Уравнения Рейнольдса для тонкого слоя вязкой среды в произвольных криволинейных ортогональных координатах Текст научной статьи по специальности «Физика»

МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №11-3/2016 ISSN 2410-6070

УДК 532.133

А.В. Емельянов

д.т.н., профессор

Калужский филиал Московского государственного технического университета им. Н.Э.Баумана

И.А. Емельянов к.т.н., доцент

Калужский государственный университет им. К.Э. Циолковского г. Калуга, Российская Федерация

И.А. Зенкина к.ф.-м.н., доцент

Калужский филиал Московского государственного технического университета им. Н.Э.Баумана

УРАВНЕНИЯ РЕЙНОЛЬДСА ДЛЯ ТОНКОГО СЛОЯ ВЯЗКОЙ СРЕДЫ В ПРОИЗВОЛЬНЫХ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ОРТОГОНАЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ

Аннотация

Понимание физических процессов, протекающих в тонком слое вязкой жидкости или газа, позволяет получить уравнения Рейнольдса наиболее коротким и прямым путем, не обращаясь к весьма сложным уравнениям Навье-Стокса. Более того, этот путь приводит к самой общей форме уравнений Рейнольдса, из которой сразу следуют конкретные уравнения для любых криволинейных ортогональных координат.

Ключевые слова Давление, вязкость, коэффициенты Ламе, координатные линии, орты.

Введение

Основоположником гидродинамической теории смазки является наш выдающийся инженер, ученый и государственный деятель Н.П. Петров (1836-1920). Его первая работа в этой области датирована 1883 годом [1]. Спустя три года О. Рейнольдс внес существенные упрощения в исходные уравнения [2]. В 1904 году А. Зоммерфельд на основе уравнений Рейнольдса решил задачу о несущей способности смазочного слоя клиновидной формы [3, с.320]. Заметим, что Зоммерфельд был первым среди иностранных ученых, признавших научный приоритет России: «Русский военный инженер Н.П. Петров был первым, который рассмотрел эту проблему с точки зрения вязких свойств смазки» - [3, с.318].

Существует несколько фундаментальных руководств по теории вязкой жидкости, в которых уравнения Рейнольдса выводятся из уравнений Навье-Стокса путем упразднения квадратичных членов инерции и некоторых сил вязкости. Самым лучшим по своей обоснованности и ясности изложения этой проблемы является университетский учебник профессора Московского университета Н.А. Слёзкина (1905-1990) [4, с.193-197], внесшего существенный вклад в развитие гидродинамической теории смазки.

Во второй половине двадцатого столетия научное наследие Н.П. Петрова и Н.А. Слёзкина придало мощный импульс развитию прецизионных газодинамических опор скольжения и бесконтактных уплотнений. Сложная геометрия стенок сжимаемого смазочного слоя вызвала широкое применение различных криволинейных координат, в том числе и совершенно новых [5-8]. Поэтому проблема физически ясного вывода уравнений Рейнольдса в произвольных криволинейных координатах остается актуальной.

О силах вязкого трения

Рассмотрим сплошной слой жидкости или газа, заполняющих зазор между двумя близко расположенными параллельными пластинами (рисунок 1). Пусть l\ и ¡2 — протяженность слоя в направлении координат х и y соответственно, а h — толщина слоя. Слой жидкости или газа называется тонким, если его протяженность в любом направлении не менее чем на два порядка превосходит максимальную толщину слоя. Понятно, что в тонком слое вектор скорости частиц сплошной среды будет направлен вдоль слоя: во всяком случае, проекция скорости на нормаль будет составлять не большую часть от модуля скорости, чем толщина слоя составляет от его протяженности. Отсюда нетрудно сделать правильный вывод о том, что в тонком слое жидкости или газа должны преобладать силы внутреннего (вязкого) трения, направленные вдоль слоя.

МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №11-3/2016 ISSN 2410-6070

Рисунок 1 - Слой жидкости или газа между параллельными пластинами

Этим силам могут противостоять только силы давления, обусловленные перепадом давления по протяженности слоя. Чтобы лучше уяснить это, необходимо восстановить в памяти понятие вязкости.

