CC BY
14
УДК 510.67+512.71
DOI 10.25513/1812-3996.2018.23(2).16-22
НЕПРИВОДИМЫЕ КОМПОНЕНТЫ В УНИВЕРСАЛЬНОМ АЛГЕБРАИЧЕСКОМ ГЕОМЕТРИИ (посвящается 70-летию профессора Виталия Анатольевича Романькова)
Э. Ю. Даниярова, В. Н. Ремесленников
Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Омский филиал, г. Омск, Россия
Информация о статье
Дата поступления 20.03.2018
Дата принятия в печать 29.03.2018
Дата онлайн-размещения 25.06.2018
Аннотация. Описана концепция неприводимых компонент в универсальной алгебраической геометрии. В нетеровом случае мы имеем ту же палитру результатов о неприводимых компонентах, что и в классической алгебраической геометрии. Для ненете-рова случая перечислены результаты, которые по-прежнему верны или, наоборот, неверны. Сформулировано несколько открытых проблем, разрешение которых должно более полно прояснить картину общей теории неприводимых компонент в ненетеро-вом случае.
Ключевые слова
Алгебраическая система, универсальная алгебраическая геометрия, неприводимое алгебраическое множество, примарное разложение, неприводимые компоненты, нетеровость по уравнениям, универсальная геометрическая эквивалентность
Финансирование
Работа выполнена при поддержке Программы фундаментальных научных исследований СО РАН № 1.1.1.4 в рамках научного проекта № 0314-2016-0004
IRREDUCIBLE COMPONENTS IN THE UNIVERSAL ALGEBRAIC GEOMETRY
(paper dedicated to Professor Vitaly Anatol'evich Roman'kov on the occasion of his 70th
birthday)
E. Yu. Daniyarova, V. N. Remeslennikov
Sobolev Institute of Mathematics of Siberian Branch of RAN, Omsk Branch, Omsk, Russia
Abstract. The concept of irreducible components in universal algebraic geometry is described. In the Noetherian case, we have the same palette of results on irreducible components as in classical algebraic geometry. For non-Noetherian case, the results are listed, which are still true or, conversely, untrue. Some open problems are formulated, the solution of which should more fully clarify the picture of the general theory of irreducible components in the non-Noetherian case.
Available online 25.06.2018
Keywords
Algebraic structure, universal algebraic geometry, irreducible
Article info
Received 20.03.2018
Accepted 29.03.2018
algebraic set, primary decomposition, irreducible components, equationally Noetherian property, universal geometrical equivalence
Acknowledgements
The reported study was funded by the Fundamental Research Program of SB RAS № I.1.1.4 according to the research project № 0314-2016-0004
1. Введение
Теория примарных разложений - это большой и богатый результатами раздел коммутативной алгебры. Залогом наличия хорошей теории примар-ного разложения для кольца или модуля является его нетеровость, а за пределами нетерового случая красивых результатов ждать не приходится [1].
Геометрическим отражением наличия при-марного разложения в кольце многочленов к[х1, ...,хп] над полем к является теорема о разложении произвольного непустого алгебраического множества над полем к в конечное объединение неприводимых алгебраических множеств. Этот факт выступил основанием для введения обобщенного топологического подхода, который используется в классической алгебраической геометрии. На этом пути определяется понятие нетерового топологического пространства, для него доказывается теорема о разложимости произвольного непустого замкнутого множества в конечное объединение неприводимых замкнутых множеств (неприводимых компонент), а также единственность данного разложения в определенном смысле [2, предложение 1.5].
Теперь сделаем вираж из классической алгебраической геометрии в универсальную, т. е. в алгебраическую геометрию над произвольной алгебраической системой А. Здесь мы можем применить последний результат, но лишь при условии, что для всех п аффинное пространство Ап с топологией За-рисского является нетеровым топологическим пространством. А это верно в том и только том случае, если алгебраическая система А нетерова по уравнениям [3, теорема 2.5.5]. Таким образом, картина с неприводимыми компонентами для нетеровой по уравнениям алгебраической системы А ясна - она повторяет случай классической алгебраической геометрии. Но далее возникает вопрос: что можно сказать о неприводимых компонентах в алгебраических системах, которые не являются нетеровыми по
уравнениям или же про которые просто неизвестно, нётеровы они по уравнениям или нет?
