CC BY
7
УДК 512.541
DOI 10.25513/1812-3996.2018.23(4).25-29
ЭКВАЦИОНАЛЬНЫЕ КО-ОБЛАСТИ В КЛАССЕ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП
(посвящается 80-летию профессора Владимира Никаноровича Ремесленникова)
Э. Ю. Даниярова
Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Омский филиал, г. Омск, Россия
Информация о статье
Дата поступления 26.09.2018
Дата принятия в печать 17.10..2018
Дата онлайн-размещения 14.12.2018
Ключевые слова
Абелева группа, инварианты Шмелёвой, универсальная алгебраическая геометрия, неприводимое алгебраическое множество, эквациональная ко-область, нётеворость по уравнениям, квазимногообразие, универсальный класс, аксиомы
Финансирование
Работа выполнена при поддержке Программы фундаментальных научных исследований СО РАН № М.1.4 в рамках научного проекта № 0314-2016-0004
Аннотация. Эквациональные ко-области определяются тем свойством, что над ними все непустые алгебраические множества неприводимы. В данной статье приводится описание эквациональных ко-областей в классе абелевых групп. Доказывается, что свойство «быть эквациональной ко-областью» для абелевой группы не зависит от наличия или отсутствия ненулевых коэффициентов в рассматриваемых уравнениях. Показано, что класс эквациональных ко-областей в многообразии абелевых групп аксиоматизируем. Приведён соответствующий список аксиом.
EQUATIONAL CO-DOMAINS IN THE CLASS OF ABELIAN GROUPS (paper dedicated to professor Vladimir Nikanorovich Remeslennikov on the occasion of his 80th birthday)
E. Yu. Daniyarova
Sobolev Institute of Mathematics of Siberian Branch of RAS, Omsk Branch, Omsk, Russia
Abstract. Equational co-domains are determined by the property that above them all nonempty algebraic sets are irreducible. The description of equational co-domains in the class of abelian groups is given in this article. It is proved that the property of "being an equational co-domain" for an abelian group does not depend on the presence or absence of non-zero coefficients in the used equations. It is shown that the class of equational co-domains in the variety of abelian groups is axiomatizable. The corresponding list of axioms is given.
Keywords
Abelian group, Szmielew invariants, universal algebraic geometry, irreducible algebraic
Article info
Received 26.09.2018
Accepted 17.10.2018
Available online 14.12.2018
Вестник Омского университета 2018. Т. 23, № 4. С. 25-29
-ISSN 1812-3996
set, equational co-domain, equationally Noetherian property, quasivariety, universal class, axioms
Acknowledgements
The reported study was funded by the Fundamental Research Program of the SB RAS № I.1.1.4, according to the research project № 0314-2016-0004
1.Введение
Представленная работа написана в рамках проекта по построению алгебро-геометрической теории абелевых групп. Основные алгебро-геометрические задачи в классе абелевых групп были решены в 2000 г. в статье [1]. Но остается достаточно большое количество вопросов, которые не вошли в круг исследований авторов указанной статьи. На данный момент работы по описанию алгебро-геометрической и универсальной теории абелевых групп возобновлены [2; 3] и проводятся с отсылкой на монографию [4], в которой дано систематическое изложение общей теории алгебраической геометрии над произвольными алгебраическими системами.
Среди не решенных ранее задач присутствует задача описания эквациональных ко-областей в классе абелевых групп. Напомним, что алгебраическая система А языка Ь называется эквациональной ко-областью, если множество всех решений в А любой совместной системы уравнений 5 языка Ь от конечного числа переменных является неприводимым алгебраическим множеством над А. К понятию эквациональной ко-области близко понятие дискриминирующей алгебраической системы. Дискриминирующие алгебраические системы, в частности в классе абелевых групп, выступили объектом изучения в работе [5]. Все дискриминирующие алгебраические системы являются эквациональными ко-об-ластями, но последних значительно больше, кроме того, именно они представляют интерес с точки зрения алгебраической геометрии.
В данной статье мы приводим классификацию эквациональных ко-областей в классе абелевых групп на языке их универсальных инвариантов: абе-лева группа А является эквациональной ко-обла-стью тогда и только тогда, когда все ее у-инварианты Шмелёвой принимают значение либо 0, либо го. Затем мы показываем, что класс всех эквациональных ко-областей внутри многообразия абелевых групп
аксиоматизируем с помощью УЗ-предложений, и приводим соответствующий набор аксиом.
