Задачи фильтрации жидкости со свободной поверхностью при наличии горизонтальной трещины (завесы) Текст научной статьи по специальности «Физика»

В данном методе исследования теплопроводности используется уравнение (9), которое записано с использованием некоторых предположений: 1. Предполагается, что температура внутри образца меняется лишь вдоль образца и не меняется в поперечном направлении. Это очевидно справедливо лишь тогда, когда плотности тепловых потоков между образцом и атмосферой гораздо меньше плотности потока внутри самого образца, что в свою очередь может быть достигнуто путем создания достаточно глубокого вакуума. 2. В уравнении (9) не учитываются теплопотери на излучение, которые также могут привести в некоторых случаях к существенным погрешностям.

Вместе с тем данный метод позволяет в значительной степени снизить погрешности, обусловленные теплопритоками из атмосферы.

Список литературы

1. Бочегов В. И. Методика прямого измерения теплопроводности термоэлектрических материалов. Термоэлектрики и их применение. СПб., 2004. С. 315-317.

2. Драббл Дж., Голдсмит Г. Теплопроводность полупроводников. М., 1963.

3. Физические величины: справочник / под ред. И. С. Григорьева, Е. З. Мейлихова. М.: Энергоиздат, 1991.

УДК 532.546 ББК В 253.327

С. В. Бочкарев

Задачи фильтрации жидкости со свободной поверхностью при наличии горизонтальной трещины (завесы)

Решены задачи о движении свободной поверхности грунтовых вод в ограниченной области при наличии горизонтальной трещины или завесы.

Ключевые слова: неустановившаяся фильтрация, свободная поверхность, трещина, завеса.

S. V. Bochkarev

Problems of liquid filtration with free surface if there is a horizontal crack (screen)

There have been solved problems connected with the movement of free surface of subsoil waters in the bounded sphere if there is a horizontal crack or screen.

Key words: unsteady filtration, free surface, crack, screen.

1. Случай трещины. Рассмотрим задачу о движении свободной поверхности грунтовых вод в вертикальной плоскости xOy (ось у направлена вверх), когда область фильтрации состоит из двух

однородных зон D {у < —h]) и D2 (— h < у < yL) (yL - ордината свободной поверхности) постоянной проницаемости к, разделенных горизонтальной трещиной у = — h. Слева вдоль прямой x = 0 область фильтрации ограничена каналом со свободной жидкостью, уровень воды в котором совпадает с осью абсцисс, а справа вдоль прямой x = ж/2 - непроницаемым водоупором. Начальная форма свободной поверхности задается функцией у = f (x).

Следуя линеаризованной постановке задачи о растекании бугра грунтовых вод [2], полагаем, что свободная поверхность имеет малое возмущение относительно оси абсцисс и выполняющиеся на ней граничные условия приближенно сносим на эту ось. Отсюда, для потенциалов р(- (t, у, x) (t - время) в D [2,3] имеем задачу:

д xxPi + д „К = 0, (p\x=0 = 0' д xP^x=ж/2 = 0' 1 = 12' (1)

P\t=0,у = 0 = —f {x ) ' (2)

д tP2 +Гд уР\у = 0 = 0 , (3)

У =-к: (р2 =Я>1, д уф2 - д р = Ад уф,, (4)

где у = к; к и а - проницаемость и пористость области фильтрации; А > 0 - параметр трещины; а

ь, > о; д„ =д2/дх2, дх = д/дх.

Решая методом разделения переменных уравнения (1), функции р представим в виде:

да

р2 = -^ Т(;)ск ту + а як ту)/и яштх

п = 0

(5)

да

Р1 = -X Т(?К^т(У+к ]/п ят тх,

п = 0

где т = 2п +1; а и Ь - неопределенные параметры; /п - коэффициенты Фурье разложения начальной функции у = /(х) по функциям Я1п тх [1].