Как мы знаем, топология Зарисского определяется для любой алгебраической системы А [3]. Далее, понятие неприводимости множества определяется для подмножеств произвольного топологического пространства (Ш,Т). В частности, неприводимые компоненты топологического пространства (Ш, Т) - это максимальные по включению неприводимые подмножества в нем. Получается, что для любого непустого алгебраического множества У над произвольной алгебраической системой А естественно определяется понятие неприводимых компонент (относительно индуцированной на У топологии Зарисского). Интересно выяснить, какие факты справедливы для этих неприводимых компонент, какие результаты из классической алгебраической геометрии для них будут верны, а какие нет. Анализу этих вопросов посвящена первая часть данной работы. В ней, среди прочего, будет сформулирована одна открытая проблема.
Интересным и полезным направлением исследований в универсальной алгебраической геометрии является тема геометрической эквивалентности алгебраических систем. Идея сравнения алгебраических систем по их алгебро-геометрическим свойствам принадлежит Б.И. Плоткину [4]. Она уникальна для универсальной алгебраической геометрии в том смысле, что у нее нет исторического прообраза в классической алгебраической геометрии над полем, поэтому она заслуживает отдельного рассмотрения. Понятие геометрической эквивалентности алгебраических систем оказалось популярным, ему посвящено множество работ. Тем не менее мы пришли к выводу, что оно не всегда и не в полной мере отражает близость алгебраических систем с точки зрения их алгебро-геометрических свойств. В результате мы предложили альтернативный термин - понятие универсальной геометриче-
ской эквивалентности, которое является усилением понятия геометрической эквивалентности [3]. Во второй части настоящей статьи мы постарались осветить тему переноса результатов о неприводимых компонентах с одной алгебраической системы на все ее универсально геометрически эквивалентные копии. Здесь также будет сформулирована одна открытая проблема.
2. Основные определения и обозначения
Следуя монографии [3], кратко напомним необходимые определения из универсальной алгебраической геометрии. В теоретико-модельных вопросах будем придерживаться книги [5].
Множество атомарных формул фиксированной сигнатуры Ь от переменных из X = {х1,...,хп} будем обозначать через АЬЪ(Х), а сами атомарные формулы из АЬЪ(Х) будем называть уравнениями языка Ь, произвольные множества уравнений - системами уравнений.
Зафиксируем алгебраическую систему А языка Ь. Для системы уравнений 5 £ АЬЪ(Х) множество 7Л(5) есть {(а1,...,ап)ЕАп1Аи5(а1,...,ап)} и называется алгебраическим множеством над А. Две системы уравнений 51,52£АЬЪ(Х) эквивалентны над А, если ^4(51) = УА(Б2). Радикал ИайА(5) системы уравнений Б £ АЬь(Х) или алгебраического множества ^(Ю есть {[ Е АЬь(Х)1А И [(а1,.,ап)У(а1,.,ап) Е Алгебраическая
система А называется нетеровой по уравнениям, если для любой системы уравнений 5 £ АЬЪ(Х) найдется конечная подсистема 50 £ 5, эквивалентная 5 над А; и слабо нетеровой по уравнениям, если для любой системы уравнений 5 £ А1Ь(Х) найдется некоторая конечная система 50 £ АЬь(Х), эквивалентная 5 над А.
Для каждого целого положительного числа п через (Ап,Т) будем обозначать топологическое пространство с топологией Зарисского, предбазой замкнутых множеств которой являются всевозможные алгебраические множества над А, лежащие в Ап. Непустое подмножество У £ Ап называется неприводимым, если для любых замкнутых подмножеств У1,У2 £ Ап включение У £У1 и У2 влечет У £У1 или У £У2; в противном случае У называется приводимым. Непустое алгебраическое множество неприводимо в том и только том случае, если его нельзя представить в виде конечного объединения собственных алгебраических подмножеств [3, лемма 2.2.4]. Всякое замкнутое неприводимое множество У £ Ап является алгебраическим над А [3, лемма 2.2.7]. Неприводимыми компонентами мно-
жества У £ Ап называются максимальные по включению неприводимые подмножества в У как в топологическом пространстве с индуцированной топологией Зарисского.
Две алгебраические системы А и В языка L называются геометрически эквивалентными, если для любой системы уравнений S £ Ath(X) имеет место равенство RadA(S) = RadB(S). Геометрически эквивалентные алгебраические системы А и В называются универсально геометрически эквивалентными, если для любой системы уравнений S £ AtL(X) алгебраическое множество V^(S) неприводимо в том и только том случае, когда неприводимо 7В(5).
