CC BY
16
ИЗВЕСТИЯ
ТОМСКОГО ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО Том 1'Л ИНСТИТУТА имени С. М. КИРОВА 1952 г.
УРАВНЕНИЯ СИММЕТРИЧНОЙ ОДНОРОДНОЙ ЦЕПНОЙ СХЕМЫ ПРИ НАЛИЧИИ ОБРАТНЫХ СВЯЗЕЙ
Г. Е. ПУХОВ
Как известно, цепная схема является весьма распространенным элементом электрической цепи. Однако ее свойства хорошо изучены лишь применительно к случаю, отвечающему проходной цепи, т. е. цепи, в которой отсутствуют обратные связи. Цепные схемы более общего вида в литературе почти не встречаются, хотя подобного рода цепи в практике встречаются и притом довольно часто. Ниже рассмотрены некоторые
вопросы теории четырехполюснои которой сделаны следующие предположения:
1. Звенья симметричны либо относительно своей геометрической оси, либо и поперечной и продольной. При поперечной симметрии перемена местами входных и выходных зажимов (фиг. 1а) как у отдельных звеньев, так и у всей цепочки в целом не будет приводить к какому-либо изменению режима внешней цепи. Если кроме того звенья симметричны и относительно продольной оси, то изменения режима внешней цепи не будет и при попарном перекрещивании входных и выходных зажимов (фиг. 1Ь).
2. Все звенья цепи пассивны образом.
цепной схемы, относительно звеньев
' с г
с !
Фиг. 1
и выполнены совершенно одинаковым
Уравнения звена, симметричного относительно поперечной геометрической оси
Поскольку звенья цепочки соединяются последовательно, то уравнения звена, порядковый номер которого обозначим через к, в- общем случае {при наличии несимметрии) должны иметь вид [2; 3]:
к Па Ли со „ £ и.2 и\
1к ^22 ^23 1 * -й — а —1ь
и). Аа2Л38 || 1о 1о
где ¿0~— (4+ /V) — — (/¿¡-Не) (фиг. 2)—уравнительный ток, обусловленный обратными связями. В силу предполагаемойпассивности звена между коэффициентами А^ цепочечной матрицы а имеются зависимости
АпАТ1 — Ах*А.п = 1, "4ц Л32 — ^12^31 — — А13,
(2)
которые следуют из известной теоремы взаимности. Так же не представляет затруднений доказать, что при наличии лишь поперечной симметрии между компонентами А}}г существуют связи:
^2:; — Аз
Аи -1
и А:п=Аг,
Ап — 1
(3)
АГ1 '..... Л12
Используя условия (2--3), приходим к следующим уравнениям звена с поперечной симметрией
(4)
к И« [, Ап ,Ац У и2
1а || 1! Аъ-1 А,, .Л: Л1-1 Л а • >к -1ь
!| икс ! А 13 5 ■А, з Азз ч
|| п А12
и
Фиг. 2
В теории обычной цепной схемы большую роль играет характеристическое сопротивление и постоянная распространения 7 звена, определяемые из выражений
г-.
¿и -I- УАпАп —е\
откуда
| А<1
(5) (6>
В рассматриваемом случае через гиперболические функции удобно выразить и величины А13 и А^:
А13 = 2х = з/гь А,3 = А0- =л0-5/г(,
а12 гх
где и 2х—некоторые постоянные, определяемые выражениями
А13
(7)
Л., - А,, +
У А 12 А
я2
Дз
ЛГ2
Удобство введения величин Zs и /30 будет ясно из дальнейшего. 80
Подставляя соотношения (5), (6) и (7) в уравнения (4), получаем
сН*1 , —
иа
;1г
и,
я/г-
Л Л
с/г ч, —2
г
2
2 Ап —
г,* г,
к
и2
• к
—1ь ■
¿о
Заметим, что при отсутствии обратных связей (¿о — 0) уравнения (9) превращаются в обычные хорошо известные уравнения проходного четы-рехполюсного звена:
А На 1
> Г
1а 1
ск
к Ыу
II -А
!! -1 Ь
(10)
Эти же уравнения будут иметь место и при наличии обратных связей при условии, что звено является трехполюсникохм. 1)
Уравнения звена, симметричного относительно и поперечной и продольной геометрических осей
Если звено цепной схемы, кроме поперечной, обладает так же и продольной симметрией, то между компонентами Ам матрицы а существует дополнительная зависимость Аг> = — 2Л1з. Вводя это соотношение в уравнение (4), получаем
к Па Ап \ 2
1к — Л? 1-1 АуГ __ Аи-1 1 2
.к ис 2 л12 ' 2 л Ио , 4
к, Ы).
1к 1ь
(И
Выражая теперь компоненты Аш через гиперболические функции, приходим к уравнениям
/г иа
.к 1а
и\
скз
5/г2 -4-, —— вк-г, А о 2 2
к
112
.и
— 1ь
\ 1 1 ! Ч
(12)
!) Это следует из того, что состояние трехполюсника описывается системой, состоящей из двух уравнений.
6, Изв. ТПИ, т. 73
81
Заметим, что эти уравнения можно было бы, получить из уравнений звена, обладающего лишь поперечной симметрией, т. е. из уравнения (9),
путем простой замены постоянной величиной —.
