Алгебраическая геометрия над решётками с выделенным идеалом Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2013. № 4. С. 30-35.

УДК 512.57+515.12 Ю.С. Дворжецкий

АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

НАД РЕШЁТКАМИ С ВЫДЕЛЕННЫМ ИДЕАЛОМ

Рассматривается алгебраическая геометрия решёток с выделенными идеалами. Доказан критерий нётеровости по уравнениям для дистрибутивных решёток с конечным набором произвольных предикатов, а также критерий слабой нётеровости по уравнениям для булевых решёток с выделенными идеалами.

Ключевые слова: алгебраическая геометрия, булевы алгебры, решётки с выделенным идеалом, нётеровость по уравнениям.

1. Решётки, идеалы в решётках

В этом разделе мы приведём основные определения из теории решёток, которые понадобятся нам в дальнейшем, и придём к определению решёток с выделенными идеалами, введёнными Д.Е. Пальчуновым [1].

Рассмотрим язык Ь0 = ^(2), Л(2)} , состоящий из двух бинарных функциональных символов - V и л .

Определение 1 (решётка). Алгебраическую систему А = (А; V, л)

языка Ь0 мы будем называть решёткой, если для любых а, Ь, с е А выполнены следующие аксиомы:

1) идемпотентность: а Л а = а , а V а = а ;

2) коммутативность: а Л Ь = Ь Л а , а V Ь = Ь V а ;

3) ассоциативность: (а Л Ь) Л С = а Л (Ь Л с), (а V Ь) V С = а V (Ь V с);

4) законы поглощения: а Л (а V Ь) = а, а V (а Л Ь) = а .

Определение 2 (дистрибутивная решётка). Решётку А А; V, Л^

мы будем называть дистрибутивной, если для любых элементов а, Ь, С е А выполнено:

а л (Ь V с) = (а л Ь) V (а л с), а V (Ь л с) = (а V Ь) л (а V с). Если в решетке существуют наименьший или наибольший элементы, то мы их будем обозначать 0 и 1 соответственно.

Определение 3 (дополнение элемента). Пусть А = (А; V, Л, 0,1 - решетка с 0 и 1. Дополнением элемента х е А называют такой элемент X е А, что х V X = 1 и х л X = 0 .

Определение 4 (булева решётка). Решётку А =(А; V, Л, X,0,1 с 0 и 1

и операцией дополнения мы будем называть булевой решеткой.

Далее мы будем рассматривать решётки с константами. Расширим язык Ь0 до языка Ь , добавив бесконечное множество констант:

Ь = Ь0 и iге I} .

Такие решётки называют С-решётками, где С - решётка, порожденная константами {с^ | г е I} .

Введем понятие идеала.

Определение 5 (идеалы решётки). Подрешётку I мы будем называть V -идеалом решётки А, если для любъх г е I и а е А следует, что г л а е А .

© Ю.С. Дворжецкий, 2013

Множество, являющееся v-идеалом и л-идеалом, мы будем называть дуальным идеалом.

Определение 6. Идеал I с А мы будем называть простым, если для любых а, Ь е А из того, что а л Ь е I, следует а е I или Ь е I.

В решётках можно ввести более удобное определение идеала.

Лемма 1 [2, с. 36]. Пусть А - решётка, тогда множество I является л-идеалом тогда и только тогда, когда:

а е I и Ь е I влечет а V Ь е I,

а е I и х е А, х < а влечет х е I.

Доказательство. Пусть I является л-идеалом, покажем истинность этих двух условий.

1) Так как идеал I является по определению подрешёткой, то по определению подрешётки из того, что а, Ь е I, следует, что а V Ь е I.

2) х < а равносильно х л а = х , а из определения идеала следует, что для любого х элемент х = х л а лежит в I, так как а е I.

В другую сторону. Пусть выполнены эти два условия для множества I. Импликация а, Ь е I ^ а V Ь е I означает замкнутость множества I относительно V. Так как а е I и а л Ь < а , то по одному из утверждений а л Ь е I, следовательно, I замкнуто и относительно л , т. е. I - подрешётка.

Проверим определение идеала. Пусть х е А , а е I, тогда х л а < а , и по одному из предложений следует, что х л а е А .

Двойственно эта лемма записывается и для V -идеала.

Отметим, что пересечение любого числа л-идеалов также является л-идеалом.

Определение 7 (порожденный идеал). Наименьший идеал, содержащий все элементы множества Н, называется порожденным множества Н.

Идеал, порожденный конечным числом элементов, называют конечно порожденным.

