CC BY
18
ИЗВЕСТИЯ
ТОМСКОГО ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО Том 63 ИНСТИТУТА имени С. м! КИРОВА 4944
ТРЁХЧЛЕННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ В ПРИМЕНЕНИИ К РАСЧЕТУ И ИССЛЕДОВАНИЮ НЕСИММЕТРИЧНЫХ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ
ВОРОНОВ Р. А.
Профессор/доктор технических |аук '
При расчете распределения токов- и напряжений в несимметричных трехфазных 'цепях значительные упрощения получается оря использовании приемов метода симметричных составляющих. В работе автора ^Расчет распределения токов и напряжений в симметричных* трехфазных цепях* разобрано применение этого метода в самом общем случае—для не-, пей, как имеющих нулевой провод, т. е. могущих пропускать составляющие токов нулевой. последовательности, так и для цепей без такового.
. В последнем случае возможно использовать] особую форму общих математических выражений для составляющих, которые позволяют упростить решение ряда различных вопросов, представляющих значительные трудности при обычнык методах решения. Эта часть работц и приводится в настоящей статье.
Так как все цапряжерия и токи э уравнениях вхрдят исключительно в комплексной форме, то точки над буквами везде опущены. По ряду соображений в работе были введены некоторые обозначения и индексы, отличные от принятых в других книгах и статьях. Эти обозначения полностью сохранены и в настоящей статье, хотя для цепей без составляющих нулевой последовательности даожно было бы обойтись й без них.
Симметричные составляющие: токови напряжений
По 'методу- симметричных состайляющих люДая система трех напрАже*-.-' н^й иа, Оь и ис может быть представлена через, составляющие прямой "последовательности Щ обратной последовательности и и и нулевой последовательности и0/ взятых для рддой из фаз. Если з.а основную фазу* принята фаза *а„то . *
л-. иа= и,+ Г т.^'" V ■ : (1)
^ ' аз.иг+а-Ци : !■;■'■'.. ' Л'
/ Ш^а..Ц1+:а2. ин +и0, ^
где а и а2—множители поворота векторов на углы .120° и 240°
• а —е _ 2 ' ^ 2 ' е 2 Ь 2 *
Т^ким же путем* могут быть представлены три тока 1а, 1ь и 1с через составляющие Ь , 1ц и 10; '
Ж . 0 ; • . /
В общем случае несимметрии фаз цепи каждая из составляющих токов вызывает появление каждой же из составляющих напряжений, так что зависимость между, ними, может быть представлена в виде соотношений
иг + Ы .2п + (3)
и0=11. г'п-Ин .2\ ^
* • >г '
Входящие в "них девять коэфициентов 2п и т. д.,. имеющие раз-мерность сопротивлений, могут быть легко определены по параметрам , цепи. Так как уравнения, по которым они определяются, сходны по своим строениям с уравнениями для определения составляющих напряжений и токов (см. уравнения 9), то их можно рассматривать как Составляющие сопротивлений нулевого, прямого и обратного порядков. В общем случае все девять коэфициентов могут быть различными, обычно же некоторые из них оказываются одинаковыми. Так, для статических цепей будут существовать равенства
Нижние индексы у составляющих сопротивлений определяют их порядок, верхние же выбраны с таким расчетом, что они в сумме с нижними, определяют порядок составляющих тока, которым они соответствуют (т. е. стоят совместно в уравнениях). При этом сумма нижних индексов тока и сопротивления даст порядок получающейся^составляю-щей напряжения (тройку следует считать-за нуль, а четверку за единицу).
Решая систему уравнений (3) относительно составляющих токов, получим новую систему.уравнений ♦
. х . Уо+ш. у» 4-и0. У"1;
• 1и = иг.У1 Г0 + и0. . (4)
. ' 10 = и1. У'н + ии.- У^ + ио.Уо.
Входящие в них девять коэфициентов У'ь, Ун и т.д. будут иметь размерность проводимостей и могут рассматриваться как некоторые составляющие проводимостей цепи нулевого, прямого и обратного порядков, причем индексы для них выбраны также, как и для составляющих сопротивлений. Эти составляющие проводимостей в большинстве случаев не могут быть'определены непосредственно по параметрам цепи, а получаются. лишь путем решения системы уравнений (3).
При симметрии фаз цепи составляющие прямого и обратного порядков как для сопротивлений, так и для проводимостей обращаются в йуль, и остаются только составляющие нулевого порядка 2\> 2"0) 2$ и
У'о; У
"о, Уо- При этом получается общеизвестное положение о независимости отдельных последовательностей друг от друга, т. е. в симметричных цепях составляющие токов прямой последовательности вызывают составляющую напряжений тоже только прямой последовательности и-Т.-Д. .;/ * . , ■ ч
При расчете токов короткого замыкания для симметричных цепей составляющие 2'о, 2"о и 20 представляют полные'сопротивления для токов прямой, обратной и нулевой последовательностей (обычно их в этом случае обозначают через 2{, 2п и 2о).
Не останавливаясь на общих свойствах всех этих составляющих и их использованиях для расчетов трехфазных цепей, перейдем сразу к рассмотрению цепфй без- нулевого провода, широко используемых во всех электрических установках.
Цепь без'нулевого провода
При . отсутствии в цепи составляющих тока.рулевой'последовательности (например, в цепи без нулевого провода) все расчеты значительно упрощаются. Уравнения (3) получают вид
III = Ь . -{- 1ц . 2и; I • ин^Ь.г! + 1И'2''0; (5)
. и0 =ь. Гп+\и . гь. •
Из первых двух уравнений получаем для Ь и 1и выражения
Ь=и! ——-+и„. ~2п
2'о.2'о—2г .2« Ъ'ъьЪ*о—-21. 2н
2г ' . , ,, 2'0
1и = Ох • ' , 1 , 4- Ш .
2'о • 2жо—- 2н 2'о • 2% — 21.2ц
Вводя обозначения составляющих проводимостей, находим
II =и1. У'о+ип . Ун';
1п=и,, У; +ин. у^
где
г* • у 1 V' О V "_ '
* о — — , _ ,-Г-~- > *0—
(6)
• 2о/в2о*-—21 • 2и 2о'. 2о*—21. 2н
У1==----1г ---; У„ —2"
(7)
20,.20'1'—2*. 2и 20'.20'1Г—21. 2ц
Разрешая уравнения (6) по отношению к составляющим напряжений, имеем
V * V '
7 /_;_*0 . 7 х<>
Уо^-Уо*—. Ун ^ Уо'.Уо" — У* -Ун »
■■■■■■; '' (8)
у __—Уг_. 2ц— —Уи
1 ~ Уо'.Уо*—У1 • Уп П~УоЛ.Уо'-У1 Ли V -
Так как в такой цепи составляющая нулевого порядка приложенного напряжения не оказывает влияния на проходящие токи, а составляющая 10 равна нулюк то составляющие проводимости У0; Уц У*г; Ун и Ун должны быть равны нулю'. Составляющие сопротивлений будут иметься все, за исключением 20, которая обращается в бесконечность. При этом 2*7 и 2'п не йграют никакой роли, а 2^ и 29п участвуют лишь в определении составляющей и0 для ^агрузки по последнему из уравнений (5).
Нахождение распределения токов и напряжений
Для нахождения распределения токов и напряжений в заданной цепи может быть намечен следующий путь.
1. Все элементы отдельных участков цепи должны быть выражены в составляющих сопротивлений ич проводимостей.
2. При последовательном соединении нескольких участков цепи соответствующие составляющие сопротивлений суммируются, что может быть выражено условно как ^ 1
2к — 2*\ 23 -}- . .. . . . = 2 2а. ■ . ■ .
3.'При наличии разветвлений, суммируются соответствующие состав ляющие проводимостей ветвей
Ук = -)-Уз -]-—^ ^ п •
4. Путем постепенного перехода от сопротивлений к провадимостям и обратно- Находятся значения составляющих общего сопротивления и общей проводимости цепи для места приложения известного напряжения (или э.д.с.) или же для места прохождения известного тока,
5. По найденным значениям и известному напряжению находятся составляющие общего тока- данной части цепи
6. Обратным путем находятся составляющие- напряжений и токов в различных местах цепи, используя имевшиеся ранее составляющие сопротивлений и прородимостей этих частей цепи
ир = 1Р.гр; = Цд.Уд
и так далее.
7. По найденным составляющим токов и напряжений определяются токи и напряжения в фазах и мощности для отдельных участков цепи для всей цепи в целом.
Определение составляющих сопротивлений
В цепи без нулевого провода для производства расчетов необходимо иметь значейия только четырех составляющих сопротивлений Zo^ Zii.fi Найти эти составляющие можно из рассмотрения обычных уравнений падения напряжения.
Для статической цепи, приведенной на схеме * рис. 1, для каждой из фаз можно написать выражения для цадения напряжения
Ua = la • (г, + j.LÄ. <о) + lb Г j .Mab . Ic. j, Mac - »J
. Ub=Ib. (гь + }. Lb. o>) -f- Ia. j. Mab • -j- Ic - j • Mbc .