2
Таким образом, уравнения четырехполюсного звена, имеющего обратные связи, нами получены. Приступим теперь к выводу уравнений цепной схемы.
Уравнения цепной схемы
Получим вначале уравнения цепной схемы, состоящей из звеньев, симметричных лишь относительно поперечной геометрической оси.
Удлиняя цепочечную матрицу [2, 3], взятую из уравнений (9), и возводя затем ее в п-ную степень (п—число звеньев), находим
¿4симметр. ноперечн.
с к-;
5/гт
, ск\, 0, ■
9 У
—5/г2 — , ZsSh'' 1 ,А
гх 2
Zx
z>.
2 я А?
О
О , О,
п
скщ, Z)Skщ, 0, — ¿зЗкщ $кщ
скщ, 0, —
, Zsshщ1 1, О , О,
Zx 2
п Ас
Zx 1
5 кщ
(13)
Заметим, что если бы компонента АГ6 не была бы рдлее представлена
в форме Л33 = Л0——то выражение (13) получилось бы значительно
менее удобным. Вычеркивая из удлиненной матрицы (13) четвертую стр<эку и третий столбец, приходим к ее нормальной форме
«•симметр. поперечн.
скп экщ
ZK
Б/г2
т
скщ,
-^ькщ, пЛц
ГА
вк*
Zx
(14)
Этой матрице отвечают следующие уравнения эквивалентного четырехполюсника, заменяющего рассматриваемую часть цепной схемы:
По
а
иъ
Л
, Zxshk^J —Zsshk^ , ,---—
& z2
зк2 Zsshk^, кА0--—
2 Zк
2
иг
— и
к
(15)
где к означает порядковый номер звена, проставленный в соответствии с фиг. 2.
Если звенья цепочки, кроме поперечной, обладают и продольной сим-
метрией, то ее уравнения, после замены в (15) Zs на — (см. выше), по-
2
лучатся в виде:
ик |
<а
Ьа
к
иь
скк*{ в/гк^
¿7
Л
Z\shfc¡i -
2
■уА2 -
5 кк\
и2
в
¿0
(16)
2 2 " ~ 4 Уравнения (15) и (16) удобны тем, что они простейшим образом позволяют найти токи и напряжения в месте соединения двух любых звеньев, для чего достаточно подставить в эти уравнения вместо & номер звена.
При отсутствии уравнительного тока- /0, что может быть, например, при разрыве обратных связей, выражения (15) и (16) переходят в известные уравнения проходной цепной схемы:
(17)
Добавочными уравнениями, определяющими боковое напряжение в этом случае (при ¿0 = 0) обычно не интересуются.
Для пояснения применения выведенных уравнений определим сопротивление сложного двухполюсника, схема которого показана на фиг. 3. Индуктивность Ь и емкость С пусть связаны условием со/, = (ш — частоте
та приложенного напряжения). Заменяя элементы, связанные взаимоиндукцией, Г-образными схемами замещения, приходим к цепной схеме, работающей в режиме иа — = 0 (фиг, 4). Сопротивление двухполюсника *), очевидно, равно
к На сккя{, Лхзкк^ и2
■к 1а | —~~ У СЩ • — к
Zx
I ув )и=ия =
0.
(18)
Поскольку цепь обладает лишь поперечной симметрией, то для нахождения Z следует применить уравнения (15). Полагая в последних иа — V 2 = 0, находим
. я . А2п пА0 :
г—
— П Мз8 +
а12
(19)
*) Далее имеется в виду установившийся синусоидальный режим двухполюсника.
L 2L 2L
г■W-rW-r'^T
Hb
с ¿ -1 г г
Ur
Фиг. 'Л
21 L
......-чмнь
с
2
L-ГЛ L-M L-M L-M L-M L-M
r^MMí^y^4-*-
HHHI • И 1 ^
с с с с
п
п-4
L-M L-/W
If-Hh с с
к
Фиг. 4
'где п—число звеньев схемы замещения цепи (фиг. 3—5), а А^ — компоненты цепочечной матрицы звена. Для определения величин А-1к составим уравнение одного звена в форме (4). Имеем
1)1
—
икс
О
у'шЖ 1
Ш2ЖС' >с
-^М
о
1
1
>с
_ 1__
Ш-'Л/С
1
и)
*мс
Отсюда
А12 = — у'ш/И, А
у'шС
и А33 —
ушС 1
у'шС
и2
•тк —1ь
/о
1
(20)
а>
(21)
Подставляя эти величины в формулу (19) и обозначая через & = Ж/1— коэффициент связи контуров, приходим к следующему значению сопротивления рассматриваемого сложного двухполюсника:
¿^яМ.1^—' (22)
Заметим, что расчет рассмотренной цепи, приводимый в [4], не является правильным, так как он произведен на основании обычных уравнений (10, 17).
ЛИТЕРАТУРА .
1. Кал а н т а р, о в П. Л. Теория переменных токов, 1940.
2. Пухов Г. Е. Геометоическая теория цепей, состоящих из четырехполюсников. Научные записки ЛПИ, в. X, Львов, 1949.
3. П .у х о в Г. Е. Теория метода подсхем. Электричество, № 8, 1952.
4. 3 у с м а н о в с к и й С. А. (ред.) Магнетроны сантиметрового диапазона, ч. 1, 1950.
