НЕТЕРОВОСТЬ ПО УРАВНЕНИЯМ И ЦЕПОЧКИ ЦЕНТРАЛИЗАТОРОВ В ГРУППАХ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник

п УДК 512.543.72

Омского университета.

2024 №1 (29) С 4-7 D01 10.24147/1812-3996.2024.1.4-7

НЕТЕРОВОСТЬ ПО УРАВНЕНИЯМ И ЦЕПОЧКИ ЦЕНТРАЛИЗАТОРОВ В ГРУППАХ

А. В. Трейер

канд. физ.-мат. наук, старший научный сотрудник, e-mail: alexander.treyer@gmail.com Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, г. Омск, Россия

Аннотация. Приведен пример нильпотентной группы, централизаторная размерность которой равна двум, но эта группа не является нетеровой по уравнениям от двух и более переменных. Построенный пример дает отрицательный ответ на вопрос Г. Баумслага, А. Г. Мясникова и В. Н. Ремесленникова об эквивалентности понятий нетеровости по уравнениям и нетеровости по уравнениям от одной переменной в группах. Результаты приводятся без доказательств.

Ключевые слова: нетеровость по уравнениям, централизаторная размерность, нильпотентные группы.

К 85-летию Владимира Никаноровича Ремесленникова

1. Введение

В 1999 г. в работе [1] были изложены основы алгебраической геометрии над группами. В этой статье показано, что базовые понятия и результаты классической алгебраической геометрии имеют аналоги в случае уравнений над группами. Далее эти идеи были развиты во множестве работ, посвященных изучению алгебраической геометрии над произвольными алгебраическими системами. В монографии [2] содержится теоретическая основа таких исследований, там же можно найти обширный список работ, посвященных этой тематике. В этом же источнике содержатся определения всех используемых в настоящей работе понятий, мы приведем список необходимых определений в параграфе 2.

Одним из важных свойств алгебраических систем с точки зрения алгебраической геометрии является понятие нетеровости по уравнениям.

Определение 1. Алгебраическая система А называется нетеровой по уравнениям, если для любого натурального п любая система уравнений Б от п переменных x эквивалентна своей некоторой конечной подсистеме ¿о^) С Б

Существует ослабленная версия свойства нетеровости по уравнениям.

Определение 2. Пусть п - натуральное число. Будем говорить, что алгебраическая система А и-нетерова по уравнениям, если любая система уравнений Б(х) от п переменных эквивалентна своей некоторой конечной подсистеме.

В статье [1] авторы задают вопрос:

Вопрос 1. Пусть Ь - язык теории групп, С - группа и Ьс - язык теории групп с множеством констант из группы С. Пусть группа С = (С, Ьс) является 1-нетеровой по уравнениям. Следует ли отсюда, что группа С нетерова по уравнениям?

Другими словами, авторы статьи [1] задают вопрос: являются ли определение 1 и определение 2 эквивалентными для групп? В настоящей статье дается отрицательный ответ на поставленный вопрос. Построена двуступенно нильпотентная группа С, которая является нетеровой по уравнениям от одной переменной, но не является нетеровой по уравнениям от двух и более переменных. Доказательство нетеровости по уравнениям от одной переменной для группы С опирается на предложение 2 о том, что в двуступенно нильпотентной группе без кручения, не являющейся нетеровой по уравнениям от одной переменной, существует сколь угодно длинные конечные цепочки строго убывающих централизаторов, другими словами, централи-заторная размерность группы С бесконечна.

Отметим, что в статье [3] показано, что для минимаксных алгебраических систем из свойства и-нетеровости по уравнениям не следует обычная нетеровость по уравнениям для любого п.

2. Предварительные сведения

В данном параграфе приведем используемые в статье результаты и определения, касающиеся алгебраической геометрии над группами и теоретико-модельных свойств нильпотентных групп. Приведем базовые понятия об уравнениях над группами, следуя монографии [2]. Пусть С - некоторая группа и Сдг - стандартный язык теории групп, содержащий бинарную операцию умножения ■, унарную операцию обращения -1 и константный символ 1, являющийся тривиальным элементом группы. В статье мы будем рассматривать уравнения в языке Сдг, а также в языке с константами из рассматриваемой группы С: Со = Сдг и С. В случае, когда неважно, рассматриваем ли мы групповой язык с константами или без, мы будем использовать символ С. Пусть x = |ж1,..., хп} - конечный набор переменных, - терм языка С от переменных x. Формула = 1 называется уравнением от переменных x. Любое множество уравнений языка С от переменных x называется системой уравнений.

Точка a € Сп называется решением уравнения = 1 языка С от п переменных x над группой С, если Ь^а) = 1 в группе С. Точка a € Аа называется решением системы уравнений Б над алгеброй С, если точка a является решением каждого уравнения системы Б

Две системы уравнений Б1 и языка С называются эквивалентными над группой С, если множества их решений совпадают.

