О расчете трехфазных цепей с местной несимметрией Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИЗВЕСТИЯ

ТОМСКОГО ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО Том 70 ИНСТИТУТА имени С. М. КИРОВА 1954 г.

О РАСЧЕТЕ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ С МЕСТНОЙ НЕСИММЕТРИЕЙ

В. Н. СОСУНОВА

Под местной несимметрией понимается несимметрия, сосредоточенная в одной точке. Несимметрия может получаться при коротких замыканиях, разрывах фаз и по другим причинам, В настоящей работе ограничимся только рассмотрением местных несиыметрий за счет коротких замыканий и обрывов фаз, В целях общности результатов будем предполагать, что в цепи имеется произвольное число (п) коротких замыканий и разрывов фаз.

Общие положения

Когда в цепи имеется одно повреждение, то, как известно, решение задачи методом симметричных составляющих сводится к расчету трех двухполюсников: прямой, обратной и нулевой последовательности. Каждый двухполюсник характеризуется одним уравнением. Поэтому при одном повреждении состояние цепи определяется тремя уравнениями, связанными между собой тремя уравнениями граничных условий. Для решения задачи необходимо составить 6 уравнений.

При двух повреждениях схема каждой последовательности будет представлять обычный (проходной) четырехполюсник. Поскольку такой четырехполюсник характеризуется двумя уравнениями, то в случае двух повреждений состояние цепи будет определяться шестью уравнениями, связанными между собой шестью уравнениями граничных условий. Для решения задачи имеется 12 уравнений.

В случае п повреждений схема каждой последовательности может быть представлена в виде 2 я — полюсника с попарно равными токами зажимов. Подобный 2п—полюсник характеризуется «уравнениями. Таким образом, всей цепи будет отвечать система из 3 п уравнений, соединенных между собой Ъп уравнениями граничных условий. Для решения задачи в этом случае имеется б п уравнений.

Анализируя зависимости между токами и напряжениями отдельных последовательностей (табл. 1) при повреждениях рассматриваемого вида (коротких замыканиях и разрывах), можно установить, что каждый вид повреждения характеризуется одной группой суммирующихся величин и одной общей величиной. Под суммирующимися величинами мы понимаем токи и напряжения отдельных последовательностей, которые при данном повреждении суммируются, а общими—токи и напряжение, которые для многополюсников отдельных последовательностей являются одинаковыми. Например, при однополюсном коротком замыкании суммирующимися величинами будут напряжения прямой, обратной и нулевой последователь-кости расчетной фазы, а общей величиной будет ток в месте короткого замыкания.

Таблица 1

Граничные условия для токов и напряжений отдельных последовательностей при разрывах фаз и коротких замыканиях

Виды повреждений Граничные условия

разрыв короткое замыкание суммирующиеся величины общие величины

1 1 Разрыв одной фазы А В Замыкание на землю двух фаз В и С СиЛ /(0)+/Ш+/Г2; = 0 /(о;+а3/Г1) + а/(2) = 0 ц(0) = а1ц(1) ц=а[)<2)= и 3 и 3

3 С А и В /(0) +а/(1) + аг/(2)=0 0М = а6<»=: а»£/«> = и 3

4 • 5 Разрыв двух фаз В и С С и А Замыкание на землю одной фазы А В ¿/(0)+гу(1)+()(2)=о и®+а* а С№= 0 7(0)=/'(1) =/(2) = /(0) = й3/(1)=а;(2,= / 3 / 3_

6 А и В С иМ+айт + а»и®=0 /(0)=а/(1)=а2/(2)= I 3~

7 Замыкание между двумя фазами ВаС С и А ;«+/(2)=0 аЧМ + а1М=0 Ы1)__>/(2)_ ЬА 3 а*'цЫ= а и <2> =

А к В я/(1) + а3;(2) = 0 2) = 3

В таблице перечислены все виды коротких замыканий и разрывов фаз.

