CC BY
0
УДК 512.54+512.7 DOI 10.24147/1812-3996.2024.1.33-41
УРАВНЕНИЯ ОТ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ НАД ДВУСТУПЕННО НИЛЬПОТЕНТНЫМИ ГРУППАМИ И ЦЕПОЧКИ ЦЕНТРАЛИЗАТОРОВ
И. М. Бучинский
аспирант, младший научный сотрудник, e-mail: buchvan@mail.ru
Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, г. Омск, Россия
Аннотация. Доказана эквивалентность понятий нетеровости по уравнениям от одной переменной двуступенно нильпотентной группы без кручения и существования в ней бесконечной цепочки строго убывающих централизаторов и приведена идея о двусторонней связи нетеровых по уравнениям частично коммутативных двуступенно нильпотентных групп с нетеровыми по уравнениям графами с петлями.
Ключевые слова: универсальная алгебраическая геометрия, уравнения от одной переменной, нетеровость по уравнениям, двуступенно нильпотентная группа, группа без кручения, централизатор, централизаторная размерность.
1. Введение
Алгебраическая система Л называется нетеровой по уравнениям, если любая система уравнений от конечного числа переменных над Л эквивалентна некоторой своей конечной подсистеме. В случае рассмотрения уравнений от одной переменной выделяют свойство нетеровости по уравнениям от одной переменной, или 1-нетеровости по уравнениям, сформулированное в работе [1] с упоминанием [2]. В [3] представлено обширное множество ссылок на работы, посвященные нетеровым по уравнениям алгебраическим системам.
Как следует из определения, одним из преимуществ нетеровых по уравнениям алгебраических систем является возможность изучения только конечных систем уравнений. Описание общего теоретического подхода, позволяющего взглянуть на координатные алгебры с разных точек зрения при помощи нетеровых по уравнениям алгебраических систем, можно найти в [3, теоремы 2.5.21, 2.5.22; 4].
Централизатором множества А элементов группы С называется множество всех таких элементов группы С, которые коммутируют сразу со всеми элементами из А. Рассматривая строго убывающие цепочки централизаторов, в работе [5] авторы ввели понятие централизаторной размерности. Кроме того, как было отмечено, например в [6], централизаторы образуют решетку. Фактически, понятие центра-лизаторной размерности группы совпадает с понятием высоты централизаторной решетки данной группы. В [5] было показано, что класс групп, имеющих централи-заторную решетку конечной высоты, универсально аксиоматизируем, а в [6] был
предложен алгоритм вычисления централизаторнои размерности для класса свободных частично коммутативных групп, обоснование которого впоследствии было упрощено в [7] на языке параболических и квазипараболических подгрупп. Помимо этого, в работе [8] было показано, что произвольная частично коммутативная двуступенно нильпотентная группа с некоторым графом коммутативности имеет ту же централизаторную размерность, что и частично коммутативная группа с тем же графом коммутативности.
Всюду далее будем обозначать через [х,у] = х-1у-1ху коммутатор двух элементов х, у из группы С. Многообразие двуступенно нильпотентных групп М2 определяется тождеством: [х,у,х] = [[х, у], г] = 1 для любых х,у,г € С для любой группы С из Ы2.
Данная работа посвящена ответу на вопрос о том, как связаны свойство нетеро-вости по уравнениям от одной переменной двуступенно нильпотентной группы С без кручения и высота централизаторной решетки С. Основным результатом данной работы является следующая теорема.
Теорема 1. Двуступенно нильпотентная группа С без кручения не является нетеровой по уравнениям от одной переменной тогда и только тогда, когда в С существует цепочка строго убывающих централизаторов бесконечной длины.
Нетрудно заметить, что ее можно переформулировать следующим образом в виде следствия.
Следствие 1. Двуступенно нильпотентная группа С без кручения является нетеровой по уравнениям от одной переменной тогда и только тогда, когда в С любая цепочка строго убывающих централизаторов обрывается на некотором конечном шаге, или, что то же самое, группа С принадлежит классу min-c.
Напомним, что нетеровость по уравнениям эквивалентна условию обрыва убывающих цепочек алгебраических множеств (см., например, [3, теорема 2.5.4]). Следствие 1 говорит нам о том, что при исследовании вопроса нетеровости по уравнениям от одной переменной над двуступенно нильпотентными группами без кручения нам достаточно рассматривать не все алгебраические множества, а ограничиваться централизаторами.
2. Предварительные сведения
Для ознакомления с теоретической базой данной статьи рекомендуем читателю работы [3; 9]. Следуя им, приведем основные необходимые нам понятия.
