CC BY
21
УДК 512.53
DOI 10.25513/1812-3996.2018.23(4).60-63
АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НАД ГРУППАМИ В ПРЕДИКАТНОМ ЯЗЫКЕ (посвящается 80-летию профессора Владимира Никаноровича Ремесленникова)
А. Н. Шевляков
Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Омский филиал, г. Омск, Россия
Дата принятия в печать 17.10.2018
Дата онлайн-размещения 14.12.2018
Ключевые слова
Предикаты, группы, алгебраическая геометрия
Финансирование
Исследование выполнено при поддержке гранта Российского фонда фундаментальных исследований в рамках научного проекта № 18-31-00330
ALGEBRAIC GEOMETRY OVER GROUPS IN PREDICATE LANGUAGE
(paper dedicated to professor Vladimir Nikanorovich Remeslennikov on the occasion
of his 80 th birthday)
А. N. Shevlyakov
Sobolev Institute of Mathematics SB RAS, Omsk Branch, Omsk, Russia
Article info Abstract. We study groups as algebraic structures of pure predicate language. For such lan-
Received guage we develop algebraic geometry and prove results about algebraic sets and coordinate
07.09.2018 groups.
Accepted 17.10.2018
Available online 14.12.2018
Keywords
Predicates, groups, algebraic geometry
Acknowledgements
The reported study was funded by Russian Fund of Fundamental Research according to the research project № 18-31-00330
1. Введение ются как алгебраические системы функциональных
Как правило, классические алгебраические языков. С другой стороны, в теории моделей суще-объекты (группы, кольца, решетки...) рассматрива- ствуют процедуры, позволяющие пополнять функци-
Информация о статье
Дата поступления 07.09.2018
Аннотация. В данной работе мы изучаем группы, заданные в предикатном языке. Для данного языка будет изложена алгебраическая геометрия и доказаны аналоги результатов об алгебраических множествах и координатных группах.
ISSN 1812-3996-
ональный язык новыми предикатными символами или моделировать значения функций (констант) предикатами. Например, к процедурам такого типа относится морлеизация (Morleyization), заключающаяся в добавлении в исходный язык £ новых предикатных символов РФ, где ф пробегает всё множество формул языка В результате морлеизации алгебраическая система приобретает новые свойства, отсутствовавшие в исходном языке.
Поскольку подход к алгебраической геометрии над алгебраическими системами, изложенный в монографии [1], основан на теоретико-модельных понятиях, то можно ожидать, что при переходе к предикатному языку алгебраическая система приобретет новые алгебро-геометрические свойства.
В настоящей работе мы осуществляем переход от стандартного языка £ теории групп к чисто предикатному языку ¿р, моделируя функции и константы языка £ предикатами в языке ¿р, а затем изучаем ал-гебро-геометрические свойства группы в в новом языке. Для групп, рассматриваемых в предикатном языке ¿р, нами доказана нетеровость по уравнениям (теорема 1), а также описаны координатные группы неприводимых (теорема 2) и произвольных алгебраических множеств (теорема 3). Неформальный смысл полученных результатов и их возможные приложения мы обсуждаем в замечании 4. 2. Основные определения Ниже мы приводим основные определения алгебраической геометрии над группами, следуя монографии [1] и статьям [2; 3].
Наиболее естественным языком описания свойств группы в является язык £ ^^^{д^ев}, где константные символы языка £ соответствуют элементам группы в. Однако группа в может быть рассмотрена и как алгебраическая система чисто предикатного языка 1-р = {*0,-10ЛЖд е в), где предикатные символы *(),-1(),д() имеют соответственно местность 3,2,1 и интерпретируются на в следующим образом: *(х,у,г)» ху = г, _1(х,у) » х"1 = у, ^х) » х = д. (1) Алгебраические системы предикатного языка 1-р будем для краткости далее называть Р-группами. Р-группу, полученную из «обычной» группы в с помощью предикатов (1), будем называть предикати-зацией группы в и обозначать в = л^).
