Моделирование неизотермического течения жидкости в упругом канале переменной геометрии Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 532.516.5

МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕИЗОТЕРМИЧЕСКОГО ТЕЧЕНИЯ ЖИДКОСТИ В УПРУГОМ КАНАЛЕ ПЕРЕМЕННОЙ ГЕОМЕТРИИ

Л. А. Савин, Е.А. Машков, А.В. Корнаев

Рассмотрена задача неизотермического течения вязкой жидкости в канале переменной геометрии с упругой поверхностью. Совместное численное решение уравнений Рейнольдса, баланса энергии, упругости и дополнительных соотношений осуществляется на основе оригинальных алгоритмов. Деформации канала определяются с использованием метода конечных элементов. Результаты моделирования для различных сред представлены в виде графиков изменения температуры и давления по длине зазора. Проведен анализ влияния вязкости среды на формирование полей давлений, температур и геометрию упругого канала.

Ключевые слова: неизотермическое течение вязкой жидкости, упругий канал, математическая модель, поля давления и температур, метод конечных элементов. краевая задача, характеристики течения.

Моделирование течений вязких сред в упругих каналах имеет целый ряд практических приложений. Прежде всего, следует отметить необходимость учета упругости кольцевых каналов выполненных из современных высокопластичных материалов, обладающих большой податливостью. В современных гидромашинах, в том числе и криогенных, актуальной задачей является расчет течений сред в каналах опор роторов, демпферов, входных и выходных аппаратах. Одним из перспективных видов опор высокоскоростных роторов обоснованно считаются лепестковые газодинамические подшипники, обладающие низким коэффициентом трения, высоким уровнем динамической устойчивости и предельной быстроходностью. Растущие требования к эффективности и надежности турбомашин, а также расширение диапазона параметров и условий эксплуатации создают предпосылки для непрерывного конструктивного и технологического совершенствования этих подшипников. В настоящее время рассматривается вопрос о практическом применении одно- и многолепестковых подшипников при смазке маловязкими жидкостями. Для формирования инженерных методик расчета и инструментальных средств проектирования требуется решение комплекса взаимосвязанных задач по моделированию течений вязких сред в упругих каналах, в частности, для оценки влияния тепловых факторов. Цель данной работы заключается в разработке математической модели, основанной на совместном решении уравнения Рейнольдса для вязкой среды, уравнения баланса энергии и дополнительных зависимостей, связывающих вязкость, плотность и теплоемкость поступающей в зазор среды с давлением и температурой [1 - 4].

Предположим, что движение вязкой несжимаемой жидкости происходит в канале, образованном движущейся со скоростью и поверхности и консольно-закрепленной упругой пластиной (рис. 1). Длина I канала намного превосходит толщину Ь и ширину а поперечного сечения верхней пластины. В связи с эти можно положить ее обычным криволинейным стержнем с основными допущениями, принимаемыми в сопромате [5, 6].

Рис. 1. Расчетная схема движения жидкости в упругом канале

Для расчета полей давлений в рассматриваемом канале следует решить систему, состоящую из двух соотношений: уравнения Рейнольдса и уравнения баланса энергии для ламинарного течения вязкой среды [1 - 3], представленных ниже. Базовые допущения гидродинамической теории смазки используются и здесь. К описанной системе уравнений, в общем случае, следует добавить дифференциальное уравнение упругой линии балки [1 - 3, 6]:

йр йх

а3 рэр

т Эх

=6 I № У-

Рух

ЭЕ 1 Э

Эх Л^ Эх Э2 у

1

ЭТ Эх

Эу

х

Эу

м

(1)

(2)

(3)

Эх2 ЕЗ'

где х, у - координатные оси, м; р - функция давления в слое, Па;

3

А - функция зазора, м; р - плотность среды, кг/м ; т - вязкость среды,

Па • с; Е - внутренняя энергия единицы массы, Дж; 1 - коэффициент теплопроводности жидкости, Вт/м • К; Т - температура среды, С0; Л^ = 1/ 427 - термический эквивалент работы, ккал/кг • м ; М - изгибающий момент, Н • м ; EJ - жесткость стержня на изгиб, Н • кг.