Если существует такое целое число <1, что группа С имеет цепочку длины <1 строго убывающих централизаторов и не имеет цепочки длины большей, чем <1, то говорят, что С имеет централизаторную размерность с&т(С) = ¿. Если такого целого числа <1 не существует, то положим аИт{0) = ж и будем говоить, что группа С имеет бесконечную централизаторную размерность.
Группа С называется группой без кручения, если для любого неединичного элемента д группы С из равенства дт = 1 всегда следует равенство т = 0.
Групповой язык Сдг - это язык, состоящий из двухместного функционального символа • для обозначения групповой операции умножения, одноместного функционального символа -1 (обращение) и константного символа е (единица группы): Сдг = {-,-1 ,е}. Расширение языка С множеством элементов группы С Сдг,с = С и С назовем групповым языком с константами из С.
Зная нормальную форму элементов двуступенно нильпотентной группы (см., например, [10]), мы имеем следующий общий вид уравнения от одной переменной х с коэффициентами д и а над двуступенно нильпотентной группой: хад[х, а] = 1.
Точка А Е Сп называется решением уравнения в(Х) языка Сдг,с от п переменных X = {х1,х2,..., хп} над группой С, если С = з(А). Под системой уравнений над некоторой группой мы будем понимать произвольное непустое множество уравнений над этой группой. Точка А Е Сп называется решением системы уравнений Б (X) над группой С, если А является решением каждого уравнения системы Б (X). Две системы уравнений Б1(Х) и Б2(Х) языка Сдг,с называются эквивалентными над группой С, если их множества решений совпадают.
Группа С называется нетеровой по уравнениям, если для любого целого положительного п любая система уравнений Б(X) от п переменных X эквивалентна своей некоторой конечной подсистеме Б0(Х) С Б(X). Группа С называется нетеровой по уравнениям от одной переменной, или 1-нетеровой по уравнениям, если любая система уравнений $(х) от одной переменной эквивалентна своей некоторой конечной подсистеме Б0(х) С Б(х). Будем говорить, что система уравнений не является нетеровой по уравнениям, если она не эквивалентна никакой своей конечной подсистеме.
3. Нетеровость по уравнениям от одной переменной и цепочки централизаторов
В статье [11] представлена лемма, которая является критерием ненетеровости по уравнениям для функциональных алгебраических систем. Однако без существенных изменений она справедлива и для произвольных алгебраических систем (см., например, [12, лемма 1]). Приведем формулировку этой леммы для произвольной алгебраической системы.
Лемма 1. Алгебраическая система А = (А, С) не является нетеровой по уравнениям тогда и только тогда, когда найдутся последовательность элементов {а^ем, а^ € Аа, и последовательность уравнений {зДХ, X = {х1,х2,..., хп}, языка С такие, что А = в^а^ для всех г Е N и А = ) для всех ] > г.
Замечание 1. В частности, из доказательства леммы 1 следует, что система уравнений, образованная последовательностью {зДХне является нетеровой по уравнениям.
Следующая лемма является достаточным условием отсутствия нетеровости по уравнениям от одной переменной в произвольных группах. Она известна нам из работы [2], в которой объясняется, что произвольный централизатор является алгеб-
раическим множеством, и того факта, что нетеровость по уравнениям группы эквивалентна условию обрыва строго убывающих цепочек алгебраических множеств (см., например, [3, теорема 2.5.4]). Кроме того. отметим, что идея этой леммы использовалась в работе [13].
Лемма 2. Если в группе С существует бесконечная цепочка строго убывающих централизаторов, то С не является 1-нетеровой по уравнениям.
Для некоторых групп имеет место быть и обратное утверждение. Следующая теорема устанавливает этот факт в случае двуступенно нильпотентных групп без кручения.
Теорема 1. Двуступенно нильпотентная группа С без кручения не является нетеровой по уравнениям от одной переменной тогда и только тогда, когда в С существует цепочка строго убывающих централизаторов бесконечной длины.
Доказательство. Необходимость следует из леммы 2.
Достаточность. Пусть С - двуступенно нильпотентная группа без кручения, не являющаяся нетеровой по уравнениям от одной переменной. Тогда по лемме 1 в С существуют последовательность уравнений 5(ж) = {ха1 д^[х, щ] = и последовательность элементов такие, что Щ1 д^Ь, щ] = 1 для всех % и Щ1 дг[Ь^ ] = 1 для всех ] > г.