Пусть С - двуступенно нильпотентная группа. Тогда общий вид уравения от переменной х выглядит следующим образом: ха ■ а ■ [х, Ь] = 1, где а € 2, а,Ь € С и [х, Ь] = х-1Ь-1хЬ. Общий вид уравнений от двух переменных в группе С будет

6

Трейер А. В. Нетеровость по уравнениям..

следующим:

ха • у13 • а • [х, у]1 • [х, Ь] • [у,с] = 1,

где Е Ъ, а,Ь,с Е С.

Следующая лемма из [3] представляет из себя удобный инструмент для поиска ненетеровых систем уравнений в алгебраических системах.

Лемма 1. Алгебраическая система А = (А, С) не является нетеровой по уравнениям тогда и только тогда, когда найдутся последовательность элементов (аг)г^ц, а Е Ап, и последовательность уравнений (зДх))^, х = {х\,... ,хп}, языка С такие, что А = з^а^) для всех г Е N и А = (а^) для всех з < г.

3. Централизаторная размерность и нетеровость по уравнениям

Пусть д Е С, тогда централизатор элемента д - это множество С(д) = {к Е [д, к] = 1}. Пусть М С С, тогда С(М) = Р|деМ С(д). Поскольку централизатор элемента д можно задать с помощью уравнения [х,д] = 1, то несложно обосновать следующее предложение:

Предложение 1. Если в группе С существует строго убывающая цепочка централизаторов бесконечной длины, то группа С не является нетеровой по уравнениям от одной переменной.

Можно ли обратить предложение 1? Для случая двуступенно нильпотентных групп без кручения верен следующий факт:

Предложение 2. Пусть С - двуступенно нильпотентная группа без кручения, не являющаяся нетеровой по уравнениям от одной переменной. Тогда в группе С существуют строго убывающие цепочки централизаторов сколь угодно большой конечной длины.

4. Ответ на вопрос Баумслага - Мясникова - Ремесленникова

В этом параграфе мы построим группу, являющуюся нетеровой по уравнениям от одной переменной, но при этом существует бесконечная ненетерова система уравнений от двух переменных над этой группой.

Итак, пусть

С = (аг,а2 ...ММ ... ,сх,с2 ... ... \[^,Ъз ] = [с1 },г > 3,1,3 Е К^^Ж).

Группа С не является нетеровой по уравнениям, так как существует система уравнений 5 и последовательность элементов (а¿, ¿г) Е С2, удовлетворяющие лемме 1:

'[x,bi][y,ci] [Х,Ь2][У,С2]

1 1

(ai,di) (a2,d2)

[x,bi][y,ci]

1

(audi)

\

С другой стороны, по предложению 1: если группа С ненетерова по уравнениям от одной переменной, то в группе С существуют строго убывающие цепочки централизаторов сколь угодно большой конечной длины. Но максимальная длина цепочки централизаторов в группе С равна трем. Таким образом, верна следующая теорема, дающая ответ на вопрос 1:

Теорема 1. В обозначениях выше группа С является нетеровой по уравнениям от одной переменной, но не является нетеровой по уравнениям.

Благодарности

Работа выполнена в рамках государственного задания ИМ СО РАН, проект

1. Baumslag G., Miasnikov A., Remeslennikov V. Algebraic geometry over groups I. Algebraic sets and ideal theory//Journal of Algebra. - 1999. - Vol. 219. - P. 16-79.

2. Даниярова Э. Ю., Мясников А. Г., Ремесленников В. Н. Алгебраическая геометрия над алгебраическими системами. - Новосибирск : Изд-во СО РАН, 2016. - 243 с.

3. Котов М. В. Несколько замечаний о нетеровости по уравнениям // Вестник Омского университета. - 2013. - №. 2. - С. 24-28.

NOETHERICITY BY EQUATIONS AND CHAINS OF CENTRALIZERS IN GROUPS

A.V. Treier

Ph.D. (Phys.-Math.), Senior Researcher, e-mail: alexander.treyer@gmail.com

Abstract. The article gives an example of a nilpotent group whose centralizer dimension is two, but this group is not Noetherian by equations in two or more variables. The constructed example gives a negative answer to the question of G. Baumslag, A.G. Myasnikov and V.N. Remeslennikov on the equivalence of the concepts of noethericity by equations and noethericity by one variable equations in groups. The results are given without proofs.

Keywords: noethericity by equations, centralizers, nilpotent groups.

FWNF-2022-0003.

Литература

Sobolev Institute of Mathematics SB RAS, Omsk, Russia

Дата поступления в редакцию: 01.11.2023