Отсюда, функции (5) удовлетворяют условиям (1), а также р---------у———^ 0. Из условия (2) сле-

дует, что Т^0= —1. Подставляя функцию р2 в граничное условие (3), для функции Т({) получаем задачу Коши:

дТ + тапУТ = 0' Т,=0 =-1

решение которой имеет вид:

Т = -е-*уп (6)

Из условий сопряжения (4) для параметров ап и Ъп получаем систему двух алгебраических уравнений с двумя неизвестными:

апсп -(1 + АтК = Яп

апЯп + Ьп = сп

где сн = сктк}, Я = яктк, А = сп +(1 + Ат)яп > 0. Отсюда находим

а = яп +(1 +АтУп, ь = 1 . (7)

п сп + (1 + Ат к п сп +(1 + Атк

Итак, решение задачи (1)-(4) строится по формулам (5)-(7).

2. Случай завесы. Рассмотрим случай, когда у = -к7 является слабо проницаемой завесой. Условия сопряжения на завесе [3] имеют вид:

у =-к : Р2 -Р1 = ВдуР„ дуР2 = дуР1, (8)

где В > 0 - параметр завесы.

Таким образом, в случае завесы для потенциалов р (?, у, х) в ц, имеем задачу (1)-(3), (8). Так как эта задача отличается от задачи с трещиной только последним условием, то ее решение будем искать в виде (5), (6). Подставляя функции р (5) в условия сопряжения (8), для параметров аи и йи получаем систему двух алгебраических уравнений с двумя неизвестными:

а„я„ +

п п

(1 + Вт )Ьп = сп’

где сп = сктк, я = яктк, А = (1 + Вт)сп + яп > 0. Отсюда находим

а (1 + ВтК + сп, ь = 1 . (9)

п (1 + Вт)сп + яп' п (1 + Вт)ря + Яп

Итак, решение задачи (1)-(3), (8) строится по формулам (5), (6), (9).

Закон движения свободной поверхности как в случае трещины, так и в случае завесы определяется равенством:

да

у = X е-туа"‘ 1„ я™ тх . (10)

п=0

3. Исследование полученных решений. Из формул (7), (9) следует, что в случае трещины параметр а > 1, в случае идеального контакта (А = В = 0) параметр а = 1, в случае завесы - 0 < а < 1.

Отсюда, поскольку с ростом аи множители е туапг функции (10) убывают быстрее с течением времени, то при одинаковой начальной форме бугра грунтовых вод выравнивание свободной поверхности в случае идеального контакта происходит быстрее, чем при наличии горизонтальной завесы, но медленнее, чем при наличии горизонтальной трещины.

Из формул (7) следует, что с ростом параметра А трещины параметр ая увеличивается, следовательно, выравнивание бугра грунтовых вод происходит быстрее. При А ^ +да имеем Р2|у=-к1 ^ 0, т. е. по прямой у = -к проходит граница с горизонтальным каналом со свободной жидкостью.

Аналогично из формул (9) делается вывод, что с ростом параметра В завесы параметр ая уменьшается и выравнивание бугра грунтовых вод происходит медленнее. При В ^ +да имеем дуР\y--h ^ 0, т.е. по прямой у = -к проходит граница с непроницаемым водоупором.

Из формул (7) следует, что с уменьшением глубины залегания трещины к параметр ап увеличивается, следовательно, выравнивание свободной поверхности происходит быстрее. Максимальная скорость выравнивания в случае заданного конечного параметра А трещины достигается при к = 0, когда а = 1 + Ат.

Аналогично получаем, что чем ближе к завесе расположена свободная поверхность, тем медленнее происходит ее выравнивание, поскольку из формулы (9) при уменьшении к уменьшается и параметр а . Минимальная скорость выравнивания в случае заданного конечного параметра В завесы

достигается при к = 0, когда а =_______1___

п 1 + Вт

С глубиной влияние трещины или завесы слабеет, в пределе при к ^ +* полностью исчезает, что соответствует случаю идеального контакта, когда А = В = 0 .

Список литературы

1. Арсенин В. Я. Методы математической физики и специальные функции. 2-е изд., переработ. и доп. М.: Наука, 1984. 384 с.

2. Полубаринова-Кочина П. Я. Теория движения грунтовых вод. М.: Наука, 1977. 680с.

3. Холодовский С. Е. О фильтрации в слоистых средах с пересекающимися трещинами и завесами / / Доклад РАН, 1994. Т. 338. № 5 С. 622- 624.