CC BY
5
УДК 512.718+512.54.0 DOI 10.24147/1812-3996.2023.5.48-56
УНИВЕРСАЛЬНАЯ АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ:
ВПЕРЕД В БУДУЩЕЕ
Э.Ю. Даниярова1
канд. физ.-мат. наук, e-mail: evelina.omsk@list.ru А.Г. Мясников2 д-р физ.-мат. наук, профессор, e-mail: amiasnikov@gmail.com В.Н. Ремесленников1
д-р физ.-мат. наук, профессор, e-mail: remesl@ofim.oscsbras.ru
1 Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Омск, Россия 2Stevens Institute of Technology, Hoboken NJ, USA
Аннотация. Здание универсальной алгебраической геометрии, или алгебраической геометрии над алгебраическими системами, выстраивается уже в течение четверти века. В нашей обзорной статье речь пойдёт об истории развития теории универсальной алгебраической геометрии, о задачах, которые её вызвали к жизни, и тех, что возникают в процессе построения этой теории, о том состоянии, в котором мы обнаруживаем универсальную алгебраическую геометрию в настоящее время, и, главное, о тех направлениях, в которых она продолжает свой естественный прирост.
Ключевые слова: универсальная алгебраическая геометрия, алгебраическая система, проблема Тарского, свободная группа, разрешимая группа, абелева группа, нильпотентная группа, проблема Плоткина, логическая геометрия, теория интерпретаций.
1. Переход от классической алгебраической геометрии к универсальной
Универсальная алгебраическая геометрия — это алгебраическая геометрия над произвольными алгебраическими системами любых языков. Мы фиксируем язык L, который может включать в себя символы констант, функций (операций) и предикатов (отношений). Затем фиксируем алгебраическую систему Л языка L. Это может быть полугруппа, группа, моноид, кольцо, алгебра Ли, модуль, упорядоченное поле, упорядоченная группа, граф — что угодно. Так, например, если L = {+, —, •, 0,1,а,а € к} — кольцевой язык, где a € к — константные символы, соответствующие элементам алгебраически замкнутого поля к, то алгебраическую геометрию над к в языке L часто называют классической алгебраической геометрией.
1.1. Перенос терминологии
Что такое алгебраическая геометрия над произвольной фиксированной алгебраической системой Л? По языку Ь единообразным способом определяется множество атомарных формул ) от переменных X = {х\,... ,хп}. Атомарные формулы из ) мы называем уравнениями языка Ь, и это совпадает с обычным определением алгебраического уравнения в случае, когда Л есть группа, кольцо или поле.
Далее естественным образом определяются алгебро-геометрические понятия системы уравнений, алгебраического множества, радикала, координатной алгебры, топологии Зарисского, неприводимого множества, размерности Крулля. Затем стандартным способом вводятся две категории: категория ЛБ (Л) алгебраических множеств и категория СЛ(Л) координатных алгебр алгебраических множеств. Тем самым мы связываем с Л два типа объектов: геометрические — это алгебраические множества, и алгебраические — это координатные алгебры.
1.2. Перенос задач
Основные цели исследований в алгебраической геометрии над Л следующие: это классическая Диофантова проблема (существует ли алгоритм для проверки совместности конечных систем уравнений); описание/нахождение для совместной системы уравнений $ соответствующего ей алгебраического множества Уд(5"); описание/вычисление радикала ИлЛд^) (Nullstellensatz) и координатной алгебры Гд(5); нахождение неприводимых компонент множества Уд(5") и алгебраическая характеризация координатных алгебр неприводимых алгебраических множеств в случае нётеровой топологии Зарисского; описание/нахождение размерности Крулля координатной алгебры Гд(б'); а также всестороннее описание категорий ЛБ(Л) и СЛ(Л), в частности, описание Ь-систем в данном классе К, имеющих одинаковые (изоморфные, эквивалентные) категории алгебраических множеств.
1.3. Что такое универсальная алгебраическая геометрия?
Это совокупность результатов, накопленных к настоящему времени в алгебраической геометрии над различными алгебраическими системами за рамками классической алгебраической геометрии, то есть над группами, полугруппами, алгебрами, графами и пр. Анализ структур алгебраических множеств и координатных алгебр над конкретными алгебраическими системами вызвал потребность в теоретическом осмыслении накопленного материала. Есть общие закономерности алгебраической геометрии вне зависимости от выбора конкретной алгебраической системы Л. Эти общие закономерности формируют теоретико-модельный каркас универсальной алгебраической геометрии, чему посвящена серия статей авторов, материал которых впоследствии был оформлен в виде монографии [1]. Универсальная алгебраическая геометрия и алгебраическая геометрия конкретных алгебраических систем находятся в тесной связи друг с другом, первая даёт второй общую теоретическую рамку для конкретных исследований, а вторая наполняет первую свежими идеями, проблематикой и определяет направления развития.
