CC BY
28
ИЗВЕСТИЯ ,
ТОМСКОГО ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО Том 63 ИНСТИТУТА имени С. М. КИРОВА 1941
КОМПЕНСАЦИЯ НЕСИММЕТРИИ ФАЗ ТРЕХФАЗНОЙ ЦЕПИ
ВОРОНОВ Р. А.
г
профессор, доктор технических наук
В ряде случаев отдельные фазы трехфазной црпи работают в неодинаковых условиях, в связи с чем получается несимметрия в токах и напряжениях, которая в некоторых случаях может достигать значительных размеров, превосходящих допускаемые правилами технической эксплоатации. Для компенсации этой несимметрии можно производить включение дополнительных сопротивлений как последовательно в отдельные фазы, так и между этими фазами.
В настоящей статье рассмотрен общий случай компенсации такой несимметрии фаз для трехфазных цепей без нулевого провода, т. е. для тех случаев, когда основная цепь может рассматриваться как шестиполюсник, и для нее можно в полной мере использовать свойства трехчленных выражений
Точное решение данного вопроса во многих случаях оказывается невозможным, а определение элементов одного общего дополнительного шестиполюсника, служащего для такой полной компенсации, очень затруднительно. В связи с этим удобнее и проще производить расчет компенсации не сразу для всегс элементов цепи, а по частям, так, как это указывается ниже.
Шестиполюсник основной цепи характеризуется коэфициентами А, В, С и Э матрицы
-иг "А; В" "IV
. I). .С; . и.
могущими быть представленными в форме трехчленов
А = А0 + аА1 + р Ан;
В = В0+аВ1 +р Вп; (1)
С = С0 + аС1 + Р Си;
О=О0 + аО1 + рОи.
Общая цепь после проведения компенсации также характеризуется подобными коэфициентами, и задачей компенсации является уничтожение у последних членов с множителями а и р, т. е. составляющих, вызывающих несимметрию фаз. Чем меньше буду,т эти коэфициенты, тем полнее и лучше'
*) Р. А. Воронов. Трехчленные выражения в применении к расчету и исследованию несимметричных трехфазных цепей.
будет компенсация. При наличии только одних составляющих нулевого порядка А0, В0, С0 и Е)0, компенсация будет полная и общая цепь будет эквивалентна цепи с симметричными фазами.
Включение дополнительных сопротивлений (шестиполюсников) может производиться или в генераторный конец цепи, или в нагрузочный, а при желании сохранить также и симметрию схемы замещения фазы (т. е. при сохранении равенства А = 0) включение должно производиться одновременно в оба конца. Параллелыюе включение основного и дополнительного компенсационного шестиполюсников также возможно в некоторых случаях, но практически не имеет применения из-за получающихся при этом увеличений токов и мощностей.
Предположим, что дополнительный компенсационный шестиполюсник включается в генераторный конец цепи и представляет последовательные сопротивления в фазах без междуфазовых проводимостей. Тогда для него матрица будет иметь форму
1; К
где
\ /
0;и'
К = К0 + «.К1 + р.Кп
имеет размерность сопротивления, Матрица для всей цепи будет равна произведению
1; К" 'А; ВТ А + К.С; В + К.Б
.С; о] С ; Б
Из этого выражения видим, что коэфициенты С и В при таком включении остаются без изменения, а компенсация может быть проведена лишь для коэфициентов А и В. Так как от них зависят напряжения, то, следовательно, компенсация будет проходить только для таковых, а не для токов.
Для таковой компенсации необходимо подобрать величину К так, чтобы в выражениях (А + К.С) и (В + К.О) исчезли члены с а и р. После подстановки трехчленных выражений это условие приводится к соотношениям
в.(А1+Ко.С1 +К|.С0) = 0; р.(Ац-[- Ко-Сп4~ Кп.С0) — 0; .а.(В1+Ко-01+К1.0о) = 0;
МВп + Ко • Он + Кп. О0) = 0.
Из этих соотношений находим
(3)
А1 + К1 • Со _ Ап + Кп.Со _ В, + К. . Э0 _ Вн + Кн.Оо
Си
Ъг
Он
= — К0.
