Неизвестные ранее закономерности электрических цепей и рекуррентных чисел Фибоначчи Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 621.372

Н. Ф. Семенюта

Белорусский государственный университет транспорта

НЕИЗВЕСТНЫЕ РАНЕЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ И РЕКУРРЕНТНЫХ ЧИСЕЛ ФИБОНАЧЧИ

Рассмотрены связи основного уравнения однородной электрической цепи с цепными матрицами типа Фибоначчи, соотношением Кассини и гиперболическими функциями.

однородные электрические цепи, цепные матрицы, последовательности рекуррентных чисел Фибоначчи, соотношение Кассини.

Введение

В данной работе приведен метод анализа линейных электрических цепей на основе лестничных (рекуррентных) чисел [1]. В порядке совершенствования метода лестничных чисел в настоящей работе рассмотрена связь параметров и основного уравнения передачи четырехполюсников однородных электрических цепей, составляющих основу лестничных электрических цепей, с цепными матрицами [2] соотношением Кассини [3, 4], а также связь чисел Фибоначчи и соотношения Кассини с гиперболическими функциями.

1 Уравнение передачи четырехполюсника

Пассивный четырехполюсник с подключенным генератором Е (источником) и приемником Rк (нагрузкой) электрической энергии (рис. 1) характеризуется уравнениями передачи, которые могут быть выражены через соответствующие коэффициенты (проводимостей, сопротивлений и др.).

R

1

к

Рис. 1. Четырехполюсник с коэффициентами А, В, С и D

52

Простейшими четырехполюсниками являются Т- и Г-образные схемы (рис. 2), на основе которых создаются более сложные Т- и П-образные схемы [2].

Соотношения между величинами напряжения и тока на входе (UB и /н) и выходе (UK и /к) четырехполюсников определяются соответствующими уравнениями

Uн = AUK + BI к I н = CUк + DI к

Входящие в уравнение (1) коэффициенты пропорциональности А, В, С и D можно представить в виде цепочечной матрицы типа А:

A B

C D

определитель которой

А = AD - BC = 1.

(2)

(3)

Определитель (3) является основным уравнением передачи электрических цепей. Обратим внимание на то, что основное уравнение передачи электрической цепи (3) включает три независимых параметра, четвертый параметр определяется по уравнению (3). Определитель всегда равен единице. Это важное свойство, потому что по своей сути определитель (3) как основное уравнение передачи цепи совпадает с соотношением Кассини [4]. Однако до настоящего времени этого никто не отмечал. В то же время определитель (3) является фундаментальным уравнением в теории электрических цепей и изначально связан с анализом и синтезом электрических цепей, в основе которых лежат гиперболические функции [4].

Основное уравнение передачи (3) можно представить также в ином виде:

ch2g - sh2g = 1, (4)

где g - постоянная передачи цепи.

а)

R

R

б)

R

R

___________Т ____I____________

Рис. 2. Структуры четырехполюсников: а - 1-образная; б - Г-образная

53

В общем случае постоянная передачи цепи - комплексное число и определяется выражением:

g = а + jb = 1 Jn UнН/ , (5)

6 7 2 n UK /к v '

где а - постоянная затухания цепи; b - фазовая постоянная; Un и I - напряжение и ток на входе цепи (см. рис. 1 и 2); Uk и 1к - напряжение и ток на выходе цепи, нагруженной на характеристическое сопротивление.

В том случае, когда g - действительное число или, что то же самое,

AD = х2 и ВС = у2,

выражение (4) точно соответствует уравнению равнобокой гиперболы х2 + + у2 = 1. Таким образом, основное уравнение передачи (3) и его коэффициенты А, В, С и D связаны с гиперболическими функциями:

AD = ch2g, BC = sh2,

или

chg = VAD, shg = VBC,

где g - постоянная передачи электрической цепи, которой соответствуют соотношение

g = \n(VAD + 4BC)

(6)

и основное уравнение (4).

2 Токи (напряжения) в ветвях однородных электрических цепей

Простейшие однородные электрические цепи состоят из цепного (каскадного) соединения нескольких А- или Г-образных четырехполюсников (рис. 3, 4).