3. Неприводимые компоненты алгебраических множеств
Напомним, что главные результаты в теории неприводимых компонент в классической алгебраической геометрии - это 1) существование разложения в объединение неприводимых компонент для произвольного непустого алгебраического множества, 2) его конечность, 3) его единственность. Что же известно про неприводимые компоненты произвольного непустого алгебраического множества У над произвольной алгебраической системой А?
Лемма 1 [3, лемма 2.2.13]. Неприводимыми компонентами для У являются максимальные по включению неприводимые алгебраические подмножества Z £ У. Кроме того, У является объединением своих неприводимых компонент.
Таким образом, результат о существовании разложения является общезначимым. Любое непустое алгебраическое множество представимо в виде объединения неприводимых алгебраических множеств. Это объединение может быть конечным или бесконечным. Для нетеровых по уравнениям алгебраических систем оно всегда конечно. Формулировку соответствующего результата для нетерового случая нам будет удобно дать после одного утверждения, носящего общий характер.
Представление множества У в виде объединения неприводимых алгебраических множеств У = 0аеЛУа называется несократимым, если У Ф Uaemß]Ya для всякого ß Е Л. Для конечных объединений Y1U ...UYm несократимость равносильна тому, что Yi £ Yj для всех i Ф j.
Лемма 2. Если алгебраическое множество Y представимо в виде конечного объединения неприводимых алгебраических множеств Y1 U ... U Ym, то множество неприводимых компонент для Y конечно, причем оно совпадает с {Y1,..., Ym} при усло-
вии, что исходное объединение было несократимым.
Доказательство. Поскольку I ^ У^^и ...и Ут для любой неприводимой компоненты 1 множества У, то в силу неприводимости и максимальности 1, найдется такой индекс ¿, что 1 = У■.
Теорема 3 [3, следствие 2.5.6]. Если алгебраическая система А нетерова по уравнениям, то всякое непустое алгебраическое множество У над А представимо в виде конечного объединения У1 и ... и Ут неприводимых алгебраических множеств; причем при условии несократимости такое представление единственно (с точностью до перестановки У1,..., Ут).
Следствие 4. Если алгебраическая система А нетерова по уравнениям, то количество неприводимых компонент любого непустого алгебраического множества У над А конечно.
Можно построить пример, показывающий, что в ненетеровом случае бывает невозможно разложить алгебраическое множество в конечное объединение неприводимых, что и будет сделано ниже.
Установив факт существования, интересно изучить вопрос о единственности разложения. В нете-ровом случае единственность имеет место и вытекает из несократимости разложения и леммы 2. Понятно, что если бы разложение в объединение неприводимых компонент обладало несократимостью и в ненетеровом случае, то общая теория неприводимых компонент получилась бы красивой (разложение обладало бы единственностью), но такие надежды сразу могут быть разрушены следующим примером.
Пример 1. Рассмотрим язык Ь, состоящий из счетного числа одноместных предикатных символов: Ь = ЕЖ}. Алгебраическую систему А
языка Ь определим на множестве-носителе Ж2, интерпретируя предикатные символы следующим образом:
1. А И Р1((х,у)) ^х<ЬЧу=0)
2. А И Qt((x,y)) х >ЬУ у = 0;
3. А И Яь((х,у)) <^х = Ь.
Алгебраическая система А не является нетеро-
вой по уравнениям, поскольку бесконечная система уравнений {Р^Ь Е Ж} не эквивалентна никакой свой конечной подсистеме. При этом А слабо нетерова по уравнениям. Алгебраическое множество У = УА(0) = Ж} приводимо, так как, например, У = УА(Р0) иУА((^ 0). Неприводимыми компонентами множества У являются алгебраические множества У, = УА(И{), t ЕЖ, и 1 = УА(Ро) П УАШ. Так как их бесконечное число, то алгебраическое мно-
жество У невозможно представить в виде конечного объединения неприводимых алгебраических множеств. Как видно, 1 с и(ЕЖУ1. Таким образом, представление множества У в виде объединения всех его неприводимых компонент оказывается сократимым.