Рассмотрим произвольное уравнение ха1 д^х, а^ = 1 системы 5(ж) и - его решение (оно существует в силу леммы 1). Сделаем во всей системе Б(х) замену переменной х = Ьг+1у. Тогда (Ьг+1у)а1 д^+1 у,аг] = 1. Возведя первую скобку в степень и расписав коммутатор, используя свойства группы С, для некоторого 7 получим уа1 1 д^+1, щ][у, а^Ь^^]1 = 1. Так как Ьг+1 является решением этого уравнения, то 1дг[Ьг+1,аг] = 1. Тогда уа1 [у, а^Ь^^]1 = 1. Получаем, что уа1 = [^,у][у . Судя по последнему равенству и исходя из того, что коммутант любой группы без кручения изолирован, значение переменной у обязано быть из коммутанта группы С. Из определения двуступенно нильпотентной группы ([[/ь ¡2], ¡з] = 1 для всех ¡2, ¡з € С) получаем, что уа1 = 1 и следовательно, так как С - группа без кручения, а^ = 0. Тогда каждое уравнение системы 5(ж) имеет вид д^[х, а^ = 1.
Рассмотрим первое уравнение д1[х,а1] = 1 системы 5(ж). Сделаем во всей системе 5(ж) замену переменной ж = Ъ2у. Тогда первое уравнение примет вид д1[Ь2у,а1] = 1. Отсюда д1[Ь2, а\][у, а\] = 1. Так как Ь2 является решением этого уравнения, то д1 [Ь2 ,а-\\ = 1. Таким образом, мы пришли к уравнению [у, с1] = 1, где с1 = а1. Переименуем в полученной системе Б1(у) переменную у в ж. Отметим, что система 81 (х) не является нетеровой по уравнениям.
Перейдем ко второму уравнению д2,1 [х,а2^\] = 1 системы Б1(х). Отметим, что оно, вообще говоря, могло измениться в результате предыдущей замены переменной - отсюда и параметры д21, а2>1. Рассмотрим Ь3,1 - решение первых двух уравнений (исходное Ь3 уже может не быть таким решением), которое существует в силу леммы 1 для системы 51(ж), не являющейся нетеровой по уравнениям. Сделаем в Б1 (ж) замену ж = Ь3,1у. Тогда, аналогичными рассуждениями, второе уравнение возможно привести к виду [у, с2] = 1 (отметим, что с2 = а2,1). Покажем, что вид первого уравнения при данной замене не изменится. Действительно, имеем [Ь3,1 у, с1] = 1.
Тогда \Ь3>1, с1][у, с1] = 1. Из того, что Ь3,1 является решением первого уравнения, то есть \Ь31, с1] = 1, получаем [у, с1] = 1.
Таким образом, продолжая данную процедуру, мы получим последовательность конечных систем {¿^¿(ж)}^ = {{[х,^] = 1}<г}г€к. Рассмотрим для произвольного I конечную цепочку множеств А1 С А2 С ... С Аг, где А^ = {с1,..., с{}. Покажем, что справедлива следующая конечная цепочка вложений централизаторов: С(А^ Э С(А2) Э ... 2 С(Аг). Действительно, для произвольного ] < г известно, что С(А^) 13 С(А^+1). Однако С(А^) э Е С(А^+1). При этом заметим, что
если А+ = Аг и {сг+1}, то С(Аг+1) непусто и С(Аг) Э С(Аг+1). Таким образом, так как г произвольное, было показано наличие цепочки строго убывающих централизаторов С (А^ Э С (А2) Э ... 2 С (Аг) Э ... бесконечной длины. ■
Понятие централизаторной размерности группы, сформулированное в работе [5], не различает между собой случаи «сколь угодно длинной цепочки централизаторов» и «цепочки централизаторов бесконечной длины»: в обеих этих ситуациях централизаторная размерность по определению равна то. Для нашей же задачи есть существенная разница между этими случаями, что и демонстрирует следующая пара примеров.
Пример 1. Частично коммутативная двуступенно нильпотентная группа С = (а11,Ьц,а21,Ь21,а22,Ь22,... ,аП1,ЬП1,... ,апп,Ьпп,... | [а^,Ык] = 1 для всех] = к) является 1-нетеровой по уравнениям группой со сколь угодно длинной (но не бесконечной) цепочкой централизаторов (рис. 1).
ап ЬЦ «21 Ь<2\ «31 &31
Ь33
Рис. 1. Граф коммутативности группы С из примера 1
Пример 2. Частично коммутативная двуступенно нильпотентная группа Н = (а1, Ь1, а2, Ь2,..., ап, Ьп,... | [а1, Ьу] = 1 для всех % = ]) не является 1-нетеровой по уравнениям группой с бесконечной цепочкой централизаторов (рис. 2).