2. Краткая предыстория появления универсальной алгебраической геометрии
2.1. Проблема Тарского
Важно понимать, что зарождение алгебраической геометрии над алгебраическими системами в середине 90-х годов XX века было совершенно естественным. Вырос этот проект из другого грандиозного проекта, связанного с решением проблемы Тарского для свободных групп, которая ставила вопрос: верно ли, что все свободные неабалевы конечно порождённые группы элементарно эквивалентны? Свой вклад в решение проблемы Тарского внесли многие математики, но окончательный положительный ответ был дан в цикле статей А. Г. Мясникова и О. Г. Харлампович [2-5], а также Ц. Селы [6-9].
2.2. Алгебраическая геометрия над группами и алгебрами
Пусть к решению проблемы Тарского получился долгим и сложным. Одним из этапов изучения элементарной теории свободной группы стало описание её универсальной теории. И тут оказалось, что независимо друг от друга А. Г. Мясников и В. Н. Ремесленников, с одной стороны, и Б. И. Плоткин, с другой стороны, поняли, что в процессе описания универсальной теории свободной группы возникают конструкции, повторяющие те, что есть в классической алгебраической геометрии, более того, алгебро-геометрический язык здесь исключительно удобен. В это время был разработан переход от классической алгебраической геометрии над полем к алгебраической геометрии над группами и алгебрами, появились соответствующие статьи [10-13].
Отметим также, что алгебраическая геометрия над алгебраическими системами — это не единственное новое научное направление в математике, появление которого было спровоцировано изучением теории свободной группы.
Далее стало появляться всё больше и больше статей с результатами по алгебраической геометрии над различными группами, алгебрами Ли, полугруппами, моноидами, графами, матроидами — всех публикаций не перечислить. Особенно хочется отметить стройную теорию алгебраической геометрии для класса жёстких разрешимых групп, который был определён Н. С. Романовским; этот класс, в частности, содержит свободные разрешимые группы. А самая наглядная, полная, красивая и доступная к изучению даже для студентов начальных курсов — алгебраическая геометрия над абелевыми группами.
3. Проблематика универсальной алгебраической геометрии
Задачи, которые решает алгебраическая геометрия над алгебраическими системами, можно условно разбить на две группы. В первую мы поместим те из них, которые наследуются по своему смыслу и формулировке из классической алгебраической геометрии, о них уже шла речь выше.
Во вторую группу входят те задачи, которых не знает классическая алгебраическая геометрия. Например, дана алгебраическая система Л, нужно понять, является
она нётеровой по уравнениям или нет (то есть будет ли над ней любая система уравнений эквивалентна некоторой своей конечной подсистеме), затем, является ли она эквациональной областью или нет (то есть будут ли конечные объединения алгебраических множеств алгебраическими).
3.1. Проблема Плоткина
Особый класс задач возникает в связи с проблемой Плоткина, который спрашивал: при каких условиях две алгебраические системы Л и В одного языка Ь имеют одинаковые алгебраические геометрии? Этот вопрос воплощается в понятия геометрической эквивалентности алгебраических систем, универсальной геометрической эквивалентности, геометрического подобия, изотипности и пр. [14]. Список статей, посвященных всестороннему исследованию пробелы Плоткина, её вариаций, её конкретизаций для классических многообразий, поистине обширен.
3.2. Особые классы алгебраических систем
Далее, есть специфический тип проблем универсальной алгебраической геометрии, связанный с описанием важных классов алгебраических систем. Скажем, пусть Р — некоторое свойство алгебраических систем, определяемое универсальным способом для всех алгебраических систем всех языков, например, нётеровость по уравнениям, -компактность, свойство быть эквациональной областью или ко-областью и др. Каждое из них выделяет класс алгебраических систем, которым присуще свойство Р.
Вопросы взаимоотношений этих классов, их замкнутости или незамкнутости относительно различных геометрических и теоретико-модельных эквивалентностей в общем случае и в конкретных многообразиях порождают многие проблемы универсальной алгебраической геометрии.
4. Что происходит в универсальной алгебраической геометрии в последние годы, какие направления особенно интересны?
Во-первых, появляются новые любопытные результаты, связанные с исследованием нётеровости по уравнениям в различных классах алгебраических систем, например, работы [15-23]. При этом, скажем, вопрос о нётеровости по уравнениям для свободной конечно порождённой неабелевой алгебры Ли до сих пор открыт.