Uc=Ic- (rc+j.Lc-0>) + Ia.j.Mac.<»>4-Ib.i-Mbc.ö>. Рис.1
Вводя обозначения для сопротивлений^фаз > v . •
2а = Га + ]\Ьа-.'Ш; Zb = Гь + j .Ц.<*>; 'Zc — Гс + j . Lc.ö> и для импеданцев взаимных индуктивностей
j.Mbc.<ü = HA; j. Мас.о> = Нв; j.Mab.<»> = Hc
(обозначения через Н введены для удобства, так. как обычные обозначения их через х или Z требуют введения двойных индексов), получаем
: . N Ua ==ia-Za-f-Ib-Hc + Ic-Нв;
Ub = lb. He + lb. Zb -4~IC-Ha; Uc — la - Hß-}~ lb • Нд H~ Ic - Zc -
Определяя составляющие напряжений и помня, что 10 равно нулю, находим "
Za -f1 Zb Н" Zc На Hb HG
3 3
Ui = Ii ; # in.
Za + a2.Zb-ha:zc- 2 HA + a2 < Hb + aHG
ж
г - ъг* у <
'~ 7 1 ». .
и' Г V
> , * \
Д) ' • >
г о
11ц — Ь -
2, +а.2ь +а2.2,- , 0 Нл + а-Нв + аУ Нс"] , 3 ^ • . 3 +
+ 1п .
и* = 11.
+ 1н .
ъ^Хъ+г, нл 4- нв+нс. У
з . ; .3. : .1' ■
2а + а2.2ьЧ-а.2с НАН-а2.НвЧ-а.Нс , -■'. '•■ з . : з У ■ ^ :
г, 4- а. 2Ь+ ¿2 ■ 2с Нд + а. Нв + аг. Нс 1
3 ~ 3 Г 1
Сравнивая эти выражения с (5), находим составляющие сопротивлений
2а 2$
2\ — 21 о
3
На -+- Нв + Не ■
■■ ' з * ;
?1_ 2аЧ-а.2ь-Н22с | 2 НЛ + а.Нв + а2.Нс
.<■ *
7 _2, + а2.2ь + а.2с , 0 На-4-а2.Нв + а.Не ¿11----- - _ ¡-¿' ^-;----—;
.3. . 3
2,' = 2а-4-а-.2ь-+"а2.2с НА + а.Нв + а2.Нс
О)
2ц
; .з, ■■ . з
2, +а2.2ь-Ь-а.2с _ НА + а2.НвЧ-а.Нс '
. 3 V , 3 ■"■■:.:■.•..
В общем случае при прохождении токов нулевой последовательности этд выражения усложняются из-за введения взаимных индуктивностей между фазами и нулевым проводом и цз-за сопротивления последнего.-Составляющие проводимостей обычно приходится определять через эти доставляющие Сопротивлений по уравнениям (7), но в некоторых случаях их приходится искать непосредственно по параметрам цепи, так как составляющие сопротивлений обращаются в бесконечность. Такой случай будет,; например; при включении сопротивления между , двумя фазами, т. .е. при отключений третьей фазы.. Если положить Еъ = со, то уравнения дают неопределенность, раскрывая которую; находим
1
Zz— 2Нв
Так Как в этом случае сопротивления ^ и оказываются включен* ными последовательно, то их можно рассматривать как одно
-у
* А. .
V
•ч 1
IV 1 ф
»"« к Ц »
»' V
1 м ,
■ .¿Га-^.2Гс 2Нв= ¿В, - -
что дает для составляющих проводимости выражение
У0' — Уо" = — = У1
.'■'■■ ■ 2В •.
а.Ув; Уи = —а2.Ув.
(9а>
Г Л «г
* Ч 1 ' (
При отключении фазы С, т. е. при включении сопротивления между фазами а и Ь, в выражениях (9а) множители а и а2 меняются местами» а лрк отключении фазы а, т. е. при включении сопротивления между фазами Ь ц с, множители а и ;а* заменяются на единнцы.
' . . - \ ■"
' >
i
где
При вк^1к)чении сопротивлений треугольником таковой следует предварительно заменить на'эквивале^ную звезду, а затем уже находигь составляющие сопротивлений по уравнениям (9). Для вращающихся машин {обычно с^сиадметричнымн фазами) сопротивления Z0' и ¿/ це будут равны друг другу и определяются обычными приёмами, излагаемыми в курсах электрических машин.
Уравнения (9) не могут быть использованы для определения составляющих сопротивлений для вцепей с распределенными параметрами; так тк при этом нет возможности найти отдельно индуктивности и взаимо-нндуктивности каждой из фаз. В этом случае определение составляющих можно проводить следующим путем. . 1
При отсутствии токоа нулевой последовательности им:еем падение' напряжения в проводах отдельных фаз
: ; Ua = ,— * '■О'.рХавЛь-гЬ]'-о>-ЬхсЛе);
Ub = — ;~-~.;(j>.Lbc.Ic + j.<oXAB.Ia);-2i
Uc = ----™--fi.®.LcA.Ia47 j.ö>.LcB.Ib),
I • Á '
Lab —-A./.^ln ^ LBC= +
; ' ' . Lac= ^ ./.^n.^ + 0,25 j.
Предполагая наличие составляющих тока только, прямой последовательности
Ib = a2.Ia; Ic = a.Ia и разлагая падения напряжения на составляющие, имеем
, ■ >1 - • ' ' ' ' .и • .. .и,= ^—.j.®.(fcjtft + LAC + I-Bc).Ii;
6
и(1 == . j. <ü(a2. Lab + а. LAC + LBG) . Ii .
Добавляя активные сопротивления' проводов, пчолучаем значения со-" ставляющих сопротивлений'
= —(Га + Гь + Гс) ■ , i'.-ш.(Lab + Lac + Lbc); о Ь
; - N Zi = (ra а .Гь -f- а2. гс) — —i— j. ш .(a2 ¿Lab ~Ь á *LAc Lbc). .
-'Подобным^ же'-. путем, .принимая в фазах только составляющие токов, обратной последовательности
; Ib = a.Ia ; 1с =Га3.
полу чаем, значения, для ^составляющих
' "Z0'== -^-(Га + ГьН-гс) -Ь ]'".».(Lab+L«: + LBC);
.3 о
Zti — —Wr, 4-
■■'■■■• ■ 3 : 3 ■
• . !
Таким образом, вместо уравнений (9) имеем для определения составляющих сопротивлений выражения А
з
+ + Ы ^Авувс + 0,25 V
2 . . я; Л ' К . /
= -1- (г, + а.гъ + а2гс)- ^ |а» Лп +
+ . ' "" (10) ■г'а=——.(г« + а».ть+а.гс)'--— о-®. —.1 ( аЛп
} з з о> \ и '
♦ ■ »
-|-а2Лп—Ас- 4-1п—вс V
Г • И .. ^ ) Преобразования цепей без нулевого провода
• •
Как было указано вйше, при решении, различных вопросов приходится .объединять последовательные участки цепи, находить эквивалентные * ■ значения для параллельных участкор и т. д., что обычно преследует цель привести данную схему к более простому виду, ^ тогда уже найти для нее значения токов в отдельных ее частях. Обратным пересчетом этих значений находится распределение токов и в основной сложной цепи.
Подобное же положение будет иметь место и тогда, когда потребуется ¿акие-либо свойства простых цепей распространить на сложны? цепи. Так,, например, круговую диаграмму для простой цепи (для четырехполюсника) можно распространить на любую трехфазную цепь, сохранив все ее свойства.
При решении-такого рода вопросов приходится иметь дело с преоб* разованием цепей в общем виде, что значительно упрощается при введении одного .общего обозначения дл^всех составляющих сопротивлений или проводимостей. Таким обозначением может служить матричная форма по типу уравнений
и! 1 Г Ъм - ' Ь "
и». . •
или в общем виде * /
■ и = гл. : . .
Для цепей без'нулевого провода, не имеющих путей для прохождения токов нулевой Последовательности, вместо матричной формы можно йля совместного выражения составляющих сопротивлений или проводимостей предложить более простую форму, очень удобную при различных пре-о0разованйях. По своему строению эта форма представляет трехчленные гиперкомплексные числа с комплексными элементами. Рассмотрение свойств этих трехчленных выражений и их использования для трехфазных цепей и является основной задачей данной работы.
Трехчлены сопротивлений и проводимостей
В трёхфазной цепи без нулевого прохода при отсутствии составляющих токов Нулевой последовательности, из всех составляющих сопротивлений . имеют значение только четыре: Ъ\ и 2\и Так как для стационар-
ных цепей, не имеющих вращающихся частей (машин), составляющие 2/ и ¿0" равны друг другу, то, обозначая их без верхних индексов, до-лучаем только три различных величины* 20, 2х и 2и.
Эти три значения, определяющие общее сопротивление 2 цепи и ее несимметрию, могут быть представлены в виде трехчлена
4 > г^го+а.^+р.гц, (и>
где а и ¡3 являются условными множителями, определяющими порядок этих составляющих. Эти множители вместе с единицей первого члена представляют как бы единичные векторы, определяющие все сопротивление как вектор некоторого* трехмерного пространства.
