CC BY
0
УДК 512.572+512.54.0 DOI 10.24147/1812-3996.2023.5.57-68
НЕКОТОРЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ТЕОРИИ СТЕПЕННЫХ
Л-ГРУПП
М.Г. Амаглобели1
д-р физ.-мат. наук, профессор, e-mail: mikheil.amaglobeli@tsu.ge
А.Г. Мясников2 д-р физ.-мат. наук, профессор, e-mail: amiasnikov@gmail.com
1 Тбилисский государственный университет им. Ив. Джавахишвили, Тбилиси, Грузия 2Stevens Institute of Technology, Hoboken NJ, USA
Аннотация. Статья является небольшим обзором результатов, полученных авторами совместно с В.Н. Ремесленниковым по теории степенных Е-групп с акцентом на теорию многообразий нильпотентных степенных Е-групп.
Ключевые слова: Е-группа, линдонова Е-группа, холлова Е-группа, многообразие Е-групп, а-коммутатор, Е-коммутант, нильпотентная Е-группа, тензорное пополнение.
К 85-летию Владимира Никаноровича Ремесленникова
Введение
Понятие степенной Д-группы, где R — произвольное ассоциативное кольцо с единицей, ввёл Р. Линдон в работе [1]. А. Г. Мясников и В. Н. Ремесленников уточнили понятие степенной Д-группы, введя дополнительную аксиому [2]. Новое понятие Д-группы является непосредственным обобщением понятия Д-модуля на случай некоммутативных групп. В статье М. Г. Амаглобели и В. Н. Ремесленникова [3] Д-группы с этой дополнительной аксиомой названы МД-группами. Оказалось, что все ранее изученные Д-группы Линдона на самом деле являются МД-группами (включая свободную ZfiJ-группу Линдона FZ[i]). В данной работе изучаются только те Д-группы, которые являются МД-группами. Для простоты обозначений всюду далее, если не оговорено противное, под Д-группой мы будем понимать МД-группу. Хорошо известна роль тензорного расширения кольца скаляров для модулей. Авторы работы [2] определили точный аналог этой конструкции для произвольной Д-группы G — тензорное пополнение G, доказали существование и единственность тензорных пополнений, и описали их некоторые принципиальные свойства. В работе [5] предложен конкретный способ построения тензорного пополнения данной Д-группы G для широкого класса групп G. Систематическое изучение Д-групп начато в работах [2,3,5-8]. Отметим, что результаты этих работ оказались весьма полезны при решении известных проблем Тарского.
Настоящая статья является небольшим обзором результатов, полученных авторами совместно с В. Н. Ремесленниковым по теории степенных Д-групп с акцентом на теорию многообразий нильпотентных степенных Д-групп.
1. Предварительные сведения
Напомним основные определения и факты, следуя работам [1,2]. Пусть Ьдг = {■, -1,е} — групповой язык (сигнатура), где ■ — бинарная операция умножения, -1 — унарная операция обращения, е — константный символ для единицы группы. Обогатим групповой язык Ьдг до языка Ь*дг = Ьдг и {¡а(д) | а € Я}, где ¡а(д) — унарная алгебраическая операция.
Определение 1. Множество С будем называть линдоновой Я-группой, если на нём определены операции ■, -1, е, {¡а(д) | & € Я} и выполнены следующие аксиомы (ниже для краткости выражение /а(д) записываем в виде да):
1) аксиомы группы;
2) для всех д,Н € С и а, @ € Я выполняются равенства
91 = 9, д° = е, еа = е; (1)
да+13 = дадР да,3 =(дауЗ (2)
(1г-1дК)а = к-1дак. (3)
Обозначим через Си категорию линдоновых Д-групп. Аксиомы, приведённые выше, являются тождествами языка Ь**г, поэтому класс Си является многообразием алгебраических систем языка Ьдг, и из общих теорем универсальной алгебры следует, что можно говорить об Д-гомоморфизмах, свободных Д-группах, о многообразиях Д-групп, о квазимногообразиях Д-групп и т. д.
Существуют абелевы линдоновы Д-группы, не являющиеся Д-модулями (см. [9], где подробно исследована структура свободной абелевой линдоновой Д-группы). Авторы работы [2] добавили к аксиомам Линдона дополнительную аксиому (квазитождество):
(МД-аксиома) Vд,к,а € Я [д,Щ = е —► (дК)а = дака, (4)
где [д, Ы\ = д-1к-1дк.
