Уравнения с пропорциональными коэффициентами Текст научной статьи по специальности «Математика»

УРАВНЕНИЯ С ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Мамедяров Даглар Мамедярович

канд. пед. наук, «Социально-педагогический институт» РФ, г. Дербент

E-mail: sakitorudjev@mail. ru

EQUATIONS WITH PROPORTIONAL COEFFICIENTS

Daglar Mamedyarov

candidate of Pedagogical Sciences, "Social Pedagogical Institute ", Russia, Derbent

АННОТАЦИЯ

Статья посвящена решению уравнений с прямопропорциональными коэффициентами на множестве натуральных чисел. Рассматриваются четыре вида уравнений и разработан алгоритм их решения.

ABSTRACT

The article is devoted to the solution of the equations with directly proportional coefficients on the set of natural numbers. Four types of equations are considered and their solution algorithm is developed.

Ключевые слова: прямопропорциональные коэффициенты, алгоритм решения.

Keywords: directly proportional coefficients; solution algorithm.

_ A(ma)R+B(na)R

Если из чисел та и па составим уравнения

A(ma)R-B(na)R A(ma)R+B(na)R A(ma)R-B(na)R

и вынесем степени а

A(ma)R-À-B(na)R-^ A(ma)R-À-B(na)R-^ A(ma)R-À+B(na)R-À

AmR+BnR aR AmR-BnR aR AmR+BnR aR

^ П//1 I UIV U, П//1 LJ I L U, П//1 I и I V U,

за ско ки, то получим AmR-X+BnR-X aR-X, AmR-À-BnR-À aR-X, AmR-X-BnR-X aR-À, AmR-BnR aR

AmR-A+BnR-A ' [1, с. 128]. То есть получаем равенства:

A(ma)R+B(na)R AmR+BnR aR

— или

A(ma)R-À+B(na)R-À AmR-À+BnR-À aR-A

(AmR-À+BnR-À)(A(ma)R+B(na)R) _ я , .

a . (i)

(A(ma)R-À+B(na)R-À)(AmR+BnR)

A(ma)R-B(na)R AmR-BnR aR

A(ma)R-À-B(na)R AmR-À-BnR-À aR-

или

^ created by free version of

ê DociFreezer

(А(та)к-В(па)к)(Ат Л-Вп Л) _ д ( . (А(та)н-Л-В(па)к)(Атк-Впк) = ' ( 2

А(та)к+В(па)к Атк+Впк ак

— или

А(та)я-Л-В(па)я-Л Атя-Л-Впя-Л ая-Л

(А(та)к+В(па)к)(Атк-Л-Впк-Л) _ д (А(та)к-Л-В(па)к-Л)(Атк+Впк) = а 2

А(та)к-В(па)к Атк-Впк ак

— или

А(та)к-Л+В(па)к-Л Атк-Л-Впк-Л ак-Л

(А(та)к-В(па)к)(Атк-Л-Впк-Л) _ д (А(та)к-Л+В(па)к-Л)(Атк-Впк) = а 2

Обозначив Атк + Впк = &,Атк-х — Впк-Я = (2,Атк — Впк = й3, Атк-Х — Впк-Х = (4, получаем:

Аа2(та)к+Ва2(па)к _ д Аа4(та)к-В^(па)к д Ай1(та)к-Л+Вй1(па)к-Л = а ' Ай3(та)к-Л-Вй3(па)к-Ла '

А й4 (та) К+Вй4 (па)к д Ай2(та)к-Вй2(па)к д ^

—/\р а-—г^т == аА.—/ -^—= аА. Введя новые

Ай1(та)к-Л-Вй1(па)к-Л Ай3(та)к-Л+Вй3(па)к-Л

обозначения А(2 = Сг,В(2 = С2,та = х,па = у,А(г = С3,

В&х = С4,А(4 = С5,В(4 = С6,А(3 = С7,В(3 = С8 получаемуравнения

Сгх" + С2УК = С5х« — С6у"

С3хк-Л + С4ук-д а ( )' С7хк-Х — С8ун-д

С3хк-Х — С4ук-Х 4 " С7хк-Х + С8ук-Л

Мы рассмотрим уравнения в натуральных числах, таких, что Я Е N ,А Е Ы,

Я>А.

С х^+С ук

Решим в общем виде уравнение с ^я-я+^уд-я = 27.

Имеем: ад = 27, так как 27 = 33, то а = 3, А = 3. Вычисляем (1и(2.