Для той же цепи будут иметься только четыре составляющих проводимости Y'$ Уо", Y^ - и'Ун, из которых две первых обычно'равны друг другу. Обозначая их без верхних индексов, можем написать проводимость в виде
У = У0 + а. У1 + Р. Ун. (12>
Так как эти составляющие проводимостей - относятся к той же части цепи, что и составляющие сопротивления уравнения (11), то между нимй должны существовать соотношения по уравнениям (7)
20 ,, — 2х _хг —-Ъ\\
¥0 = У, - „ Г „ ;Уп=
2о2~2х .Ъ\\ —Ъ\Х\\ 2^—Ъ\Ъ\\
или по уравнениям (8)
/
¿о =-—-\Ъх— ~Уг ";гп=—~ЧхХ (14)
Уо2—У1.Уи ~У0*-У1.Уп / У^™У1.Уи
Подставляя выражения (13) в выражение (12), получаем
У_ —<*. Z^—$.2хх
Х^—гЪх .2ц
(15)
Числитель представляет трехчлен сопротивления; имеющий у второго и третьего члена знаки, измененные на обратные. Назовем такой трехчлен сопряженным и введем для него обозначение
2=20—*.2х—$.2хх. (16)
Если принять, что
у =2-!=—
■V
то выражение (15) получает вид
А
>1 1
— 11.2хх' л
102—1\ • 2хх — 2.2.
Таким образом, выражение, стоящее в знаменателе (13) и (15), пред? ставляет величину произведения двух сопряжённых, трехчленов. Введем для него обозначение в прямых скобках
[2] = 2.2—2* — 2х,2и\ (17)
Аналогияныё ¡выражения можно получить и для проводимостей. '
г ~ ■ ' . ■ 27;
Если в это выражение (17) подставить значения трехчленов <П) и (16) произвести их алгебраическое перемнажение, то получаем
= — 2.а.р.1х.2п — а2;¿V— р2•
Это равенство удовлетворяется в том случае, если коэфициентам* и р. (т. е. единичным векторам) приписать свойства *)
2.а.р=1; а2 = 0; ¡32 = 0. • (18)
Ниже будет показано, что в большинстве Случаев не приходится прибегать к данным соотношениям, так какцни входят автоматически вместе''с соотношениями типа произведений .(17).
1 Основное применение сопряженных трехчленов ¡вытекает из уравнения (15), которое может.быть представлено в виде
' ■ ■ л ■ ;
У = " - (19)
■ .; и ■. ;
Рто выражение служит для перехода от сопротивлений к проводимостям.
Для обратного перехода имеем аналогичное выражение ■;.р..; - ■ , . ; • (2°»
Легко видеть, что также имеются следующие соотношения:
• [У]—1; У = —^—, ; (21)
Щ [У]
Основные соотношения для трехчленов .
Для удобства; дальнейших преобразований введем следующие обозна: «?ения :' *' ■■■■' '*.
■ ' . • . ■■ ■ : А . А- А
+ ' (22) 1 (гАЛв+гв,гА (23)
- —2~ ' ' \
Последнее выражение, после подстановки трехчленов и их перемножения с- принятием во внимание соотношений (1^), дает
. ' [2]АВ ~ ¿ОА-Ъоъ—! ..- {7*\К'Ъщ Яна;.ЯШ),. (24)
а уравнение (22) после открытия скобок и группировки члЗнов дает 1ЩА+В+С+..~ Щк^Щъ + [2]с+. V. . 1+2ЙАВ4-2[£]АС + 2\7\вс+... • (25)
Если имеются только два трехчлена как сумма или разность, то это шыра&ение получает вид '
. • , . - [2]А±В=ЙАН- [2]в + 2[2]ав. .,;■"
>) Эта. коэфицненты является единичными векторами некоторого трехмерного пространства, которому приписывается особое свойство, определяемое данным соотношением. Так как эти свойства могут быть выбраны произвольно» сообразуясь с требованиями дай-яого случая, то иного вывода указанных соотношений не может быть и все остальное долж-«о/ вытекать из эгого начального условия.
Я8 . ■.■;■. ■ , ■ ■ ■
Кроме того, легко убедиться в существовании соотношений
[ZJAOH-Q = [Z]«, + Нас; [Z] АА = [Z]A. ' * (27>
Такие же точно соотношения получаются и для проводимостей* V Для перехода от сопротивлений к проводимостям и обратно, кроме основного^уравнения (21)t которое может быть написано как
/ [ZJA.[Y]a-1, (28)
можно получить ещё следующие: .
А Л А* . А
[71 ■ 'ZA?ZB-ЬZb.ZA _ Za-Zb-j-ZB* ZA _ ' '
\JAB 2^ 2[Z]a.iy]a;[z]B.[yjb ~ ,
A' . .A ^ . m
= YA'YBH-YB.YA _ [Y]
2[YA].[Y]3 . [YJa.^YJb'
или ' , ■ .
Подобным жё путе^
•' в
. [Y]A.[Y]B
[Y]A+B . rvi (ZJA+B
или
гу]. (30>
Эти основные соотцошечия позволяют производить? в уравнениях ^ре-образования, как ато будет указано ниже.
Эквивалентные цели
Простершим использованием трехчленов 'будет нахождение выражений для сопротивления двух параллельных ветвей при условии отсутствия путей Для составляющих тока нулевой, последовательности» Если одна из^ ветвей имеет сопротивление " Г •
а 'вторая •" '' *
то их проводимости' определяются как
-Г '/А ' ■ ; Л . : • " ■
[2]А V (Zk '
Общая проводимость обеих ветвей будет равна сумме
' ~1 - • , ' 4 ' ' ^ а общее сопротивление будет равно '
' . ■ А--' Л ' ■ ■ ■
V ,УА+Ув [У]А+В' "Используя соотношения (21) и (30), имеем
2а г 2В ' *
; 7 = "12]7- Ив .^а.Ив.Иа,__
• • [2]А+В [2]А+В + Ъъ
Это же соотношение можно получить и иным путем. Известно; Что эквивалентное сопротивление двух параллельных ветвей может быть выражено как *
^а + ^В' ;
Умножая и числитель и знаменатель на сопряженный трехчлен знаменателя, получаем непосредственно
2 = гА. 2В Л+гв) - = гв. и А+гА. и в , ■ (гд+гв).(2+гв) / [21д+в
Таким образом, для двух параллельных ветвей 4
2А + 2В . ИА+В
Если расшифровать это уравнение, то для составляющей Zo будем иметь выражение
... -у— ■ —-------;—--п---->
(^ОА + ^ОВ)2—(¿1А + - (-211А +
волучить котороеубез помощи трехчленов было бы значительно труднее. Подобные же выражения получаются и для остальных составляющих.
В случае последовательного включения двух участков цели, имеющих ироводимости УА И УВ, подобное,же уравнение будет давать общую про-, водимость всей цепи*
у— уа.[У]в + ув»ГУ]А /32)
- [У]А+В
Предположим теперь, что три ветви, имеющие сопротивления 2а> и Zc, образуют треугольник (рис, 2а), который желательно превратить » эквивалентную схему, соединенную звездой (рис. 2Ь). Необходимость в
таком преобразовании легко может .\Л° встретиться при решении вопросов, \ ^ связанных со1 сложной формой Цепи.
¿ и ^2 При отсутствии путей для токов
нулевой последовательности можем написать в общем виде .
7 Zъ^.Zc
-Рис-2 - •
-с круговой заменой индексов >длн других ветвей звезды. Умножая и числитель и знаменатель на сопряженный трехчлен знаменателя, получаем
' ИЛИ
А
^¿A.ZB.ZC + Zc.[Z]b+ZB.[0]C
[Z]a-{-b+c
i V v 5
• ■ ■ . " - - ' -.А- . . ' r/v
Остается преобразовать член Za.Zb.Zc, приведя его к такому виду, чтобы исключить произведение трехчленов. Для этого прибавляем и вы* читаем одинаковые члены,, представляя их в виде *
А
■ ZA
/ 1 А у А V
. 2в. Zc = [ —. ZA' Zв. Zc -{-. — .2А.2В 2с 1 +
/1 А- 1 . А \ / 1 А 1 г А \
. ЯА-^в^С 1 + 1Zв.Zc——ZA.ZB.ZC 1.
Объединяя первый член с третьим, второй с пятым и четвертый с шестым, получаем ,
А А А А А. ' . 4 А
й ~ 7 Za.ZC4-ZA.ZC I 7 ^А^ВЧ^А. 2в ^ ZB.Zc-f-ZB.Zc
¿А • ¿В • ¿С === ¿В •----* -"Г ¿С . ----—-—--¿А • —-~--,
к- / А ' 4Ь 2
" i. Ч / о"
- *
Л
или, согласно (2$),
' * Д ^ ' »
2д;2в . 2с —2в. [2]ас + 2с. [2]ав — 2д. [2]вс , что дает для; искомого сопротивлеяия окончательное выражение 2, 2В. (Ис + [2]ас) + 2с .([2]в -Н2]АВ) - 2Л. Иве * '
ЙА+В+С
(33)
(34)
, ^ % \
I v
v J
\
Путем круговой замены индексов получаем выражения, для сопротивлений 2ь и2С остальных двух ветвей. ., г, * Выясним теперь вопрос об общем случае выражения типа . V
г" * Zm ". ^(Д/(
' '^к у ' , И ,
44 Умножая и числитель и знаменатель на сопряженный трехчлен знаме-
нателя, поручаем
2 =
\ л
Zk. 2m. 2ц
А
, 2к .2к
v ^Wj
* 1,
%
Т&и как числитель сходен с уравнением (33), то окончательное дыра-рт* : жение будет иметь вид - ^ -
2_1 2m. [Z]nk + Zn. [Zlink ^ Zk . [Z]mn
(35)
k
, Л
Если в этом уравнении заменить ш на А, п на В и. к на А + В + С, тр получив уравнение (34). . • '
Уравнение (35) позволяет решить вопрос и об обратном переходе от звезды к треугольнику. В простых цепях для этой цели#служит уравйение -
Za. .