Определение 2. Группу С будем называть МЯ-группой, если на С определена операция да для всех д € С, а € Я, и при этом выполнены аксиомы (1)-(4).
Обозначим через Мк класс всех Д-групп, удовлетворяющих аксиомам (1)-(4). Очевидно, что Си Э Мл. Кроме того, каждая абелева Д-группа из Мк является Д-модулем и наоборот. Большинство естественных примеров степенных Д-групп лежат в классе Мд. Произвольная группа является Ч-группой из класса Мч; абелева делимая группа из С<д принадлежит МQ; группа периода п является степенной Ч/пЧ-группой; свободная линдонова Д-группа является Д-степенной МД-группой; произвольная степенная нильпотентная Я группа над биномиальным кольцом Д, введённая Ф. Холлом [10], является Мд-группой; произвольная про-р-группа является степенной Чр-группой из класса МЧр, где Чр — это кольцо целых р-адических чисел; и т.д. (см. другие примеры в [2]). Класс Мя является квазимногообразием в сигнатуре Ь* .
Стандартным образом в [2] вводятся понятия Д-подгруппы, Д-порождаемости, нормальной Д-подгруппы и т.д. В частности, гомоморфизм Д-групп <р : G ^ G* называется R-гомоморфизмом, если р(да) = р(д)а для любых g G G, a G Д. Ядра Д-гомоморфизмов могут быть охарактеризованы как так называемые ^д-идеалы.
Определение 3. Для g,h G G, a G R элемент
(g,h)a = h-ag-a(gh)a назовём а-коммутатором элементов g и h.
Очевидно, что а-коммутатор (g, h)a при а = — 1 совпадает с обычным коммутатором [h-1 ,д-1]. Ясно, что
(gh)a = gaha(g,h)a и G G MR ^ {[g,h] = e (g,h)a = e). Последняя эквивалентность приводит к определению Мд-идеала.
Определение 4. Нормальная Д-подгруппа H < G, G G Cr, называется Mr-идеалом, если для любых g, h G G из того, что [g, h] G H следует (g, h)a G H для любого a G R.
В [2] доказано, что если у : G ^ G* — Д-гомоморфизм групп из M r, то Ker у — M r-идеал в G, и если H — M д-идеал в G, то G/H G Mr .
В [2] показано, что определяющую роль при изучении степенных Д-групп играет операция тензорного пополнения. Она естественно обобщает понятие расширения кольца скаляров для модулей на некоммутативный случай. Тензорное пополнение используется при определении свободных конструкций в классе Mr, включая понятие свободной Д-группы.
Определение 5. Пусть G G Mr и ц : R ^ S — гомоморфизм колец. Тогда ¿"-группа Gs'^ называется тензорным S-пополнением Д-группы G, если удовлетворяет следующему универсальному свойству:
1) существует гомоморфизм Л : G ^ Gs'^, согласованный с ^ (то есть Х(да) = (\(д)У(а^ для всех g G G и a G Д), такой, что \(G) ¿"-порождает Gs'^, то есть
{X(G))S = Gs'» ;
2) для любой ¿"-группы H и любого гомоморфизма р : G ^ H, согласованного с существует S-гомоморфизм ф : Gs'^ ^ H, делающий коммутативной диаграмму
G Gs'»
У & = ш
s Ф
H
Отметим, что если G — абелева Д-группа, то Gs'^ = G® S — тензорное про-
R
изведение Д-модуля G на кольцо S. В [2] доказано, что для любой Д-группы G и
произвольного гомоморфизма ^: Я ^ Б тензорное пополнение существует и единственно с точностью до Д-гомоморфизма.
В приложениях ^ чаще всего будет вложением колец, но и в таком случае гомоморфизм Л: С ^ не всегда является вложением. В [2, предложение 11] дано общее достаточное условие, при котором Л является вложением. Работа А. Г. Мясникова и В. Н. Ремесленникова [5] посвящена изучению групп, которые изоморфно вкладываются в своё тензорное пополнение.
2. Нильпотентные Д-группы
Пусть с > 1 — натуральное число. Обозначим через Мс,я категорию нильпо-тентных Д-групп ступени нильпотентности с из класса Сд, то есть тех Д-групп, в которых выполняется тождество
Vхl, ... ,хс+1[х1,... ,Хс+1] = е.
