы обсуждается возможность использования винтовых стержней в качестве крепи горных выработок круглого поперечного сечения; в [3] выполнен анализ напряженно-деформированного состояния винтового стержня, работающего в режиме заданной нагрузки, а в [4] оценена его прочность при равномерном обжатии.
Ниже рассматривается режим взаимовлияю-щих деформаций винтового стержня-крепи и окружающего массива горных пород.
В массиве горных пород, создающим гидростатическое поле напряжений, на глубине Н расположена выработка круглого поперечного сечения, где установлена крепь, представляющая собой винтовой стержень. Режим ее взаимодействия с окружающим массивом описывается уравнением
и(р)=Щ+Щ(р) , (1)
вытекающим из условия равенства смещений контура выработки и крепи [2]. Уравнение (1) является математическим описанием режима взаимо-влияющих деформаций, в котором и(р) представляет собой смещение контура выработки к моменту установления равновесия в системе «крепь -массив», иоо - начальные смещения контура выработки, соответствующие времени от обнажения породного контура до момента возведения крепи, и2(р) - смещения крепи до установления равновесия в системе «крепь - массив».
Начальные смещения ио зависят от способа проведения выработки и времени возведения постоянной крепи. Будем считать, что винтовая крепь устанавливается непосредственно вслед за забоем, и потому в (1) будем полагать ио = о.
Смещения и(р) определяются по формуле [2]:
и( р) = — 2Е
г2 + 'п ~
2
3 +1
(2)
в которой гп является радиусом зоны запредельного деформирования пород [2]:
1
3-1
(
—Р(Р23 -1) - + ао(3 +1)
2 3( 3 +1)
V
32 -1
х (Р3-1 -1) + Н - —
где
— = 3( 3 - 1)?Н + &С 3 = 1 + $тф
3-1
Р =
°с( 3+ 1)
. — р
+1
Е, М - соответственно модуль упругости и модуль спада горных пород массива, у - объемный вес пород, ф - их угол внутреннего трения. Выражение (2) зависит от механических свойств пород и глубины разработки и характеризует совокупность равновесных состояний упругопластической среды, ослабленной выработкой, которые обеспечиваются внутренним давлением р, однозначно зависящим от смещения и.
Выражение и2(р) в уравнении (1) описывает зависимость смещений крепи от действующего на него давления пород и является функцией свойств самой крепи. Для установления функции и2(р) сформулируем следующую задачу. Пусть винтовой стержень круглого поперечного сечения длины I, материал которого следует закону Гука, установлен без зазоров в выработку круглого поперечного сечения сразу после ее проведения. Контур выработки равномерно смещается на и2 вовнутрь по всему сечению, деформируя стержень.
Известно [5], что напряженно-
деформированное состояние винтового стержня описывается системой дифференциальных уравнений, в связанной системе осей имеющей вид:
-О1 -к3о0.2 —:—Мз0-2 + —,— М2О3 + 41 = 0
-и
+ к30°1 -к10°3 +
-О2 ds
+ —.—М3°1 -~.—М°3 + 42 = 0;
11
-О- + к10°2 + ——М2°1 + ——М1О2 + 43 = 0
-И А22 —11
-М
-И
-К30М2 = 0
-М
-И
+ К30М1 -К10М3 +
+ —М3М1-----—М1М3 - О3 = 0;
—33 —11
(3)
, 3 +К10М2 -~л—М 2М1 + —,—М1М 2 + О2 = 0 -И —22 Ли
-3
'1
(
1 -
соиЗ
'2
\
-М,
11
СОИ&3
СОИ&2
соъЗ.
(
к10 + 1
ит3
2
\
СОИ&3
к30
Ь3
М3
ит32
соиЗ.
= 0;
х
+
г,„ =
п
1
d92
ds
í
- cos 92tg9¡Kio +
sin 9
Mi „ M2
-—Lcos92tg93 —-2
A11 A22
d93
cos93 - M3
- sin 92 tg 9з
d9
к30
sin 92 tg 9з — 0;
A33
ds
+ sin92^io +{cos9i -cos92)^30 +
+——Mi sin 92-—M3 cos92 — 0;
41
*33
dui M3u2 M2u3
-----к30U2---------+-+ cos 92 cos 93 — 1 — 0
ds A33 A22
du2 1 , ..