Следует отметить, что при изучении алгебраической геометрии над данной абелевой группой В необходимо в первую очередь обозначить основной язык Ь, в котором мы будем это делать. Если Ь — это стандартный язык абелевых групп < +,-,0>, то алгебраическая геометрия над В в языке Ь называется бескоэффициентной. Если стандартный язык Ь расширить, добавив в него новые константные символы, которые при интерпретации в В порождают подгруппу А, то говорят об алгебраической геометрии над В с коэффициентами в подгруппе А. В частном случае, при А = В, алгебраическая геометрия над В называется диофантовой. Так, в первой статье по данной теме [1] рассматривался только диофантов случай.
Применительно к понятию эквациональной ко-области процедура выбора основного языка в случае абелевых групп приобретает интересную особенность, а именно мы показываем, что свойство «быть эквациональной ко-областью» не зависит от выбора языка. Таким образом, если абелева группа В является эквациональной областью в языке Ь =< +,-,0 >, то она будет эквациональной ко-областью в расширенном языке ЬА при любой подгруппе А группы В, и наоборот, если В не является эквациональной ко-областью в языке Ь, то она не будет ею ни в одном из языков ЬА при любом выборе подгруппы А группы В.
2. Необходимые алгебро-геометрические определения, обозначения и результаты
Следуя монографии [4], кратко напомним необходимые определения из универсальной алгебраической геометрии применительно к классу абелевых групп. В теоретико-модельных вопросах будем придерживаться книги [6].
Пусть Ь =< +,-,0 > - стандартный язык абелевых групп и А — абелева группа. Через ЬА будем
ISSN 1812-3996
обозначать расширение языка L с помощью добавления новых константных символов, соответствующих элементам группы А. Уравнения языка LA от переменных из множества X = {х1, ...,хп} имеют вид т1х1 + —+ тпхп = а, где а £ А и т1,..., тп - целые числа. Множество уравнений S от переменных X называется системой уравнений языка LA или системой уравнений с коэффициентами в группе А.
Зафиксируем абелеву A-группу В, то есть абе-леву группу, содержащую выделенную подгруппу, изоморфную А. Множество всех решений ('Ъ1,.,Ъп) £ Вп системы уравнений S в группе В обозначается через VB(S) и называется алгебраическим множеством над группой В, соответствующим системе уравнений S.
Абелева A-группа В называется нётеровой по A-уравнениям, если для любых конечного множества X и системы уравнений S от переменных X с коэффициентами в А найдется такая конечная подсистема 50 £ S, что 7В(50) = VB(S). Определение нё-теровости по уравнениям формулируется для произвольных групп и даже для произвольных алгебраических систем, а для абелевых групп известно, что все они нётеровы по уравнениям вне зависимости от выбора множества коэффициентов (см., например, [3, Lemma 5]).
Среди всех алгебраических множеств выделяют неприводимые. Для краткости изложения здесь мы приведем не прямое определение неприводимых множеств, а удобный критерий. Непустое алгебраическое множество неприводимо в том и только том случае, если его нельзя представить в виде конечного объединения собственных алгебраических подмножеств [4, лемма 2.2.4].
Абелева A-группа В называется эквациональ-ной ко-областью (в языке LA), если для любого конечного множества X и любой системы уравнений S языка La с переменными в X алгебраическое множество VB(S) либо пусто, либо неприводимо. Для классификации эквациональных ко-областей в классе абелевых групп будем использовать результаты, справедливые для произвольных алгебраических систем. Поскольку абелевы группы нётеровы по уравнениям, то из теоремы 4.3.2, предложений 4.3.8 и 4.3.9 монографии [4] извлечем следующие факты.
Теорема 1. Пусть В - абелева A-группа. Тогда следующие условия эквивалентны:
1) В — эквациональная ко-область в языке LA;
2) группа В ф В локально A-дискриминиру-ется группой В;
3) любая ненулевая конечно порождённая A-группа из квазимногообразия QvarA(B) принадлежит универсальному классу UclA(B).
Напомним, что абелева A-группа С называется конечно порождённой A-группой, если она порождается подгруппой А в объединении с некоторым своим конечным подмножеством С0 £ с. Говорят, что абелева A-группа С A-дискриминируется абеле-вой A-группой В, если для любого конечного набора ненулевых элементов c1,.,cn Е С существует такой A-гомоморфизм h\C^B (то есть гомоморфизм, тождественный на выделенных подгруппах, изоморфных А), что h(ct) Ф 0 для всех i = 1, ...,п. Соответственно, если все конечно порожденные A-под-группы абелевой A-группы С A-дискриминируются группой В, то говорят, что С локально A-дискрими-нируется группой В.