Обозначим через М^^ категорию нильпотентных Д-групп ступени с, в которых выполняется аксиома (МЯ). Структура Д-групп без аксиомы (МЯ) очень сложна, поэтому в большинстве работ изучаются только Д-группы с этой аксиомой.
Холловы нильпотентные Я-группы ([10]). Для того чтобы ввести это понятие, нам необходимо ограничить класс рассматриваемых колец.
Определение 6. Кольцо Я называется биномиальным кольцом, если Я — область целостности, содержащая Ч в качестве подкольца, и вместе с каждым элементом а € Я содержит все биномиальные коэффициенты
а(а — 1)(а — 2)... (а — п +1)
-, п € N.
С)
п/ п\
Примерами биномиальных колец является любое поле нулевой характеристики, кольцо многочленов над таким полем, кольцо целых чисел.
Определение 7. Нильпотентная группа С ступени нильпотентности с называется холловой Я-группой (здесь Я — биномиальное кольцо), если для любых х € С, а € Я однозначно определён элемент ха € С, причём выполняются следующие аксиомы (х,у,х1,... ,хп — произвольные элементы группы С, а, ¡3 — произвольные элементы кольца Д):
(1) хх ^с, хх> хх> хх , хх> (х ) ;
(2) (у-1ху)а = у-1хау;
(3) хЧ ...х» = (х1... хп)а Т2(Х )(а2) ... Тс(Х)("), где Х = {хъ...,хп}, тк (X) — к-ое слово Петреску от х1,..., хп.
Напомним, что для каждого натурального к к-ое слово Петреску тк (х1,..., хп) = тк (X) определяется рекуррентно из соотношения
1 х2 ...хкп = п(Х )к т2(Х р ... Тк-1(Х )(Ь-1) Тк (X р
в свободной группе Р с порождающими х1,..., хп. В частности,
п
Тг (X) = хгх2 ...хп,Т2 (X) = Д ^,х^(тос1 ъ(Р)),
г>3,г,3=1
где 7з(Р) — третий элемент нижнего центрального ряда группы Р.
Обозначим категорию холловых Д-групп через НМс,к. В статье будем рассматривать нильпотентные группы ступени с = 2. Всюду далее коммутатор двух элементов х,у Е С будем обозначать через [х, у] = х-1у-1ху, коммутант группы С — через С, и центр группы С — через 2(С).
Многообразие 2-ступенно нильпотентных групп М2 определяется следующим тождеством:
[х, у, г] = \[х, у], г] = е дл любых х,у,г Е С.
Непосредственно из этого тождества следует: если группа С принадлежит многообразию групп М2, то коммутант С содержится в центре Z(С) группы С. В многообразии аксиома (3) из определения 7 Д-группы принимает следующий вид:
(3') х? ...хап = (хг... хп)а т2 (X) (2), где т2(Х)(^) = П [^г,х3].
Покажем, что структура групп из Мс,к очень сильно отличается от структуры холловых Д-групп мз НМс,к. Для этого приведём структуру свободной Д-группы в многообразии НМ2,к, следуя работе [3].
Мы ограничиваемся рассмотрением двух биномиальных колец: кольца многочленов от £ с рациональными коэффициентами Д = Q[¿] и его поля частных
Д =
Обозначим через С0 свободную 2-ступенно нильпотентную Д-группу в категории НМ2,и с порождающими х,у. Хорошо известно, что мальцевская база этой группы состоит из трёх элементов х,у, [у,х]. Общий вид элемента д Е С0 следующий:
д = х1 уё [у, х]€, 7,5,е Е К.
В частности, в этой группе коммутант С0 является свободным Д-модулем ранга 1 с порождающим [у, х]. Если теперь С — свободная Д-группа в многообразии Аг,д, то в работе [3] показано, что С является свободным Д-модулем бесконечного ранга и найдена база этого модуля.
Заключительная часть работы [3] посвящена решению алгоритмических проблем для 2-ступенно нильпотентных степенных Д-групп. Алгоритмические проблемы для Д-групп рассмотрены в сигнатуре
° = {-,-1
где ¡а — унарная операция возведения в степень а, то есть ¡а(д) = да. Предполагаем, что способ задания Д-групп — с помощью порождающих элементов и определяющих соотношений. Рассмотрены четыре классические алгоритмические проблемы:
1) проблема равенства термов (а-слов);
2) проблемы сопряжённости;
3) проблема степеней, то есть выяснение вопроса для пары элементов g, h из G, существует или нет такое а Е R, что g = ha;
4) проблема линейной зависимости для а-коммутаторов.