Zb + Za • Zc 4- Zb. Zc. 7 ^ I 7 | Zb. Z<
—_-±——---— — Lb-YL с ——
31
¡¡&ЩШ
4
Ay. /vi «iiüi
1Ч'
рщяствёьж ■ _ • . . , • (. , м
' ' ; гА = г.+
] .»,4
«л
14.
>
I I
лркведя к общему знаменателю,
7 _ ,(И, + [2]« ) + 2с .([2], + [г]аь) - 2, [2]ьс
И, .
•'л Л
г '^Ч/
•ь
е. уравнение того же +ипа, как и (34).
»Л
С
(
<1
и это уравнение выразить в проводимостях, поменяв местами не й малые индексы, , '"г?
(37*
у - Ув • ((У) А+т'лс) Ус. ду]л+т Да) - Уд:[У]ЕС
1{оно будет служить для перехода от, треугольника к звезде. Если > - 4 вамгену произвести в уравнении (34) 1
*
^ г ^Т А \
Уь.([У]с+тас) + Ус,((У]ь+[У]аь)-Уа.[У]ьс
. < ' [У]а+Ь+* , Ч ,
и
подоим выражение, служащее для перехода от звезды к треуголь- п
17 Тл- / .....1 '! • ,, - : ■ .. ■ V.' х- '. К. : -.г •I . : - .
I*
т,
Ч , у
Л
^ли для какой-либо части цепи имеется в каждой фазе П- или Т-.обг ЦОД Шиа замещения, то их можро рассматривать как треугольник ¡¡у ?(рис. За и Щ. При этоад в первой из них точки д и р (нейтраль^ составляющих прямой» и обратной последовательностей будут одвотл'ч/Й ейциала, т, .е. и* можно считать ¿а одну. Из этого следует, что ¡¿г***"
перевода ,от окной схемы к другой мЬгут бы к использованы уравнения добнуе' же соотношения моту^^з^М^^ и длй другие случаев^
■ " ' ........"! 1 у
! :
I* К V .
М--«
г ^
^ ч ** »И
•г-;; !
Рис, 3
и?
Выражений дл^ тока, цтрпщш^ ц м пш^
В некоторых,; елучт оЫё^еНя
введение
мостей. Та;< как при «этот1
вой, пос^д^вательйсг^^' % к в расчетах й^; твукй*, то выражения получаюх'форму ч т , ^ ^
* , ч ' -ч» ^ 1 I ^ К "-7, ( V Л4 " / ' ' . < СЛ
• . 4. И , г ' Л*. ^ ' ' ^ '
ЧН < | ^
Г'л»- .! и Ьрн пёремйожбниях^до уравненйям зацона Ома
У
У V
V
мо^т' быть" цроизё^дено обычный алгебраическим пугй^ н^^ •Шы,м ректорам а ' и. р при. этс>м следует приписать иные'" %былй с^еланр выще лри'действиях только, с сопрот^в^шЬ^ ^ ' йтостямц.!Веедя-соотношения д х , - - ^
получаем
a.Ui+p.Uii=(Z0 + a.ZI + p.Zii)X(a'Ii + P.br) = a.(II.Z0 + Iii .Zn) +
+ p.(Ii.Zi + In.Z0); * ,
a.Ii + p.Iii = (Y0 + a.Yi + p.Yu)XCa.Ui + p.Uii) = a.(Ui .Y0 + Un .Yn) +
+ p.(Ui.Yi + Un. Y0),
что полностью соответствует соотношениям (3) и (4).
Для того чтобы свойства коэфициентов аир при этих двух случаях перемножений не путались, в последних уравнениях введен перекрестный знак умножения вместо точки, хотя и без этого ошибиться почти невозможно.
Точечное и перекрестное умножение в этих двух случаях соответствует двум различным видам умножений в векторной алгебре, в методе комплексных векторов и в применениях тензорного анализа. Во всех этих случаях единичным векторам приписываются два различных типа свойств при различных операциях с ними.
Если умножить выражение тока на выражение сопряженных напряжений
(a,Ii-[-Р. 1и)X(а• Ui-f- р.Un),
то, приняв во внимание соотношения (40), получаем
(a.Ii -bp.In)X(a-U +р . Un)=p.Ui • Ii + a.Un. In.
Если в этом выражении отбросить коэфициенты последовательности, не играющие никакой роли для мощности, то получим мощность одной фазы. Таким образом, при
U = a.Ui-f p.Uii; I = a.Ii + p.In
значение мощности находится непосредственно из
P = 3.(IXU) (41)
с отбрасыванием коэфициентов последо-\ вательности в окончательном результате.
ПРИМЕР 1. Дана трехфазная цепь по схеме рисунка 4. Сопротивления отдельных фаз равны:
1) треугольник—Ъм = ZBi = Zci = 12 — j .a ш9
2) звезда—Za2 = 6 + j. 0 2; Zb2 — Zc2 = 3 -f j. 6 2 и, кроме того, индуктивная связь между фазами b и с
Нд2 = — j. 3 2;
3) последовательная часть (провода) — 1аг = Zb3 = Zc3 = 2 + j. 1 2.
Напряжения сети симметричны по 220 вольт в фазе, т. е. линейные по 380 вольт. Найти распределение токов.
Решение. Для треугольника сопротивления эквивалентной звезды будут равны
Zal = Zbl = ZC1 = — 4 ■— j. 3 Q,
3* Изв. ТПИ, т. 63
что дает для составляющих сопротивлений значения
Z'ox = Z"oi — 4 — j .3 ß; Z,, =Z,i, =0 или в форме трехчлена
Z1 = (4-j.3)+(a + ß).0. Для звезды составляющие сопротивлений будут равны
Z'o2 = Z"o2 = 4 4" j • 5 Q; Zi, = Zns = l — j.4Q
или в форме трехчлена
Z2 = (4 + j.5)+(« + ß).0-j.4). В последовательной части цепи составляющие будут
Z'o3 = Zr оз = 2 + j • 1 2i3 = Zii3 = 0 или в форме трехчлена
Z.=(2+U) + (a+ß).0. Соответствующие трехчлены проводимостей будут
Л
Y1=-|- = (0,16 + j.O,lJO + (« + P).0!
L Jl
Л
Y2 = -Д*- =(0,1128 — j. 0,0693; + (а + ß). (0,0795 + j. 0,0308); [Z]2
л
Y3 - -ff- = (0,40 - j. 0,20) + (« + ß). 0. IZJ3
Найдем проводимость разветвления
Y4 = Y14-Y2 = (0,2728 + j. 0,0507) + (а + ß). (0,0795 + j. 0,0308). По уравнениям (17) находим значения }
[Y]3 = 0,120 -j.0,160; [Y]4 =0,0665 +j. 0,0228; [Y]3+,= 0,4250 + j. 0,2059, что дает по уравнению (32) общую проводимость цепи
у = . = (о, 1758 — j. 0,0130) + (« + ß). (0,0359—j. 0.038),
[Y]3-f4
то есть
Y'o — Y"0 — 0,1758 — j. 0,0130; Yi = Yn = 0,0359 —j. 0,038. Так как напряжение имеет только составляющую прямой последовательности, то
U = M220 + j.0) + ß.0,
а токи, поступающие из сети, будут равны
г= IJ X Y = а. (38,68 — j. 2,86) + ß.(7,90 — j. 8,36). Подобным же путем найдутся напряжение в месте разветвления и токи в звезде и треугольнике.
Полученное выражение двухчлена токов дает возможность легк» определить токи в фазах
1а = (38,68 — j 2,86) Н (7,90 — j 8,36) = 46,58 — j 11,22 А; |ь = а2 (38,68 —j 2,86) +а. (7,80 — j 8,36) = — 18,54 — j 21,05 А; Ic = а. (38,68 — j 2,86) -+- аз. (7,90 — j 8,36) = — 28,04 + j 32,27 А. Мощность, поступающая из сети, находится по уравнению (41)
А
P = 3.(IXU) = 3. (38,68 — j. 2,86). 220 = 25500 — j .1900 W.
Матричная форма выражений
Приведенные выше трехчленные формы выражений для составляющих сопротивлений и проводимостей могут быть использованы только для статических цепей, так как в этом случае обе составляющие нулевого порядка одинаковы и могут быть заменены одной. При их отличии можно использовать матричную форму выражений, упоминавшуюся выше. Для сопротивлений и проводимостей получаются квадратные матрицы
Ъ
а для токов и напряжений
1 =
Г 7' • ^ 0> 1и ■ ■Г0; V"
г\ . .У.; У"о
Г" 1
"о .Г
прямоугольные
■ 1Г ; и = иг
.1.1. .ин.