Для замыкания системы из уравнений (1) - (3) требуются дополнительные соотношения теплопроводности, вязкости и плотности, смазочного материала, представленные ниже:

1 = 1(р,Т); т = т(р,Т); р = / (р,Т).

После преобразований, в случае неизотермического адиабатического течения несжимаемой жидкости в неизменном в направлении г зазоре уравнения (1) и (2) примут следующий вид:

ф ви

ах ь2

г

1 _ Ит

И

у

аТ = Ме-к

ах ИтИ

4 _ в Ит + 3 И

гИ л2 пт

И

(4)

(5)

Ме = 2шил*

gPlcvl

где Ит - толщина смазочного слоя в том месте, где давление достигает

максимума, м; g - ускорение силы тяжести, м/с ; т - вязкость жидкости при температуре Т1 , Па • с ; р1 - плотность жидкости при температуре Т1,

кг/м3 ; с^ - теплоемкость жидкости при соответствующей температуре Т

смазки, поступающей в зазор, ккал/кг • град.

Уравнение (3) остается без изменений. В такой постановке задачи следует ввести два уравнения, замыкающих систему (4), (5). Этими уравнениями являются зависимость вязкости от температуры и функция геометрии зазора, зависящая только от одной переменной:

т = т1/ц(Т); и = и (х).

Условия течения жидкости описываются следующим образом:

при х = 0 р = р0; при х = I р = ро.

К моменту начала движения жидкости в зазоре возникает первоначальное поле давлений. Подъемная сила начинает деформировать упругий стержень. Это, как видно по формуле (4), непременно вызывает изменение давления в слое. Изменение геометрии канала и формирование нового поля давлений есть взаимозависимые непрерывные процессы. Они продолжаются до тех пор, пока в какой-то момент времени система не придет в равновесное состояние.

Описанное взаимодействие жидкости и упругого канала переведем к дискретному аналогу, первоначально положив, что давление изменяется достаточно медленно.

Моделирование движения жидкости в канале будет происходить согласно итерационному принципу: расчет давления в слое - расчет деформации стержня - расчет давления в слое - расчет деформации стержня и так далее. Таким образом, первое давление преобразовывает упругую поверхность. Меняется форма зазора. Рассчитывается второе давление, которое создает новые прогибы поверхности. И так до тех пор, пока отклонение крайней правой точки стержня от его предыдущего положения будет по модулю меньше некоторой е [5, 6, 7].

Рассмотрим уравнение (5). Проведем некоторое преобразование, перебросив ёх и /^ в противоположные части:

^ „ 1

Ые-

/

т

ИтИ

4 - 6 Ит

И

+ 3

И

\2

т

И

ёх

Вводим затем функцию

Ф( х) = [

ёТ

/т(Т)

и находим

Яат = Ф(хп)-Ф(х) = Ф(х)| _ -Ф(х),

х_хп

(7)

где хп - крайняя правая координата зазора по оси абсцисс, м [8 - 10].

Полагая, что зависимость вязкости от температуры происходит по следующему закону [1]:

т

А

Tnst

имеем

т1

/т(Т):

'ъ

Т

(8)

где Т - температура смазки на входе, С0; А - коэффициент разложения, А_ 0...40; п^ - показатель степени разложения, п^ _0...5. Формулы (7) ,(8) тогда дают

г Т +1 V т1;

_ 1

Яат Т

(п^ +1)

Откуда находится функциональная зависимость вязкости от темпе-

ратуры

f

v T s

Таким образом, согласно приведенным выше рассуждениям получаем функции распределения вязкости и температуры по слою:

f Т \nst

v -

= Ti

v T у

= mifm;

(9)

T =

Уравнение (9) может трактоваться как зависимость вязкости от функции изменения температуры по длине. Согласно найденным решениям уравнение (4) интегрируется по длине зазора и выражается следующим образом:

p (х ) = 6U m J

f

И

1 -

hm h

dx.

