CC BY
40
УДК 622.64 В.Г. Дмитриев
УРАВНЕНИЕ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ЛЕНТЫ ТРУБЧАТОГО КОНВЕЙЕРА
Семинар № 15
ТЪ трубчатом ленточном конвейере
-Щ-Э лента на линейной части движется внутри роликоопор, образующих правильные многоугольники (наиболее часто - это шестиугольник). Лента свернута в трубу, причем борта ленты, для создания герметичности внутреннего объема, соединяются внахлестку (рис. 1, а). Сечение трубы по форме близко к окружности с радиусом Я = (В - 2Д) / 2п, где В - ширина ленты.
При движении внутри роликоопор става лента под действием различных внешних возмущений может вращаться относительно оси вращения « 0Х », при этом поворот сечений характеризуется появлением угла закручивания. В отличие от поперечного (бокового) схода ленты на конвейере традиционной конструкции, который вызывает износ бортов и просыпи груза, на трубообразном конвейере при небольших углах закручивания отмеченных явлений не возникает и это является большим достоинством трубчатого конвейера. Однако при значительных внешних возмущениях возможен такой по-
Д
а)
ворот сечения ленты, при котором насыпной груз окажет воздействие на место соединения бортов ленты, вызвав расхождение бортов и потерю герметизации, возникновение просыпей и, как следствие этого, нарушение нормальной работы конвейера (рис. 1, б); но и возможные многочисленные незначительные угловые повороты сечений ленты вдоль трассы также нежелательны, так как приводят к переформированию груза внутри ленты, что повышает сопротивление движению и вызывает повышенный износ обкладок ленты.
Поскольку характер контактного взаимодействия ленты с роликами трубчатого конвейера практически не отличается от его взаимодействия с лентой конвейера традиционной конструкции, то при исследовании вращательного движения ленты сохраняются многие проблемы, которые пришлось решать при изучении поперечного движения (бокового схода) ленты [1],
Рис. 1. Поперечное сечение трубчатого конвейера
б)
Рис. 2. К выводу уравнения вращения
но появляются также и проблемы, специфические для трубчатого конвейера.
Исследование вращательного движения ленты на линейной части става трубчатого конвейера невозможно выполнить, не располагая уравнением, описывающим силовое взаимодействие продольно движущейся загруженной ленты с опорной конструкцией става.
Составим дифференциальное уравнение вращательного движения ленты трубчатого конвейера.
Для составления уравнения примем цилиндрическую систему координат: ось Х проходит через центр вращения 0 и направлена вдоль става конвейера, и ф -радиус трубы и центральный угол ее поворота (угол закручивания) относительно оси 0Х.
Введем следующие обозначения: рл , рг - плотность ленты и груза; V - продольная скорость движения ленты; 3л , 3 г - полярные моменты инерции трубчатого сечения ленты и груза, Я - средний радиус сечения ленты:
Я = ( Я1 + Я2)/2 = Я2 +8/2, где 8 - толщина ленты.
Ленту считаем ортотропным телом с модулями упругости Юнга Е1 и Е2 и модулем упругости при сдвиге О.
При составлении дифференциального уравнения исключим из рассмотрения продольное натяжение ленты; на достаточном удалении от концевых барабанов влияние натяжения становится незначительным, поэтому получаемая ошибка для средней части конвейера значительной протяженности будет невелика. Таким образом, полученные решения будут давать несколько завышенные результаты, что пойдет «в запас» получаемых решений.
Рассмотрим прямолинейный участок трассы и первоначально исключим из рассмотрения силы, возникающие от взаимодействия ленты с поддерживающими ро-ликоопорами. В соответствии со сделанными допущениями данный участок ленты находится в условиях чистого сдвига. Считаем также, что при кручении в насыпном грузе сдвиговых напряжений не возникает.
Выделим на этом участке трассы элемент ленты с грузом длиной йх (рис. 2). На двух сечениях ленты действуют скручивающие моменты Мк и Мк + йМк ; при этом, как обычно, для случая приращения бесконечно малых величин имеем соотношение
ЛМк =дМкЛх.
дх
(1)
Известно, что для случая чистого сдви-
га
Мк = 03,
дф
дх
(2)
где О - некоторый приведенный модуль сдвига конвейерной ленты; 3к - момент инерции поперечного сечения ленты как разрезанного кольца.
По существующей классификации свернутая в трубу лента является открытым профилем, для которого [2]
3„ =1 ^83, к 3
где £ - развернутая длина средней линии сечения трубы; 8 - толщина ленты.
Для нашего случая 3„ =1 • 2п| Я +- |83.
Подставляя значение крутящего момента Мк из выражения (2) в формулу (1), получим
йМк = —(03к ф йх = 03к д-фф йх .