Итак, в общем случае разложение алгебраического множества в объединение неприводимых компонент может быть сократимым. Чтобы разобраться далее в специфике неприводимых компонент, необходимо найти ответ на два вопроса: всегда ли можно «ужать» разложение до несократимого и будет ли несократимое разложение единственно? Мы формулируем первый вопрос в качестве открытой проблемы, а на второй даем отрицательный ответ.
Проблема 1. Верно ли, что для произвольного непустого алгебраического множества У над произвольной алгебраической системой А существует несократимое разложение в объединение его неприводимых компонент?
Пример 2. Возьмем язык Ь и алгебраическую систему А из примера 1 и внесем в их определения незначительную правку: переопределим интерпретацию предиката Я0 и добавим в язык Ь два одноместных предиката и-,и+:
1. А И Р0((х,у)) ^х = 0ЛуФ0;
2. А И и_((х,у)) ^ х < 0Лу = 0;
3. А И и+((х,у)) ^х>0Лу=0.
Полученная алгебраическая система по-прежнему слабо нетерова по уравнениям, а алгебраическое множество У = Ж2 по-прежнему приводимо. Неприводимыми компонентами для У являются алгебраические множества У1 = УА(ИЬ), Ь ЕЖ, У- = УА(и-), У+ = УА(и+). Получается, что существует два различных несократимых разложения множества У в объединения его неприводимых компонент: У = У-и У1иУ = У+и Уг.
4. Неприводимые компоненты при универсальной геометрической эквивалентности
Определения геометрической и универсальной геометрической эквивалентностей алгебраических систем А и В одной сигнатуры Ь даны выше. В нашем распоряжении имеется множество критериев обеих эквивалентностей, которые удобны при работе в разных ситуациях [3, теоремы 5.1.2, 5.2.3].
Далее нас интересует следующий вопрос: что происходит с неприводимыми компонентами про универсальной геометрической эквивалентности?
Зафиксируем универсально геометрически эквивалентные алгебраические системы А и В языка
¿. Начнем с перечисления результатов о неприводимых компонентах, которые демонстрируют их инвариантность относительно универсальной геометрической эквивалентности.
Лемма 5. Пусть алгебраические системы А и В языка Ь универсально геометрически эквивалентны и У = УА(Б) - алгебраическое множество, представимое в виде конечного объединения неприводимых алгебраических множеств У1 и ... и Ут, где У1 = УА(Б1), I = 1, ...,т. Тогда Уд^) и ... и Ув(5т) есть разложение алгебраического множества Ув (5) в объединение неприводимых алгебраических множеств. Причем если разложение в А было несократимым, то соответствующее разложение в В также будет несократимым.
Доказательство. Из определения универсальной геометрической эквивалентности следует, что алгебраические множества 7В(51), ...,Ув(5т) неприво-димы. Равенство Ув(5) = Уд^) и ...иУв(5т) следует из [3, теорема 5.2.3], несократимость - из [3, теорема 5.1.2].
Лемма 6. Пусть алгебраические системы А и В языка Ь универсально геометрически эквивалентны и У = Уа(Б) - алгебраическое множество, а У1= ^а- неприводимая компонента для У. Тогда Ув(51) есть неприводимая компонента для
УвЫ
Доказательство. Неприводимость 7В(51) следует из определения, а максимальность в 7В(5) - из [3, теорема 5.1.2].
Следствие 7. Если, в условиях леммы 6, У = иаЕЛУа - представление алгебраического множества У в виде объединения всех его неприводимых компонент, где Уа = УА(Ба), а Е Л, то иаЕл^в(^а) есть представление алгебраического множества Ув (Б) в виде объединения всех его неприводимых компонент.
Доказательство. Результат следует из лемм 1, 6 и [3, теорема 5.1.2].
Итак, представление алгебраического множества в виде объединения всех его неприводимых компонент наследуется при универсально-геометрически эквивалентных переходах. Снова приходится заметить, что если бы объединение примар-ных компонент всегда было несократимым, то теория неприводимых компонент была бы инвариантной относительно универсально геометрической эквивалентности. Но вообще говоря, это не так. И первый вопрос, который при этом возникает, будет следующий: может ли, в условиях следствия 7, объединение ииЕЛК4(^а) быть сократимым, в то время как
объединение иаЕЛ^в(5а) несократимо? Мы даем положительный ответ на этот вопрос.