Согласно [1], уравнением в языке 1.р (Р-уравне-нием) является любая атомарная формула языка £р. Иными словами, Р-уравнение - это выражение одного из следующих видов: *(х,у,г), -1(х,у), д(х), х = у. Система Р-уравнений (кратко: Р-система) - это произвольная совокупность Р-уравнений. Множество всех решений системы 5 от переменных X = {х1,...,хп}
в Р-группе 6 обозначается через Уе(5) с 6". Множество У с 6" называется алгебраическим над Р-груп-пой 6, если существует Р-система 5 такая, что У6(5) = У. Непустое алгебраическое множество У называется неприводимым, если оно не предста-вимо в виде конечного объединения собственных подмножеств.
Пусть 5 - Р-система, тогда ее радикал ЯаЬв(Б) над Р-группой 6 состоит из всех Р-уравнений Я(Х) (Яе {=,*(),-1(),д()}) таких, что У6(5) с V6(R(X)). Радикал Яаб6(У) алгебраического множества У определяется как радикал Р-системы 5 с решением У.
Пусть Т(Х) - свободная алгебра языка £р, порожденная множеством X = {х1,...,х"}. Поскольку язык 1.Р чисто предикатный, то Т(Х) = {х1,...,х"} и по определению свободной алгебры все предикаты *(),-1(),д() тождественно ложны в Т(Х). Для каждого алгебраического множества У определим фактор-алгебру Г(У) = Т(Х) / 0 (У), где 9 (У) - конгруэнция на Т(Х), порожденная радикалом ЯаЬв^). Р-группа Г(У) называется координатной Р-группой алгебраического множества У.
Р-группа 6 называется нетеровой по уравнениям, если для любой Р-системы 5 от переменных Х = {х1,...,х"} существует конечная подсистема Б' с VG(S) = VG(S').
Квазитождеством языка 1.Р (Р-квазитожде-ством) называется формула вида
ф: V х1... V х" (о, Я,(Х) ^ Я(Х)), где Я,(Х),Я(Х) - атомарные формулы от переменных Х ={х1,...,х"}. Очевидно, что любое Р-квазитождество можно представить в виде
ф: V х1... V х" (5(Х)^Я(Х)), (2)
где 5(Х) и Я(Х) - Р-система и Р-уравнение соответственно.
Квазимногообразие дшг(6), порожденное Р-группой 6, состоит из всех Р-групп, на которых истинны все квазитождества, истинные на 6.
Приведем аналогичные определения алгебраической геометрии для групп в стандартном языке Как и в языке £р, уравнением в языке I (групповым уравнением) будет называться атомарная формула языка Используя аксиомы теории групп, любую атомарную формулу (уравнение) языка £ можно представить в виде ^(Х) = 1, где ш(Х) - элемент свободного произведения группы в и свободной группы Г(Х), порожденной множеством переменных Х. Определение других понятий алгебраической геометрии (система групповых уравнений, алгебраическое множество, радикал...) даются аналогично соответствующим понятиям в языке £р.
Определим оператор у, который Р-системе 5 ставит в соответствие систему групповых уравнений у(5) по правилу:
1) если *(x,y,z) е 5, то xyz~1 = 1еу (5);
2) если -1(х,у) е 5, то xy = 1еу (5);
3) если g(x) е 5, то хд-1 = 1еу (5).
Иными словами, оператор у переписывает предикатные Р-уравнения в стандартном групповом языке L. Поэтому для Р-системы 5 выполнено равенство
V*^G)(S) = VG (у(5)). (3)
3. Основные результаты
Теорема 1. Для любой группы в ее предикати-зация 6 = п (в) нетерова по уравнениям.
Доказательство. Пусть 5 - система Р-уравне-ний от переменных X = {х1,...,хп}. Согласно определению, Р-уравнением являются выражения вида: *(Х1,Х],Х1<), _1(Х(,Х/), д(х,). Поскольку число переменных конечно, то конечно и число различных уравнений первых двух типов. Очевидно, что если Р-система 5 одновременно содержит уравнения вида д1(х,), д2(х,), при д ф д2, то система 5 несовместна и эквивалентна своей конечной подсистеме {д1(х), д2(х,)}. Следовательно, каждая переменная х, не может входить в бесконечное число уравнений Р-системы 5, и поэтому 5 состоит из конечного числа уравнений. Теорема доказана.