—— + K30U1 -K10U3 +——M3U1 -ds A33
1
11
-M1U3 - sin 93 — 0;
du3 M2U1 MjU2 . n r n
—— + KjgU2-------+--------+ sin 92 cos93 = 0.
ds A22 A11
В этих уравнениях приняты следующие обозначения: Qh Q2, Q3 - продольная и перерезывающие силы в поперечном сечении стержня, M1, M2, M3 - крутящий и изгибающие моменты в этом же сечении стержня, A11, A22, A33 - крутильная и изгибные жесткости поперечного сечения стержня, 91,92,93 - углы поворота осевой линии стержня относительно оси стержня, ее главной нормали и бинормали, u1, u2, u3 - перемещения вдоль оси стержня, вдоль главной нормали и бинормали, q1, q2, q3 - компоненты вектора внешней распределенной по длине стержня нагрузки. Кручение к10 и кривизны к20, к30 осевой линии стержня в естественном состоянии, определяемые как
sin a cos a cos2 a
к10 =-------R-,к20 = 0,к30 = , (4)
где R - радиус недеформированного стержня, а- угол подъема его витков[6]. Поскольку материал стержня работает в упругой стадии, то справедливы следующие формулы:
M1 = A11( K1 -к10),
M 2 = A22(k2-к20), (5) M3 = A33(K3 -кзo), где K¡, к2, к3 - компоненты кручения и кривизны осевой линии деформированного стержня.
При равномерном смещении контура выработки параметры винтового стержня изменятся, но стержень по-прежнему будет винтовым. Поэтому угол поворота стержня относительно бинормали 93 =0 и последние 6 уравнений (3) примут вид:
ds
1 Í \
— + (1 - cos 92)кю - sin92K30 -
—1—M1 cos 92-----—M3 sin 92 — 0;
A11 A33
d92 1
—— + sin 9к30 —-— M2 — 0 ; ds A22
sin 92K10 + (cos 91 - cos 92 )к30 +
+——M1 sin 92-------—M3 cos 92 — 0;
A11 A33
du1 1 , ,
—----K30u2 -~A— M3U2 +
ds A33
+-----2U3 + cos 92 -1 — 0;
A22
K30u1 -K10U3 +—.—M3U1 -~.—M1U3 — 0 ; A33 A11
du 3 M 2u 1 M 1u2 n „
• + к 1qu2-----------------------------1-+ sin 92 — 0.
(6)
ds
A22 A11
Пусть концы стержня не закреплены, тогда их перемещения, очевидно, симметричны относительно точки, находящейся посередине стержня, а сама срединная точка не перемещается. Следовательно, при совмещении начала координат с этой точкой перемещения и1, и3 и угол поворота 9]
и1(0) = 0,и3(0) = 0,91(0) = 0 . (7) Из (6)1 с учетом (5) вытекает уравнение:
+ к10 -KlCos92 -кзsin92 = 0, (8)
d91
ds
где кручение k¡ и кривизна к3 стержня после его обжатия могут быть определены по формулам (4):
sin a ¡ cos a ¡ cos2 a ¡
K1 =-------------L,K3 =—, (9)
R
1
R
1
в которых а1 - угол подъема витков стержня и и Я] = Я - и2 - его радиус после обжатия. С учетом (9) уравнение (8) примет вид:
-31 , „ СОиа1 ^пСа1 + 32) = 0 (10)
' + к10---------—з----------------= 0, (10)
ds
u — u2
R(1 - u2 )
где и2 = —2- - безразмерная величина обжатия.