(42)
(43)
Для данной формы матриц соотношения между токами и напряжениями типа закона Ома следует записывать в виде
\J-ZA; 1 = У.и, (44)
причем эти произведения не коммутативны и сомножители не могут меняться местами. Производя все действия по правилам матричной алгебры, можно получить соотношения, аналогичные приведенным выше для трехчленов.
В качестве примера найдем сопротивление двух параллельных ветвей, которое может быть записано в виде
г = (г-1 + 1ьх У1 - (УА+Ув)-1 .
Так как
—
— 2цд
2'оа _|
ув = г-
г
ов, Ъ\в\
-г г
ОВ J .
где Оа и Ов являются определителями, составленными по матрицам
2'ОА; 2ца ; Ов = Ъ\\ъ
Ъ\к\ 21\к 2*ов
то общее сопротивление будет равно
* (У0а + У'ов);
(У]а + Уш);
(Уна + Упв) (У'оа + У'ов)
У*0А Уов; УпА + Уив У\А -[- У] в! У'оА + У'ов Подставляя значения для проводимостей, имеем
'Z'oA 1 Z'oB ZиA | Оа ZIIЗ Ов
, г1К г*0в
ЬБА + Е>а + Ов
Z/ftA . г'ов Еив
Оа 1 Ов ' Оа 1 Ов
Е\А , У"
1 Ов ' 0А
О-1.
а
^ОА; 2ца
1 в
г'
ов; гт
г,в; Ъ'*ь
о-1, о-1
а й
2'ОА + 2'ов; ZIA -}- ;
2 оа 4"
или
„ Db.ZA4-DA.ZB /лс\
2=-бц;-■ (45)
что полностью сходится с выражением (31) для трехчленов. Подобные же сходства будут иметь место и при других преобразованиях.
Если из выражения (45) определить значение составляющих нулевого порядка
ОВ.2'ОА-)-ОА^гов . -7" ОВ^ОА-Ь
г/ __* Ц А | Л' " ЦР . уП _
О---- У О —
ОВ
Од+в Оа+в
то легко видеть, что их можно получить и из трехчленного выражения, находя составляющую
■7 _ [2]в^0А+ ИА^0В
/С о —----—
ч ИА+В
и беря в одном случае значения Т^к и 2'0в, а во втором случае—2"0А и Z'roв, считая при этом
= В = (46)
Так как все преобразования для трехчленов проще чем для матриц, то удобнее и в случае нестатических цепей все преобразования и выводы производить в форме трехчленов, принимая во внимание соотношения тида (46) и подставляя различные значения и 2\ только при яа-хождении соответствующих составляющих. При этом выражения типа [Ъ]р& принимают вид
Р71 2'0А.2Г0В-^оА^'оВ ZIA.^HB "Ь гпд.гш
Иав =----■-■—----, (47)
все же остальное не изменяется.
Матричная форма выражений может быть распространена и на цепи с нулевыми составляющими токов,; т. е. на случаи, когда приходится учитывать все три составляющих сопротивлений и нроводимостей.
Многополюсники
Широко известными являются четырехполюсники, которые играют очень большую роль при исследовании однофазных цепей. Эти четырехполюсники обладают свойством, дающим возможность любой ток и напряжение разлагать на две части, соответствующие режиму холостого хода и режиму короткого замыкания данной цепи, что позволяет упрощать 1 решение различных вопросов, связанных с этой цепью.
В трехфазных цепях четырехполюсники используются обычно лишь на одну фазу симметричной цепи, хотя их свойства могут быть распространены и на любую несимметричную многофазную цепь. Конечно, при этом число зажимов увеличивается, и для трехфазной цепи без нулевого провода достигает шести, а с нулевым проводом семи или восьми. При отсутствии нулевого провода для использования свойств получающихся шестиполюсников очень удобно применение трехчленов.
Предположим, что имеется участок трехфазной цепи, у которого три зажима являются входными^ а три других—выходными. Первые из них через какую-то цепь соединены с генератором, а ко вторым приключается нагрузка или дальнейшая часть цепи. Напряжение и ток нагрузочного конца обозначим через и2 и 12у причем будем помнить, что они представляют собою двухчленные выражения типа (39). Соответственно для генераторных зажимов введем обозначения \]г и 11в
Пусть данный участок цепи приведен к Т-образной форме схемы замещения фазы, представленной на рисунке 5.
Последовательные сопротивления соответственно равны
= 201 + а. Zn + р. )
= 202 —|— сс - —|— Р - (48)
а проводимость ка нейтраль
Уп^Уоп+а.Уш + р.Упп. (49)
Поступая как для обычных комплексов при рассмотрении четырехполюсников, найдем для шестиполюсника напряжение В ТОЧКе Ш 'ала г- ч а Л Л £
г
г.
■у>
П,
Рис. 5
ит = и2 + 12.22, ток в ответвлении
1п ~ ига. — из. Уп Ь • 23. У|
общий ток, поступающий *из сети
Ъ = Ь+1„ = иа. Уп + Ь. (г,. уп +1) и напряжение сети
и^иш + ь.г^из^^.Уп+^+ь.сгь^.Уп + ^ + гг).
Последние два выражения показывают, что в шестиполюснике, как и в четырехполюснике, между токами и напряжениями имеются связи в виде уравнений
и, = А.и2 + В.1а;
1% = с.и* + ил2.
(50)
Для рассматриваемой Т-образной схемы замещения коэфициенты А, В, С и О (постоянные шестиполюсника) равны
(51)
А=(21.Уп + 1); В = (2,.2Я.УП + +
С = Уп; 0 = (22.У„+1).
Для других схем эти коэфициенты будут соответственно иными [например, выражения (86)].
Уравнения (50) являются основными соотношениями для шестиполюсника, причем входящие в них члены могут быть выражены не только в трехчленной форме, но и в виде матриц. В последнем случае их можно распространить и на цепи с нулевым проводом, т. е. на семи- и восьмиполюсники.
В некоторых случаях уравнения (50) оказывается удобным объединять в одно матричное выражение вида
■иг
.11.
12] ■[
ц
Ь J
(52)
независимо от того, выражены ли их члены в форме трехчленов или также в форме матриц.
Так как уравнения (50) и (52) ничем не отличаются от соответствующих уравнений четырехполюсника, то все свойства последних могут быть целиком перенесены на коэфициенты шестиполюсника. Так, обяза4 тельно должно существовать соотношение
А.О-В.С = 1
или
А; В С; О
= 1.
(53) 17
Если шестиполюсник симметричен в отношении входных и выходных зажимов, то коэфидиенты А и О должны быть одинаковы. Это хорошо видно из выражений (51), а также из обратного соотношения
г О; — В — С; А
ГШ Г А;В]-' ГиЛ L
[I2J-.C;DJ • L I, J — ~
А; В C;D
■и, Ii
гиг
Л -
что даст для обратного включения шестиполюсника (т. е. для переста новки Ui и ü2)
гил Г D;B" ги21
U. . С; А Л.
Чтобы при таком обратном включении остались прежние соотношения, необходимо соблюдение условия А =
Уравнения (50) показывают, что для режима холостого хода (12 ==0) получаем соотношения
и!ХХ = А.и2; 11хх^С.и2, (54)
а для режима короткого замыкания (и2 = 0),
^лл^л-
МЛЛЛ-
а и
^АЛ^Л-
^ЛЛАЛ-
Uik3 = B.I2;Iik3 = D.I2 (55)
или при нормальной работе с нагрузкой
Ui = üixx + Uik3; Ij = Iixx -+- Ькз. (56)
Эти соотношения дают возможность находить распределение тока при нагрузке как результат наложения режима Рис. 6 короткого замыкания на режим холо-
стого хода.
Выясним изменение коэфициентов А, В, С и D при переключении фаз несимметричной цепи. Предположим, что даны значения для одного какого-то включения зажимов шестиполюсника, а затем заменим их в круговом порядке, как это изображено на рисунках 6а и 6Ь. При первом включении трехчлен сопротивления будет
п Zm + Zn + Zk Zm4-a.Zn + a2.Zk , Z(a) = —т-+ а.-+
Zm +a2.Zn + a.Zk
a при втором включении
Zm + Zn -f" Zk
Z(b) =
а.
a.Zm + a2.Zn + Zk
3 ' 3
pa2.Zm + a.Zn + Zk
Таким образом, если при начальном включении было
И(а) = 20 —а. —]— р - Ъ\\%
то после переключения на одну фазу в порядке прямого следования будем иметь
2(Ь)^-г0 + а.а.г, + р.а2.2,1, (57)
а при переключении еще на одну фазу
= + +
Соответственно будут изменяться и составляющие для проводимостей. Если теперь обратиться к выражениям (51), то легко заметить, что такая же закономерность будет иметься и для коэфициентов шестипо-люсника. Если, например, при ка^ом-то включении имелось значение
В(а) = В0 -р а, В1 -}- ¡3. Ви,
то при переключении зажимов на одну фазу в прямом порядке будем иметь
В(Ь) = Во + а. а . В1 + р. а2. Ви, (58)
а при переключении на две фазы
В(с, = Во + а.а2-В1 + р.а.Вп.