(10)

Из условия, что p (r ) = 0, следует

с =r fm f- h Sk = JT2

h

1

m |dx = 0.

h s

(11)

Интеграл (11), собственно, как и интеграл в (10), не решается аналитически [11 - 13]. Поэтому будем их находить приближенно.

Пусть Х0 = 0, xn = r. Введем общее обозначение определенного интеграла с зависимостями подынтегрального выражения Int от х и hm :

xn

S = S(Х0,xn,hm)= J Int(x,hm)dx . (12)

x0

Исходя из определения интеграла как суммы площадей, составляющих площадь под кривой Int, представим S из (12) таким образом [11, 13, 14]:

h

S » Е Si ( xi-1, xi, hm ) . i=1

где Sj (xj-1, xj, hm) - площадь элементарной площадки, м2.

Рассмотрим подробнее нахождение Si, а вместе с ними и S. Разобьем отрезок [ x0, xn ] на h частей. Любая такая часть соответственно равна

———. Тогда любая i -я точка x, находится как h i

0

х0 +

X

п

х0,-

Л

Получаемое соответствующее значение подынтегральной функции (х, Ит) из (12)

У! = (х!, Ит X где ! - количество точек, ! = 0, л .

Таким образом, образуется последовательность точек, включающих в себя как координату по оси абсцисс, так и координату точки по оси ординат М! ( X! , У! ) .

Возьмем две произвольные точки М]_1, М] и построим на них прямую, уравнение которой находится из канонического уравнения прямой

/ \

X X!_1

V Х!

■Х:

! _1

(У! _ У! _1) + У1-

1

14]

Площадь под ней, а соответственно ее определенный интеграл [11 -

х

= (х!_1,х!,Ит ) = | =

X _1

У! _ У! _1

V х! _ х! _1.

X

2

хУ! _1

+ хУ! _1

X

X

! _1

Тогда из (12) приближенно

Л

£ = £ ( х0, хп, Ит ) = | ( х, Ит ~ X ( х!_1,х!, Ит ) .

(13)

х0 !=1

Для определения интеграла (11) необходимо в (13) положить х0 = 0, хп = г , а под понимать подынтегральное выражение из (11). В силу этого имеем, что (11) переходит в аналитическую функцию одной переменной

^ = ^ ( Ьт )~ £ ( 0, Г, Ит ) = £ ( Ит ) . (14)

Таким образом, несмотря на то, что интеграл пока не имеет аналитического разрешения, получили приближенный его вариант, причем в аналитическом виде. Разбивая подынтегральную функцию более чем на 500 частей, можно получить очень хорошее приближение с очень малой относительной погрешностью.

Имея аналитический вид интеграла из (11), можно найти такое Ит, при котором выражение (11) станет верным. Так как интеграл в (11) теперь зависит только от Ит, благодаря представлению (14) , можно использовать любые знакомые методы нахождения нуля функции одной переменной. В данной статье предлагается метод, который позволяет находить нули функций, даже если они заданы не аналитически, а алгоритмически.

х

п

Нахождение —т, которое переводит (11) в тождество, будем проводить по следующему алгоритму.

Разобьем отрезок [ —0, —п ] изменения переменной Ит на произвольное количество л частей.

Необходимо искать значение Лк из (13) в каждой точке

И = И0 + ———г, пока знак очередного Лк (И) не будет отличаться от знаЛ

ка первого значения ^ (—о).