Любой идеал, порожденный одним элементом, называют главным идеалом. Любой идеал, содержащий какой-то элемент, также будет содержать и главный идеал, порожденный этим элементом.

В решётках главным идеалом, порожденным элементом а , является множество х<а.

Утверждение 1. Любой конечно порожденный л-идеал в решётке является главным.

Доказательство. Действительно, допустим, идеал I порожден элементами а1,...,ап . По лемме 1 элемент а1 V... V ап принадлежит идеалу I. Рассмотрим главный идеал ^ , по-

рожденным элементом a1 v... v an . Так как I0 - главный идеал, то I0 с I . Отметим, что I0 - идеал, содержащий все элементы a1,...,an , так как для любого i = 1,...,n верно a. < a. v... v a и по лемме 1 влечет a. е I0.

i 1 n i U

По определению порожденного идеала I - это наименьший идеал, содержащий все a.,...,an , следовательно, I0 с I . Откуда следует, что I0 = I и I является главным идеалом.

Теперь все готово для введения предикатного символа, выделяющего некоторый идеал в решётке. Пусть в решётке A зафиксирован некоторый идеал I. Добавим в язык

L одноместный предикат P(1, проинтерпретировав его на A следующим образом: Pj = true « х е I.

Такой предикат в дальнейшем мы будем называть идеальным предикатом. Решётки с таким предикатом мы будем называть решётками с выделенным идеалом. Теоретико-модельные свойства этих решёток были исследованы Д.Е. Пальчуновым [1].

Отметим, что в булевых решётках дуальный идеал совпадает со всей решёткой. Действительно, пусть I - дуальный идеал в B, рассмотрим произвольный элемент a этой решётки. Так как I является v-идеа-лом, то все элементы х > a принадлежат I. Так как 1 > a , то и 1е I. Но I также является и л-идеалом, следовательно, все элементы х < 1 также принадлежат I, т. е. идеал I включает в себя всю решётку.

В силу двойственности понятий л- и v-идеалов в дальнейшем мы будем исследовать только л-идеалы, те, которые в классическом смысле понимаются под термином «идеал решётки».

2. Нётеровость по уравнениям в решётках с предикатами

В этом разделе мы докажем критерий нётеровости по уравнениям для дистрибутивных решёток с конечным набором произвольных предикатов. Все необходимые определения алгебраической геометрии можно найти в [3-6], а истинность всех результатов для систем с предикатом описана в [7].

Критерий нётеровости по уравнениям был доказан А.Н. Шевляковым для булевых решёток [8]. Он также верен для более общих дистрибутивных решёток [9] и останется неизменным при добавлении в язык произвольного конечного набора предикатов. Об этом следующая теорема.

Теорема 1. Дистрибутивная C-решётка

A = ( A; v(2), л(2); P( ), P2( n2 ),..., P( Nk ) C

с конечным набором предикатов P(Ni), i = 1,...,k местности Nt, нётерова по урав-

нениям тогда и только тогда, когда дистрибутивная решётка С, порожденная константами, конечна.

Доказательство. Пусть подрешётка С конечна, покажем, что А нётерова по уравнениям.

Заметим, что если С конечна, то конечно и число всевозможных неэквивалентных уравнений от конечного числа переменных х . Действительно, любое уравнение имеет вид t1(х) = Х2(х) или Р.(^(х),...,(х)) , где все (х) - термы языка Ь . Заметим, что в записи каждого уравнения участвует только конечное число термов. Запишем каждый этот терм в ДНФ. Заметим, что общее число таких различных ДНФ конечно, так как в записи каждой конъюнкции может участвовать только конечное число символов -или символы констант, или символы переменных. Следовательно, общее число неэквивалентных уравнений, а также систем уравнений конечно. Это влечет нётеровость по уравнениям.

Тот факт, что бесконечность С влечет ненётеровость А, следует из конструкции, приведенной в [9], так как эта конструкция никак не зависит от добавления в язык новых предикатов.

Отсюда следует, что критерий нётерово-сти по уравнениям верен для булевых и более общих дистрибутивных решёток с идеальным предикатным символом, вне зависимости от идеала, который выделяет предикат.

3. Канонический вид систем уравнений

В этом разделе мы опишем канонический вид для уравнений и систем уравнений в решётках с идеальным предикатным символом.

Зафиксируем язык Ь = ^(2),л(2),Р(>,С}.

Пусть А А;V1-2-1,л(2),Р(\С^ - дистрибутивная С-решётка с идеальным предикатом

, где I - некоторый идеал А, а С - подрешётка, порожденная константами языка Ь .