Для цепи, состоящей из трех четырехполюсников (п = 3) с сопротивлениями R1 = R2 = 1 (см. рис. 3). Токи (напряжения) цепи приведены в табл. 1.

Токи (напряжения) в ветвях цепи, состоящей из трех Г-образных четырехполюсников (см. рис. 4) с сопротивлениями R1 = R2 = 1, приведены в табл. 2.

Токи (напряжения) в однородных электрических цепях определяются отношениями рекуррентной последовательности чисел Фибоначчи [1, 2]:

54

Рис. 3. Простейшая 1-образная электрическая цепь

Рис. 4. Простейшая Г-образная электрическая цепь

ТАБЛИЦА 1. Токи - образной цепи

12 13 14 13 16

f5 F4 F3 F2 Fi

f7 F-j Fj

ТАБЛИЦА 2. Токи Г-образной цепи

I 12 13 14 f5 16

F6 f5 F4 F3 F2 F

F5 f5 F5 F5 F5 F5

55

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...,

(7)

FFFFFFFFFF F F

V 2’ V 4 5’ 6’ V 8’ 9’ 10’ 11’ 12’ ' ' ' ’

которые были установлены итальянским математиком Фибоначчи в 1212 г. Члены последовательности Фибоначчи (4) (кроме первых двух - F1 = 1 и F2 = 1) определяются соотношением:

F

n

F

п—1

+ F

п—2'

(8)

Числовая последовательность Фибоначчи обладает рядом замечательных свойств, которые проявляются в электрических цепях [1]. Так, квадраты четных и нечетных членов соответственно

F 2 = FF - 1- (9)

F2 = FF+ 2 + 1, (10)

2n п п + 2

откуда следует соотношение:

F+F„ - F+ = (-1Г, (l1)

которое было установлено французским астрономом Жаном Домиником Кассини в 1680 г. [3, 4] и, как будет показано далее, связано с электрическими цепями.

3 Цепочечные матрицы однородных электрических цепей

Матрицы простейших электрических цепей, состоящих из одного (n = 1), двух (n = 2) и трех (n = 3) Т-образных четырехполюсников с резисторами R1 = = R2 = 1 (см. рис. 3), соответственно:

2 1 F3 F2 || и 5 3 F5

1 1 ^2 , IIA 21_ 3 2 F,

13 8 f7 F6

8 5 F6 F5

Аналогично матрицы электрических цепей, состоящих из одного (n = 1), двух (n = 2) и трех (n = 3) Г-образных четырехполюсников (см. рис. 4), соответственно:

56

A

3

1 1 1 2

Fi

f2 2 3

F3 , ll A 21 = 3 5

5 8 F5 F6

8 13 F6 f7

F3 F4

F4 F5

Таким образом, уравнениям передачи (11) соответствуют цепные матрицы чисел Фибоначчи:

V

1И

n

F2 n+1 F2n

F2n F2n-1

F2 n-1 F2n

F2n F2n+1

(12)

(13)

где n - число четырехполюсников цепи.

В зарубежной литературе матрицу (12) также называют ^-матрицей Фибоначчи [3]. Такое название связано с тем, что коэффициенты А, В, С и D матрицы (12) определяются числами последовательности Фибоначчи. Отметим также, что матрица (13) в зарубежной литературе выпала из исследований.

Из цепных матриц следуют постоянные передачи в символах Фибоначчи:

g = ln(VF2n+1F 2n-1 + F2n ); g = MVF2n-1F 2n+1 + F2n )■

4 Соотношения типа Кассини для электрической цепи

С учетом того, что в матрицах (12) и (13) коэффициенты В и С равны, основное уравнение 1- и Г-образных четырехполюсников принимает вид:

AD - В2 = 1, (14)

или

1; (15)

1, (16)

F F - F 2

2n+1 2n-1 2n

F F - F 2

2n-1 2n+1 2n

57

что соответствует соотношениям Кассини для четных и нечетных членов Фибоначчи.

