CC BY
19
МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №11-2/2016 ISSN 2410-6070
УДК 621.822.174
В.Н. Винокуров
к.ф.-м.н, доцент КФ МГТУ им. Н.Э. Баумана г. Калуга, Российская федерация
СРАВНЕНИЕ ДВУХ МЕТОДОВ РАСЧЁТА ГАЗОСТАТИЧЕСКОГО ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО ПОДШИПНИКА С ПОРИСТЫМ ДРОССЕЛЕМ
Аннотация
Сравниваются результаты расчётов подъёмной силы в газостатическом цилиндрическом подшипнике с пористым дросселем полученные прямым численным методом и применением метода сплайнов.
Ключевые слова Газостатический цилиндрический подшипник, пористый дроссель
В работе [1] исследуется цилиндрический газостатический подшипник, схематично представленный на рисунке 1, дросселирование газа в котором осуществляется изотропным пористым телом. Газ под
давлением рн подводится к наружной поверхности дросселя и, пройдя сквозь его поры, попадает в рабочий зазор подшипника.
Рисунок 1 - Подшипник с пористым дросселем
Задачей исследователя подшипников с газовой смазкой является составление дифференциальных уравнений, описывающих распределение давления газа в теле дросселя и рабочем зазоре подшипника и их интегрирование при соответствующих граничных условиях. Зная давление газа в смазочном слое, можно, затем, ставить другие задачи, например, вычисление несущей способности подшипника, задачи по оптимизации параметров по тому или иному критерию.
В цилиндрических координатах Г, ф , Z давление газа в теле изотропного пористого дросселя, при изотермическом установившемся течении, удовлетворяет дифференциальному уравнению [1]
д( ди^ д( 1 ди^ д( дил
дт
т-
дт
дф! r дф
+—
dz
r
V
dz
=0,
(1)
где обозначено и(ф, z, Г)=р2 - квадрат давления.
При прямом численном методе производные в уравнении (1) заменяются отношением конечных разностей и получающаяся при этом система линейных алгебраических уравнений весьма высокого порядка решается тем или иным методом. Трудоёмкость такого способа интегрирования уравнения (1) обусловлена
МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №11-2/2016 ISSN 2410-6070
трёхмерностью дросселя, функция U зависит от трёх аргументов. Для снижения трудоёмкости вычислений в [1] предложено аппроксимировать функцию U выражением вида
u = R (ф, z)+R1 (ф, z )• s+R2 (ф, z )• s2 + R3 (ф, z )• s 3. (2)
Здесь Rj (ф,z) (i=0, 1, 2, 3) - неизвестные функции, а S - координата по толщине дросселя. Начало координаты S взято на границе дросселя с рабочим зазором, а положительное направление отсчёта совпадает с положительным направлением отсчёта радиальной координаты Г, так что в области дросселя r=R+S
Необходимые соотношения для вычисления Rj (ф,z) получаются, если записать уравнение (1) и
функцию (2) на границе дросселя S = 0 и S=l.
Использование аппроксимации (2) позволяет получить дифференциальное уравнение, описывающее распределение давления в рабочем зазоре подшипника, без необходимости интегрирования уравнения (1) по трёхмерному дросселю. В работе [1] такое уравнение представлено в виде
д2Ui / ч д2U / ч dU1 . ч тт „2
—2" ^(ф)+—21 «2(ф) +—1 аз(ф)+U1 = Р2, (3)
дф2 д^2 дф
При выводе последнего уравнения вводились следующие обозначения. U = (p\j pa )2 - квадрат безразмерного давления в рабочем зазоре подшипника.
Р1 - давление в рабочем зазоре подшипника.
Ра - давление окружающей среды.
Рн = Рн1 Ра - безразмерное давление наддува.
Рн - давление наддува.
С=z/L - безразмерная осевая координата.
С - зазор в подшипнике при соосном расположении вала и втулки. h = c - e С0Бф = c[1 - (e/ c)cOSф]= c(1 - £С08ф)= ОЦ - зазор в подшипнике. ^=1—8С08ф - безразмерный зазор.
s=е/с - безразмерный эксцентриситет. е - смещение вала от соосного положения с втулкой. Q=с V(12CTR) - безразмерный параметр. С - проницаемость пористого материала дросселя. х=l/R - относительная толщина дросселя.
r1 = r/R - безразмерная радиальная координата (для дросселя 1< r1 <1+х). Х=LR - относительная длина подшипника.