В этой системе любое уравнение от переменных х имеет вид Х(х) = s(х) или Р1 (Х(х)) ,

где все Х(х) и 5(х) - термы языка Ь .

В статье [9] доказано, что любая система уравнений без предикатного символа может быть эквивалентно переписана в систему уравнений следующего вида:

(х1 Л ... Л хт Л са ) < (хЛ V ... V хА V сЬ X где в каждой части уравнения символы переменных не повторяются (одна и та же переменная не может быть и в левой, и правой частях) и в каждой части уравнения не более одного константного символа, причем

если в каждой части есть константный символ, то са > сЬ .

Здесь же мы рассмотрим уравнения вида Р1 (Х(х)) , где - предикат принадлежности к двустороннему идеалу I, а Х(х) - терм языка Ь .

Лемма 2. Пусть А А; V

(2) (2) р(1)

, Л

I

■ С)

дистрибутивная С-решётка с предикатом принадлежности к некоторому идеалу I. Тогда:

1) Если I - л-идеал, то в А верна следующая эквивалентность:

{Р («1)

Р1 (а1 V а2 V... V ак)•

р\ а)

У р а)

2) Если I - v-идеал, то в А верна следующая эквивалентность:

\ Р Ц)

Р(а1 л а2 л ... л ак)'

Р (а2)

У р а)

Здесь а1,...,ап - термы языка Ь от некоторого фиксированного набора переменных.

Доказательство. Докажем только первый пункт, второй будет следовать двойственно. Причем докажем только для двух дизъюнктов, так как общий случай будет следовать из очевидного многократного применения эквивалентности для двух дизъюнктов.

Покажем, что из истинности Р (а V Ь)

следует истинность системы {Р1 (а), Р1 (Ь)} . Истинность Р (а V Ь) означает а V Ь е I . Заметим, что а < а V Ь и Ь < а V Ь , а по лемме 1 из того, что а V Ь е I, следует, что и а е I, и Ь е I, что, в свою очередь, эквивалентно истинности системы {Р1 (а),Р1 (Ь)} .

В другую сторону, пусть система \Р1 (а), Р1 (Ь)} истинна. Это эквивалентно а, Ь е I, откуда по лемме 1 следует, что и а V Ь е I, что эквивалентно истинности Р1 (а V Ь).

Из этого утверждения, а также из уже доказанных результатов в [9] следует теорема о нормальном виде систем уравнений в решётках с идеальным предикатом.

А.Н. Шевляковым [8] было доказано существование следующего нормального вида в булевых решётках.

Теорема (А.Н. Шевляков). Любая система уравнений S(х) от переменных х,

х = п над булевой С-решёткой В эквивалентна системе уравнений:

5'(2) = иак< с<\< е /а}и

иКл 2в = 0

и^ V

ае|0Д:

п2а 1 |

где 2а = х" л х2Я2 л ... л х"пП , Г = (а1,а2,...,ап X

а. е{0,1} - замена переменных х = (х1,х2,...,хп).

В булевых решётках с предикатом также имеется нормальный вид.

Теорема 2. Пусть В - булева С-ре-шётка с предикатом Р^ принадлежности к л -идеалу I. Тогда любая система уравнений 5(х) эквивалентна системе

5'(2) = и{2а< с<\<е !а}и

и ^^ (2а л с )\] е Jа} и

и{х л х„= 0| а Ф в\и \ V 1 а в 1 ' \ ае{0,1

п2а 1 |

от переменных

2а = х" л х"2 л... л хапп ,а = (а1,а2,...,ап), а< е {0,1}.

Доказательство. Сделав замену переменных в исходной системе и применив предыдущую теорему для той части системы, где нет предикатных символов, мы как раз получим нужную систему, за исключением подмножества Uа{p/(2а л С] \ ] е jа} .

Рассмотрим произвольное уравнение от переменных 2 вида Р: ^(2)) , где t(2) - терм от переменных г. Запишем терм t(2) в ДНФ:

t(2) = (а1,1 л...л а1Щ ) v... v (ак,1 л - л ак,тк ) ,

где а1 ] - либо символ какой-то переменной 2а , либо константный символ переменной из С.

По лемме 2 для л-идеала I получим, что исходное уравнение эквивалентно системе уравнений

Р(а1,1 л... л а1,т1)

Рг а (2))'

Р(а2,1 л... л а2,т2 )

р а ,1 л...л ак )

Так как в силу замены переменных верны равенства 2а л 2 р = 0, где а Ф в , то останутся только уравнения вида P(zа л с) или P(c), при этом можно считать, что уравнения P( 2а) записаны в виде P( 2а л 1) .