Если в данной части цепи имеются только последовательно включенные сопротивления, т. е. отсутствуют „проводимости между фазами, то в уравнениях шестиполюсника следует положить У = 0, что дает для коэфициентов значения
а = ъ = \; ъ = гх + г% — г\ с
причем
и^из + В.Ь; Ь = 12-
Наоборот, если шестиполюсник состоит только из проводимостей между фазами, то, полагая 2 — 0, получаем
о,
(59)
причем
А = О = 1; В = 0; С = У, и^и,; ¡^С.иг + Ь.
(60)
о— иафм
4 и О— / т. г:
д» -о-
2.
Рис. 7
Последовательное включение шестиполюсников
При последовательном включении двух шестиполюсников (рис. 7) имеем для каждого из них соотношения
[А2;В21
1ш]
ГАиВ,] гит]
• Л.
Подставляя первое из них во второе, получаем
и,
II
откуда
А; В С; О
А,;В2 С2;0,.
АьВ! С,;0,
ги2
ь
А2; В2
С2; В2
(61)
(62)
Производя умножение матриц, находим
А = А1.Аа + В1.Са; В = А^ + В^О,; С = А2.С1 + В1.С2; .Г^С^Вг+О,.!^.
Если каждый из шестиполюсников был симметричным по отношению своих зажимов (т. е. и А2 = 02), но сами шестиполюсники не бы-
ли одинаковыми, то из-за неравенства В1.С2 Ф В2.С! получившийся общий шестиполюсник уже не будет иметь симметрии (так как при этом АфО).
При большем числе шестиполюсников, соединенных последовательно, соответственно имеем
Г А;ВТ Г Al5Bi 1 [C;Dj-L C.jD! J
г A2;B2 I C2;D2
Г A„;B„ L C„;D„ j
причем, если все шестиполюсники одинаковы, получаем
А; С:
; В "I_Г А,; В, 1
;D J-[ Сь Di
(63)
(64)
где п их число. В этом случае удобно переходить к гиперболическим функциям, как это сделано ниже при рассмотрении длинных линий.
При устройстве линий передач для получения симметрии фаз применяется транспозиция проводов с таким расчетом, чтобы треть всей длины несимметрия была в одной фазе, вторую треть—в другой и третью треть—в последней фазе. Полагая каждый участок как шестиполюсник, имеем в простейшем случае три участка
A,;B, ' " A2;B2 "
C,;D, ; _ C2;D2 • >
з;В3 1
3;D3
причем из-за перемены фаз местами между коэфициентами их будут иметься соотношения типа (58). Если найти произведение этих трех матриц, т. е. определить значение коэфициентов для общего шестиполюс-ника всей линии
[ А; В п |_ С;0 ] *
то можно убедиться, что эти коэфициенты все-таки будут иметь члены с множителями а и р, т. е. фазы общего шестиполюсника не будут иметь полной симметрии. Для получения полной симметрии средний шестиполюсник должен несколько отличаться от крайних, но остающаяся несимметрия обычно очень невелика и ею можно свободно пренебрегать.
Ввиду сложности вывода в общем виде таковой здесь не приводится, убедиться же в этом легко на любом частном числовом примере.
При отсутствии проводимостей между фазами коэфициенты А и О превращаются в единицы (если это не трансформаторы), а С—в нули [уравн. (59)], и соотношение (63) дает
[cio]
Р 1;В1 + В2 + В3....+ Вп L 0 1
то-есть
или
В = В1 + В2 + В3 + .-..+ Вп = 21.Вн
Z = Z1 + Z2 + Zi + ....+ Zn=^ZB, как при простом последовательном соединении.
Параллельное включение шестиполюсников
В некоторых случаях может встретиться необходимость заменить два параллельных шестиполюсника одним, т. е. найти общий эквивалентный шестиполюсник (например, при параллельной работе трансформаторов). Для таких шестиполюсников общими будут напряжения Uj и U2, а токи будут суммироваться
Ix = Ilm -j- Iini h = hm + hm-
По уравнениям (50) для каждого из них
^ = Аш. иа + Вш Лзт; ^ = Ап. и2 + Вп. 12„. 11« = Сш.иа + ОтЛаш; Ь — С„.и2Оп.12„. Исключая из каждой пары уравнений токи 12 ш и 12и» находим
т Ош.и,—и2 .т Рп-Ц1 — и2
11т =-------, 1щ= ----. (ЬЬ)
Ьт Оп
Общий ток, равный их сумме, будет
т т . I - От.и,-и. ( Бп.и, —и,
11 — М т + *1П — — + ---,
От Оо
или, после приведения к общему знаменателю,
Рт.Вп + Оп.В
Вт -f- Вп I, =-------
Ui-Us
Ь>П1 • '->¡1
Вш + Ви'
Сравнивая с выражением (66), видим, что для общего шестиполюсника должны иметься соотношения
щ_ Вш. Вп в ^_От • Вп Оп . Вт (67)
Вт + В п От + ВП
Определяя из первых уравнений (65) значения 12ш и 12ц
. _ и, — Аш.и2 _ и,—А„.и
*2П1 --• Ion ----
и суммируя их, находим
Ui -
Вт + В
h — Ьт -f- I2n —---—-
;IIB = (68)
JJ _Ara ^ Вп -(- Ап. Вт ^
(69)
Вт - Вп Вт -¡-Вп
откуда получаем для общего шестиполюсника
Вп +
Вт Вп
Наконец, для коэфициента С значение может быть найдено из соотношения (53)
С — А-0 — 1 __ А.Р _1_
~~ В " = В В ' которое после подстановки из (67) и (69) дает Вп + С
п • В т ^ Ат • Рп
+ А
Вт + Вп ^ Вт + В п
Все эти выражения могут быть легко вычислены при помощи трехчленов. Так, например, уравнение (67) дает для В выражение
2_ Вщ.Вп _[В]т. Вп [В]п. Вт * ^^
в„ + вП [В] т+в
При отсутствии приводимостей между фазами коэфициенты А и D обращаются в единицы (если это не трансформаторы), а С—в нуль, и уравнение (71) полностью совпадает с уравнением (31) для двух параллельных участков трехфазной цепи.
Трансформаторы
Всякий трансформатор для трехфазной цепи без нулевых проводов представляет шестилолюсник, причем в большинстве случаев последний будет симметричным (для приведенных обмоток) и с симметричными фазами.
Так как для такого трансформатора будут иметься составляющие сопротивлений и проводимостей только нулевого порядка Z'0T —Z"0T к Y' = Y"Q, то схема замещения, соответствующая рисунку 5, будет иметь
Z\ Z2 . Z от J Yn —■ "V о.
2
По уравнениям (51) коэфициенты такого шестиполюсника равны
A = D = y- Z'or.Y'o+1;
в = 1 -. (Z'ox)2. Y'o -f Z'ox ; С = Y'o • (72) 4
Если для упрощения вместо Т-образной схемы взять Г-образную, то полагая Z'==0 и Z2 = Z'0T, найдем
A=l; B = Z'OT; C = Y'0; D = Z'0T. Y'0 + 1 ^ 1. (73)
Эти значения дают более простые соотношения, получающаяся же при этом погрешность очень мала и ею можно свободно пренебрегать. В большинстве случаев можно вообще пренебрегать намагничивающими токами, т. е. полагать Y'0 равными нулю, что дает значения А и D равными единице, а С—равным нулю.
При этом всегда следует учитывать возможный поворот вторичных векторов по отношению к первичным, происходящий в связи с типом соединения обмоток и разметкой зажимов. Для соединений первой группы (звезда—звезда или треугольник—треугольник) поворота или не будет совсем, или же он будет на 180°, В последнем случае все коэфициенты шестиполюсника следует взять с обратными знаками, т. е. умножить их на—1.
Для второй группы соединений (звезда—треугольник или звезда—зигзаг) при разметке зажимов по противолежащей фазе получается поворот векторов на 90° в ту или иную сторону, что вызывает необходимость в умножении всех коэфициентов шестиполюсника на -f~j или — j. Если при этом еще изменить разметку зажимов, то приходится добавочно вводить множители поворота на 120°, т. е. значения а или а2.
Для этой группы трансформаторов все сопротивления вторичной цепи (нагрузки) следует брать с изменением несимметрии напротивополож-у ю, т. е. вместо трехчленов* сопротивлений или проводимостей брать сопряженные с ними трехчлены.
Если трансформатор имеет несимметричные фазы, что может быть при схеме открытого треугольника, неодинаковости магнитных цепей, неправильного соединения обмоток и т. д., то сопротивления Zx и Z2 и прово^ димость Yn будут иметь форму трехчленов. Так, при схеме открытого
треугольника с общей точкой в фазе „а* эти трехчлены для Т-образной схемы замещения будут
Ъ'=Ъг = ±-. 2кз-(ое +Р)Лгкз; У„ = 2+ + (74)
3 6 2
где Ъкз — сопротивление при коротком замыкании одной фазы трансформатора, а Ухх — проводимость одной фазы при холостом ходе.
Коэфициенты шестиполк^сника могут быть найдены и без приведения обмоток трансформатора к одному напряжению, а с непосредственным учетом коэфициента трансформации. В этом случае вторичные на-
пряжения должны быть увеличены в п =_раз, а вторичные токи
уменьшены во столько же раз против приведенных значений. Следовательно, новые коэфициенты будут иметь значения
А' = А.—; В' = В.п; С' = С.—; 0' = 0.п (75)
п п
с учетом соединения обмоток так, как это указано выше.