Уравнение 2 п—полюсников отдельных последовательностей предлагается составлять так, чтобы суммирующиеся токи и напряжения выражались через общие, то есть:

= + (¡¿ = 0,1,2), (1)

«где и. — номер последовательности,

— вектор, компонентами которого являются суммирующиеся токи и напряжение р-ой последовательности, р0— вектор, компонентами которого являются общие величины, 'Ф^ и С0,|А)—матрица и вектор, зависящие от параметров цепи для ¡х последовательности.

Для повреждений вида коротких замыканий и обрывов фаз, суммирующиеся величины при сложении оказываются равными нулю. Поэтому, если сложить-левые и правые части уравнений (1), то для случая одного повреждения получим одно уравнение с одним неизвестным — общей величиной, при двух повреждениях — два уравнения с двумя неизвестными и так далее. При п повреждениях получится п уравнений с п неизвестными. Таким образом, благодаря рациональному способу написания уравнений задача сводится к наименьшему количеству уравнений.

Конечное расчетное уравнение будет иметь вид:

0 = СРо-Ко, (2)}

где С —некоторая матрица, которую далее будем называть матричным параметром.

С0 — вектор, значение которого может быть определено из решения нормальной работы цепи. Условимся называть векторным параметром.

Компоненты матрицы С и вектора С0 имеют вид:

= + (3)

где I—-номер строки,

к-—номер столбца, верхний индекс — номер последовательности.

В цепи с симметрично выполненными источниками энергии (обычные-случаи)

С(о);0 = О, С(2'/0 = 0.

Компоненты С/к могут быть типа У, А (цепочечная матрица) или других типов. Для простых 2 п — полюсников эти коэффициенты вычисляются известными методами холостого хода и короткого замыкания, или методом наложения, или берутся из таблиц [1].

Для сложных 2 п — полюсников следует использовать теорию составных электрических цепей.

В случае повреждений в разных фазах перед компонентами С^'« и С<2)/к нужно ставить множитель

аУ^г (а=е^12<у).

Таким образом, формула для нахождения компонент матрицы С и вектора С0 выражается в общем виде уравнением, (4):

Сгк = Сй(0)+ ¿'ш г-(1)ш + а 'Ч . (4)1

Показатель может принимать значения 0,1,2 и вычисляется

по формуле (5)

где7'1;1'- показатель оператора суммирующейся величины ¡а последовательности, ^ —показатель оператора соответствующей общей величины, мИ и уМ берутся из граничных условий (табл. 1). Покажем определение-на примере.

Пример 1.

Фаза А разорвана, а фаза В замкнута на землю (фиг. 1). Из таблицы, граничных условий выписываем суммирующиеся величины

+ О*

и общие величины

би

-Уравнения схем замещения запишутся в форме уравнения (5')

и.

/7

в

Фиг. 1

г;п = си(о) Сп(,) + Ч1(2), С12 = С12<°> + а С12ю+ аКгР

С21 = С21(°) + агС21« Ч- аС21(2', С22 = + С22(1)+ С22(2), Чо = С,о(1), С20 = С20<1>.

Порядок расчета

Можно рекомендовать следующую технику расчета цепей с рассматриваемыми видами повреждений.

1. Несимметричная цепь заменяется расчетной симметричной путем введения в местах повреждений фиктивных источников э.д.с. и источников тока.

Такая замена необходима для того, чтобы в дальнейшем иметь возможность воспользоваться принципом независимости действия симметричных составляющих токов и напряжений, справедливым, как известно, только для симметрично выполненных цепей.

2. Устанавливаются зависимости между симметричными составляющими токов и напряжений в местах повреждений и производится подразделение этих величин на суммирующиеся и общие.

3. Составляются обычным образом схемы замещения отдельных последовательностей.

4. Составляются уравнения 2 п—полюсников отдельных последовательностей по форме уравнения (1), т. е. так, чтобы суммирующиеся токи и напряжения выражались через общие. Затем, после соответствующего суммирования коэффициентов (формула 3 или 4), находится система уравнений с п неизвестными, которыми будут общие токи и напряжения.