(4)
Беря совместно первый и третий члены, а затем второй и четвертый получаем выражения для определения величины составляющих К1 и Кн-
А^^ — В^С, Сг. Эп— . Сп
Кп =
Ah.Dii — Вн. Си Сп.О0 —Би.Со
(5)
Если теперь подставить эти значения в уравнение (4), то получим два выражения для определения Ко»
Ко =
В1. С0—А1. Р0 С1 . Б0— .(С0'
Ко-
Вн. Со — Ан.Эо Си. —Бн.Со
(6) 53
В общем случае эти два выражения дают различные результаты, что указывает на невозможность совместного решения четырех уравнений (3), имеюших только три неизвестных. При этом, следовательно, не может быть подобрана величина К так* чтобы одновременно полиостью компенсировалась несимметрия в обоих членах А и В. Как будет показано ниже, это обычно невозможно и по другим причинам.
Несимметрия в коэфициентах А и б в большинстве случаев очень невелика и в первом приближении можно полагать для них составляющие Ах, Ап, и Он равными нулю. Тогда уравнения (5) и (6) упрощаются до
IГ V В" и В1 Со и Ви Со
К1 =--— ; Кн =--—- ; Ко--—-.-—-, Ко=—-—. (7)
Ов О0 Сг О0 Си и0
Из основного свойства коэфициентов шестиполюсников
"А • ГП
' = А.О — В.С — 1 С; Э]
^едуют в общем случае соотношения
А0 • Э0 + — (А1 . Он + Аи. 01) = 1 + Во. С0 + — (Вх. Си -Ь Ви. С1); 2 2
Ах. . А0= В1 . С0 + С1. В0;
Ан. Эо Он. Ао = Вп . Со + Си. В0,
которые для указанных выше допущений упрощаются до
В1. С0 + С[. В0 — 0;
Ви . Со + Сн.Во = 0.
Так как коэфициенты С0 и В0 обязательно должны иметь положительные вещественные части комплексов, то эти равенства могут удовлетворяться лишь при условии наличия разных знаков для В1 и О и, соответственно, Вн и Си. При этом комплекс для Ко в большинстве случаев будет имегь отрицательную вещественную часть (т. е. отрицательное активное сопротивление), а, следовательно, не сможет быть подобран в натуре. Приходится выбирать его с наименьшим возможным положительным значением, что не дает возможности получить полную компенсацию.
Даже и в тех случаях, когда эти значения могут быть осуществлены в натуре, бывает удобным отказаться от них и выбрать возможно меньшую величину, чтобы не увеличивать чрезмерно общее сопротивление цепи.
Предположим, что имеется шестиполюсник с матрицей из коэфициентов
Г 1,099; 10 + (а + р)Л
|0,01— (а + Р).0,001; 1
Так как в этом случае полностью подходят уравнения (7)» то и производим по ним определение величины К:
К1 = Кн = —1; Ко = - Ю,
или в форме трехчлена
К = —10 —(« + р).1.
Если это активные сопротивления, то подобрать их невозможно. Если это чистые реактивные сопротивления (в этом случае все члены следует умножить на ] = ~[/~— 1)» то можно осуществить схему, комбинируя индуктивности и емкости. Выбирая для К0 минимальное положительное значение, получим компенсацию для коэфициента В, но при этом появится
новая несимметрия в коэфициенте А. Так, возможно включить в фазы Ь и с последовательно сопротивления по 3 ома, что дает для К значение ч
• К = 2-(а+.р).1. Произведя умножение матриц, получаем
- (8)
1; 2-(« + [3).1 .0; 1
"1,120 —(а + Р).0,012; 12' _0,01 — (а + р). 0,001; 1.
1,099; Ю + О.+ РМ 0,01— (а + р). 0,001; 1
Появление несимметрии в коэфициенте А не имеет значений, так как оно может быть исправлено при дальнейшей компенсации.
Для компенсации несимметрии в токах можно включить дополнительный шестиполюсник, состоящий из одних междуфазовых проводимостей. Матрица для такого шестиполюсника будет лиметь форму
1; о
_М; 1
О)
причем компенсация будет происходить для коэфициентов С и О. Так же как и в предыдущем случае, найдем выражения
Аг. — 8[. Сг .ж Аи. Оп - Вп. Си
Мг =
Ми
В1 . Ао —Аг . В0 ' Вн.А0 — Ан.Во
Для М0 будем иметь также два выражения
Сл . Во — 01 . Ар . ^ _ Си. В0 — Он. А0
В1.А0 — А1. В0 ' ° Вн.А0 —Ан.Во
М,
(10)
(Н)
которые могут дать 'различные значения из-за несовместимости решения четырех уравнений. При небольших значениях несимметрии в коэфидиен-тах А и Ь можно с достаточной точностью принять
Мп
С.1
-; м0
с>
Во .