Пример 3. Рассмотрим язык L и алгебраическую систему А из примера 1. Определим похожую алгебраическую систему В того же языка с носителем Z3 и следующей интерпретацией:
1. В И Pt((x,y,z)) х < tVy = 0;
2. В И Qt((x,y,z)) ^ х > tV у = 0;
3. В И Rt((x,y,z)) ^ (х = t Ау Ф 0)V (х = = tAy = 0Az = 0).
Несложной рутинной проверкой можно убедиться в том, что алгебраические системы А и В универсально геометрически эквивалентны (в частности, В заодно с А слабо нетерова по уравнениям [3, утверждение 5.1.13]). При этом разложение алгебраического множества VA(0) в объединение всех его неприводимых компонент (VA(P0) П VA(Q1)) U U сократимо, но в то же время разложе-
ние Ув(0) в объединение всех неприводимых компонент (VB(Po) П VB(Qi)) U ütEi^B(Rt) несократимо.
Сократимость разложения в объединение неприводимых компонент порождает и другие вопросы, например: может ли в условиях леммы 6 существовать единственное несократимое разложение в объединение неприводимых компонент для алгебраического множества ^(S), в то время как для V^(S) оно не единственно? Ответ снова будет положительным.
Пример 4. Возьмем на этот раз алгебраическую систему А из примера 2 и построим для нее универсально-геометрически эквивалентный аналог В с носителем I3, заимствуя идею из примера 3:
1. В И Pt((x,y,z)) ^ х < tVy = 0;
2. В И Qt((x,y,z)) ^ х > tV у = 0;
3. В И Rt((x,y,z)) ^ (х = t Ау Ф 0)V (х = tAy = 0Az=0), t Ф 0;
4. В И R0'((x,y,z)) ^ х = 0 Ау Ф 0;
5. В И U_((x,y,z)) ^ х < 0 Ау = 0;
6. В И U+((x,y,z)) ^ х > 0 Ау = 0.
Алгебраические системы А и В универсально
геометрически эквивалентны (в частности, В заодно с А слабо нетерова по уравнениям [3, утверждение 5.1.13]). Разложение алгебраического множества Ув(0) в объединение всех его неприводимых компонент несократимо, а следовательно, единственно, а для VA(0) существует два несократимых разложения.
Естественно поставить еще один вопрос, напрямую связанный с проблемой 1. Мы формулируем его в виде открытой проблемы.
Проблема 2. Может ли в условиях леммы 6 для алгебраического множества VB (S) существовать несократимое разложение в объединение неприводимых компонент, в то время как для Vi(S) такого разложения не существует?
Замечание. Важно отметить, что в классе нете-ровых по уравнениям алгебраических систем разложения конечны и единственны, поэтому всех перечисленных выше сложностей в нем не возникает, а с помощью леммы 5 информация о неприводимых компонентах легко переносится с одной алгебраической системы на универсально геометрически эквивалентные ей. Также хотелось бы напомнить то, что для нетеровой по уравнениям алгебраической системы А все геометрически эквивалентные ей алгебраические системы автоматически будут нетеро-выми по уравнениям [3, утверждение 5.1.13].
5. Заключение
Неприводимые компоненты определяются для любого непустого алгебраического множества Y над любой алгебраической системой А. Они являются неприводимыми алгебраическими множествами над А, максимальными по включению в Y. Само множество Y представимо в виде объединения своих неприводимых компонент. Число неприводимых компонент всегда конечно, если алгебраическая система А нетерова по уравнениям. В этом же случае разложение будет единственным с точностью до перестановки неприводимых компонент.
В ненетеровом случае число неприводимых компонент может быть бесконечным. Вопрос о единственности разложения в объединение неприводимых компонент упирается в его несократимость. К сожалению, несократимость есть не всегда (пример 1). Более того, несократимое разложение может быть не единственным (пример 2). А вопрос о существовании несократимых разложений пока открыт (проблема 1).
При универсально-геометрически эквивалентных переходах сохраняется разложение алгебраических множеств в виде объединения всех его неприводимых компонент (следствие 7). Этот факт мог бы стать хорошим завершением теории неприводимых компонент в разрезе понятия универсальной геометрической эквивалентности, если бы не существовало
сократимых разложений. Построен пример универсально геометрически эквивалентных алгебраических систем и двух соответствующих друг другу алгебраических множеств, одно из которых раскладывается в объединение неприводимых компонент несократимо, а другое - сократимо (пример 3). Следующий аналогичный пример показывает, что однозначное разложение может соответствовать неоднозначному (пример 4). Проблема существования несократимого разложения находит свое отражение и в контексте универсальной геометрической эквивалентности (проблема 2). Таким образом, дальнейшее течение общей теории неприводимых компонент может протекать по одному из нескольких русел в зависимости от разрешения проблем 1 и 2.