Обратимся вновь к рисунку 1 и выделим на верхней стенке слоя элементарный участок площадью ds (на рисунке 1 этот участок выделен темным фоном). Представим теперь, что верхняя пластина движется в направлении оси х со скоростью Vo, а нижняя пластина неподвижна.

Чему будет равна сила dF, приложенная к площадке ds со стороны сплошного слоя? Ответ на этот вопрос дает закон, открытый Ньютоном в 1687 году:

dF = ds, (1)

h

где Л - динамической коэффициент вязкости. Направление силы dF будет противоположно скорости скольжения площадки (рисунок 1). Заметим, что выражение (1) справедливо только в том случае, когда давление по протяженности слоя не меняется, и поэтому распределение скорости по толщине слоя носит линейный характер (рисунок 2).

Рисунок 2 - Распределение скорости по толщине слоя

Если же давление будет меняться по направлению координаты х, то зависимость Vх от г станет более сложной. В этом случае выражение (1) должно быть заменено более точным

dFх = ¡dV-ds. (2)

Соотношение (2) дает не только правильное значение проекции силы dF на ось х, но и знак этой проекции при условии, что ось ъ является внешней нормалью для выделенной площадки. Если же внешняя для элементарной поверхности нормаль направлена навстречу оси г, то в правой стороне выражения (2) надо изменить знак. Таким образом, выражение (2) соответствует силе, которая приложена не к верхней стенке, а к слою (рисунок 1).

В общем случае, когда вектор скорости скольжения стенки и слоев сплошной среды не совпадает ни с одной из осей q\ и q2, направленных по протяженности слоя, полученный результат можно записать в векторной форме

я V

= Л-1 ds, (3)

Л я qз

МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №11-3/2016 ISSN 2410-6070

где q3 — метрическая координата (коэффициент Ламе L3 = 1), отсчитываемая по толщине слоя; dFM — сила вязкого трения, приложенная к площадке ds, для которой ось [q3] является внешней нормалью; V — проекция локальной скорости на координатную плоскость [q1,q2] (не следует забывать, что проекция вектора на плоскость является векторной величиной).

Еще раз напомним: когда в сплошной среде в плоскости [q1,q2] делается мысленный надрез площадью ds, то появляются две площадки. Одна внизу, для которой ось [q3] является внешней нормалью. Другая сверху, для которой ось [q3] является уже не внешней, а внутренней нормалью. Силы, приложенные к этим площадкам, равны по величине и противоположны по направлению. Выражением (3) определяется сила, приложенная к нижней площадке.

Из соотношений (1) и (2) следует, что в международной системе единиц динамический коэффициент вязкости имеет размерность

Н ■ с

W =

2

м

СГС

Одна десятая этой единицы называется пуазом (пз) - это единица коэффициента вязкости в системе

1 пз = = 0,1 . (4)

см •сек м

Одна тысячная от единицы и в СИ называется сантипуазом (спз)

1 спз = 10-2 пз = 10-3 . (5)

2

м

Физическая природа вязкости у газов и у жидкостей различна. У газов внутреннее трение между соседними слоями обусловлено молекулярным движением. Если в слое газа мысленно выделить площадку размером dxxdy, то по одну сторону от нее средняя величина скорости перемещения молекул в направлении оси х будет больше, а по другую - меньше, как и у близлежащих макроскопических частиц сплошной среды. Поскольку молекулы будут пролетать через площадку с той и с другой стороны, то «более быстрые» молекулы будут «подталкивать» медленно движущиеся участки слоя, а «более медленные» молекулы будут тормозить быстро перемещающиеся области газового слоя. С ростом температуры молекулярное движение активизируется. Поэтому у газов коэффициент динамической вязкости пропорционален квадратному корню из абсолютной температуры.

Однако в жидкостях межмолекулярное взаимодействие ограничивает подвижность молекул, поэтому именно оно, а не молекулярное движение, оказывает решающее влияние на вязкость жидкостей. При нагревании жидкостей межмолекулярное взаимодействие ослабляется, поэтому текучесть жидкостей усиливается. При охлаждении жидкостей их вязкость, напротив, увеличивается.