к йх ^ к дх) к дх2
Определим моменты инерции вращения массы, состоящей из отрезка ленты и груза. Полярный момент инерции вращения массы ленты в виде отрезка трубы длиной йх равен
3 л = 3ТРрлйх ,
где 3ТР - полярный момент инерции трубы
3ТР =П (4 - Я4),
массы груза 3 г = 3 'гРг йх ,
где 3\ - полярный момент инерции сечения груза, зависящий от степени заполнения сечения, т.е. производительности конвейера.
Суммарный полярный момент инерции вращения массы трубы с грузом длиной йх равен
3£ = (3ТР ' Рл + 3гРг )х = 3ТР ^Рл + Рг ^ йх =
= 3 ТРрйх,
где Р - некоторая условная плотность массы ленты и груза, приведенная к моменту инерции трубы:
Р = Рп + КРг , где К = 3;/ 3ТР .
Используя принцип Д’Аламбера, запишем выражение для динамического равновесия при вращении трубы с грузом
й 2ф
д2ф
3ТрР~ййГйх=03к дг йх;
(4)
откуда
,]ф = О/рСф = а, сф, (5)
й 3трр дх дх
где а2 = 03к / 3ТРр .
Учитывая продольную скорость движения ленты V , имеем следующее выражение для полного дифференциала
й2 д2 д2 2 д2
—7 = —7 + 2v------+ V ——,
й д/ дtдx дх
и тогда
дфф = (а (- „ =- 2*
д ' ’ дх дхд/
Учтем диссипацию энергии при угловых колебаниях ленты с грузом в виде момента
Мп=П
йф
й/
где п - коэффициент диссипации при угловых колебаниях, учитывающий рассеяние энергии в ленте и грузе.
Поскольку полный дифференциал равен
й=_д Л
й/ д/ дх'
(6)
то
Мл=П| + *
дф дф
— + V—
5/ дх
дф
(причем при любом угле —2- демпфи-
дх
рующая сила положительна) и тогда дфф = ( - V 2) - 2* дф-Пф V дф'1.
д V ' дх дхд/ I д дх I
(7)
Далее рассмотрим силы, возникающие при взаимодействии ленты с опорными роликоопорами. При повороте свободного сечения ленты на угол закручивания йф (рис. 2) все образующие на ленте поворачиваются на угол сдвига у, равный
т
Рис. 3. Силы, действующие на ленту
Э2 дф
у = Я
йф
йх
В работе [1] показано, что при повороте ленты, катящейся по ролику, на угол у
возникает поперечная сила ¥р , пропорциональная синусу угла поворота у , то есть
¥р = Nъту ,
где N - сила давления ленты на ролик.
Поскольку при малых углах справедливо соотношение $>\пу - у , то
,йФ
¥ = N-у = N - Я
йх
МЕ
К1'р
Ж-2:-*- я
______& =иФ
К1' дх ’
где ц =
Ж2
КГ/ р
IР - расстояние между ро-
Соответственно в месте контакта ленты с роликом возникает вращающий момент, имеющий направление, зависящее от знака величины йф/ йх , и равный
М¥ = ¥ - Я = Ж^-Я = Ж2 ¥ р йх дх
(в данном случае йф /йх = дф/ дх).
Поскольку дифференциальное уравнение (7) описывает систему с распределенными параметрами, то сосредоточенный момент М¥ заменим распределенным моментом т¥, равным
ликоопорами, К - коэффициент приведения.
Лента движется внутри роликоопор, состоящих, как правило, из шести роликов (рис. 3, а), при этом три верхних и три нижних ролика вращаются в разные стороны.
Следовательно, при повороте образующих на угол у , три верхних и три нижних ролика создают различные по направлению моменты. При принятом нами положительном направлении угла ф нижние ролики создают центрирующее усилие, а верхние - децентрирующее.
Груз, находящийся на ленте, создает распределенное давление на ролики / (ф),
которое зависит от степени заполнения поперечного сечения ленты (рис. 3, а), причем при повороте сечения на некоторый угол ф диаграмма распределенного давления также поворачивается и меняется.
Обозначим сосредоточенные равнодействующие силы от распределенных
¥
сил / (ф), действующих на ролики, через
N - N 6,
где
^+1
N. (ф) = | /(ф)йф + + Рщ (ф);
ф1 ф+1 - пределы интегрирования распределенной силы от груза и ленты, соответствующие длине одного ролика; Ыш. - сила от изгиба ленты на ролике; Рл (ф) - составляющая от веса
ленты.