= Атк + Впя, (12 = Атя-д + Впн-Л. А, В, т, п берем произвольно. Пусть А = 3,В = 5,т = 4,п = 2. Тогда = 3 • 4К + 5-2к, (2 = 3 • 4К-3 + 5 • 2К-3. Далее вычисляем С± и С2, С3 и С4. Сх = А(2 = 3(3 • 4К-3 + 5 • 2Н-3), С2 = В(2 = 5(3 • 4Н-3 + 5 • 2Н-3),

с3 = = 3(3 • 4я + 5 • 2я), С4 = = 5(3 • 4я + 5 • 2я). Так как Л > Я,

С3 = 3(3 • 44 + 5 • 24) = 2544, С4 = 5(3 • 44 + 5 • 24) = 4240. Найдем

то И принимает значения 4, 5,6, 7,8,9..........

Пусть Я = 4, тогда = 3(3 • 4 + 5 • 2) = 66, С2 = 5(3 • 4 + 5 • 2) = 110,

4

X и у.

х = та, у = па. Так как а = 3, т = 4, п = 2, то х = 12, у = 6.

^ 66-124 + 110-64 1368576 + 142560 1511136

Проверка:-=-=-= 27.

^ ^ 2544-12+4240-6 55968 55968

Ясно, что уравнение имеет бесконечное множество решений.

С7х^-Я-С8у/

Решим уравнение „ 1-Я-Д*-я = 27

Решение. Имеем: а = 27, Я = 3 Вычисляем и й4, С5, С6, С7, С8 .

= Лтя — , = Лтя-3 — 5пя-3. Возьмем те же значения Л, 5, ш, п, что и для первого уравнения. Тогда = 3 • 44 — 5 • 24, й4 = 3 • 4 — 5 • 2 = 2. С5 = Л^4 = 3 • 2 = 6, С6 = = 5 • 2 = 10, С7 = Л^3 = 3 • 688 = 2064, С8 = = 5 • 688 = 3440, х = 12, у = 6.

^ 66-124 — 10-64 124416-12960 111456

Проверка:-=-=-= 27.

^ ^ 2064-12-3440-6 24768-20640 4128

Решим уравнение = 27

Вычислим и й4, С3, С4, С5, С6, при Л = 3, В = 5, т = 4, п = 2, Я = 4. ^ = Лтя + = 3 • 44 + 5 • 24, = Лтя-Я — 5пя-я = 3-4 — 5-2. С3 = 3(3 • 44 + 5 • 24) = 2544, С4 = 5(3 • 44 + 5 • 24) = 4240, С5 = Л^4 = 3 • 2 = 6,С6 = = 5 • 2 = 10, х = 12, у = 6.

^ 66-124 + 10-64 137376

Проверка:-=-=27.

^ ^ 2544-12-4240-6 5088 Решим уравнение ^-я^д-я = 27.

При тех же значениях Л, 5, ш, п, К = 4 имеем С1 = Л^2 = 66,

С2 = = 110, С7 = Л^3 = 2064, С8 = = 3440, х = 12, у = 6.

^ 66-124-110-64 1226016 Проверка:-=-= 27.

^ ^ 2064-12-3440-6 45408

^ сгеа!ес1 Ьу йгее уетоп of

ю РооРгеегег

Теперь решим несколько уравнений при фиксированных значениях коэффициентов С2, С3, С4, С5, С6, С7, С8.

^ 112х2+336у2 .

Решим уравнение-= 1.

^ 208х+624у

Решение. ая = 1, а = 1,Л = 2 - 1,Л^2 = 112,Вй2 = 336, = 208,

= 624. Видно, что является общим делителем С1 и С2. Представим числа 112 и 336 в виде произведения двух множителей. Получаем следующие пары.

Для 112 имеем: 1 • 112,2 • 56,4 • 28,8 • 14,16 • 8. Для 336 имеем: 1 • 336,2 • 168,4 • 84,8 • 42,16 • 21,7 • 48,14 -24,6- 56, 3-112.

Отсюда видно, что может принимать значения 1, 2, 4, 7, 8, 16, 112, 56.

Если = 1, то Л = 112 тогда = 208 : 112 (не целое).

Если = 2, Л = 56 тогда = 208 : 56 (не целое).

Если = 4, А = 28 тогда = 208 : 28 (не целое).

Если = 7, Л = 16 тогда = 208 : 16 = 13,5 = 624 : 14 = 48.

Если = 8, А = 14 тогда = 208 : 14 (не целое).