В [3] построена свободная 2-ступенно нильпотентная R-группа F со свободными порождающими х,у в двух случаях: R = Q[i] и R = Q(t). Доказано, что центр Z(F) есть прямая сумма свободного R-модуля ранга 1, порождённого элементом [у, х], и свободного R-модуля счётного ранга.
Используя этот факт, получены следующие результаты.
Теорема 1. Проблема равенства слов и проблема сопряжённости разрешимы для конечно определённых 2-порождённых 2-ступенно нильпотентных R-групп;
R = Q(t).
Теорема 2. Существуют 2-порождённые 2-ступенно нильпотентные R-группы с неразрешимой проблемой сопряжённости.
Теорема 3. Проблема степеней разрешима для конечно определённых 2-порождённых 2-ступенно нильпотентных R-групп, но не разрешима для конечно порождённых R-групп.
3. Многообразия Д-групп
В работе М. Г. Амаглобели, А. Г. Мясникова и Т. Т. Надирадзе [12] развита теория многообразий степенных Д-групп. В определении многообразия Д-групп мы следуем стандартной схеме. Отметим, однако, существенное отличие изучаемого случая от классического. Во-первых, понятие многообразия расслаивается в зависимости от кольца скаляров. Во-вторых, вербальная подгруппа, вообще говоря, не порождается значениями слов, определяющих многообразие. К счастью, функтор тензорного пополнения связывает слои многообразий по различным кольцам скаляров.
Многообразия тесно связаны со свободными группами, поскольку тождества — это элементы свободных групп. Пусть Х = {х1 | г € 1} — бесконечный счётный алфавит, Д — кольцо с единицей, РК(Х) — свободная Д-группа с базой Х (см. [5]). Элемент
т(х) = т(х1,..., хп) € РК(Х)
назовём К-словом в алфавите Х. Если С € Мк и д = (д 1,..., дп) € Сп, то отображение хг м д^ продолжается до Д-гомоморфизма у: РК(Х) м С. Образ т(х1,..., хп)^ = т(д 1,..., дп) € С будем называть значением Д-слова т при подстановке х1 = д1,... ,хп = дп.
Будем пользоваться следующими обозначениями:
ч(х) = т(х1,..., хп), х = (х-\^,..., хп),
™(д) = ™(дъ..^9n), д = (ди..^gn), т(С) = {-ш(д) Е Сп} = {т(д 1,..., дп) | дг Е С).
Д-слово ч(х) будем называть тождеством в группе С Е Мк, если ч(С) = е.
Определение 8. Пусть Ш — произвольное множество Д-слов в алфавите X. Тогда Ш определяет многообразие Д-групп
Я = Як(Ш) = {С ЕМл I ю(С) = е У и ЕШ}.
Определение 9. Мд-идеал в С, порождённый множеством значений всех Д-слов из множества Ш, назовём Ш-вербальным идеалом в С. Обозначение Ш(С).
Для тождеств естественным образом определяется понятие следствия: Д-слово и(х) следует из множества слов Ш С Рк(Х), если и(С) = е для любой группы С Е Як(Ш). Множества Д-слов Ш1 и Ш2 эквивалентны, если каждое Д-слово из Ш2 является следствием из Ш1 и наоборот. В частности, два Д-слова, получаемые одно из другого переименованием букв, эквивалентны.
Предложение 1. Ш-вербальный идеал в Рк(X), порождённый множеством К-слов Ш С РК(Х), состоит в точности из всех следствий множества Ш в Рк(Х).
В каждом многообразии Як( Ш) есть свободные относительно этого многообразия группы. Группа Рш,к(X) Е Як(Ш) называется свободной группой с базой X в многообразии Як(Ш), если Рш,к(Х) Д-порождается множеством X и для любой группы С Е Як(Ш) каждое отображение : X ^ С имеет единственное продолжение до Д-гомоморфизма у: Рщ,к(Х) ^ С.
Теорема 4. Свободной группой в многообразии К-групп Як(Ш) является группа
) = Рк(Х )/Ш (РК(Х)).
Теорема 5 (Биркгоф). Класс К-групп Я является К-многообразием тогда и только тогда, когда Я замкнут относительно взятия К-подгрупп, декартовых К-произведений и Я-гомоморфных образов.