Y\(x)=(x2 + 0,8х)/(х2 — 2,4х—2,4), у2 (х)=(3,6х+2,4)/(х2 — 2,4х—2,4), У 3(т)=х/у 2(х).
а1(ф)=[^Л3 —У\(х)]Уз(х), а2(ф)=a1<W^ а3(ф)=3^Л2еУ3(х)§1п ф. Несомненно, что аппроксимация (2) искомого поля давлений вносит погрешности в расчёты. Настоящая статья является продолжением работы [1] и в ней сравниваются результаты численных расчётов подъёмной силы полученные прямым численным интегрированием уравнения (1) и уравнения (3) полученного из (1) при аппроксимации искомой функции многочленом (2).
МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №11-2/2016 ISSN 2410-6070 Две краевые задачи. В первой задаче интегрируется уравнение (3) с граничными условиями Uj =1 при 0 и ^ = 1. Решение этой задачи рассмотрено в [1].
Вторая краевая задача состоит в интегрировании уравнения (1). Сформулируем для него граничные условия.
1) Давление на поверхности дросселя s = l равно давлению наддува:
P\s=l = Рн . (4)
2) Давление Р\ в смазочном зазоре подшипника и давление на поверхности дросселя s = 0, обращённой к рабочему зазору, равны:
Р1 = Pls=Q. (5)
3) Торцы дросселя изолированы, утечки газа через них отсутствуют, что означает
ди/dz=0 при z = 0 и z=L . (6)
4) Выполняется уравнение неразрывности в смазочном слое. Перейдём к его выводу. Согласно уравнениям Рейнольдса, в тонком рабочем зазоре подшипника
dp1 = Л, IФ, Аф , дР1 = 0. (7)
dz dn R дф dn dn
Здесь Vjz и У1ф - проекции скоростей частиц газа в направлении координатных осей z и ф
соответственно, Ц - динамический коэффициент вязкости газа, П - координата по толщине газового слоя. Её начало отсчёта взято на поверхности неподвижного вала, а положительное направление отсчёта - в толщу газового слоя.
Интегрирование первых двух уравнений из (7) по переменной П позволяет для проекций скоростей частиц газа смазочного слоя получить выражения
= ф^n2 + Qn + C2, v1(D dp1 n2 + C3n + C4. (8)
1z 2ß dz 1 2 1ф 2^R дф 3 4
Здесь C2 = C4 = 0, так как согласно гипотезе прилипания частиц газа к стенке неподвижного вала
= 0.
n=0
^п=0 = У1ф
Записав теперь уравнения (8) на границе П=И, находим, что
С = 1VI - Ада с = 1 у И дР1
1 и 1zlп=И 2ц дz ' 3 И 1ф П=И дф
Чему равны проекции скорости частиц газа Vlz|п_и, Vlф на поверхности рабочего зазора,
граничащей с поверхностью пористой стенки изотропного дросселя? Логично считать, что они равны соответствующим проекциям скоростей частиц газа в слое дросселя, граничащем со смазочным слоем, то есть
V1
z
и = vz
n=h z
s=0, %
n=h Уф
s=0
Здесь Vz и Vф проекции скоростей частиц газа в теле дросселя.
Но, в работе [2] показано, что учёт отклонения линий тока частиц газа от ортогонального направления к выходной поверхности изотропного дросселя даёт пренебрежимо малый вклад в значения интегральных
МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №11-2/2016 ISSN 2410-6070
характеристик. Поэтому провёдём расчёты, полагая, что на выходной поверхности дросселя Vz = ^ф= 0. Тогда соотношения (8) запишутся в виде
V1z = — f dp1 "(h — n) ■ П<р= — -1- дР1 n(h — n ). (9)
2д dz 2|uR дф
Если теперь выделить в смазочном слое контрольный объём, представленный на рис. 2, высота h которого равна толщине смазочного слоя, то из условия сохранения в нём массы газа при стационарном режиме работы получается уравнение
о 3д2U1 „л3 дfy „ 2 ■ ди1 Q-q3—ф—^+30л2е§тф—1+
дф2 А2 дС2 дф
'дил
V дг1 I л
v 1 /г1 =1
=0. (10)
Здесь и = (р/ра ) - квадрат безразмерного давления в теле дросселя. Уравнение (10) является одним из граничных условий для уравнения (1).