Таким образом, основное уравнение передачи (3) и его коэффициенты А, В, С и D связаны с гиперболическими функциями:

AD = ch2 g, BC = sh2 g, (17)

или

chg = VAD, shg = yjBC. (18)

Входные сопротивления T- и Г-образных цепей соответственно

Rbx1

F

2 n+1

F

Rbx 2

F

2 n-1

2n-1

F

2n+1

Окончательно получим формулы связи коэффициентов матриц с гиперболическими функциями:

A=

V

F2 n+1 F2n-1

chg, B

C = shg, D

F2n-1 F2 n+1

chg.

Если n >> 1 (в пределе n ^ да), то постоянная передачи цепи

g = ln^/AD + 4BC) = ln 2B = ln 2Fn а коэффициенты матриц четырехполюсников:

A = Фchg, B = C = shg, D = (1/Ф) chg.

5 Связь токов ветвей однородных электрических цепей

Разделив члены уравнения (10) на F22n+2„ получим следующие соотношения:

F2n+1F2n-1

F

2n

F

2n+2

F

2n+2

F

или

F

2n

F2n+1F2n-1 1

2 n+2

F

2 n+2

F

2n+2

F

2n+2

которое соответствует соотношению Кассини для четных чисел Фибоначчи.

Для П-структуры цепей (в электротехнике треугольника сопротивлений) можно записать следующие соотношения связи токов продольных и поперечной ветвей цепи:

58

1

1

(19)

II -1

12n12n+2 12n+1

F

^ ИЛИ I22n = I2 n+12n-1 -

2 n+2

F

2n+2

Для Т-структуры цепи (в электротехнике для трехлучевой звезды сопротивлений) связь токов продольных и поперечной ветвей цепи

II -1

1 2 п1 2 п+2 12 n-1

F

1 Г ^ = I I 1

2 , или 12п-1 = 12П12п+2 „'

2 F:

(20)

2 п-2

2n

В реальных электрических цепях число цепочечно соединенных четырехполюсников n >> 1 и они приобретают свойства цепей с распределенными элементами. Для таких цепей член 1/F2n+2 ^ 0 (F2n+2 ^ го) и из соотношений (19) - (20) следуют новые закономерности для токов продольных и поперечных ветвей однородных цепей:

- токи поперечных ветвей однородной лестничной цепи равны среднему геометрическому токов прилегающих к нему продольных ветвей:

I2m V I2n+1I2 п-1;

(21)

- токи продольных ветвей однородной лестничной цепи равны среднему геометрическому токов прилегающих к нему поперечных ветвей:

12п-1 = Ф~2nI:

2п+2 ■

(22)

Заключение

Из результатов исследования следует, что параметры однородных лестничных электрических цепей (уравнения передачи цепи) связаны с числами Фибоначчи и цепочечными матрицами. Кроме того, между коэффициентами уравнения электрических четырехполюсников (1) и соотношениями Кассини (8) также существует связь (удивительная связь XVII и XXI веков!). Эта связь еще раз подтверждает фундаментальность однородных электрических цепей как моделей структур природы, искусства, науки и техники [1, 3]. Заметим, что во времена Кассини наука располагала только начальными сведениями об электрических зарядах - стеклянном и смоляном (положительном и отрицательном). Исследования электрического тока в простейших одноконтурных цепях начались только в XVIII в., после появления первых гальванических источников электрического тока.

Связь основного уравнения четырехполюсника и соотношения Кассини позволила установить также новые закономерности однородных электрических цепей (21), (22), что расширяет возможности их анализа и синтеза.

59

В целом же отметим, что связь однородных электрических цепей и чисел Фибоначчи и других рекуррентных последовательностей чисел ждет своих исследователей.

Библиографический список

1. Анализ линейных электрических цепей методом лестничных чисел / Н. Ф. Се-менюта. - Гомель : БелГУТ, 2010. - 109 с.

2. Теоретические основы электропроводной связи. Часть 1 / Н. Н. Гарновский. -М. : Связьиздат, 1956. - 692 с.

3. The Mathematics of Harmony - From Euclid to contemporary Mathematics and Computer Science / А. Stakhov. - Singapore : World Scientific, 2009. - 694 с.

4. Конкретная математика. Основание информатики / Р. Грехем, Д. Кнут, О. Поташник. - М. : Мир, 1998. - 703 с.

© Семенюта Н. Ф., 2013

60