В соответствии с [1], одной из основных задач алгебраической геометрии над алгебраическими системами является получение описания координатных алгебр. Следующие две теоремы содержат описание координатных Р-групп алгебраических множеств над заданной Р-группой 6.
Теорема 2. Конечно порожденная Р-группа Н является координатной Р-группой некоторого неприводимого алгебраического множества над Р-группой 6 тогда и только тогда, когда Н вкладывается в Р-группу 6.
Доказательство. Все конечно порожденные алгебраические системы предикатных языков состоят из конечного числа элементов, следовательно, Р-группа Н конечна. По теореме 2.4.6 [1] Р-группа Н является координатной Р-группой некоторого неприводимого алгебраического множества над Р-группой 6 тогда и только тогда, когда Н дискриминируется 6. Однако для конечной алгебраической системы Н дискриминируемость эквивалентна вложению в Р-группу 6. Теорема доказана.
Теорема 3. Пусть Р-группа 6 = п(в) является предикатизацией группы в. Конечно порожденная
-ISSN 1812-3996
Р-группа H является координатной Р-группой некоторого непустого алгебраического множества над Р-группой G тогда и только тогда, когда существует группа He qvar(G) такая, что H с л(Н).
Доказательство. Докажем необходимость. По условию существует система Р-уравнений S от переменных X ={xi,...,xn} такая, что Р-группа H является координатной Р-группой множества решений системы S над G.
Пусть y(S) - система групповых уравнений, построенная по системе Р-уравнений S, и H - координатная группа множества решений системы y(S) над группой G. Докажем, что H вкладывается в предика-тизацию n(H) группы H.
Определим отображение f:H ^ n(H) следующим образом. Из определения координатной алгебры следует, что H и H порождаются элементами множества X. Из определения предикатизации группы заключаем, что Р-группа n(H) также содержит элементы X. Полагаем f(xi) = xi.
Докажем, что отображение f является вложением Р-групп. Для этого достаточно показать, что отображение f инъективно отображает области истинности предикатов, заданных на Р-группе H. Допустим, что *(xi,x2,x3) верно H. То есть радикал RadG(S) содержит уравнение *(xi,x2,x3), и
Vg(S) С Vg( * (Xl,X2,X3)).
Ввиду равенства (3) в группе G выполнено включение
VG(y(S)) с Vg(xiX2 = Х3).
Это означает, что в координатной группе H выполнено равенство Х1Х2 =Х3, и поэтому в предикатизации n(H) выполнено *(xi,x2,x3).
Пусть теперь в Р-группе n(H) выполнено *(xi,x2,x3^. Повторяя в обратном порядке все рассуждения, приведенные выше, мы получим, что в Р-группе H также выполнено *(xi,x2,x3).
Таким образом, мы доказали, что отображение f инъективно отображает область истинности предиката *(xi,x2,x3) в H в область истинности предиката *(xi,x2,x3) в Р-группе л(Н). Аналогично доказывается иъективность отображения областей истинности предикатов -i(xi,x2), g(xi) (ge G).
В итоге мы получаем, что Р-группа H вкладывается в n(H).
Докажем достаточность. Имеем H e qvar(G) и Hс л(Н). Покажем, что tz(H) e qvar(G). Допустим, что существует Р-квазитождество ф (2) истинное в G, но ложное в л(Н). Следовательно, существует точка Q = (qi,...,qn) e %(H)n такая, что Q e Vk(h](S),
Вестник Омского университета 2018. Т. 23, № 4. С. 60-63
ISSN 1812-3996-
О г Vл(н)(R(X)). Равенство (3) дает О е Vн(у(5)) и О г Vн(у(R(X))).