5) На выходе из рабочего зазора давление воздуха равно атмосферному. Поэтому выполняется ещё два равенства:
и1С=0=1. =1. (11)
Переписав уравнение (1) в безразмерных переменных,
1 д2и п д2и д2и ди _
--Г+-2—Т+Л—^+^=0, (12)
1 дф2 А,2 дС2 дп2 дг1
формулируем окончательно вторую краевую задачу, состоящую в интегрировании уравнения (12) с граничными условиями (4), (6), (10), (11).
Рисунок 2 - Контрольный объём
Численное интегрирование и результаты расчётов подъёмной силы. Для числовых расчётов по
координатам ф , С , 1 вводилась равномерная сетка, производные в уравнениях (12), (10) заменялись отношением конечных разностей, и получающаяся при этом система линейных алгебраических уравнений относительно сеточной функции решалась средствами Mathcad. Имея значения квадрата безразмерного
2л 1
давления в узлах сетки, безразмерная подъёмная сила Р = 1 1VЦ СОЗСр^С^ф рассчитывалась с
0 0
применением двумерного аналога формулы Симпсона.
На рис. 3 представлены зависимости Р (б) при давлении наддува Рн = 5 и некоторых значениях
МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №11-2/2016 ISSN 2410-6070
параметров Q, х и А . Пунктирной линией показаны кривые, полученные в результате численного интегрирования уравнения (12), а сплошной линией - согласно численному интегрированию уравнения (3), полученному применением аппроксимации (2).
F
4,5
1,5
Q=1 , т=0 6, х= 1 /
У /
/ / --
л
!Э п , т=0, 6, х=: / /
/ / . / /
// ff
/
4,5
1,5
0
С2=3, т=0,1
0 0,25 0,5 0,75 6 0 0,25 0,5 0,75 6
а б
Рисунок 3 - Зависимость подъёмной силы от эксцентриситета
0 0,25 0,5 0,75 £ в
Во-первых, указанные зависимости показывают, что подъёмная сила всюду возрастает с увеличением эксцентриситета £, что является весьма ценным качеством рассматриваемой конструкции подшипника.
Во-вторых, приняв прямой численный метод интегрирования уравнения (1) за эталонный, графики показывают, что расчеты с применением сплайна (2) приводят к заниженным результатам значений подъёмной силы.
В третьих, это снижение существенно зависит от сочетаний О, X, ^ . В целом прослеживается закономерность снижения погрешности при уменьшении значения безразмерного параметра
Л = х/(ОА,)= 12стЯ// (с 3 ь) . Так, при Л = 0,6 (рис. 3а) максимальная погрешность (при £=1) равна 24%, в то время как при Л = 0,03 (рис. 3в) этот показатель составляет лишь 2,9%.
Можно предположить, что, в основном, погрешность метода с аппроксимаций (2) связана с игнорированием условия (6), исключающее утечки газа через торцы дросселя.
Таким образом, согласно представленных численных расчётов, аппроксимацию давления в изотропном цилиндрическом дросселе сплайном (2) можно рекомендовать либо как менее затратный способ расчёта для получения предварительной оценки параметров работы подшипника, либо, в случае повышенных требований к точности расчётов, при умеренных значениях относительного эксцентриситета £ и параметра Л.
Конечно, приведенные в работе выводы не являются исчерпывающими, так как вычисления проводились при случайно выбранных параметрах подшипника. Представляет интерес провести аналогичный анализ при оптимальных значениях параметров по тому или иному критерию, например, доставляющих максимум несущей способности или же жёсткости газового слоя.
Список использованной литературы:
1. Винокуров В.Н., Емельянов А.В. Новый метод расчёта цилиндрического газового подвеса с пористым дросселем [Текст] // Электронный журнал «Наука, техника и образование» №1/2016. - Калуга: ООО Манускрипт, 2016. - С. 1-9.
2. Винокуров В.Н., Емельянов А.В. Теория газостатического подпятника с изотропным пористым дросселем // Проблемы машиностроения и надёжности машин №6/2014. С. 88-94.
© Винокуров В.Н., 2016