5. Полученная система решается относительно неизвестных величин.

Пример 2.

Разберем подробно предлагаемый способ составления расчетных уравнений на простейшем примере короткого замыкания фазы А (фиг. 2).

Будем придерживаться указанного выше порядка расчета.

Несимметричную цепь заменяем расчетной симметричной путем введения фиктивных источников тока (фиг. 3).

Устанавливаем (или берем из табл. 1) зависимости между симметричными составляющими токов и напряжений в месте короткого замыкания и сразу же подразделяем эти токи и напряжения на суммирующиеся и общие.

Группа суммирующихся величин

£/№»_(_ Ц(1) _|_£>(2)= 0.

Общая величина /

: /(1) = /1«)= /(2).

1 I.

Л

в с

Затем составляем схемы замещения -

прямой, обратной и нулевой последова- Фиг. 2

тельности. Так как в цепи одно повреждение, схемы замещения представляем в виде двухполюсников (фиг. 4).

Составляем характеризующие двухполюсники уравнения:

/им \ / Си(0) о о у /0) \ / I | = ( о СиЯ) О |' /11> + (

\ £>*>

\ 0 о с„

(2)

А

\

а)

мо

0 о

\

(6)

Складывая левые и правые части уравнения (6) и учитывая условия, характеризующие повреждение, получаем уравнение (7), а из него — общеизвестное решение тока короткого замыкания /.

Фиг.

Фиг. 4

Уравнение (7) можно было также просто получить, руководствуясь

-формулой' (3) - : : , ' • ■ .

0 =С, /о) + ц ^ + С, ^) Л + С

ю

/

ЗС,

Г,л 0)_1_Г <114-' '2)"

- I ''И '

(7)

(8)

Рассмотрим примерный расчет трехфазной цепи при наличии в ней трех повреждений.

Пример 3.

Рассмотрим двухстороннее отключение одной фазы линии при коротком замыкании .отключаемой фазы на землю1) фиг. 5.

Численные значения параметров исходной схемы в относительных единицах:

Ём = У 2, Ёк —] 1, ¿м^=3 % ¿м™ =¿N^ = = У 1,

¿>=./0,4,

линии входят соответствующими величинами в сопротивления частей-систем.

Несимметричная расчетная цепь заменяется расчетной симметричной путем введения в места разрыва фиктивных источников э.д.с. и введения в место короткого замыкания фиктивного источника тока.

Для полученной симметричной цепи составляются схемы замещения.

Конфигурация схем замещения прямой, обратной и нулевой последовательностей для данной задачи одинакова (фиг. 6].

Из табл. 1 берутся зависимости между симметричными составляющими токов и напряжений в местах повреждений.

Фиг. 5

Фиг. 6

Суммирующиеся величины:

Общие величины:

/р(0)+/р(1Ч//)=о>

/о,0) +/о(1)+/о(2) = 0,

икт + ик (1)-(- и{2)==0.

I к — ' к — 1 к

/ (0)_ /• (1)_ г (2-

!) Данные примера заимствованы из [2].

Затем составляются уравнения так, чтобы суммирующиеся величины выражались через общие. Так как в рассматриваемой задаче три повреждения, то схему замещения каждой последовательности нужно рассматривать, как шестиполюсник. Уравнения, характеризующие данный шести-полюсник, легко составить по методу наложения.