Доказательство этой теоремы дословно повторяет классическое доказательство (см. [13, 15.2.1]), только гомоморфизмы рассматриваются в категории Мк.
Замечание 1. Класс Мк является квазимногообразием в сигнатуре Ь*дг. Пусть Я — некоторое многообразие £д-групп. Рассмотрим пересечение Я ПМк = Як. Этот класс является биркгофовым классом относительно класса Мк, то есть в нём справедливы теоремы Биркгофа внутри класса Мк (см. [14, глава 2, параграф 2.5]). Кроме того, для этого класса существует свободная Д-группа, существует теория определяющих соотношений, понятие Д-подгруппы и понятие Д — фактор-группы. Поэтому, естественно, класс Як называть многообразием внутри квазимногообразия М д-групп.
4. Тензорные пополнения в многообразиях Д-групп
Пусть Мк( Ш) — многообразие Д-групп, заданное множеством слов Ш; Д С 5 — кольца; С — группа из Мп(Ш).
Определение 10. Пусть С е Мп(Ш). Группу СЩ будем называть тензорным Б-пополнением С в многообразии Не (Ш), если существует Д-гомоморфизм Л: С ^ Сщ такой, что Л(С) 5-порождает СЩ, то есть (Л(С))я = СЩ, и для любой группы Н из А^(Ш) и любого Д-гомоморфизма р: С ^ Н существует 5-гомоморфизм ф: СЩ ^ Н, замыкающий до коммутативной диаграмму:
Г1 ^ ^ гчЯ
р
Н
/
/
/ Зф
Отметим, что в отличие от [2], мы рассматриваем только ситуацию, когда ^: Д ^ 5 — вложение колец, а потому ^ не участвует в определении и обозначениях. Это ограничение не является существенным и сделано только ради упрощения обозначений.
Теорема 6. Пусть С е ). Тогда тензорное Б-пополнение СЩ относи-
тельно А^( Ш) существует, причём
СЩ = С8/Ш (С8).
Теорема 7. Пусть Д СБ — кольца, РщК(Х) — свободная группа в многообразии Мя(Ш). Тогда ( Рщ к(Х)) V — свободная группа в многообразии Ыя( Ш), то есть
V = (Х).
5. Д-коммутант и абелевы многообразия Д-групп
Как отмечено выше, основные определения и обозначения теории многообразий степенных Д-групп в основном параллельны соответствующим понятиям из книги Х.Нейман [15]. Существуют, однако, специфические понятия в этой теории, связанные со структурой степенной Д-группы.
Пусть С — произвольная Д-группа. Положим
(С, С)к = {(д, К)а | д,к еС, а е Д)к.
Д-подгруппу (С, С)к будем называть Д-коммутантом группы С.
Предложение 2. Для любой Д-группы С верны следующие утверждения:
(а) Д-коммутант С является вербальной Д-подгруппой, определяемой словом [х, у] = х-1 у-1ху;
(Ь) К-коммутант — это наименьший Мя-идеал, фактор-группа по которому абелева.
Как уже отмечено, обычный коммутатор является (-1)-коммутатором. Какие ещё а-коммутаторы порождают Д-коммутант как вербальную Д-подгруппу? Ответим на этот вопрос в случае, когда Д — поле.
Теорема 8. Пусть Д — поле. Тогда а-коммутатор порождает К-коммутант как вербальную К-подгруппу при условии а = 0, а = 1.
Здесь же описаны абелевы многообразия Д-групп, а именно: каждому абелеву многообразию Д-групп однозначно отвечает некоторый двусторонний идеал в Д.
Теорема 9. Существует взаимно-однозначное соответствие между решёткой двусторонних идеалов кольца К и решёткой вербальных К-подгрупп свободного К-модуля.
Следствие 1. При К = Z любое собственное подмногообразие абелевых групп есть многообразие абелевых групп периода п > 2.
Теорема 10. Любое множество К-слов V в алфавите X эквивалентно множеству К-слов вида
Ш = {х^, и | гЕ I, ] Е .1}, где и3 — слова из К-коммутанта группы Ри(Х).