Через QvarA(B) (соответственно, Ucl^(ß)) мы обозначаем наименьшее квазимногообразие (соответственно, наименьший универсальный класс) языка La , содержащее В.
Лемма 2 ([4, следствие 4.2.4]). Пусть абелева A-группа В является эквациональной ко-областью в языке La . Тогда В является эквациональной ко-об-ластью в языке Lc для любой подгруппы С < А.
3. Универсальные инварианты абелевых групп
Элементарные инварианты абелевых групп были введены В. Шмелёвой в статье [7], где ею было показано, что две абелевые группы А и В элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда у них попарно совпадают все элементарные инварианты. Существует несколько способов определения элементарных инвариантов. Один из них предлагает четыре серии элементарных инвариантов («-инварианты, ß-инварианты, у-инварианты и 5-инвариант), последние две из которых естественно назвать универсальными инвариантами, потому что совпадение их в точности выражает универсальную эквивалентность абелевых групп А и В [2; 8]. Эти универсальные инварианты нам понадобятся для дальнейших рассуждений, поэтому напомним их определения.
Универсальный инвариант 5(<4) абелевой группы А равен 0, если период е(А) группы А конечен, и равен 1 в противном случае.
Для определения у-инвариантов напомним, что для любого целого положительного числа т через тА обозначается подгруппа {mala Е А} группы А, а через А[т] - подгруппа {alma = 0}. Для простого числа р подгруппа А[р] обладает структурой векторного пространства над полем Fp из р элементов. В этих обозначениях для простого числа р и це-
лого положительного числа к инвариант УРкк(А) определяется как размерность векторного пространства (рк-1А)[р] над полем Рр, если это число конечно, а в противном случае УРкк(А) равняется символу го. Для любого простого р имеем
Ур,1(А) > УрЛ(Л) >->Ур,к(А)>-Можно записать такую универсальную формулу вркт языка Ь, где р - простое число, к - целое положительное, т - натуральное, что А И врктп ^ УрЛ(А) < т:
6р,к,о = Vx(pkx = 0^ рк-1х = 0),
в
Р,к,т = VXoVXi ...VXm(pkXo = ркХ1
к
т к-1
р хт = 0 ^VaiEFp,a
х (а0рк 1х0 + а.1рк 1Х1 + ••• + атрк 1хт = 0)), т> 0.
Для любой подгруппы А абелевой группы В и любых чисел р, к, как выше, имеет место неравенство УРкк(А) < УрЛ(В). Если УР:к(А) = т, то конечная группа Ст(рк) вкладывается в А, в то время как Ст+1(рк) £ ис1(Л).
4. Классификация эквациональных ко-областей
В категории абелевых групп эквациональные ко-области мы описываем с помощью следующего результата.
Теорема 3. Пусть В - абелева группа и А - ее подгруппа. Тогда следующие условия эквивалентны:
1) В - эквациональная ко-область в языке Ь,
2) В - эквациональная ко-область в расширенном языке ЬА,
3) УрЛ(В) Е {0, го} для всех простых чисел р и целых положительных к.
Доказательство. Последовательно покажем, что 3) ^ 2) ^ 1) ^ 3).
Допустим, что УрЛ(В) Е {0,го} для всех простых чисел р и целых положительных к. Проверим, что в этом случае В является эквациональной ко-об-ластью в языке Ьв. Возьмем произвольную конечно порождённую В-подгруппу С группы ВфВи покажем, что она В-дискриминируется группой В. Имеем 5(С) = 5(В) и УрЛ(В) < УрЛ(С) < Урк(ВфВ) = = Ур,к(В), то есть Урк(С) = УрЛ(В) для любых р,к. Диагональная подгруппа В в группе ВфВ сер-вантна, следовательно, она сервантна в С, поэтому С = Вфв для некоторой конечно порождённой группы С [9, следствие 28.3]. Запишем С = 1т ф Т(С), где 1 - бесконечная циклическая абелева
-ISSN 1812-3996
группа, m - натуральное число, а T(G) - периодическая часть группы G. В данном случае T(G) - конечная группа. Таким образом, С = B®Zm®T(G). Так как Ур,к(С) = Yp,k(B) Е {0,го] для любых р,к, то легко видеть, что группа С B®Zm-дискриминиру-ется группой B®Zm. Далее, если 8(С) = S(B) = 0, то m = 0, поэтому B-дискриминируемость группы С с помощью группы B доказана. Если m > 0, 5(С) = S(B) = 1. Покажем, что в этом случае группа B®Zm B-дискриминируется с помощью B. При этом достаточно показать, что B®Z B-дискриминируется с помощью B, так как Zm Z-дискриминируется с помощью Z [2, лемма 2.5]. Возьмем ненулевые элементы bi + kt, bi Е B,ki Е Z,i = 1, ...,п и рассмотрим B-го-моморфизмы hb\B®Z ^ B, b Е B, где hb(x + у) = = x + yb, x Е B, у Е Z. Если порядки элементов b1,...,bn ограничены, то в качестве b выберем элемент достаточно высокого порядка, чтобы выполнялись неравенства kib Ф-bi для всех i = 1,...,n. Если bi - элемент бесконечного порядка, то положим b = tbi, где t - достаточно большое натуральное число. Это доказывает B-дискриминируемость группы B®Z с помощью группы B и, в конечном итоге, B-дискриминируемость С с помощью B. Согласно теореме 1, B является эквациональной ко-об-ластью в языке LB, а в силу леммы 2, B - эквациональная ко-область в языке LA и, в частности, в L0 = L.