Если = 16, А = 7 тогда = 208 : 7 (не целое).

Если = 112, Л = 1 тогда = 208 : 1 = 208,5 = 624 : 208 = 3,

для решения подходят пары, Л = 16, В = 48 и Л = 1, В = 3.

Учитывая, что = Лтя + = 208, = Лтя-Я + Япя-я = 112.

Для нашего уравнения имеем системы.

2)

1>{

Ж2 + 3п2 = 208 (16т2 + 48п2 = 208

т + 3п = 112 Ч 16п + 48п = 112

Система (1) решений не имеет. Решим вторую систему

(16т2 + 48п2 = 208 _ (т2 + 3п2 = 13 ТЛ

{ — { . Из первого уравнения с

( 16п + 48п = 112 ( т + 3п = 7 у ™

получаем т2 = 13 — 3п2. п принимает значения 1 и 2.

Тогда т2 = 40, т2 = 1, значит т = 1, п = 2. Отсюда получаем, что

х = та = 1,у = па = 2.

„ 112^1 + 336^22 1456 .

Проверка:-=-= 1.

^ ^ 208^1+624^2 1456

Ответ: х = 1,у = 2.

~ 3х3+6у3 .

Решим уравнение-= 4.

^ 3х+6у

Решение. Имеем: ая = 4, Л = 3 — 1 = 2, т. е. а2 = 4, а = 2, С1 = = 3,

С2 = В^2 = 6,С3 = = 3,С4 = = 6. Представим числа 3 и 6 в виде произведения двух множителей. Имеем следующие пары.

Для 3 имеем: 1-3.

Для 6 имеем: 1 • 6, 2 • 3, й2 может принимать значение 3, тогда А = 1, В = 2,Л^1 = 1 • 3,^ = 3,Я = 6 : 3 = 2. Пара чисел А = 1, В = 2 подходят для решения.

( + =

Имеем систему { р . Для нашего уравнения имеем

(Лтк Л + Л = й2

(ш3 + 2п3 = 3 следующую систему { .

I ш + 2я = 3

Решив эту систему, получаем т = 1, п = 1. Тогда х = 2, у = 2.

^ 3^23+6^23 72

Проверка:-= — = 4.

^ ^ 3^2+6^2 18 _ 30*2-20у2

• Решим уравнение-= 4.

Имеем уравнение вида (4).

Я = 2 — 1 = 1,а = 4,С1 = = 30, В^2 = 20, = 12, = 8. Представим числа 30 и 60 в виде произведения двух множителей. Для 3 получаем пары: 1 • 30,2 • 15,3 • 10, 5 • 6.

Для 20 получаем пары: 1 • 20,2 • 10,4 • 5. Видно, что может принимать следующие значения 1, 2, 5 и 10.

Если = 1,то А = 30,5 = 20, из = 12 получаем = 12 : 5 (не целое).

Если = 2, то А = 15, тогда В = 20 : 2 = 10, из = 12 получаем = 12 : 5 (не целое).

Если = 5, то А = 6, тогда ^ = 12 : 6 = 2, В = 20 : 5 = 4.

Пара А = 6, В = 2, подходят для решения.

Тх (6т2 — 2п2 = 2

Имеем систему { .

I 6т + 2п = 5

Видно, что система не имеет решения в натуральных числах, значит и наше уравнение не имеет решения, вернее вопрос о корнях уравнения остается открытым.

• Решим уравнение-=-г = 9.

47 ^ -99х2+33у2

Это уравнение вида (2).

Имеем: ая = 9, Я = 4 — 2 = 2, а2 = 9, а = 3, С5 = = 12, С6 = = 3,

С7 = = —99, С8 = = —33. Представим числа 9 и 3 в виде произведения двух множителей. Для 9 получаем: 1 • 9, 3 • 3.

Для 3 имеем: 1 • 3. Видно, что может принимать значения 1 и 3. Если й4 = 1,то В = 3,^3 = —11, Л = 9.

Если = 3, то 5 = 1, = —33, Л = 3. Имеем системы

|9т4 — 3п4 = — 11 и |3т4 — п4 = —33 ^ 9т2 — 3п2 = 1 ^ 3т2 — п2 = 3

Решим первую систему. Из второго уравнения системы т2 = —-—;

4 9П4+6П2+1 ^

т4 =-. Подставив это в первое уравнение, получаем уравнение

-4+6п2-81

18п4 — 6п2 — 100 = 0, или 9п4 — 3п2 — 50 = 0.