При параллельном соединении двух трансформаторов с различными коэфициентами трансформации между ними будут протекать уравнительные токи, которые при несимметрии фаз также будут "несимметричными. Определение этих токов показано на следующем примере.
ПРИМЕР 2. Два трансформатора включены на параллельную работу. Один из них имеет симметричное соединение звезда—звезда с коэфициен-том трансформации 10 и сопротивлением короткого замыкания фазы 5 ом, а второй соединен по схеме открытого треугольника с общей вершиной в фазе „а", коэфициентом трансформации 8 и сопротивлением короткого замыкания 18 ом. Трансформаторы повышающие, первичное линейное напряжение 220 вольт. Найти тйки в обмотках и вторичное напряжение при холостом ходе и определись коэфициенты гпестиполюсника общего соединения. Намагничивающими токами и активными сопротивлениями обмоток пренебречь.
Решение. В соответствии с соотношениями (73) и (75) для первого трансформатора получаем
А'« = 0,1; В'ш = ].50; С'т = 0; 0'„ = Ю,
а для второго по тем же соотношениям и по (74)
А'п = 0,125; В'п = ]\48 — (а + р)]\3; С'п = 0; &а = 8.
Уравнения (67) и (69) дают три коэфициента общего шестиполюсника
А' = 0,113 + (а + р).0,С004; В' = ].24,42(а + $).}.0,78;
С = 8,97- (а + р).0,031.
Четвертый коэфициент определяем или по (70) или же по соотношению (53). Беря последнее, имеем
С' = — 1 = —]'.0,000511—(а + р)о >0,0000157,
В
т. е. отличное от нуля значение, несмотря на то, что С'га и С'п равны нулю. Из уравнений (54) находим для холостого хода вторичное напряжение
02 — -1- —а. 1127 —р.3,9 А'
и общий ток холостого хода
, 11хх = С.иа = — «.]'.0,575 — р.].0,0157.
Таким образом, при холостом ходе вторичное фазовое напряжение будет иметь составляющую прямой последовательности 1127 вольт, что соответствует общему коэфициенту трансформации
1127 0 0к
п =-=8,85.
127
Найти токи отдельно для каждого из трансформаторов можно по уравнениям (50). Для первого из них имеем
12т = —= — а. ]'. 0,286-р. ]•. 0,0078.
В щ
Так как нагрузки нет, то
12П = - 12ш = а. ]. 0,286 + р. ]. 0,0078.
Для первичной цепи по уравнениям (50) получаем
11ш = — ао-2,860 — р.]. 0,0780 11П = а. ]. 2,296 4" Р • ]" • 0,0624, что соответствует значениям мощности
Рш= —¡.бЗОУА; Рп = ]*.505УА.
Таким образом, первый трансформатор забирает из сети реактивную мощность, а второй часть ее возвращает обратно в сеть.
Цепи с равномерно распределенными параметрами
Определим значения постоянных шестиплюсника для длинной линии с несимметричными фазами. Типичными представителями такой линии являются система два провода—земля или система с заземленной фазой.
Определив трехчлен сопротивления на единицу длины линии по уравнениям (10) и проводимость между фазами, тоже в форме трехчлена, можем написать выражения для изменения напряжения и тока вдоль линии, считая расстояния от нагрузочного конца
<Ш=1.г.<1/; <П = и.У<1/.
Из этих соотношений йаходим
=1.2; — = и.У, (76)
«1/ (1/
или, диференцируя и исключая ток или напряжение,
= — = (77)
(I/2 а/2
Так как Ъ и У относятся к различным элементам цепи, то их произведение конечно не равно единице.
Известно, что решение подобного типа уравнений будет иметь вид
и = М.СЬт/ + Р.5Ьт/.
Диференцируя дважды, получаем
с1/2
у
Подставляя эти выражения в уравнение (77), получаем
(М.СЬТ/ + Р.БЬ-гО-Т8 = (М.СЬт/4-Р.5Ь?/).2.У
или
(т2 — г.У) = 0. (78)
Так как значение ? не должно включать коэфициентьг последовательности, а произведение 2.У их имеето, пределение значений может быть проведено путем введения единичной матрицы
1;0 0;1
Если значения 2 и У взять также в форме матриц, то определитель от матрицы
|Т2.Е—2 /У|=0
будет являться характеристическим уравнением. Подставляя значения, имеем #
(та—. у0 — ¿и. У!); (- г0 уп+^. у0) (_ . у0 . ук); (т2 - . Уо+ гг. уп) откуда
В этом выражении [г]* и [У] — обычные произведения сопряженных трехчленов, а [2У] представляет подобное им выражение
- г0. Уо + ~. (^. у„+:ъ). (те>
Решая полученное биквадратное уравнение относительно 42, находим
Т2 = [¿У] ± - (80)
Таким образом, уравнение будет иметь четыре корня, попарно отличающиеся только знаками
ь
= ±У [24] — у[гур —"[¿].[у"Г •
Полное решение диференциального уравнения (77) для напряжения получает вид
^ = М. СЬ т, /,+ N. СЬ ъ I + Р. БЬ ь / + О. БЬ /. (82)
Для тока подобное же уравнение получаем, используя соотношение (76)
1 = М.^-.8ЬЪ/ + Ы. БЬта^ + Р- (83)
^ о Л
Для определения постоянных имеем пограничное условие для напряжения и тока нагрузки. Полагая / = 0, получаем
—.
и2 = М + М; 12 = у(Р.Т1+0-Т2)- (84)
Таким образом, оказываются определенными лишь суммы постоянных попарно, а не каждая из них отдельно.
Возьмем от уравнений (82) и (83) вторые производные и подставим их в уравнение (77). Тогда
и= у- + 7*0;
* I
I
1
z у . ^ М. ^ БЬт^ + М. ^ +
+ СЬТ1* + <3. ^ СЬТз/], 42сли теперь вновь взять пограничные условия, то
и = М.ч^ + К.ъ2 . ! = _1_ . Р-Т»3 + д-Т23 . Я.У ' 1 z' Z.Y
(84а)
Совместное решение уравнений (84) и (84а) дает значение всех четы
рех постоянных *
N = и-11
2
К
Б ' Т
а--р. —
R И
2
д = А
2 ъ
Т1
(> +
5 . в Т
а.--к В. —
И к
1 — а. Х\
и я/
(»5)
где
Таким образом, коэфициенты шестиполюсника будут равны
А = Б = — . [(СЬт^ + СЬ^О + а — — СЬТ2/) + 2 1' И
(сьТ1/—сьТа/)
К
В —
71
72
(1
Б \ 7 Т2
(86)
С-=
2.г '
К
I
К
Эти выражения являются точным решением вопроса о шестиполюсни-ке, заменяющем линию с несимметричными фазами. При симметрии фаз, т. е. при 21=2н = 0 и У| = Уп = 0, все выражения упрощаются и приобретают обычную форму
Т1 = Т2 —У^ГУв =т; А = О = СЬ 7 /; В = 2С ■ ЭЬ 7 /; С = СИ ^ /, (87)
¿-С
где
т -V т0
представляет волновое сопротивление линии.
В то время как в симметричной линии имеется одна система падающей и отраженной волны, имеющей коэфициент распространения ? и волновое сопротивление Zc, в пинии с несимметричными фазами будут иметься две системы волн с коэфициентами распространения 71 и и
X 2
волновыми сопротивлениями -----и ZC2 —-----, причем последний бу-
Ъ Тз
дут иметь форму трехчленов, т. е. будут содействовать появлению несимметрии в токах и напряжениях.
Круговые диаграммы для шестиполюсника несимметричной
трехфазной цепи
Круговые диаграммы являются прекрасным графическим средством исследования переменного режима работы электрической цепи и широко известны для однофазных и симметричных трехфазных цепей. При очень простом способе построения и достаточной точности результата они дают возможность легко и наглядно определять величину и сдвиги любых токов и напряжений рассматриваемой цепи, значения мощностей и ряд других величин.
Применение этих диаграмм для исследования трехфазных цепей с несимметричными фазами хотя и известно, но встречается очень редко и только как отдельные частные случаи. Введение трехчленов позволяет дать общий путь построения таких диаграмм, что сильно расширяет воз* можность использования таковых. Ниже приводится общая теория круговых диаграмм для цепей с несимметричными фазами и дается путь их построения.
Нахождение на диаграмме отрезков, соответствующих различным токам цепи, напряжениям, мощностям и т. д., и определение их масштабов рассмотрено в другой работе автора и здесь не приводится *).
Для вывода основного соотношения воспользуемся методом, обычно используемым для четырехполюсников, но проведем его в соответствии с шестиполюсником в форме трехчленов. Из основных соотношений шестиполюсника (50) исключаем напряжение и2 путем подстановки сопротивления нагрузки
Я„= ^ , (88)
»2
что дает два новых уравнения
и1 = (А^и-Ь В).1г; 1, = (С.гн + 0).12. (89)
Деля их одно на другое, исключаем и ток 12
1Л _ А.г„ + в
I, - С^н + Э ' что дает для тока Ь выражение
1,^1],. С'2" + Р (90)
!) Р. А. Воронов. Круговые диаграммы. Известия ТИИ. Том 59. 1941 г., г. Томск.