6. Ряды Д-коммутантов и нильпотентные многообразия
В предыдущем параграфе было определено понятие Д-коммутанта группы из класса Мд. Будем называть его первым Д-коммутантом Д-группы С и обозначать его через С(1,к\ Д-коммутант от С(1,К) будем называть вторым Д-коммутантом и обозначать С(2,К) и т.д. Возникает убывающий ряд Д-коммутантов
С = С(°,к) > С(1,к) > С(2,к) >■■■> С(п,к) >■■■ (5)
Определение 11. Степенную Д-группу будем называть К-разрешимой, если существует натуральное число п такое, что С(п,К) = е.
Индукцией по п нетрудно доказывается, что обычный п-й коммутант С(п"> содержится в . Поэтому п-ступенно разрешимая группа в категории Мк является п-ступенно разрешимой в категории групп.
Перейдём к определению нижнего центрального ряда в категории Ми. Первым членом этого ряда будет Д-коммутант группы С, который мы в этом случае обозначим через С(1,я). Пусть уже определён п-й член нижнего центрального ряда С(,п,к). Тогда
С(п+1,к) = 1^ \G, С(п,я)]),
то есть С(п+1,я) —это Мд-идеал, порождённый взаимным коммутантом С и Возникает нижний центральный ряд
С = С(о,к) > С(1,К) > С(2,к) > ■ ■ ■ > С(п,К) > ■■■ (6)
Определение 12. Д-группу С будем называть нижне Д-нильпотентной, если существует такое натуральное число п, что С(Пущ = е. Наименьшее число п с этим свойством называется ступенью нижней Д-нильпотентности.
Так как обычный член С(п) нижнего центрального ряда группы С содержится в С(Пув), то п-ступенно нижне нильпотентная группа в категории Мк является нильпотентной группой ступени < п в категории групп. Из определения рядов (5), (6) и определения вербальной Д-подгруппы непосредственно следует, что для любого натурального п и кольца Д группы и С(пк) являются вербальны-
ми Д-подгруппами. В связи с этими определениями возникают следующие вопросы.
Вопрос 1: Верно ли, что
= С(п)), то есть порождается ли вербальная Д-подгруппа словом уп(х, у) = [ьп-1 (х), уп-1(у)], где ь1(х, у) = [х, у]? Похожий вопрос для нижнего центрального ряда: порождается ли вербальная Д-подгруппа С(пущ коммутатором [х-\^,..., хп+1]?
Вопрос 2: Будет ли п-ступенно разрешимая Д-группа п-ступенно Д-разреши-мой? Будет ли п-ступенно нильпотентная Д-группа п-ступенно нижне Д-нильпо-тентной?
Ряды (5), (6) можно продолжить для любого ординала а. Если а — непредельный ординал, то
получается из
описанным выше способом. Если же а —
предельный ординал, то
СМ = ^С^, С{ак = [}С{т.
¡3<а ¡3<а
Вопрос 3: Пусть Р = Рк(Х) — свободная Д-группа с базой Х. Для любого ли кольца Д существуют ординалы а и [, зависящие от Д, такие, что Р(а,К) = е и
Р{И,к) = е?
Обозначим класс нижне Д-нильпотентных групп ступени п через пК. Введём также и другие определения нильпотентности в категории Д-групп. Для этого индукцией по п определим понятие простого а-коммутатора веса п, где а = (а1,..., ап-1). Если п = 2, то а = (а) и в этом случае простой а-коммутатор — это а-коммутатор (д 1, д2)а элементов д1, д2 из С, определенный выше. Пусть для п > 2 простые а-коммутаторы веса п уже определены. Тогда простой (а, ап)-коммутатор есть ап-коммутатор (х, дп)ап, где х есть простой а-коммутатор. Далее, пусть Х = {х1,х2,... } — множество букв. Обозначим через
Шп = {(••• ((х1,х2)а1 ,х3)а2 ,...,хп+1)ап I а1,...,ап е д|
множество всех простых а-коммутаторов веса п +1 от букв х1,..., хп, где а = (а-\^,..., ап). Многообразие Д-групп, определяемое множеством Д-слов Шп, обозначим через Мп,к. Группы из этого многообразия будем называть Д-нильпотентными группами ступени нильпотентности п.
Введём ещё одно определение нильпотентности. Обозначим через Мп,к многообразие Д-групп, определяемое словом
Ь,п = [••• [[х1,х2],хз] ,...,хп+1] .