Следует иметь в виду, что зависимость вязкости от температуры у газов выражена несравнимо слабее, чем у жидкостей.

Для того чтобы иметь правильное представление о сравнительной вязкости у газов и у жидкостей, приведем четыре примера значений и в сантипуазах при 20°С: 0,0088 - водород, 0,0202 - кислород; 1,002 -вода, 1500 - глицерин. Заметим, что существуют так называемые неньютоновские жидкости, которые не подчиняются закону (2) и (3). Объектом нашего внимания являются только газы и жидкости, подчиняющиеся закону Ньютона.

Итак, внутри слоя действуют силы вязкого трения, направленные вдоль слоя, и силы давления, обусловленные перепадом давления по протяженности слоя. Если силы давления обеспечиваются разными давлениями на краях тонкого слоя, то это вызовет потоки вдоль слоя в направлении падения давления. Эти потоки в свою очередь изменят картину распределения скоростей по толщине слоя. В результате возникнут такие силы вязкого трения, которые и уравновесят действие сил давления. Справедливо и обратное: любое изменение поля скоростей в тонком слое (которое может возникнуть при изменении скорости твердых стенок или их взаимного расположения) немедленно отразится на всем поле давления в тонком слое.

МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №11-3/2016 ISSN 2410-6070 О силах давления

Займемся теперь силами давления, развивающимися в тонком слое вязкой жидкости или газа. Пусть p = p(qi, q2, q3) - давление в сплошной среде. Градиент давления в криволинейной ортогональной системе qi, q2, q3 с метрической координатой q3 определяется выражением:

gradp = — —Р + — —Р + e3--P, (6)

Li - qi L2 - q2 - q3 где e1, e2, ез - орты, Li и L2 - коэффициенты Ламе.

■ grad р

Рисунок 3 - Элементарный объем призматической формы, ребра которого параллельны градиенту давления.

Вектор (6) направлен в сторону наискорейшего возрастания давления и численно равен производной функции P в этом направлении. Если в любом месте сплошной среды выделить элементарную площадку размером dso, ориентированную перпендикулярно вектору (6), а затем поступательно переместить ее в направлении градиента (6) на сколь угодно малый отрезок dl, то получим призматический элемент сплошной среды (рисунок 3) объемом

da = dl • ds0. (7)

Давление, действующее на верхнее (в направлении градиента p) основание выделенного цилиндрика, будет больше, чем на нижнее, на величину

dl • \gradp\,

поэтому результирующая сил давления, приложенных к поверхности призматического тела объемом (7), будет равна

dFP = -ds0 • dl • gradP = -da • gradP. (8)

Этот результат можно трактовать как обобщенный закон Архимеда для элементарного объема: "Сила давления, выталкивающая элементарный объем из сплошной среды, направлена навстречу градиенту давления и равна его величине, умноженной на вытесненный объем".

Вопрос: Выражение (8) представляет собой результат сложения сил давления, действующих на основания призматического объема. Почему же не учитываются силы давления, действующие на боковую (цилиндрическую) поверхность элементарного объема?

Ответ: Пусть у — ось, направленная из данной точки пространства в направлении единичного вектора e, образующего углы а, ¡и ус координатными осями [qi], [q2] и [q3] соответственно. Тогда

e = ei cosa + e2 cos¡ +ез cosy

Известно, что производная давления в направлении оси у равна проекции на эту ось градиента давления (6)

dp г 1 д Р 1 д Р о д Р (9) -£- = (e, gradP) =--cosan---cos¡H--cosy. (9)

dy L1 д q1 L2 д q2 д q3

Из (9) видно, что если e ^ gradp, то производная (9) равна нулю. А это значит, что во всех точках

МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №11-3/2016 ISSN 2410-6070

боковой поверхности элементарного объема давление одно и то же.

Вопрос: Выражение (9) получено для элементарного объема призматической (цилиндрической) формы, боковые ребра (образующие) которого параллельны градиенту давления, а основания перпендикулярны ему. Почему же словесная формулировка обобщенного закона Архимеда изложена так, как будто форма объема значения не имеет?