2 Я
Уравнение (6)3 в силу (5) и (9) примет вид:
с05а]с05(а] + 32) п СО5&1К30--------------1 ’ _1 2/ = 0 . (11)
Я(1 - и2)
Решив совместно (10) и (11), получим:
-3
—т1 + к10 - ^§(а1 +32)ст31к30 = 0 . (12)
-И
Заметим, что угол подъема витка а1 после деформации представляет собой алгебраическую сумму угла подъема витков а недеформирован-
ного стержня и угла поворота 92 относительно главной нормали:
(13)
аі =а-&2-
С учетом (13) из (12) следует уравнение:
d&i
ds
- (cos Зі - 1)^іо = 0,
(14)
решение которого, в силу граничного условия (7)3 и теоремы о единственности решения, представляется тривиальным:
З1 = 0 . (15)
Из уравнения (11) и формул (13) и (15) вытекает уравнение
к30(1 -U2)-cos(a-З2)cosa = 0 (16) (К 30 =K30R), из которого следует, что угол
поворота З2 = const.
Приведем уравнение (16) к виду:
tg2' З2 - a tg З2 + b = 0
(17)
где
a =
2 tga
(1 - u2)2 - tg2a
,b =
(1 - U2)2 -1 (1 - u2)2 - tg2a
Уравнение (17) имеет два корня. Один корень (отрицательный) соответствует правой навивке стержня (кю> О), другой корень отвечает левой навивке (кю< О). В дальнейшем рассматривается стержень с правой навивкой. Учитывая, что 31 = 0, 32 = const, из уравнений (6)1, (6)2 и (6)3 получим выражения для моментов:
Mi = KioCOS&2 ~K3osin&2 ~Кю,М2 = 0, M3 =к10 sin 32 +к30 cOS 32 ~к30,
(18)
в которых
- M1R — M3R M1 = —1—,M3 = ■ 3
—11 —33
а к 10 = КЮЯ, к30 —Кз0Я - безразмерные кручение и кривизна осевой линии стержня.
Учитывая, что моменты М1 и М3 постоянны, а М2 = 0 , из (3)5 и (3)6 определяем внутренние усилия, возникающие в обжатом винтовом стержне: 02 = 0’
>2
= (19)
Л11
— Кз0М1 - шкюМз + ММз(1 - ж), где т = Л33/Лп.
Рассмотрим далее уравнения (3)1 - (3)3, приведя их к безразмерной форме, имеем:
dQj т - Л
-----X + q1 = 0,
ds
(к30 + M3)Q1 - (к10 + M1)Q3 + q2 = 0, (20)
q3 = 0,
где X = cos а, s = R - безразмерная координата, а безразмерные компоненты внешней нагрузки определяются как
,3
. (21)
- qiR3
- =^~
Ап
Поскольку 43 = 0, то система (20) сводится к двум уравнениям, содержащим три неизвестные
функции 0,14142 и, следовательно, является неопределенной. Чтобы исключить эту неопределенность воспользуемся гипотезой Кулона:
41 = / 42 , (22)
в которой силой трения является компонента 41, а / - коэффициент трения стержня об оболочку. Поскольку сила трения 41 противоположна перемещению и1, то в уравнении (20)1 ее следует принять отрицательной. В силу сказанного система (20) принимает вид:
d= 0,05
= 0,04
d = 0,03
0.02 0.04 0.06 0
0.12 0.14
Рис. 1. Графическое представление взаимодействия винтовой крепи различной толщины и массива
0.02 0.04 0.06 0
0.12 0.14
Рис. 2. Графическое представление взаимодействия винтовой крепи с различными углами подъема витков и массива
dQ1
Я — f q2 — 0,
(23)
(к30 + M3)Q1 — (к10 + M1)Q3 + q2 — 0, исключив из которой q2, получим дифференциальное уравнение:
CQL + k Ql — ß- О
ds
(24)
где
к = ^=(Кз0 + Мз)’ /3==(к10 + М1)0з (25) А А
Поскольку концы пружины свободны, то продольная сила в концевых сечениях
01(0’51) = 0. (26)
Выражение (26) является граничным условием для дифференциального уравнения (24), решение которого в этом случае имеет вид:
Q1 — ßß (1 — e—k(s—0'5l)
(27)
Далее из уравнения (20)І и формулы (22) определяем
- dQlT Tn — k(s —0,5l )
qi —-----------Я ^ qi — Яз e .