На точках Ыг_1 (—г _1,Лк (—г _1)),Ыг (—г,^ (—г)) строим прямую по известному коническому уравнению прямой. В качестве неизвестной переменной будет выступать —т, которая характеризует возможное значение —т с определенной точностью:

( р Л

У = 1Т"_—=1' Л(—)_%(—_1)) + (й,-1). (15)

V 1 1 1 У

Подставляя вместо у ноль и выражая —тр, находим точку оси абсцисс, в которой прямая (15) ее пересекает:

_Бк ( — _1)

—Р =

/ «м?

т

(— _ Иг _1) + —

г _1.

Л ( —)_ Бк ( —г _1 ), Если Лк (—т)» 0 с принятой заранее погрешностью е, то можно

положить —т » —тр. Если нет, то процесс продолжается. В этом случае точка —г _1 будет стартовой, а отрезок [ — _1, — ] разбиваем на любое количество частей л [15]. Найдя —т, дающее в (11) тождество, необходимо произвести соответствующие подстановки: поставить в формулы, содержащие —т . В первую очередь, это нужно сделать в (13), откуда получаем

Л = Л(хо,Хп). (16)

Так как в (10) под хо и хп понимаются 0 и х, то производя соответствующие изменения (16) и учитывая (11), получаем готовую функцию поля давления

р (х ) = (0, х )=(х). (17)

Совместное использование методов нахождения приближенного интеграла и нахождения —т позволило найти функцию давления (10) в аналитическом виде (17), что значительно упрощает вычислительные трудности нахождения эпюр давлений в данной упруго-гидродинамической задаче [15].

Несмотря на то, что уравнение (3) аналитически описывает прогибы верхней пластины, задачу упругости стержня будем решать дискретным методом конечных элементов. Для этого криволинейный стержень разобьем на п стержней. Каждый такой элемент представляется в виде отрезка с двумя концами, которые называются узлами [2, 6] .

Нахождение вектора-столбца {Z} перемещений узлов от нагрузки на них происходит посредством решения матричного уравнения [1]

[ К ]х{ ^ = {Г}, (18)

где [К] - глобальная матрица жесткости, [К] = 6 х 6; {Г} - вектор-столбец нагрузок, {Г} = 1х 3п.

Из многообразия конечных элементов выберем стержневые, каждый узел которых характеризуется тремя перемещениями - двумя линейными и одним угловым [2].

Для формирования глобальной матрицы жесткости [К] размерно-

стью 3пх3п для начала необходимо найти матрицы жесткости

К

(г)

. От-

метим, что матрица жесткости

К

(г)

любого г элемента в общей системе

координат находится согласно следующему алгоритму.

*

1. Формируем матрицу жесткости [К( г-) ] локальной системе

[К(г)]

Е4

и

0

0

и

0

0

0 12ВД ¡3 ч 6ВД-¡ 2 ч 0 12 ЕЛ г ¡ з ч 6 Е.Лг ¡ 2 ч

0 6ВД-¡2 ч 4ВД ¡г 0 ¡ 2 ч 2ВД ¡г

ЕА ¡! 0 0 ЕА ¡г 0 0

0 12ед. 1 з ч 6ЕЛг ¡ 2 ч 0 12 ¡ з ч ¡ 2 ч

0 6 ЕЛ ¡ 2 ч 2ВД- ¡г 0 6ВД-¡ 2 ч 4ВД ¡г

2

где ЕI - модуль упругости, Н/м ; Яг - площадь поперечного сечения, м Л г - момент инерции сечения, кг • м2; ¡г - длина I -ого элемента, м .

2. Находим матрицу направляющих косинусов

'(*)

в виде [2]

С(')

соб а - бш а 0 0 0 0

бш а соб а 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 соб а - бш а 0

0 0 0 бш а соб а 0

0 0 0 0 0 1

где а есть угол между осью / элемента и осью х координат, град.

3. Формируем матрицу жесткости в общей системе координат

пТ

к{ I) = [к{ I)] х с( I)

X

где

с( i)

Т

есть транспонированная матрица

С( '). С( *)

С( ')

Т

6 х 6.