4. Нетеровость по уравнениям для частично коммутативных двуступенно нильпотентных групп
Известно (см., например, [2; 3]), что любая конечно порожденная нильпотентная группа является нетеровой по уравнениям. В данном пункте мы будем рассматри-
Рис. 2. Граф коммутативности группы Н из примера 2
вать бесконечно порожденные частично коммутативные двуступенно нильпотент-ные группы и сформулируем для них критерий нетеровости по уравнениям. Доказательства некоторых фактов достаточно объемны, по этой причине результаты приведены без доказательств.
Для начала зафиксируем следующее замечание.
Замечание 2. Всякая частично коммутативная двуступенно нильпотентная группа является группой без кручения.
Пусть - свободная частично коммутативная двуступенно нильпотентная группа ранга 2. Результат [14, лемма 1] выглядит следующим образом:
Лемма 3. Каждая конечно порожденная частично коммутативная двуступенно нильпотентная <-группа аппроксимируется ^ над кольцом <.
Несложно понять, что утверждение этой леммы верно не только для <-групп, но и для групп над произвольными биномиальными кольцами. Для случая бесконечно порожденных частично коммутативных двуступенно нильпотентных групп эта лемма также верна. Из нее и [3, лемма 1.6.2] можно получить следующий результат.
Лемма 4. Всякая частично коммутативная двуступенно нильпотентная группа является подгруппой .
С другой стороны, имеет место
Лемма 5. Пусть С - двуступенно нильпотентная группа, являющаяся подгруппой в . Тогда справедливо следующее: С является нетеровой по уравнениям тогда и только тогда, когда она является нетеровой по уравнениям от одной переменной.
Таким образом, из лемм 4 и 5 мы имеем тот факт, что нетеровость по уравнениям и 1-нетеровость по уравнениям в случае частично коммутативных двуступенно нильпотентных групп являются эквивалентными понятиями.
Ранее в работах [6; 7] было показано, что существование цепочки строго убывающих централизаторов длины <1 в произвольной конечно порожденной частично коммутативной группе эквивалентно существованию цепочки строго убывающих централизаторов порождающих элементов длины ¿. На основе первой из данных работ в [8] был получен аналогичный результат для класса конечно порожденных частично коммутативных двуступенно нильпотентных групп. Можно получить аналогичные результаты для бесконечно порожденной частично коммутативной и бесконечно порожденной частично коммутативной двуступенно нильпотентной групп как для случая конечной цепочки централизаторов, так и для случаев сколь угодно длинных цепочек централизаторов и цепочек централизаторов бесконечной длины.
Таким образом, исходя из рассуждений выше и теоремы 1, существование бесконечной цепочки централизаторов в группе С эквивалентно наличию свойства совершенно ненетеровости, определенного в [12], у ее графа коммутативности Г с с петлями. Добавление петель необходимо по той причине, что в любой группе для любого ее элемента д имеет место равенство [д,д] = 1. Напомним, что все нетеровы по уравнениям графы с петлями ранее уже были описаны в работе [12].
Кроме того, в работе [15] была показана невыразимость свойства нетеровости по уравнениям для простых графов. Аналогичным способом с помощью игры Эрен-фойхта - Фраиссе на некоторой другой паре графов можно доказать невыразимость этого свойства и для графов с петлями. Можно показать, что эта невыразимость переносится в «невыразимость универсальными предложениями» в частично коммутативных двуступенно нильпотентных группах.
Из лемм 4, 5, теоремы 1 и всех рассуждений, приведенных выше, получаем
Теорема 2. Справедливы следующие утверждения:
1. Всякая частично коммутативная двуступенно нильпотентная группа является нетеровой по уравнениям тогда и только тогда, когда ее граф коммутативности с петлями нетеров по уравнениям.
2. Класс частично коммутативных двуступенно нильпотентных групп, не являющихся нетеровыми по уравнениям, не является универсально аксиоматизируемым.
Пункт 1 данного следствия в комбинации с результатами работы [12] дает нам описание всех нетеровых по уравнениям частично коммутативных двуступенно нильпотентных групп.
Благодарности
Работа выполнена в рамках государственного задания ИМ СО РАН, проект FWNF-2022-0003.
Литература
1. Baumslag G., Myasnikov A., Remeslennikov V Algebraic geometry over groups I: Algebraic sets and ideal theory // Journal of Algebra. - 1999. - Vol. 219, № 1. - P. 16-79. - DOI: 10.1006/jabr.1999.7881.