Теперь предположим, что YP,k(B) = m для некоторых р,к и m > 0. В этом случае Ст(рк) < B Е Е Ucl(B) С Qvar(B). Но при этом Ст+1(рк) £ £ Ucl(B). В то же время квазимногообразия замкнуты относительно прямых сумм, поэтому Ст+1(рк) е Qvar(B). Таким образом, по теореме 1, группа B не является эквациональной ко-областью в языке L. □
Доказанный результат позволяет разбить многообразие абелевых групп А на два класса: класс эквациональных ко-областей Dc и его дополнение А \ Dc. Это разбиение не зависит от наличия или отсутствия ненулевых коэффициентов в рассматриваемых уравнениях.
Следствие 4. Класс эквациональных ко-обла-стей Dc в многообразии абелевых групп А аксиоматизируем, а его аксиомами в А являются УЗ-пред-ложения вр ктп ^ врк0 по всем простым числам р и целым положительным k, m.
х
Вестник Омского университета 2018. Т. 23, № 4. С. 25-29
ISSN 1812-3996-
СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ
1. Myasnikov A., Remeslennikov V. Algebraic geometry over groups II: Logical foundations // J. Algebra. 2000. Vol. 234. P. 225-276.
2. Мищенко А. А., Ремесленников В. Н., Трейер А. В. Универсальные инварианты для классов абелевых групп // Алгебра и логика. 2017. Т. 56, № 2. С. 176-201.
3. Daniyarova E., Remeslennikov V. Calculation of the coordinate group by a system of equations over an abelian group // IEEE. Submitted.
4. Даниярова Э. Ю., Мясников А. Г., Ремесленников В. Н. Алгебраическая геометрия над алгебраическими системами. Новосибирск : Изд-во СО РАН, 2016. 243 с.
5. Baumslag G., Myasnikov A., Remeslennikov V. Discriminating and co-discriminating groups // J. Group Theory. 2000. Vol. 3, no. 4. P. 467-479.
6. Горбунов В. А. Алгебраическая теория квазимногообразий. Новосибирск : Научная книга, 1999. 368 c.
7. Szmielew W. Elementary properties of Abelian groups // Fundamenta Mathematica. 1955. Vol. 41. P. 203271.
8. Eklof P. C. Some model theory of abelian groups // J. Symbolic Logic. 1972. Vol. 37, no. 2. P. 335-342.
9. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. Т. 1. М. : Мир, 1974. 336 с.
ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРЕ INFORMATION ABOUT THE AUTHOR
Даниярова Эвелина Юрьевна - кандидат физико- Daniyarova Evelina Yufevna - Candidate of Physical
математических наук, старший научный сотрудник and Mathematical Sciences, Senior Researcher, Sobo-
лаб. КВМАЛ, Институт математики им. С. Л. Со- lev Institute of Mathematics, SB RAS, 13, Pevtsova st.,
болева СО РАН, 644099, Россия, г. Омск, ул. Певцова, Omsk, 644099, Russia; e-mail: [email protected] 13; e-mail: [email protected].
ДЛЯ ЦИТИРОВАНИЯ
Даниярова Э. Ю. Эквациональные ко-области в классе абелевых групп // Вестн. Ом. ун-та. 2018. Т. 23, № 4. С. 25-29. DOI: 10.25513/1812-3996.2018. 23(4).25-29.
FOR GTATIONS
Daniyarova E.Yu. Equational co-domains in the class of abelian groups. Vestnik Omskogo universiteta = Herald of Omsk University, 2018, vol. 23, no. 4, pp. 25-29. DOI: 10.25513/1812-3996.2018.23(4).25-29.