Иными словами, мы получили, что квазитождество группового языка £
у (ф)^х1... Vx" (у(5(Х)) ^ у(Я(Х))) ложно в группе Н. Поскольку Н е дшг(б), то квазитождество у(ф) должно быть ложно в группе в. Но тогда Р-квазитождество ф (являющееся записью формулы у(ф) в предикатном языке) ложно в 6 = л(б), что противоречит условию выбора ф.
Таким образом, мы получили л(Н) е ^аг(6). Но поскольку квазимногообразие замкнуто относительно взятия подгрупп, то и Не ^аг(6). Теорема доказана.
Замечание 4 (неформальный смысл и возможные приложения теорем 2 и 3). Теорема 3 (теорема 2) дает описание координатных Р-групп (неприводимых) алгебраических множеств в предикатном языке. Подобные результаты есть и для групп, заданных в стандартном языке теории групп (см. [1-3]). Рассмотрим, как меняется класс координатных групп при переходе к предикатному языку.
Согласно [1] (предложение 2.4.6), конечно порожденная группа Н является координатной группой неприводимого алгебраического множества над группой в в языке £ тогда и только тогда, когда Н дискриминируется в. Сравнивая этот результат с форму-
лировкой теоремы 2, мы получаем, что класс координатных групп неприводимых алгебраических множеств становится «меньше» при переходе к предикатному языку (так как из дискриминируемости не всегда следует вложимость).
Сравним теперь класс координатных групп над в в стандартном и предикатном языке. По теореме 1.6.7 [1] координатная группа Н непустого алгебраического множества над группой в в языке £ принадлежит квазимногообразию дшг(б). Однако не любая конечно порожденная группа из д^аг(в) является координатной группой некоторого алгебраического множества над группой в в языке £ (например, это наблюдается для не дш-компактных групп). С другой стороны, теорема 3 настоящей работы утверждает, что в любой группе Н из д^аг(в) все конечно порожденные Р-подгруппы являются координатными Р-группами алгебраических множеств над Р-группой 6 = л(б). Неформально это означает, что при преди-катизации класс координатных групп алгебраических множеств становится, наоборот, «больше».
Таким образом, переход к предикатному языку меняет соотношение между классом всех координатных групп и классом координатных групп неприводимых алгебраических множеств. Мы полагаем, что данное свойство предикатизации будет полезно при построении контр-примеров к открытым проблемам универсальной алгебраической геометрии.
СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ
1. Даниярова Э. Ю., Мясников А. Г., Ремесленников В. Н. Алгебраическая геометрия над алгебраическими системами. Новосибирск : Изд-во СО РАН, 2016. 243 с.
2. Baumslag G., Myasnikov A., Remeslennikov V. Algebraic geometry over groups I: Algebraic sets and ideal theory// J. Algebra. 1999. Vol 219. P. 16-79.
3. Myasnikov A., Remeslennikov V. Algebraic geometry over groups II: Logical foundations // J. Algebra. 2000. Vol. 234. P. 225-276.
ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРЕ
Шевляков Артём Николаевич - доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник, Институт математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук, Омский филиал, 644043, Россия, г. Омск, ул. Певцова, 13; e-mail: e-mail:a_shevl@mail.ru.
ДЛЯ ЦИТИРОВАНИЯ
Шевляков А. Н. Алгебраическая геометрия над группами в предикатном языке // Вестн. Ом. ун-та. 2018. Т. 23, № 4. С. 60-63. DOI: 10.25513/1812-3996.2018. 23(4).60-63.
INFORMATION ABOUT THE AUTHOR
Shevlyakov Artem Nikolaevich - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Senior Researcher, Sobolev Institute of Mathematics Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences, Omsk Branch, 13, Pevtsova st., Omsk, 644099, Russia; e-mail: a_shevl@mail.ru.
FOR QTATIONS
Shevlyakov A.N. Algebraic geometry over groups in predicate language. Vestnik Omskogo universiteta = Herald of Omsk University, 2018, vol. 23, no. 4, pp. 6063. DOI: 10.25513/1812-3996.2018.23(4).60-63. (in Russ.).