Во-вторых, идут исследования в ассоциативных алгебрах и алгебрах Ли [24-26]. Будем с нетерпением ждать решения основных алгебро-геометрических задач в этих классах. В перечисленных работах речь идёт, в том числе, о Диофантовой проблеме в соответствующих алгебрах. В целом свежих публикаций по Диофан-товой проблеме в различных алгебраических системах, группах, моноидах, графах, довольно много (см., например, [27-29]).
Работ по вычислению размерности Крулля пока не так много. В основном они касаются разрешимых групп [30] и свободных групп [31]. А было бы очень интерес-
но увидеть результаты на тему размерности Крулля и в других классах. До сих пор мы не знаем примера алгебраической системы, в которой размерность Крулля для координатных алгебр алгебраических множеств от п переменных и ниже конечна, а для п +1 и выше бесконечна.
Активно развивается алгебро-геометрическая теория для свободных, гиперболических и им подобных групп, но и здесь пока рано подводить окончательные итоги. Отметим, что в настоящее время есть три существенно различных алгоритма для решения систем уравнений в свободных (гиперболических без кручения) группах и соответственно три разных способа описания алгебраических множеств. Во-первых, это исходный алгоритм Маканина-Разборова и описание решений в терминах диаграм Маканина - Разборова. Во-вторых, алгоритм Мясникова -Харлампович, когда данная система уравнений редуцируется к конечному набору треугольных систем, где лидирующие части являются квадратичными уравнениями (так называемые невырожденные треугольные квази-квадратичные системы), и каждое решение такой системы строится из решений чисто квадратичных уравнений, поднимаясь снизу вверх, причём квадратичные уравнения решаются не в самой исходной группе, а в неприводимой координатной группе всех уравнений треугольной системы, расположенных ниже данного. Каждое решение исходной системы при помощи некоторого вербального отображения получается из решения одной из полученных треугольных систем. Процесс сведения данной системы к треугольным является аналогом процесса элиминации в классической алгебраической геометрии, а процесс решения таких треугольных систем «снизу вверх» в общих точках предыдущих уравнений — это аналог метода «расширения». В классической алгебраической геометрии оба метода активно используются для решения полиномиальных уравнений при помощи техники базисов Грёбнера. Наконец, третий способ появился недавно в работах А. Йеша, В. Дикерта, В. Пландовски, Л. Чиобану и М. Элдера [32-34]. Он основан на совершенно других идеях, идущих из теоретических компьютерных наук и реализуется в виде довольно понятного недетерминистского процесса переписывания уравнений. В результате строится некоторый конечный направленный граф, оснащённый вербальными отображениями на переменных, а решение получается из композиций таких отображений, следуя какому-нибудь пути по графу. Такое описание решений несколько напоминает диаграммы Маканина-Разборова, но есть существенная разница: в данном случае решение в свободной группе, полученное композицией, сразу является неприводимым (без свободных сокращений), что не так в случае диаграмм Маканина-Разборова. Все эти три метода решения уравнений подчеркивают разные аспекты Диофантовой проблемы: диаграммы Маканина-Разборова открыли принципиально новые способы описания решений, метод элиминации к невырожденным треугольным квазиквадратичным системам оказался очень полезным для решения задач алгебраической геометрии над свободными и гиперболическими группами, а метод Йеша даёт в настоящее время наиболее быстрые решающие алгоритмы и в целом проясняет алгоритмическую сложность Диофантовой проблемы в таких группах (несмотря на то, что точная сложность Диофантовой проблемы здесь по-прежнему неизвестна).
Есть много частных результатов по алгебраической геометрии над нильпотент-ными группами, в том числе, над степенными, а построение общей теории — это
перспективный проект на будущее.
Несмотря на то, что в нильпотентных, метабелевых, полициклических группах уравнения неразрешимы, там имеет смысл попробовать реализовать технику в духе Маканина - Разборова.
Другое возможное направление для будущих исследований в универсальной алгебраической геометрии — это развитие подхода по подобию техники Гротендика в классической алгебраической геометрии.
5. Выход за пределы универсальной алгебраической геометрии
Получив свой старт из классической алгебраической геометрии, универсальная алгебраическая геометрия пошла дальше.
5.1. Логическая геометрия
Б. И. Плоткин предложил и реализовал идею обобщения алгебро-геометрической теории при переходе от понятия уравнения как атомарной формулы к уравнению в виде произвольной формулы логики первого порядка [35]. Алгебраические множества, которые при этом возникают, называются логическими множествами. Их координатные алгебры являются сложными объектами, так называемыми алгебрами Халмоша. В целом теория алгебраической геометрии в логике первого порядка носит название логической геометрии.