Это уравнение натуральных корней не имеет.

Решим вторую систему. Из второго уравнения системы п2 = 3(т2 — 1). п4 = 9т4 — 18т + 9. Подставив это в первое уравнение, получаем т4 — 3т2 —4 = 0. Пусть т2 = £. Тогда получаем квадратное уравнение £2 — 3£ — 4 = 0, ^ = 4, £2 = 1. Значит т = 2 или п = 1. Так как п натуральное число, то 1 не удовлетворяет второму уравнению системы. Если т = 2, то п = 3. Отсюда х = та = 6, у = па = 9, (а = 3).

_ 9-64-3-94 -8019

Проверка:---- =-= 9.

^ ^ -99-62+33-92 -819

48я5+48у5

• Решим уравнение-~-т = 8.

^ 4224ж2-4224у2

Решение. Это уравнение вида (3).

С5 = = 24, С6 = 5^4 = 24, С3 = = 4224, С3 = 5^ = 4224. Представим 24 и 4224 в виде произведения двух множителей. Для 24 имеем пары: 1 • 24,2 • 12,4 • 6,8 • 3

Для 4224 имеем: 1 • 4224,2 • 2112,4 • 1056,8 • 528,16 • 264,64 • 66, 128 • 33,3 • 1408,6 • 704,12 • 352,24 • 176,48 • 88,96 • 44,192 • 222, 384 • 11.

Видно, что А может иметь значения 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Если А = М4 = 48,5 = 1, ^ = 4224. Если А = 2,й4 = 24,5 = 2,^ = 2112. Если А = 3,й4 = 16, £ = 3, ^ = 1308. Если А = 4, = 12,5 = 4, ^ = 1056. Если А = 6, ¿4 = 8, 5 = 6, ^ = 704. Если А = 8, = 6,5 = = 528. Если А = 12, = 4,5 = 12, ^ = 352. Если А = 16, = 3,5 = 16, ^ = 264. Если А = 24, = 2,5 = 24, ^ = 176. Если А = 48, = 1,5 = 48, ^ = 88. Получаем 10 систем:

п (т5 + п5 = 4224 (2т5 + 2п5 = 2112 (3т5 + 3п5 = 1308 ) 1т2-п2=48 ) {2т2-2п2 = 24 ) { 3т2 - 3п2 = 16

(4т5 + 4п5 = 1056 5ч (6т5 + 6п5 = 704 6ч (8т5 + 8п5 = 528 } { 4т2 - 4п2 = 12 ) { 6т2 - 6п2 = 8 ) { 8т2 - 8п2 = 6

7ч (12т5 + 12п5 = 352 (16т5 + 16п5 = 264 (24т5 + 24п5 = 176 ) { 12т2 - 12п2 = 4 ) { 16т2 - 16п2 = 3 ) { 24т2 - 24п2 = 2

[48т5 + 48п5 = 88 48т2 - 48п2 = 1 .

Замечаем, что системы 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10 в натуральных числах решений не

10)

могут иметь.

(™5 + = 4224

Решим первую систему: { 7 7 . Решим второе уравнение

I т2 — п2 = 48

/а+Ь\2 /а-Ь\2 7

системы в натуральных числах, используя тождество () — ) =

¡т5 + п5 = 4224 ш2 — п2 = 48

2)ЧТ2

Представим 48 в виде произведения двух множителей одинаковой четности Это: 2-24,4-12,6-8. Найдем т и п.

24+2 24-2

1. ш = — = 13,п = — = 11,но 135 + 115 Ф 4224.

22

12+4 12—4 г г

2. т = — = 8, п = — = 4, но 85 + 45 Ф 4224.

22

Первая система решений не имеет.

Решим вторую систему: {

2ш5 + 2п5 = 2112 ^ (ш5 + п5 = 1056 2ш2 — 2п2 = 24 I ш2 — п2 = 12

Представим 12 в виде произведения двух множителей одинаковой четности. Это пара: 2 • 6. Найдем т и п.

т = ^^ = 4, п = 6-2 = 2. Тогда х = ша = 4- 2 = 8, у = па = 2- 2 = 4.

^ 48-85 + 24-45 48-1024-33

Проверка:---- =-= 8.

^ ^ 4224-82—4224-42 4224-16-3

Решим систему (4). {

4ш5 + 4п5 = 1056 ^ [ш5 + п5 = 264 4ш2 — 4п2 = 12 I ш2 — п2 = 3

Представим 3 в виде произведения двух множителей одинаковой четности. Это: 1 • 3. Найдем т и п.