Вектор нагрузки имеет несложную структуру. Его первые три

компоненты характеризуют действие на первый узел трех нагрузок: горизонтальной силы, вертикальной силы и момента соответственно. Для второго узла отведены 4, 5, 6-й компоненты вектора . Таким образом, для

/ узла действие нагрузок на него характеризуется {2/,2/ +1,2/ + 2} компонентами. Поэтому размерность составляет 1х 3п [6].

Сила, действующая на упругий стержень, является неравномерно распределенной. С хорошей плотностью узлов в упругой модели можем неравномерную нагрузку положить равномерно распределенной. Ее можно легко перевести к узловой. Если распределенная нагрузка на / элемент равна Г/, то вектор-столбец принимает следующий вид [2, 6]:

Т

{*■ }=

Р/х1 ^У1 ^/У1 Р/х1 ^/У1 ^/У1

12

12

1 элем.

где Г/х - проекция силы Г/ на ось х, м; Г/у - проекция силы Г/ на ось

У, м;

Для решения уравнения (18) недостаточно просто иметь матрицу жесткости [К] и вектор узловых нагрузок . Важно еще учесть граничные условия упругой модели. В данном случае стержень имеет жесткое закрепление слева. Поэтому перемещения в соответствующем узле равны 0. Эти условия можно программно учесть следующим образом:

57

1) обнулить первые три строки столбца матрицы [ К ];

2) вместо нуля, на пересечении / -ой строки и / -го столбца матрицы [ К ] внести 1 (/ = 1..3);

3) первые три элемента вектора нагрузок сделать нулевыми.

Более подробно о сути вышеописанного алгоритма можно узнать в пособии [3]. В общем случае матрицы жесткости, представляющие собой поведение отдельного элемента, складываются в единую матрицу. Эта матрица фактически является матрицей коэффициентов в СЛАУ. Таким образом, формируя матрицу жесткости [ К ], вектор узловых нагрузок

и учитывая граничные условия, можно свободно найти искомый вектор узловых перемещений по формуле (18).

Рассмотрим представленное в статье решение на примере двух сма-

зочных сред МК-22 и Т-22. Для температуры Т = 50 С0 масло МК-22 об-

—2

ладает следующими характеристиками: | = 8.79 10 Па • с, Р1 = 879 кг/м , су = 0,442 ккал/кг • град [1, 2]. При той же температуре,

поступающей в зазор, параметры масла Т-22 имеют такие значения:

-3 3

| = 1.716• 10 Па• с, р1 = 858,8 кг/м , су = 1,965 ккал/кг• град. Аппроксимация зависимости вязкости от температуры для масел согласно формулам, описанным выше, включает следующие значения констант:

А = 11,39 •Ю-4, п^ = 2.91 для МК-22 и А = 0,0372 •Ю-4 , п# = 1.96 для Т-22 [1, 2, 16]. Граничные условия течения жидкости были даны выше в (6) и на протяжении всего процесса расчета они будут оставаться неизменными. Для начального зазора примем следующие величины:

(К -И0) + И0; К = 1.7 •Ю-3 м, Н0 = 1 •Ю-3 м, I = 0.1 м, а = 0.01 м,

И =

Ь =а м, где Ип - крайнее правое значение высоты зазора. Остальные же

параметры примут такие значения: Р0 = 101325 Па, и = -10 м/с, п = 33. Расчет величин для упругой модели А и упругой модели J из (18) происходит по довольно известным формулам [3]:

А = аЬ; J = | У 2йА . А

В качестве значения модуля упругости Е возьмем 110 МПа. В соответствии со всеми условиями и математическими выкладками была написана программа, в которой в каждой итерации рассчитывали как поле давления, вязкость по слою, температуру по слою, так и геометрию канала [17]. Расчет упругогидродинамической задачи согласно описанным физи-

ческим и геометрическим величинам потребовал всего 3 итерации для каждого из двух масел. При этом конечное отклонение было меньше

е = 5 10-5 м. Ниже на рис. 2 - 4 представлены результаты эксперимента для двух масел. Причем графики зависимостей для масла МК-22 представлены пунктиром с точкой, а для масла Т-22 - обычным пунктиром. На рис. 2 представлены графики изменения давления в конечном зазоре для указанных выше масел. Под р понимается давление в слое, выражающееся в Па, а х - координата абсциссы точки в метрах.