; м0
Си
в,
(12)
А0 А0 В1 А0 Вн А0
При включении шестиполюсника (9) в нагрузочный конец линии будем иметь для всей цепи матрицу
А + М.В; В " С + М.Б; В
т. е. в этом случае будет происходить компенсация для коэфициентов А и С. При этом получаем
А ; В ~ "1; о-
С; В} М; 1.
.. А1.0,— В,. С1
Мг =--;
В1 . О0- . В0
С1 . В0 — А1.
В1. Бо— ^ . В0 или, при упрощении,
Ми
М,
;дп.Ри —Вп.Сн Ви.О0 —Он. В0 Сп.Во — Ан.Оо
Ви. В» — Он. В,
Мг =----— ; Мп =
Эо
Си О0
м,
с.
Во
В)
э,
м =
Си Вп
Во
О»
(13) 04)
(15)
Этот случай интересен тем, что им в соединении с первым случаем компенсации можно получить полную компенсацию цепи. Продолжая приведенный выше числовой пример, находим для этого включения по
уравнениям (15) значения М1==Мц = 0,001; Это может быть осуществлено включением двух проводимостей Ув — Ус — 0,001 между фазами а и Ь и между а и с. При этом получаем
М = 0,002 +(а + Р).0,001, что дает для матрицы всей цепи выражение
0,12 — (а + р).0,012; 12 0,01 — (а + р). 0,001; и
1; 0 0,002+(а + р),0,001; 1.
"1,144; 12 Д012; 1.
Таким образом, компенсация несимметрии напряжений в одном конце цепи и компенсация несимметрии токов в другом конце дают возможность получить полную компенсацию для всей цепи в целом.
Если, наконец, включить шестиполюсник с матрицей (2) в нагрузочный конец цепи, то получаем значения
1Г к\. — Вх. Сг тг An.Dii — Вн.Си /1/?ч
--; г\н =---; (Iо)
Сх.Ао —А1.С0 Сп.А0— Аи.Со '
к^Вт^^Р^Ао . к^Вп.Со^О^о.^ (17)
С1 . Ао — Ат . Со Си. А0 — Аи. Со
или в упрощенном виде
и — & . 1С — Вп . К — В1 . и — Вп Со Л ОЧ
К1 =---—, Кн =--7—;Ко ——Г—, Ко — —--.——. (18)
А0 А0 С1 А0 Си А0
Одновременное включение шестиполюсника проводимостей (9) в генераторный конец цепи и шестиполюсника сопротивлений (2) в нагрузочный конец также могут дать полную компенсацию несимметрии фаз.
Для сохранения симметрии в схеме замещения, т, е. для соблюдения равенства А = О, следует проводить одновременную компенсацию с обоих концов основного шестиполюсника. В этом случае вполне допустимо определять значения К1, Ки, М, и Мп по соотношениям (5), (10), (13) и (16) или по их упрощенным выражениям (7), (12), (15) и (18), подбирая К0 и М0 так, чтобы иметь возможно меньшую для них величину, и затем произве-
1 „
сти включение в каждый конец сопротивления, соответствующие — К, и
2
1 дл
проводимости, соответствующие — М.
2
В качестве примера рассмотрим компенсацию несимметрии фаз трехфазной линии с заземленной фазой, используемой одновременно в качестве защитного тросса. Длина линии 200 километров. Передаваемая мощность 68 мегаватт при напряжении 110 киловольт и коэфициенте мощности 0,8, Произведя весь расчет такой линии, получаем для нее при заземлении фазы „а" коэфициенты шестиполюсника
А = Б = (0,968 +}. 0,014) + (а + р). (0,00165—]'. 0,00074);
В = ( 41,6+ Ь93,7)-(а + р).(8,0 + ь18,0);
С = (0,030+ ].0,672).10-3 + (а + р).(0,002 + ]*.0,166)Л0-3.