ds
(2s)
а из формул (22) и (2s), учитывая формулы (25),
нагрузку
,—k(s —l )
42 = (к10 + М1)(2зе ,м° *У. (29)
Формула (29) представляет собой зависимость погонной нагрузки 42, действующей на винтовой стержень от величины его обжатия и2. Для установления зависимости поверхностной нагрузки р от степени обжатия стержня погонную нагрузку следует отнести к расстоянию между витками стержня Н = 2жЯ tg а
42 (30)
p—
h
В силу (21) из (30) вытекает формула:
p—
0,1q2Gd4 2ж tgа
(31)
где d - диаметр поперечного сечения и О - модуль упругости материала винтового стержня. Формула (31) является функцией и2(р), характеризуя жесткость винтовой крепи при ее обжатии.
Поскольку функции и(р) и и2(р) установлены, можно решить уравнение (1), что удобнее и нагляднее выполнить графически [2]: вначале построить график и(р) равновесных состояний массива, а затем график и2(р), характеризующий жесткость крепи. Пересечение этих графиков определяет смещение контура выработки и нагрузку на крепь.
На рис.1 показано такое решение для случая, когда винтовая крепь (а = 50) установлена в выработку радиуса Я =11, расположенную на глубине Н =500г в массиве, породы которого имеют: у = 0’025МН/м3’ ас = 20Мпа, ф = 300, Е = 2104 МПа’ М = 8104 МПа.
На рис.2 показано решение уравнения (1) при тех же характеристиках массива и выработки, но с
винтовой крепью (- =0.04) при различных а.
Анализируя рис.1 и 2, отметим, что на винтовую крепь диаметром - =0.03 действует нагрузка р = 0,006 МПа, вследствие которой она обжимается на величину и =0.1. Крепи диаметром
- =0.04 и - =0.05 воспринимают нагрузку соответственно р = 0,0092 МПа и р = 0,012 МПа, обжимаясь на и =0.05 и и =0.028 .
Чем больше угол а, тем больше степень обжатия крепи (рис.2). Так крепь с а = 50 обжимается на величину и =0.05, степень обжатия крепи с а = 100 составляет и =0.084 , а при а = 150 соответственно и =0.126. Иначе говоря с увеличением а винтовая крепь становятся более податливой, а, значит, воспринимает меньшую нагрузку. Крепь, имеющая а = 50 воспринимает нагрузку р =
0,0092 МПа, а крепи с а = 100 и а = 150 соответственно р = 0,0065МПа ир = 0,0054МПа.
Вывод. Податливость винтовой крепи является ее внутренним качеством без каких-либо специальных конструктивных мероприятий. Варьируя диаметром ее поперечного сечения и углом подъема ее витков, можно подобрать крепь с наперед заданной податливостью.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Штумпф Г.Г., Егоров П.В., Петров А.И., Красильников Б.В. Горное давление в подготовительных выработках угольных шахт. — М.: Недра. — 199б. — 352 с.
2. Баклашов И.В., Картозия Б.А. Механика подземных сооружений и конструкции крепей. — М.: Недра. — 1992. — 544 с.
3. Черданцев С.В. К определению внутренних усилий и перемещений в гибком винтовом стержне. //Вестн. КузГТУ, 2000, № 3 — С. 3 — б.
4. Черданцев С. В., Черданцев Н. В. Оценка прочности цилиндрической пружины, используемой в
качестве крепи при равномерном обжатии.//ФТПРПИ, 2002, № 2 - С. 71 - 75.
5. Черданцев С. В. Нелинейные уравнения равновесия пространственного винтового стержня // Вестн. КузГТУ, 2000, № 1 - С. 12 - 17.
6. Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии. - М.: Гостехиздат. - 1956. - 420 с.
□ Автор статьи:
Черданцев Сергей Васильевич
- канд. техн. наук, доц. каф. строительства подземных сооружений и шахт