В зависимости от того, принадлежит ли с из уравнения ^ (с) дуальному идеалу I, можно либо совсем вычеркнуть уравнение PJ (с) (если с е I), либо совсем заменить всю строящуюся систему на тождественно ложное уравнение 1 = 0 (если с £ I). Таким образом, у нас останутся только уравнения

вида Р'г(га л с) .

Преобразуя подобным образом каждое уравнение вида PI ^(2)) и дописывая получившиеся системы в строящуюся эквивалентную систему, мы получим необходимый вид. □

Заметим, что канонический вид, аналогичный дистрибутивным решёткам, получить можно. Об этом следующая теорема.

Теорема 3 (канонический вид в булевых решётках с выделенным простым идеалом).

Пусть В - булева С-решётка с предикатом P<IÍ) принадлежности к простому л-идеалу I. Тогда любая система уравнений 5(х ) эквивалентна системе

5'(2) = иаК< С<\< е I а } и

и Ыа^(2а)} и

и{2ал 2в= 0\аФвУ

и

иГае{0,1}п2а= М

от переменных

2а = хГ л х"2 л ... л хпп ,а = (а1,а2,...,ап) ,

г е {0,1}.

Доказательство. Действительно, по предыдущей теореме приведем систему уравнений к виду

5'(2) = иак< с<\< е I а } и и Ыа^ (2 а л С] )\] е J а } и

и{2ал 2в= 0|аФв}

и^

= 1}

е{0,1}п а ) '

Если в полученной системе нет уравнений вида PI (2а л с) , то мы получили и необходимый вид. Допустим, что такие уравнения есть. Рассмотрим одно из них -

P1 (2а л С) .

Так как идеал I простой, то из истинности уравнения PI (2а л с) следует либо 2г е I, либо С е I. Отметим, что если с е I, то само уравнение PI (2а л с) можно не писать в систему, так как из с е I следует 2а л С , т. е. PI (2а л с) вообще для любого 2а . В случае 2г е I и с £ I уравнение PI (2а л с) можно эквивалентно переписать в P( 2а) .

Повторив те же действия с каждым из уравнений, мы получим искомый вид. □

4. Слабая нётеровость по уравнениям в булевых решётках с идеальным предикатом

А сейчас рассмотрим свойство слабой нётеровости по уравнениям в булевых решётках с выделенным простым идеалом. Для булевых решёток без предикатных символов А.Н. Шевляковым [8] был доказан следующий критерий слабой нётеровости по уравнениям.

Теорема (А.Н. Шевляков). Булева С-ре-шётка В слабо нётерова по уравнениям тогда и только тогда, когда решётка С полна в А, т. е. любое множество элементов {с. е Jа} £ С имеет точную нижнюю

грань в В , и эта точная грань также лежит в С.

Для булевых решёток с выделенным простым идеалом критерий изменится. Чтобы сформулировать его, докажем несколько простых утверждений.

Утверждение 2. Пусть е 3}) £ В -

некоторое подмножество элементов. Тогда множество

Ьом)(}Ь^ \] е 3}) = {а е В \а < ЬJ,V/ е 3} всех элементов, меньших {Ь. е 3}, образует л-идеал.

Доказательство. Покажем, что если а1,а2 е Ьом>({Ь. | . е 3}), то и а, V а2 е

е ЬоН'({Ь. |. е 3}) . Рассмотрим произвольный элемент Ь е{Ь. е 3}. Так как а1,а2 е Ьо^({Ь.. е 3}), то а1 < Ь и а2 < Ь , и, следовательно, а1 V а2 < Ь . В силу произвольности элемента Ь получаем, что а1 V а2 е Ьow({Ьj е 3}).

Также очевидно доказывается, что и все элементы х < а, а е Ьо^({Ь. |. е 3}) лежат в Ьо^({Ь. |. е 3}).

Теперь все готово, чтобы сформулировать и доказать критерий слабой нётерово-сти для булевых решёток с выделенным простым идеалом.

Теорема 4. Булева С-решётка В с предикатом Р^1-1 принадлежности к простому л-идеалу I £ В слабо нётерова по уравнениям тогда и только тогда, когда для любого множества констант К £ С идеал Ьо^(К) конечно порожден константами из С или может быть представлен в виде пересечения идеала I и идеала, конечно порожденного константами из С.