Рис. 2. Изменение давления по длине канала

Как видно из рис 2, давление более вязкой среды в любой точке оси превосходит Т-22. Данные результаты свидетельствуют о формировании большей подъемной силы под действием давления первого масла по сравнению со вторым. Вследствие этого деформация верхней пластины под действием указанной силы для первой среды будет превышать изгиб при работе второй жидкости.

На рис. 3 сплошной линией изображена начальная геометрия зазора до движения жидкости. Под х и у понимаются расстояния от начала координат в метрах по осям абсцисс и ординат. Линия, помеченная пунктиром, представляет собой вид верхней пластины в результате конечной деформации для менее вязкого масла. Пунктиром с точкой изображена геометрия канала в равновесном состоянии для более вязкой среды.

59

Данные результаты свидетельствуют о важности выбора смазки при решении вопросов, связанных с работой подшипников с упругими элементами. На рис. 4 изображены графики изменения температуры в зазоре для масел МК-22 (пунктир с точкой) и Т-22 (пунктирная линия).

Из рис. 4 видно, что процесс нагревания обеих сред по длине канала происходит очень плавно. Под переменной Т понимается температура в

С0, х - координата зазора по оси абсцисс, м. Стоит отметить, что температура более вязкой среды на выходе из канала превышает температуру в конце зазора для масла менее вязкого масла. Хотя вязкость представленных сред в целом отличается значительно, про температуру, основываясь на результатах, так сказать нельзя. Первое масло на выходе превышает по температуре второе всего лишь на один градус. Таким образом, можно сказать, что скорость движения нижней пластины равная 10 м/с, не значительно влияет на характеристики этих масел, вследствие чего работа ротора на более высоких оборотах представляется возможной. Представленная в статье модель рассматривает неизотермическое течение жидкости в канале с одной упругой поверхностью. Разработанные численные методы позволяют производить расчет давления и других характеристик течения с

более высокой точностью, чем представленные в [1, 11]. На основании эксперимента для различных сред можно сделать вывод, что вязкость масла серьезно влияет на деформацию канала. Поэтому выбор соответствующей смазки имеет важное значение в вопросах работы роторов с упругими элементами.

Рис. 4. Изменение температуры по длине канала

Также стоит добавить, что скорость движения поверхности канала оказывает значительное влияние на температуры в смазочном слое, что, в свою очередь, влечет изменение вязкости среды в сторону разжижения. Данные результаты исследования могут послужить хорошей основой для развития новых лепестковых подшипников с жидкостной смазкой. Для большей достоверности результатов исследования упругогидродинамиче-ской задачи авторами статьи планируется рассмотрение неадиабатического течения сжимаемой среды.

Работа подготовлена в рамках выполнения проектов №363 базовой части государственного задания «Фундаментальные принципы и теоретические основы наносмазки» и №9.101.2014 К проектной части государственного задания «Гидродинамические эффекты в напорно-сдвиговых течениях сред сложной реологии в каналах переменной геометрии» государственного задания ФГБОУ ВПО «Госуниверситет-УНПК».

Список литературы

1. Коровчинский М.В. Теоретические основы работы подшипников скольжения. М.: Государственное научно-техническое издательство машиностроительной литературы, 1959. 404 с.

2. Корнеев А.Ю, Савин Л. А., Соломин О.В. Математическая модель неизотермического турбулентного течения смазочного материала в конических опорах жидкостного трения // Вестник машиностроения. № 7. 2005. С. 37-42.