являющееся .основным для построения диаграммы. При постоянстве сетевого напряжения ток I! является функцией одного сопротивления нагрузки При соблюдении определенных условий конец вектора тока II будет для каждой из фаз описывать окружность, которая и явится искомой диаграммой.
При холостом ходе для 2и = оо ток будет равен
1ш = и,.~9 (91)
А
а при коротком замыкании для Zн = 0
I -и 0
Чкз — . -.
В
Преобразуя уравнение (90), получаем
11 = и,.-?-+и. 1
А' " А.В (1 + ^-) -^н
Так как при этом
I _т -и ° и С _п А.р-В.с ±_
11И ^-и,.---и1Х - и,. ——— _и4. д в,
то это уравнение можно написать в виде
11 = 1ихЧ-—02)
1+ - - .г* в
хорошо известном для диаграмм шестиполюсника.
Для получения круговой диаграммы шестиполюсника необходимо ввести условие, что сопротивление нагрузки Zн при своих изменениях сохраняет характер своей несимметрии и постоянство угла сдвига фаз. Это может быть выражено как
Zн = z.e№\ (к0 + вк1 + ркп ) -г.е^.к, (93)
где г — изменяющаяся величина сопротивления (вещественное число, имеющее размерность сопротивления), срн — угол создаваемого сдвига фаз, а к0, кг и кн — постоянные отвлеченные коэфициенты, определяющие несимметрию нагрузки по фазам. При этом уравнение (92) получает вид
I, = 11ХХ + Ькз-1^ = + (11кз __ р (94)
1+А .ке^.г в
Как известно из теории круговых диаграмм для четырехполюсников, ^окружность получается лишь в том случае, когда в знаменателе переменная величина г входит только в первой степени. Так как уравнение (94) включает в знаменателе коэфициенты последовательности а и р, то для определения действительной степени ъ необходимо избавиться от таковых и привести уравнение к форме с разделенными последовательностями.
Преобразуем выражение множителя Р
В
Б =
1 А Zo.cs
1 + —.к.е .г — +к.е .2 г3 + к.е л 1 В А
в
где Z0ю = —будет соответствовать сопротивлению обратного корот-А
кого замыкания. Преобразуя дальше, имеем
А 1Фн
г. \Z\ok3 + ■ к . е .з
Р =--—--1-. (95)
И ОКЗ + [к]. е г2 2 [1о?окз]. е г
Из этого выражения легко видеть, что для того чтобы в знаменателе сопротивление г входило только в первой степени, необходимо соблюдение единственного условия для несимметрии нагрузки:
[к] = к0® — к!.кп = 0. (96)
Это условие определяет характер нагрузки, причем могут иметься только три случая
а) к0 = 1; Ь — 1 ; ки = 1 ,
в) к0 = 1 ; кг == а ; кн = а2,
с) к0 = 1; кг-=а2; ки —а.
Первый из них соответствует постоянному соединению фаз „Ъм и „с" и включению переменного сопротивления в фазу „а". Второй случай соответствует подобному же включению сопротивления в фазу „Ьи, а третий включению в фазу „с" при постоянном соединении двух остальных фаз. При других соотношениях между множителями к0, Ь й ки получаются условия, невыполнимые на практике.
Если нагрузку выражать через проводимость
Ун = у.е .(<Зо~Ьа ■ С?1~|-р.<Зп) — у . .<3, то уравнение (94) получает вид
-|<рн
, , (1,к.-1,х,).у.е .<э ,, , (97)
1 — 1цх Н--;-----— 11хх ~Г икз — 11Хх)-?>
У.е + ¥
причем
<р= У •е о ^ [д].у'.е К +-уе -д-Уокз ) (98)
у.е->?\д + Л [0] еН?н + 2[д¥ОКз].у.е^'н+токз
О
А
где Уокз — —представляет проводимость для обратного короткого замы-В
кания. Это выражение показывает, что для получения круговой диаграммы должно соблюдаться условие несимметрии нагрузки
[<Э] = <Э2о —(21.<?н = о.
Так же как и выше, возможно существование только трех случаев
a) (5о=1; 01= —1 ; 011 = -! ;
b) <30=1; 01 = — а ; <511 = — а2;
c) <3# = 1 ; <21 = — а2; <Эп = — а.
4* Изв. ТПИ, т. 63
Первый из них соответствует включению переменного сопротивления между фазами „Ь" и "с" с оставлением фазы „а" разомкнутой, второй—такому же включению сопротивления между фазами а и с, и третий —между фазами „а" и „Ь% при разомкнутой третьей фазе.
Таким образом, круговая диаграмма при несимметрии фаз шестипо-^ЮСника возможна лишь при наличии только одного меняющегося со*, противления. Как известно, при симметрии фаз возможно еще одно условие одновременного ^изменения трех одинаковых сопротивлений, включенных симметрично во все три фазы (т. 'е. сохранение полной симметрии цепи).
Построение круговых диаграмм шестиполюсников
: Для построения круговой диаграммы можно воспользоваться обычным приемом, используемым при четырехполюсниках. Для величины, для которой требуется построить круговую диаграм-/ ^—V му," берут значения векторов холостого хода
и короткого замыкания и строят дугу окруж-\р ности на их разности, определив предвари-
Ау—1----—^„^о тельно угол межау касательной и хордой.
• "УЭтот последний угол 8 (рис. 8), опреде-
' О^У^ * ляется как аргумент второго члена знамена-
Рис 8 теля уравнения (95) и будет одинаков для
всех составляющих любых токов и напряжений данной цепи. После исключения ъ2 получаем
л
V — [£]ок» + ¿окз. К .е-1' _
, [Z]oh3 -f- 2. [kZok3] .eJ'-H.z J | 2
[2]окз
Если принять « 1 „ . „ .
K0.Z0OK3---(KI./•Нокз p KiiZ- 1окз)
ф - arg -¡^'1 = arg -.Г Zt z--' <"»)
[Z] 0K3 ^o окз— t-Л OK3 . ¿Покз
то искомый угол будет равен
8 = ф + 9н. (101)
Этот угол при положительном значении будет откладываться в точке холостого хода по часовой стрелке, а в точке короткого замыкания — против часовой стрелки.
В полученном выражении для F числитель имеет дополнительный
А
член —.z, который при холостом ходе, т.е. при z=oo, дает
[20кз]
значение для F, отличное от нуля
А
К. Zqh3
2.[кг0кз]
а, следовательно, изменяет и величину тока холостого хода в уравнении (94)
А
К/^. окз
V ГXX = I 1хх + (I ГК»-1 1хх) 11ХХ + (11кз—11хх). —" •
/. [К^#кз]
Это отличие получается потому, что для значений 11хх взято идеальное условие холостого хода, когда разомкнуты все фазы нагрузки, значение же 2—оэ соответствует размыканию одной фазы при замыкании двух других. При построении круговой диаграммы нужно брать вектор действительного холостого хода, а не вектор для идеального случая, т. е. представлять уравнение (94) в виде
1х = I' 1хх "1" О 1кЗ - I' 1хх). -г~у-т *
1+2 1 ^ ,е.г
Йокз
Ток короткого замыкания в данном случае не отличается от тока при идеальном замыкании всех фаз.
Если обратиться к нагрузке, выраженной в проводимостях по уравнениям (97) и (98), то все соотношения остаются теми же, но вместо члена 20кз войдет Уокз, а вместо к войдет О- Кроме того, в данном случае отличие между действительным и идеальным случаем будет иметься при коротком замыкании, так как часть фаз остается при этом незамкнутой. Уравнения получают вид
— 11хх (I 1кз 11хх). - 9
причем искомый угол определится как
8 = Ф1 + ?н,
ЮУ,
[Уокз]
где
ф! =—а^
окз
м
окз
Как указано выше, величина 20кз соответствует сопротивлению цепи при идеальном обратном коротком замыкании, т. е. когда напряжение подводится со стороны нагрузочного конца, а генераторные зажимы полностью замкнуты. Если цепь симметрична, т. е. если для шестиполюс-ника имеется равенство А = то значения будут одинаковы с прямым коротким замыканием всех трех фаз. То же относится, конечно, и к проводимости ¥0КЗ обратного короткого замыкания.
Заключение
Рассмотренный выше метод использования трехчленных выражений дает возможность значительно упростить все выводы соотношений и расчеты в трехфазных цепях, не имеющих путей для составляющих токов нулевой последовательности. При их помощи удалось получить простые способы использования свойств шестиполюсников и их круговых диаграмм, свести к общему случаю вопросы о несимметричной загрузке трехфазных трансформаторов и дать соотношения для точного расчета линий передач с несимметричными фазами.
Все полученые выводы могут быть полностью распространены и на щ общий случай трехфазных цепей, имеющх нулевой провод или замыка-' ющихся в кольцо, т, е. могущих проводить и токи нулевой последовательности. В этом случае приходится переходить на матричные обозначения, хотя для большинства цепей удается частично использовать и трехчленные выражения путем применения приемов, аналогичных методу То-венена-Гельмгольца (холостой ход и короткое замыкание). За недостатком места эти вопросы не могут быть рассмотрены в настоящей статье и будут опубликованы в дальнейшем отдельно.