Тогда, если
^ = Ы,Я — > 0, Е2 = Ы2Я дф> 0, дх дх
Е3 = Ы3Я — > 0, то 33 йх
^ = N 4 Я дф < 0 ,
х
= N5 Я дф< 0
5 5 йх
сдвига у =
х
и в большинстве случаев являются центрирующими; при отсутствии груза или при 100% заполнении сечения ленты этот момент равен нулю.
Аналогично введенной в уравнение поперечного движения ленты демпфирующей силе [1], введем в уравнение вращательного движения (7) демпфирующий момент, возникающий на отдельных роликах опоры при вращении в ней ленты; с учетом соотношения (6) имеем
(ф) = Жр(ф) Я^ф^1 • Я =
й
= Wp (ф)Я | дф + V
= Wp (ф)
Я
д/
2 дф
V
дф\ Я
дх
+ Wp(ф)Я2 д/
дф
дх
Р6 = N6 Я < 0;
х
соответствующие знаки имеют и распределенные моменты
N Я2 дф дф
Ж ' = —'---= и — .
' КГр дх ' дх
Заметим, что при определенной степени заполнения и значительном угле поворота сечения отрицательные силы N4 и ^ , а следовательно, и моменты ж4 и ж6 могут стать весьма значительными. Кроме сил, пропорциональных углу ф
где Wp (ф) - сила сопротивления движению, возникающая на ' - ом ролике в ро-ликоопоре:
Wp(ф) = Ni ф ,
м' - коэффициент сопротивления движению ленты по роликам; при этом независимо от направления вращения роликов и знака производной ф / х все создаваемые моменты являются демпфирующими.
Суммарный демпфирующий распределенный момент равен
= X м»'(ф) = X N ' (фХ
возникают также силы
Т(ф), зависящие от угла поворота ф. Эти силы возникают из-за появления неуравновешенной части груза с какой-либо стороны (рис. 3, б) относительно оси 22’. Они также создают моменты М, (ф)
Ж1 (ф) = 1(ф) • г(ф) , причем в
Кр
общем случае эти моменты имеют нелинейную зависимость от угла поворота ф
где и =
КГр КГр
1 дф дф V д1 дх,
X N. (ф) м’Я2
Я2 ф+Я 2 дф
д/
дх
К1Р
С учетом найденных моментов уравнение (7) запишем в виде
д2ф 2 2ч д2ф 52ф
—2. - (я2 - у2)—2. + 2 у—— +
5/ дх дхд/
и) дф
п+— | —+
у і дґ
+ {гру + и)
дф
дх
+ Х +т ф)ф = 0, (8)
/=1
подвергается растяжению и деформации в этом направлении незначительны, то модуль Е2 определяемый в окрестностях нуля, мал, соответственно мал и модуль сдвига О. Полярный момент инерции ленты в виде разрезанной трубы 3К как открытого профиля
скую сумму моментов, возникающих на также мал, следовательно, мала и кру-роликах.
Если возмущающие нагрузки постоянны во времени, то уравнение (8) принима ет вид
где X представляет собой алгебраиче-
тильная жесткость системы 03К , т.е.
(я2 - у2)
дх
п+и+Хи?уф - т] (ф)ф = 0
(9)
Дифференциальное уравнение (8) позволяет решать различные задачи, связанные с анализом вращательного движения ленты, имеющей форму трубы, внутри ро-ликоопор става. Для решения задачи необходимо сформулировать соответствующие начальные и граничные условия.
В заключение сделаем следующие замечания.
Конвейерная лента традиционной конструкции является существенно нелинейным ортотропным упругим телом, характеризуемым малыми модулями упругости в плоскостях изотропии - Е1 и Е2 при малых натяжениях. Поскольку в поперечном направлении лента практически не
она практически не воспринимает крутящих моментов. Таким образом, небольшие внешние возмущения могут вызвать в некоторых режимах работы значительные угловые перемещения трубы. Например, отсутствие груза на конвейере исключает из уравнения (8) самоцентрирующий момент т] (ф) ,
что делает данную систему более «мягкой», т.е. существенно реагирующей на малые внешние возмущения.
Проблематичной является и задача центрирования движения ленты, свернутой в трубу, т.е. изыскания способов уменьшения угла ф при различного вида возмущающих нагрузках, а также задачи устойчивого движения ленты на криволинейных участках трассы, общей устойчивости ее движения вдоль става и др.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Шахмейстер Л.Г., Дмитриев В.Г. Тео-
рия и расчет ленточных конвейеров. - М., Машиностроение, 1987, 335 с.
2. Сопротивление материалов. Под ред. Писаренко Г.С. - Киев, Вища школа, 1979, 696 с.
— Коротко об авторах -------------------------------------------------------------
Дмитриев В.Г. - доктор технических наук, профессор, кафедра «Горная механика и транспорт», Московский государственный горный университет.