Геометрическая эквивалентность по Плоткину в логической геометрии обретает свой аналог — логическую эквивалентность, которая совпадает с изотипно-стью [36] и порождает, в свою очередь, интересный спектр вопросов для изучения [37].
В универсальной алгебраической геометрии геометрическая эквивалентность двух алгебраических систем Л и В сопряжена с изоморфизмом категорий их алгебраических множеств ЛБ(Л) и ЛБ(В). Аналогичный результат есть и в логической геометрии для категорий логических множеств.
5.2. Теория интерпретаций
Однако в логической геометрии мы можем пойти дальше и определить категорию VСБ (Л) проективных логических множеств над алгебраической системой Л. Что это даст? Оказывается, что через эти категории мы можем установить тесное сотрудничество между логической геометрией и теорией интерпретаций.
Первое, что мы получаем — это теорема о том, что биинтерпретируемость алгебраических систем Л и В, вообще говоря, разных языков влечёт за собой эквивалентность их категорий VСБ (Л) и VСБ (В) проективных логических множеств.
Второе — работа с категориями вида VСБ (Л) оказывается очень удобным и наглядным инструментом для доказательства различных фактов, важных для теории интерпретации.
Во всех перечисленных направлениях остаётся много нерешённых задач как сложных, так и доступных даже студентам. Будем и дальше с неослабевающим интересом наблюдать за развитием универсальной алгебро-геометрической теории и её ответвлений, фиксировать и осмыслять этот процесс!
Благодарности
Работа выполнена в рамках государственного задания ИМ СО РАН, проект FWNF-2022-0003.
Литература
1. Даниярова Э.Ю., Мясников А.Г., Ремесленников В.Н. Алгебраическая геометрия над алгебраическими системами. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2016. 243 с.
2. Kharlampovich O., Myasnikov A. Irreducible affine varieties over free group I: Irreducibility of quadratic equations and Nullstellensatz // J. Algebra. 1998. V. 200, N. 2. P. 472-516.
3. Kharlampovich O., Myasnikov A. Irreducible affine varieties over free group II: Systems in trangular quasi-quadratic form and description of residually free groups // J. Algebra. 1998. V. 200, N. 2. P. 517-570.
4. Kharlampovich O., Myasnikov A. Algebraic geometry over free groups: Lifting solutions into generic points // Contemp. Math. 2005. V. 378, P. 213-318.
5. Kharlampovich O., Myasnikov A. Elementary theory of free nonabelian groups // J. Algebra. 2006. V. 302, N. 2. P. 451-552.
6. Sela Z. Diophantine geometry over groups I: Makanin-Razborov diagrams // Publications Mathematiques de l'IHES. 2001. V. 93. P. 31-105.
7. Sela Z. Diophantine geometry over groups II: Completions, closures and formal solutions // Israel J. Math. 2003. V. 134. P. 173-254.
8. Sela Z. Diophantine geometry over groups VI: The elementary theory of a free group // GAFA. 2006. V. 16. P. 707-730.
9. Sela Z. Diophantine geometry over groups VIII: Stability // Annals Math. 2013. V. 177. P. 787868.
10. Baumslag G., Myasnikov A., Remeslennikov V. Algebraic geometry over groups I: Algebraic sets and ideal theory // J. Algebra. 1999. V. 219. P. 16-79.
11. Myasnikov A., Remeslennikov V. Algebraic geometry over groups II: Logical foundations // J. Algebra. 2000. V. 234. P. 225-276.
12. Plotkin B. Varieties of algebras and algebraic varieties. Categories of algebraic varieties // Siberian Advances in Math. 1997. V. 7, N. 2. P. 64-97.
13. Plotkin B.I. Seven lectures on the universal algebraic geometry // Groups, Algebras, Identities. Cont. Math, AMS. 2019. V. 726. P. 143-215.
14. Plotkin B.I. Geometrical equivalence, geometrical similarity, and geometrical compatibility of algebras // J. Math. Sciences (New York). 2007. V. 140, N. 5. P. 716-728.
15. Шевляков А.Н. Сплетения полугрупп и проблема Б.И. Плоткина // Алгебра и логика, принята к печати.
16. Shevlyakov A.N. Equationally Noetherian varieties of semigroups and B. Plotkin's problem // SEMR. 2023. Т. 20, N. 2. P. 724-734.