Zт ¿т . Zм

1

jp =--.-ир+ -—

Г «-у ry f 1 г/ rj> V/ I

ZytfZr ~ , Zn - ¿Т -7 I ZN • Zr

4 +

Z.\~— •-;—1м

ZAI ZT Zn -f- ZT ZT -j- ZM

En Em Zt

I ZM ■ ZT , Z.\ . ZT Zn -}-ZT

r_j-----— ¿M --_ -_— i

Zm Z т Zt\ 4- Zt

ZT ZT • Z,\

(9)

ZM -f- ZT

UP ' " . 7.. Uüi"

■N

v , ¿TZM P 7 „ i Z^.ZT v i ZT . Z\

¿N-\--:-:--^ , r> Lm "f- -:-:-

Z м + ZT Z,v -+- Z- r ZT+ZN

/f-v Zt + ___:_ (10)

Z -J- ' ZM + ZT ZN • ZT

Zm-\- Zt ZN-\-ZT

ZT ■ ZM Zt . Z,

N_

г, ZT-\-ZM ZT-Г ZMN fr |

uK— —---^ Up---r -r u0-f-

, Zr - Z^i ^ | Zr • Za'

Z.V -j--■--Z.Ji -j- ■—.--%—

ZT ~r ZM ZT -f~ Z\

Zt ■ ZM

+ ^-. ¿N-ZT.ZM^ ^ . ZT-\-ZM дy +

ZN-Zt-\-ZM.ZT-\-ZN-ZM ■ ZT ■ ZM

Zs

Zt+Z.

m

,v

ZT . Z;

zT+ZA>

н---^-Ём. (11)

^ . Zt ■ Z;v z^l ,--:-V-

Подставляя в уравнение 9, 10, 11 численные значения параметров, подсчитываем коэффициенты шестиполюсников прямой, обратной и нулевой последовательностей. Затем по формуле (3) подсчитываем коэффициенты расчетного шестиполюсника. Результаты расчета сведены в табл. 2.

Расчетные уравнения имеют вид:

83 . 41 . 25 . _1__

7' 36.3 Up~J 72.3 U°+ 36.3 2 =0'

41 . , 7.41 . 41 3

-Up-f-J _ £/0+ „ /« + ,, —и»

72.3 р 1 7 144.3 0 1 72.3 к 1 4 25 41 25 . ( 1 _

36.3 72.3 U(> + f 36.3 '/к + 7' 2 =°-

о. Изв. ТПИ, т. /6-

65

Таблица 2

Коэффициенты шестиполюсников

Последовательностей

прямой обратной нулевой Расчетного

« (1) -11 =} 3 4 Г (0)_ 41 — 7 '-н^-'У 83 36.3

:12(1) = =У 1 8 к'-<2>= ~' т Г „(°> — '12 — 2 '12- У— 41 72.3

= 1 4 «л - (2) "3 " 9 ■г - 2 9 '13 = 25 36.3

= 1 2 г- (2)_о <- (0)_ '10 - = 0 '10 = 1 2

— . 1 'Т 9 -г1(0)= 9 41 72.3

=] 7 16 7 'т 7.41 144.3

- (ч -23 = 1 , (2) _ А 2:1 ~ 9 2 _ 9 '23 = 41 72.3

= 3 4 Чо(0) = = 0 '20 = 3 4

У1'- =— 1 4 ('31<"> = ~ Т •=31 - 2 = ~ 9 '31 = ~~ 25 36.3

:32(1) = - 1 8 ? (2) _ ^ -- д С32(0) = 2 ~~~ 9 Сзз —............ 41 72.3

:33(1) =у 1 4 9 Сзз{2) = / -у сзг((,) = 2 'т Сзз = ] '¿Ь 36.3

1 = /Т ц„(2' = Сзо(0> = 0 Сзо = 1

Полученные уравнения решаются относительно неизвестных—общих величин

58

1К = 0; иР =у; и0 =у —— •

Заметим, что полученные результаты не совпадают с результатами примера статьи [2]. Повидимому, в статье допущена ошибка, так как результаты примера [2] не удовлетворяют уравнению равновесия напряжений.

ЛИТЕРАТУРА

1. Зелях Э. В. Основы общей теории линейных электрических схем, 1951.

2. Соколов Н. И. Построение и применение комплексных схем-замещения при сложных несимметричных цепях. Электричество, № 8, 1949.