Группы из многообразия Nn>R будем называть верхне нильпотентными Д-группами ступени n (или нильпотентными Д-группами ступени нильпотентности n из класса Cr). Соответствующую вербальную подгруппу Д-группы G будем обозначать через In r(G). Ясно, что имеют место следующие включения
К
Теорема 11. При n = l, 2 все три определения нильпотентности совпадают. Вопрос о совпадении этих понятий при n > 2 остаётся открытым.
В [2] отмечено, что тензорные пополнения абелевых Д-групп являются абелевы-ми Д-группами. В общем случае, как правило, тензорное пополнение в категории всех степенных Д-групп строится с помощью свободных конструкций (см. [5]), а потому, в некоммутативным случае часто содержит свободные подгруппы. Тем не менее справедлива
Теорема 12. Если G нильпотентная R-группа ступени нильпотентности 2, то её тензорное пополнение Gs также является нильпотентной SS-группой ступени 2.
Авторы статьи сердечно поздравляют РЕМЕСЛЕННИКОВА Владимира Ника-норовича с 85-летием.
Благодарности
Работа выполнена при поддержке Грузинского национального фонда Шота Руставели (код проекта FR-21-4713).
Литература
1. Lyndon R.C. Groups with parametric exponents //Trans. Amer. Math. Soc. 1960. V. 96. P. 518533.
2. Мясников А.Г., Ремесленников В.Н. Степенные группы. I. Основы теории и тензорные пополнения // Сиб. мат. журн. 1994. T. 35, N. 5. C. 1106-1118.
3. Амаглобели М.Г., Ремесленников В.Н. Свободные 2-ступенно нильпотентные Е-группы // Докл. АН. 2012. T. 443, N. 4. C. 410-413.
4. Амаглобели М.Г. Функтор тензорного пополнения в категориях степенных Mñ-групп // Алгебра и логика. 2018. T. 57, N. 2. C. 137-148.
5. Myasnikov A.G., Remeslennikov V.N. Exponential groups. II. Extensions of centralizers and tensor completion of CSA-groups // Int. J. Algebra Comput. 1996. V. 6, N. 6. P. 687-711.
6. Baumslag G., Myasnikov A., Remeslennikov V. Discriminating completions of hyperbolic groups // Geom. Dedicata. 2002. V. 92. P. 115-143.
7. Амаглобели М.Г., Ремесленников В.Н. Расширения централизаторов в нильпотентных группах // Сиб. мат. журн. 2013. T. 54, N. 1. C. 8-19.
8. Amaglobeli M., Remeslennikov V. Algorithmic problems for class-2 nilpotents Mñ-groups // Georgian Math. J. 2015. V. 22, N. 4. P. 441-449.
9. Baumslag G. Free abelian X-groups // Illinois J. Math. 1986. V. 30, N. 2. P. 235-245.
10. Холл Ф. Нильпотентные группы // Математика. Сб. переводов. 1968. Т. 12, N. 1. С. 3-36.
11. Мясников А.Г., Ремесленников В.Н. Формульность множества мальцевских баз и элементарные свойства конечномерных алгебр, II // Сиб. матем. журн. 1983. Т. 24, N. 2. С. 97-113.
12. Амаглобели М.Г., Мясников А.Г., Надирадзе Т.Т. Многообразия степенных Е-групп // Алгебра и логика, принята к печати.
13. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. СПб: Лань, 2009.
14. Горбунов В.А. Алгебраическая теория квазимногообразий. Новосибирск: Научная книга, 1999.
15. Нейман Х. Многообразия групп, М.: Мир, 1969.
SOME RESULTS FROM EXPONENTIAL E-GROUPS THEORY
M.G. Amaglobeli1
Dr.Sc. (Phys.-Math.), Professor, e-mail: mikheil.amaglobeli@tsu.ge
A.G. Myasnikov2 Dr.Sc. (Phys.-Math.), Professor, e-mail: amiasnikov@gmail.com
1Ivane Javakhishvili Tbilisi State University, Tbilisi, Georgia 2Stevens Institute of Technology, Hoboken NJ, USA
Abstract. This article is a short review of the results obtained by the authors together with V. N. Remeslennikov on the theory of exponential Д-groups with an emphasis on the theory of varieties of nilpotent exponential Д-groups.
Keywords: Д-group, Lyndon's Д-group, variety of Д-groups, «-commutator, Д-commutant, tensor completion, nilpotent Д-group.
Дата поступления в редакцию: 25.10.2023