Доказательство. Докажем необходимость. Пусть решётка В слабо нётерова по уравнениям. Рассмотрим произвольное множество констант К = {с.. |. е 3} £ С . Рас-

смотрим систему S(х) = {х < с |. е 3} . Отметим, что множество решений этой системы - это идеал Ьом>(К) . В силу слабой нётерово-сти по уравнениям эта система эквивалентна некоторой конечной системе S'(х) . Исходя из теоремы 3 запишем S'(х) в каноническом виде (эквивалентная система также будет конечна, так как S'(х) была конечной):

S'(х) = {х < с'. |. е 3'}и {х < с". |. е 3''}и

ир(х),Р1 (х)} .

Положив с' = Ли с'' = Л.е3',с., перепишем S'( х) еще раз:

У(х) = {х < с',х < с'Р(х),р(х)} . Отметим, что множеству решений исходной системы S (х) принадлежит элемент

0. Отсюда следует истинность 0 < с" и Рг(0) , т. е. 1 < с" и Р1 (1) . Поэтому, если в системе S'(х) встретились уравнения х < с" и Р1 (х) , то с'' = 1 и I = В, и, следовательно, эти уравнения можно не писать в систему S'(х) . Также заметим, что с' е С .

Итак, система S'(х) имеет следующий

вид:

S'(х) = {х < с',Р(х)} . Можно считать, что уравнение х < с' всегда есть в системе S'(х) , положив с' = 1.

Если уравнения (х) нет в системе S'(х) , то мы получаем, что Ьом>(К) является главным идеалом, порожденным элементом с' е С . Если же уравнение (х) есть в системе S'(х) , то Ьом>(К) представляется в виде пересечения идеала I и главного идеала, порожденного элементом с .

Докажем достаточность. Пусть имеется произвольная система уравнений S(х) . По теореме 3 эквивалентно перепишем систему S(х) в систему S'(2) :

S'(2 ) = иа{?а< с,|/ е I а } и иЛР, (?а)} и

и&Л 2в = 01а*в}иК{0дГ2«= 1) .

Зафиксируем некоторое ае{0,1}п и

рассмотрим уравнения < с. |. е 3} .

а .

Множество решений этих уравнений - это в точности идеал Ьом>({с. |. е 3}) . Если этот

идеал конечно порожден константами ср...,с'к е С , то подсистема уравнений

{2а < с.. |. е 3} эквивалентна уравнению

za< c' v... v c'k. Если Low({cj | j e J}) пред-

ставимо в виде пересечения конечно порожденного идеала и идеала I, то подсистема уравнений эквивалентна конечной системе

{Za< Cl'V ... V С'к ,P( Za'a} •

Переписав бесконечные системы для

каждого ae{0,i}w в конечные, мы получим,

что для любой системы существует эквивалентная конечная система, т. е. B слабо нё-терова по уравнениям. □

литература

[1] Пальчунов Д. Е. О неразрешимости теорий булевых алгебр с выделенным идеалом // Алгебра и логика. 1986. Vol. 25. № 3. P. 326-346.

[2] Гоетцер Г. Общая теория решёток : пер. с англ. М. : Мир, 1982. С. 80-112.

[3] Daniyarova E., Miasnikov A., Remeslennikov V. Unification theorems in algebraic geometry // Alg. Discr. Math. 2008. № 1. Р. 80-112.

[4] Daniyarova E., Miasnikov A., Remeslennikov V. Algebraic geometry over algebraic structures II:

Foundations. 2010. URL: http://arxiv.org/abc/ 1002.3562.

[5] Daniyarova E., Miasnikov A, Remeslennikov V. Algebraic geometry over algebraic structures III: Equationally Noetherian Property and Compactness // Southeast Asian Bulletin of Mathematics. 2011. № 35. Р. 35-68. URL: http://www.seams-bull-math.ynu.edu.cn/downloadfile.jsp?filemenu=\\ \_201101\& filename=05\_35(1).pdf.

[6] Daniyarova E., Miasnikov A., Remeslennikov V. Algebraic geometry over algebraic structures IV: Equational domains and co-domains // Algebra & Logic. Vol. 49. № 6. Р. 715-756.

[7] Даниярова Э. Ю., Мясников А. Г., Ремесленников В. Н. Алгебраическая геометрия над алгебраическими системами. Случай произвольной сигнатуры // Алгебра и логика. 2012. № 1(51). С. 41-60.

[8] [6] Shevlyakov A. N. Algebraic geometry over Boolean algebras in the language with constants. URL: http://arxiv.org/abc/1305.6844.

[9] Дворжецкий Ю. С. Алгебраическая геометрия над дистрибутивными решётками // Вестн. Омск. ун-та. 2013. № 4. С. 23-29.