Подводя итог, еще раз отметим, что теория при-марных компонент усложняется тем фактом, что возможны сократимые разложения в объединение неприводимых компонент. Если бы их не было, теория получилась бы проще и ближе к классической. Важно отметить и то, что все построенные нами примеры 14, демонстрирующие сократимость разложения и его последствия, принадлежат классу слабо нетеровых по уравнениям алгебраических систем - ближайшему к нетерому случаю. Однако необходимо признать, что наши примеры довольно искусственны по своим конструкциям. В конкретной изучаемой алгебраической системе подобных примеров может не существовать, и даже не только в одной алгебраической системе, а в целом классе алгебраических систем (например, в классе всех групп) или даже всех алгебраических систем сигнатур с некоторыми ограничениями (например, без предикатов). Следовательно, если для какого-то класса К алгебраических систем не существует сократимых разложений в объединение неприводимых компонент, то в классе К теория неприводимых компонент будет во всем такой же, как в нетеровом случае, кроме конечности. Это означает, что можно поставить дополнительную проблему общего характера о поиске хороших примеров классов К с указанным свойством или проблему о поиске таких классов в различных классических разделах алгебры и теории моделей, а также проблему о поиске достаточных условий, при которых отсутствуют сократимые разложения.
СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ
1. Eisenbud D. Commutative algebra: with a view towards algebraic geometry. N. Y. ; Berlin : Springer-Verlag, 1995. 785 p.
2. Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия. М. : Мир, 1981. 580 с.
- 21
Herald of Omsk University 2018, vol. 23, no. 2, pp. 16-22
3. Даниярова Э. Ю., Мясников А. Г., Ремесленников В. Н. Алгебраическая геометрия над алгебраическими системами. Новосибирск : Изд-во СО РАН, 2016. 243 с.
4. Plotkin B. Algebras with the same (algebraic) geometry // Proc. Steklov Inst. Math. 2003. Vol. 242. P. 165196.
5. Горбунов В. А. Алгебраическая теория квазимногообразий. Новосибирск : Научная книга, 1999. 368+xii c.
ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ
Даниярова Эвелина Юрьевна - кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник, Институт математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук, Омский филиал, 644099, Россия, г. Омск, ул. Певцова, 13; e-mail: evelina.omsk@list.ru.
INFORMATION ABOUT THE AUTHORS
Daniyarova Evelina Yufevna - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Senior Researcher, Sobo-lev Institute of Mathematics Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences, Omsk Branch, 13, Pevtsova st., Omsk, 644099, Russia; e-mail:evelina.omsk@list.ru.
Ремесленников Владимир Никанорович - доктор физико-математических наук, профессор, заведующий лабораторией комбинаторных и вычислительных методов алгебры и логики, Институт математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук, Омский филиал, 644099, Россия, г. Омск, ул. Певцова, 13; e-mail: remesl@ ofim.oscsbras.ru.
Remeslennikov Vladimir Nikanorovich - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Head of the Laboratory Combinatorial and Computational Methods of Algebra and Logic, Sobolev Institute of Mathematics, Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences, Omsk Branch, 13, Pevtsova st., Omsk, 644099, Russia; e-mail: remesl@ofim.oscsbras.ru.
ДЛЯ ЦИТИРОВАНИЯ
Даниярова Э. Ю., Ремесленников В. Н. Неприводимые компоненты в универсальной алгебраической геометрии // Вестн. Ом. ун-та. 2018. Т. 23, № 2. С. 1622. ЭО!: 10.25513/1812-3996.2018.23(2).16-22.
FOR QTATIONS
Daniyarova E.Yu., Remeslennikov V.N. Irreducible components in the universal algebraic geometry. Vestnik Omskogo universiteta = Herald of Omsk University, 2018, vol. 23, no. 2, pp. 16-22. DOI: 10.25513/1812-3996.2018.23(2).16-22. (in Russ.).