Ответ: Какова бы ни была форма элементарного объема, его можно представить сложенным из призматических объемов, ребра и боковые грани которых параллельны градиенту давления. Если dok — объем произвольного призматического тела, то результирующая сил давления, приложенных к его поверхности, в соответствии с (8), запишется

dFkp = —dok ■ gradp, (10)

где grad p может вычисляться, например, в центре тяжести исходного объема произвольной конфигурации (но сколь угодно малых размеров), и поэтому при суммировании сил давления, действующих на все призматические объемы, второй (векторный) сомножитель в (10) выносится за оператор суммирования, вследствие чего мы вновь приходим к выражению (8).

Уравнения Рейнольдса

Приступим теперь к выводу уравнений, определяющих законы изменения скоростей и давления в тонком слое жидкости или газа. Пусть M — произвольная внутренняя точка смазочного слоя. Исходящие из нее координатные оси [#i] и [#2] направлены по протяженности, а ось [#з] — поперек слоя. На координатной поверхности (#1,^2) выделим достаточно малую окрестность точки М. Форма границы этой окрестности может быть произвольной, однако площадь ds этой окрестности должна быть много меньше площади смазочного слоя. Кроме этого, расстояние между максимально удаленными точками ее границы должно быть тоже много меньше средней протяженности слоя. Сдвинем эту площадку поступательно в направлении оси [#з] на dh, величина которого составляет столь же малую долю местной толщины смазочного слоя, сколь мала ее площадь ds по сравнению с полной площадью смазочного слоя.

Рисунок 4 - К выводу уравнений Рейнольдса

Таким образом, в смазочном слое окажется выделенным элементарный объем йст(рисунок 4).

йа = ds -йК.

Сила вязкого трения йЕ , приложенная к нижнему основанию элементарного объема (это основание

и

является верхней площадкой в надрезе, о котором говорилось после (3),) в соответствии с (3) определится выражением

д Уг

й¥~=-и-1 йз. (11)

и д Ъ

На верхнее основание элементарного объема будет действовать сила вязкого трения йЕ *

и

МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №11-3/2016 ISSN 2410-6070

d¥+u=ju-

д V

д2 V.

л

д q3 д qi

-dh

■ds.

(12)

Сложив (11) и (12), найдем результирующую сил вязкости ОБ , приложенных к элементарному

и

объему смазочного слоя со стороны окружающей его смазки.

dFu =u-

д2 V,

д qi2

■da.

(13)

Поскольку

V, = eV + e2F2,

то

д2 V

д V

д V

2 ■ = V

2" + e 2"

1 2 (14)

б q2 1 б q2 2 б q2

Заметим, что орты е1 и е2 в общем случае могут зависеть от qз, но во всех ортогональных криволинейных координатах, которые используются в теории смазки, эти орты от переменной qз не зависят.

При установившемся течении силы dF и уравновешены, т.е.

dFu+ dFp

0

Отсюда с учетом (8) и (13) получаем векторное уравнение

б2 V и—— = ^ар,

б qз

которое, используя соотношения (14) и (6), можно привести к виду

u

д V

"1 п 2

д q.

д 2V

12 2 + e2^-T

д q2

J

eL дд_Р_

L д qi L2д q2

+ -

д p д p -+ e3-

д qi

(15)

(i6)

Последнее векторное уравнение равносильно трем скалярным

1 д p

L1 д qi 1 д p

L2 д qi д p

д qi

= u

= u

= 0.

д V

д ql

д X

д qi

(17)

Систему (17) называют уравнениями Рейнольдса - по имени Осборна Рейнольдса (1842-1912) -английского физика и инженера, одного из основоположников гидродинамической теории смазки. Уравнения Рейнольдса имеют один и тот же вид и в тех случаях, когда смазочным слоем является газ, и когда смазкой служит ньютоновская жидкость. Но совершенно уникальное свойство этих уравнений состоит в том, что они выглядят одинаково как в инерциальных, так и в неинерциальных системах отсчета. Эта инвариантность уравнений (17) позволяет при необходимости переходить к любым подвижным и, в частности, к вращающимся координатам, что придает задачам гидродинамической теории смазки особую гибкость и изящество.