т = — = 2,п = — = 1, но 25 + 15 Ф 64.

22

Ответ: х = 8, у = 6.

_ 96*6-32у6

• решим уравнение З8^3+128уз = 64.

Решение. Уравнение имеет вид (4).

С1 = = 96, С2 = = 32, С7 = = 384, С8 = = 128. Представим 96 и 32 в виде произведения двух множителей. Для 96 получаем пары: 1 • 96,2 • 48,4 • 24,8 • 12,16 • 6, 3 • 32. Для 32 имеем: 1 • 32,2 • 16,4 • 8.

Видно, что принимает значения 1, 2, 4, 8, 16, 32. Если й2 = 1, то А = 96, 5 = 32, ¿3 = 384 : 96 = 4 или ¿3 = 128 : 32 = 4. Если = 2, то А = 48, В = 46, ¿3 = 384 : 48 = 8 или = 128 : 16 = 8. Если = 4,то А = 24,5 = 8, = 384 : 24 = 16 или = 128 : 8 = 16. Если ¿2 = 8, то А = 12, В = 4, ¿3 = 384 : 12 = 32 или ¿3 = 128 : 4 = 32. Если = 16,то Л = 6,5 = 2, = 384 : 6 = 64 или ¿3 = 128 : 2 = 64. Если ¿2 = 32,то А = 3,5 = М3 = 384 : 3 = 128 или = 128 : 1 = 128. Получаем шесть систем.

^ [96т6 — 32п6 = 4 [48т6 — 16т6 = 8 [24т6 — 8п6 = 16 1 (96т3 + 32т3 = 1 1 148т3 + 16т3 = 2 1 I 24т3 + 8п3 = 4

4ч [12т6 — 4п6 = 3^ [6т6 — 4п6 = 6^ [3т6 — п6 = 128 ) I 12т3 + 4п3 = 8 1 16т3 + 4п3 = 16 1 I 3т3 + п3 = 32 .

Очевидно, что системы 1, 2, 3, 4, 5 не могут иметь решений в натуральных

числах.

3

Решим систему (6) {"

[3т6 — п6 = 128 3т3 + п3 = 32 "

Из второго уравнения системы, получаем п3 = 32 — 3т3,т принимает значения 1, 2. Если т = 1, п3 = 29 (не точный куб). Если т = 2, п3 = 8, п = 2.

Пара чисел т = 2, п = 2 подходит для решения. Так как а = 4, х = та =

8,

у = па = 8.

_ 96-86—32-86 86(96-32) 512^64 . .

Проверка:---- = —-- = —-= 64.

^ ^ 384^83 + 128^83 83(384+128) 512

Из решения вышеуказанных уравнений вытекает алгоритм их решений.

1. Определяем, какому из четырех видов относится данное уравнение.

2. Проверяем выполнимость условий С2С3 = С1С4, С7С6 = С5С8, С4 ^5 = ^6, С1С8 = С2С7.

Если эти условия не выполняются, то применить данный метод мы не сможем. Вернее, наши системы уравнений решений не будут иметь.

3. Из соотношений = С1,5^2 = С2,Л^1 = С3,5^1 = С4,Л^4 = С5,

= £6,^3 = С7, = С8, находим Д5, для каждого

уравнения соответственно.

4. Составляем соответствующие системы уравнений: + = ^

[Лтй-А + £пй = ¿2

,к-я ^ _ л — для первого уравнения

— 5пй = ¿3

ит«-* — Вп«-* = ^ — для второго уравнения

4

Лтй + £пй =

— Вп<^ = ^ — для третьего уравнения

4

Лтй — Япй = й3 I Лшя-А + 5пй-я = а — для четвертого уравнения

5. Решая эти системы, находим т и п.

6. Зная т и п находим х и у (х = та, у = па).

Имеют ли уравнения решения или нет в случае, когда соответствующие системы не имеют натуральных корней? Этот вопрос пока остается открытым. Используя данный метод, можно решать такие уравнения как

С!Х10+С8у10 С5х6+С6у6 С5х80-С6у80 С!Х6-С8у6 -ё-Г" = -или ——-— = —--- и т. д.

С3х5+С4у5 С3х-С4у С7х18-С8у18 С7х4+С8у4

Список литературы:

1. Мамедяров Д.М. Неопределенные уравнения и их системы. Типография № 3. Дербент 2013. — 261 стр.