3. Савин Л. А. Моделирование роторных систем с опорами жидкостного трения: монография. М.: Машиностроение-1, 2006. 444 с.

4. Савин Л.А., Соломин О.В., Устинов Д.Е. Метод расчета пространственного движения жесткого ротора на опорах жидкостного трения // Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета им. академика С.П. Королёва (национального исследовательского университета). 2006. № 2 - 1 (10). С. 328 - 332.

5. Савин Л.А., Сытин А.В., Федоров Д.И. Расчет деформаций кругового гофрированного элемента лепесткового газодинамического подшипника // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2008. № 1. С. 26 - 32.

6. Тухфатуллин Б.А. Численные методы расчета строительных конструкций. Метод конечных элементов (теория и практика). Томск: Томский государственный архитектурно-строительный университет, 2013. 100 с.

7. Применение метода контрольных объемов в решении задачи о сдвиговом течении жидкости сложной реологии / А.В. Корнаев, Е.П. Корнаева, В.И. Лебединский, Е.А. Машков // Известия Юго-Западного государственного университета. 2014. № 5 (56). С. 9 - 14.

8. Кучеряев Б.В. Механика сплошных сред (Теоретические основы обработки давлением композитных металлов). М.: МИСИС, 2000. 320 с.

9. Слезкин Н.А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости. М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1955. 520 с.

10. Мив7упвка А. Яо1шёупат1с. КУ: Тау1ог&Егапс1в, 2005. 1056 р.

11. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. М.: Энергоатомиздат, 1984. 152 с.

12. Лаптев Г.Ф. Элементы векторного исчисления. М.: Главная редакция физ-мат. литературы, 1975. 338 с.

13. Ильин В. А., Поздняк Э.Г. Основы математического анализа Ч.1. М.: Физматлит, 2005. 648 с.

14. Лузин Н.Н. Дифференциальное исчисление. М.: Государственное издательство «Высшая школа», 1961. 479 с.

15. Шарый С.П. Курс вычислительных методов. Новосибирск: Институт вычислительных технологий СО РАН, 2013. 497 с.

16. Genta G. Dynamics of rotating systems. NY: Springer, 2005. 660 p.

17. Наместников С.М. Основы программирования в MatLab. Ульяновск: УлГТУ, 2011. 55 с.

Савин Леонид Алексеевич, д-р техн. наук, проф., зав. кафедрой, savin@ostu.ru, Россия, Орел, Государственный университет — учебно-научно-производственный комплекс,

Машков Евгений Александрович, асп., ppsnnt@,gmail. com, Россия, Орел, Орловский государственный университет,

Корнаев Алексей Валерьевич, канд. техн. наук, доц., rusakor@inbox.ru, Россия, Орел, Государственный университет — учебно-научно-производственный комплекс

MODELING OF NON-ISOTHERMAL FLUID FLOW IN THE ELASTIC CHANNEL

OF VARIABLE GEOMETRY

L.A. Savin, E.A. Mashkov, A.V Kornaev

The article is devoted to research of non-isothermal fluid flow in the elastic channel of variable geometry. We solve Reynolds equation and energy equation with new numerical methods. Channel deformation is realized by finite element method. Modeling results for two different oils are shown in the form of graphs of temperature, viscosity and pressure along the channel.

Key words: non-isothermal flow of viscose fluid, elastic channel, math model, pressure and temperature fields, finite element method, characteristics of flow.

Savin Leonid Alekseevich, doctor of technical sciences, professor, manager, sa-vin@ostu.ru, Russia, Oryol, State University — Educational-Scientific-Industrial Complex,

Mashkov Evgeniy Aleksandrovich, postgraduate, ppsnnt@,gmail.com, Russia, Oryol, Oryol State University,

Kornaev Aleksei Valerievich, candidate of technical sciences, docent, rusa-kor@inbox.ru, Russia, Oryol, State University — Educational-Scientific-Industrial Complex