Хотя уравнения (17) можно использовать в произвольной ортогональной системе координат, не следует все же забывать о двух ограничениях. Первое связано с замечанием, следующим сразу после соотношения (14). Второе относится к случаю, когда кривизна смазочного слоя соизмерима с его толщиной.

Вопрос. Почему при выводе уравнений (17) не учитывались силы тяжести и инерционные силы частиц

МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №11-3/2016 ISSN 2410-6070

слоя?

Ответ. И силы тяжести, и силы инерции пропорциональны объему. Поэтому влияние этих сил по сравнению с поверхностными силами вязкости в тонком слое не может быть существенным из-за сравнительной малости объема тонкого слоя при относительно большой площади его твердых стенок. Этот ответ, возможно, станет более понятен, если вспомнить, что мелкие частицы песка легко поднимаются потоками воздуха, а большие камни с такой же плотностью никакой ветер с места не сдвинет. В этом примере тоже две противоборствующие силы: одна объемная - это сила тяжести - она пропорциональна кубу поперечника песчинки или камня; другая поверхностная - это сила, с которой поток воздуха действует на преграду - она пропорциональна квадрату поперечника песчинки или камня. Поэтому отношение объемной силы к поверхностной у песчинки меньше, чем у камня, во столько раз, во сколько поперечник камня больше поперечника песчинки.

Вопрос. Почему мы не принимаем в расчет возможные перепады давления по толщине слоя? Ответ. Для таких перепадов нет причин. Действительно, твердые стенки экранируют внутренний слой от внешнего наведения градиента давления в направлении нормали к слою. В то же время подобные перепады давления не могут возникнуть и под влиянием вязкостных сил - для этого нужны большие градиенты нормальной компоненты скорости по протяженности слоя, что невозможно из-за малой величины нормальной компоненты скорости и из-за большой протяженности слоя.

Весьма существенно, что уравнения (17) можно преобразовать к косоугольной криволинейной системе координат. Примеры таких преобразований изложен в работах [9-11]. Список использованной литературы:

1. Петров Н.П. Гидродинамическая теория смазки. Издательство АН СССР, 1948, 551 с.

2. Reynolds O. On the Theory of Lubrication and Its Application to Mr. Beauchamp Tower's Experiments, Including an Experimental Determination of the Viscosity of Olive Oil Philosophical Transactions of The Royal Society of London , vol. 177, 1886. pp.157-234.

3. Зоммерфельд А. Механика деформируемых сред. М.: ИЛ, 1954. 486с.

4. Слёзкин Н.А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости. М.: ГИТТЛ, 1955. 519с.

5. Емельянов А.В., Емельянов JI.A. Нелинейная теория прецизионных радиально-осевых подшипников с газовой смазкой и анизотропной геометрией. Известия АН СССР Механика жидкости и газа. 1983, №6. С.116-124.

6. Емельянов А.В., Емельянов И.А. Основы теории газодинамических подшипников и бесконтактных уплотнений со спиральными канавками на обеих поверхностях. Доклады Академии наук. 1998, т. 363, №2, с.187-190.

7. Yemelyanov A.V., Yemelyanov I.A. Physical models, theory and fundamental improvement to self-acting spiral-grooved gas bearings and visco-seals. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers. Part J. 1999, vol. 213, №4. pp. 263-273.

8. Емельянов А.В., Емельянов И.А., Шихватов A.M. Расчет бинарных газодинамических подшипников на основе краевой задачи для четырех областей смазочного слоя. РАН. Проблемы машиностроения и надежности машин. 2003, №3. c. 100-111.

9. Зенкина И.А. Математическое моделирование газодинамических подшипников со спиральными канавками. Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Тульский государственный университет. Тула, 2004, 21с.

10.Зенкина И.А. Главный момент сил сопротивления в газодинамическом подшипнике со спиральными канавками. Инженерный вестник Дона. 2014. т. 30. № 3. с.88.

11.Емельянов А.В., Степанчук В.И. Нелинейные эффекты в газодинамических подпятниках со спиральными канавками. АН СССР. Машиноведение. 1983, № 4. с.91-100.

© Емельянов А.В., Емельянов И.А., Зенкина И.А., 2016