2. Bryant R. The verbal topology of a group // Journal of Algebra. - 1977. - Vol. 48, № 1. -P. 340-346. - URL: https://zbmath.org/0408.20022 (дата обращения: 12.05.2023).
3. Даниярова Э. Ю., Мясников А. Г., Ремесленников В. Н. Алгебраическая геометрия над алгебраическими системами. - Новосибирск : Изд-во СО РАН, 2016. - 243 с.
4. Daniyarova E., Miasnikov A., Remeslennikov V Unification theorems in algebraic geometry // Aspects of Infinite Groups: A Festschrift in Honor of Anthony Gaglione: conference (Fairfield, USA). - 2008. - P. 80-111. - DOI: 10.1142/9789812793416_0007.
5. Myasnikov A., Shumyatsky P. Discriminating groups and c-dimension // Journal of Group Theory. - 2004. - Vol. 7, № 1. - P. 135-142. - DOI: 10.1515/jgth.2003.039.
6. Duncan A. J., Kazachkov I. V, Remeslennikov V N. Centraliser Dimension of Partially Commutative Groups // Geom Dedicata. - 2006. - Vol. 120, № 1. - P. 73-97. - DOI: 10.1007/s10711-006-9046-3.
7. Duncan A. J., Kazachkov I. V, Remeslennikov V N. Parabolic and quasiparabolic subgroups of free partially commutative groups // Journal of Algebra. - 2007. - Vol. 318, № 2. - P. 918-932.
- DOI: 10.1016/j.jalgebra.2007.08.032.
8. Blatherwick V Centraliser dimension of free partially commutative nilpotent groups of class 2 // Glasgow Mathematical Journal. - 2008. - Vol. 50, № 2. - P. 251-269. - DOI: 10.1017/S0017089508004187.
9. Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. - М. : Наука, 1982. - 288 с.
10. Мищенко А. А., Трейер А. В. Графы коммутативности для частично коммутативных дву-ступенно нильпотентных Q-групп // Сибирские электронные математические известия.
- 2007. - Т. 4. - С. 460-481. - URL: http://semr.math.nsc.ru/v4/p460-481.pdf (дата обращения: 12.05.2023).
11. Котов М. В. Несколько замечаний о нетеровости по уравнениям // Вестник Омского университета. - 2013. - Т. 2013, № 2. - С. 24-28. - URL: https://cyberleninka.ru/article/n7neskolko-zamechaniy-o-nyoterovosti-po-uravneniyam (дата обращения: 12.05.2023).
12. Бучинский И. М., Трейер А. В. О графах, не являющихся нетеровыми по уравнениям // Сибирские электронные математические известия. - 2023. - Т. 20, № 2. - С. 580-587. -URL: http://semr.math.nsc.ru/v20/n2/p580-587.pdf (дата обращения: 12.08.2023).
13. Baumslag G., Myasnikov A., Roman'kov V Two Theorems about Equationally Noetherian Groups // Journal of Algebra. - 1997. - Vol. 194, № 2. - P. 654-664. - DOI: 10.1006/jabr.1997.7025.
14. Мищенко А. А. Структура координатных групп для алгебраических множеств в частично коммутативных нильпотентных группах // Алгебра и логика. - 2009. - Т. 48, № 3. -С. 378-399. - URL: http://mi.mathnet.ru/al404 (дата обращения: 12.05.2023).
15. Buchinskiy I. M., Treier A. V. On first order definability of equationally noetherian graphs // Journal of Physics: Conference Series. - 2021. - Vol. 1901, № 1. - P. 012032. - DOI: 10.1088/1742-6596/1901/1/012032.
EQUATIONS IN ONE VARIABLE OVER TWO-STEP NILPOTENT GROUPS AND CHAINS OF CENTRALIZERS
I.M. Buchinskiy
Postgraduate Student, Junior Researcher, e-mail: buchvan@mail.ru
Sobolev Institute of Mathematics SB RAS, Omsk, Russia
Abstract. In the article we prove the equivalence of the concepts of equationally Noetheri-anity of a torsion-free two-step nilpotent group and the existence in it of an infinite chain of strictly decreasing centralizers and present the idea of a two-way connection between equationally Noetherian partially commutative two-step nilpotent groups and equationally Noetherian graphs with loops.
Keywords: universal algebraic geometry, equations in one variable, equationally Noetherian property, class two nilpotent group, torsion-free group, centralizer, centralizer dimension.
Дата поступления в редакцию: 14.05.2023