Эта линия при симметрии напряжений и токов нагрузки будет иметь у генераторного конца при полной нагрузке несимметрию напряжений
^1Ц-Л00 = 8,7% и несимметрию токов.100 = 2,44°/0| которые нахо-
и«, Ь1
дятся еще в пределах допускаемой нормы.
Компенсацию напряжений можно произвести путем включения шестиполюсника (2), для которого
2.0,968
что можно осуществить путем включения в заземленную фазу сопротивления Za — 24,68 + j55,8 ом в любой из концов цепи, или же по Zaf = 12,39 + -+-j27,9 ом в , оба конца. Компенсацию несимметрии токов можно осуществить включением дополнительного шестиполюсника (9), для которого
М, = Ми = = _(,да + j.85,6)Л0-,
2.0,968
что соответствует включению между незаземленными фазами проводимости Ya = (2,06j 171,2). 10—6 сименса в любой из концов линии или, лучше, по YA' = (3,03 + j85,6).10~6 сименса в оба конца. Произведя перемножение всех матриц при любой их комбинации, можно убедиться в том, что члены с коэфициентами а и ß будут очень малы и остающаяся несимметрия в токах и напряжениях будет меньше 0,5°/0.
Если основная цепь не имеет проводимости между фазами, то задача компенсации сильно упрощается, так как коэфициент С основного шестиполюсника обращается в нуль, а коэфициенты А и D (при отсутствии трансформаторов или для приведенных значений)—в единицы. Коэфициент В соответствует при этом сумме всех сопротивлений последовательных элементов цепи. Компенсация несимметрии будет при
Kt = —Bi; Кп = — Вн, (19)
причем включение дополнительного шестиполюсника (2) может быть произведено в любом месте цепи.
В качестве примера возьмем питание трехфазной дуговой цепи, рассмотренное в статье В. И. Воробьева и П. JI. Калантароза „Об уравновешении трехфазной системы токов в печах с несимметричным подводом тока" (Электричество, № 19, 1931).
При расположении подводящих проводов в одной плоскости, индуктивная связь между средней фазой и крайними будет сильнее, чем между двумя крайними фазами. Беря среднюю фазу за начальную (фаза а), имеем
НВ = НС; На < Нв. или Мас = МаЬ; Мьс<Мас,
где Mab, Mac и Mbc—взаимные индуктивности фаз.
Считая все остальные элементы цепи симметричными, получаем
2
Zi — Zu =--(Hb — Нд),
3
что дает и для шестиполюсника значения коэфициентов
2
Bi = Вп = — -— (Нв — На)»
3
Для компенсации этой несимметрии необходимо включить дополнительный шестиполюсник, имеющий по соотношению (19)
К, = Кп = 4- (Нв- НА) = . j.. а>. (Мас - МЬе), о 3
г
что моясет быть осуществлено включением в среднюю фазу реактивной катушки с сопротивлением = и двух активных сопротивлений
Гк в остальные фазы. При этом
К1 = Кн =— ]*.Ьк. 3
откуда
Ьк = 2(Мас — МЬс).
Этого же можно достигнуть включением в крайние фазы двух катушек, имеющих сильную индуктивную связь между собой.
Так как включение катушек в провода низкого напряжения затруднено из-за больших протекающих токов, то чаще их включают в высоковольтную цепь до понизительного трансформатора. Если таковой имеет соединение обмоток по первой группе (звезда—звезда или треугольник—треугольник), то ничего не изменяется и в приведенных значениях; величина кату-_ шек остается та же. Если же трансформатор имеет соединение по второй группе (звезда—треугольник или зигзаг), то при приведении обмоток знак у составляющих сопротивлений Z\ и Zн меняется на обратный, т. е. для этого случая необходимо иметь
К1 = Ки = — ~ (Нв — На) = ——.}.<а (Мае — Мьс). 3 3
Это может быть осуществлено включением в крайние фазы двух катушек Zk —Гк + и активного сопротивления Гк в среднюю фазу, причем, как и в первом случае, Ьк = 2(Мас— Мьс)-
Таким оЬразом, компенсация несимметрии включением катушек в высоковольтную цепь возможна при любом соединении обмоток трансформатора, а не только в нервом случае, как это отмечено в указанной |ыше статье,
/