17. Shevlyakov A. Direct powers of algebraic structures and equations //ПДМ. 2022. Т. 58. С. 3139.
18. Shevlyakov A. On group automorphisms in universal algebraic geometry // Groups, Complexity, Cryptology. 2019. V. 11, N. 2. P. 115-122.
19. Shevlyakov A., Shahryary M. Direct products, varieties, and compactness conditions // Groups, Complexity, Cryptology. 2017. V. 9, N. 2. P. 159-166.
20. Бучинский И.М, Трейер А.В. О графах, не являющихся нётеровыми по уравнениям // SEMR. 2023. Т. 20, N. 2. С. 580-587.
21. Бучинский И.М, Котов М.В., Трейер А.В. О предикатных алгебраических системах, не являющихся нётеровыми по уравнениям // отправлена в журнал.
22. Трейер А.В. О 1-нётеровости по уравнениям для групп // отправлена в журнал.
23. Бучинский И.М. Уравнения от одной переменной над двуступенно нильпотентными группами и цепочки централизаторов // отправлена в журнал.
24. Kharlampovich O., Myasnikov A. Tarski-type problems for free associative algebras // J. Algebra. 2018. V. 500. P. 589-643.
25. Kharlampovich O., Myasnikov A. Equations in algebras // Int. J. Algebra Comp. 2018. V. 28, N. 08. P. 1517-1533.
26. Kharlampovich O., Myasnikov A. Undecidability of the first order theories of free non-commutative Lie algebras //J. Symb. Logic. 2018. V. 83, N. 3. P. 1204-1216.
27. Ильев А.В., Ремесленников В.Н. Исследование совместности систем уравнений над графами и нахождение их общих решений // Вестник Омского ун-та. 2017. Т. 86, N. 4. C. 2632.
28. Горкун И.Ф., Рыбалов А.Н. Генерическая NP-полнота проблем разрешимости систем уравнений над конечными группами, полугруппами и полями // Вестник Омского ун-та, принята к печати.
29. Пичуев К.Д., Рыбалов А.Н. О сложности решения уравнений в бициклическом моноиде // Вестник Омского ун-та, принята к печати.
30. Myasnikov A., Romanovskiy N. Krull dimension of solvable groups //J. Algebra. 2010. V. 324, N. 10. P. 2814-2831.
31. Louder L. Krull dimension for limit groups // Geometry & Topology. 2012. V. 16, N. 10. P. 219-299.
32. Diekert V., Jez A., Plandowski W. Finding all solutions of equations in free groups and monoids with involution // Inform. Comput. 2016. V. 251. P. 263-286.
33. Ciobanu L., Diekert V., Elder M. Solution sets for equations over free groups are EDT0L languages // Int. J. Algebra Comput. 2016. V. 26, N. 5. P. 843-886.
34. Ciobanu L., Elder M. The complexity of solution sets to equations in hyperbolic groups // Israel J. Math. 2021. V. 245. P. 869-920.
35. Plotkin B. Algebraic logic and logical geometry in arbitrary varieties of algebras // Proc. Conf. Group Theory, Comb. Comp., AMS Cont. Math. Ser. 2014. P. 151-169.
36. Плоткин Б.И. Изотипные алгебры // Совр. пробл. матем. 2011. Т. 15. С. 40-66.
37. Myasnikov A.G., Romanovskii N.S. Characterization of finitely generated groups by types // Int. J. Algebra Comp. 2018. V. 28, N. 8. P. 1613-1632.
UNIVERSAL ALGEBRAIC GEOMETRY: FORWARD TO THE FUTURE
E.Yu. Daniyarova1
Ph.D. (Phys.-Math.), e-mail: evelina.omsk@list.ru A.G. Myasnikov2 Dr.Sc. (Phys.-Math.), Professor, e-mail: amiasnikov@gmail.com
V.N. Remeslennikov1 Dr.Sc. (Phys.-Math.), Professor, e-mail: remesl@ofim.oscsbras.ru
1Sobolev Institute of Mathematics SB RAS, Omsk, Russia 2Stevens Institute of Technology, Hoboken NJ, USA
Abstract. The building of universal algebraic geometry, or algebraic geometry over algebraic structures, has been under construction for a quarter of a century. In our review article we will talk about the history of the development of the theory of universal algebraic geometry, the problems that brought it to life, and those that arise in the process of building this theory, the state in which we find universal algebraic geometry today, and, most importantly, about those directions in which it continues its natural growth.
Keywords: universal algebraic geometry, algebraic structure, Tarski problem, free group, solvable group, abelian group, nilpotent group, Plotkin problem, logical geometry, interpretation theory.
Дата поступления в редакцию: 25.10.2023
