CC BY
37
Section 4. Mechanics
Section 4. Mechanics
Yuldashev Adash, candidate of physico-mathematical sciences, an associate professor of department Higher mathematics of Tashkent state technical university named after Abu Raikhon Beruni
Pirmatov Shamshod Turgunbaevich, head of Higher mathematics department, candidate of physico-mathematical sciences, an associate professor of Tashkent state technical university named after Abu Raikhon Beruni
Minarova Nigora Xudayberganovna, senior teacher of Tashkent state technical university named after Abu Raikhon Beruni E-mail: nigora24031967@mail.ru
The Equation of balance of flexible round plates
Abstract: In this work, we consider the equation of equilibrium flexible solid round and ring plates under various boundary conditions. The equation are solved by the method of driving and the result is compared in linear and nonlinear geometric objectives.
Keywords: equation, circular plates, quasilinear, balance, iteration, approximation.
Юлдашев Адаш, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры Высшая математика Ташкентского государственного технического университета им. Абу Райхона Беруни
Пирматов Шамшод Тургунбаевич, Заведующий кафедрой Высшая математика, кандидат физико-математических наук, доцент Ташкентского государственного технического университета им. Абу Райхона Беруни
Минарова Нигора Худайбергановна старший преподаватель кафедры Высшая математика Ташкентского государственного технического университета им. Абу Райхона Беруни E-mail: nigora24031967@mail.ru
Уравнение равновесия гибких круглых пластин
Аннотация: В настоящей работы рассматривается уравнения равновесия гибких круглых сплошных и кольцевых пластин при различных граничных условиях. Полученные уравнения решаются методом прогонки и результат сравнивается в геометрической линейной и нелинейной постановки задач.
Ключевые слова: уравнение, кольцевые, пластины, квазилинейное, равновесие, итерация, аппроксимация.
32
The Equation of balance of flexible round plates
Общие уравнения равновесия гибких круглых пластин с учетом геометрической нелинейности в форме Кирхгофа-Лява имеют вид:
d /=_ч = dW
где:
<F T )-T - rQdF=0'
d )-^ ^+TW - *=°
- 12 4 - 12 4
Ti = ^2D(11 + ^22) T2 = hD(22 + №11 )
q=_Di dW+1 dW _1 dWd
dr3 j dr2 j2 dr
_ du 1 (dW ^
£„ =-
(1)
(2)
_ u
I , ^22 = -.
dr 2^ dr ) r
Подставляя выражения усилии и перерезывающих сил (2) в (1) и с помощью следующих безразмерных величин:
77 т" " (3)
r u W a r = —, u = —, W =—, o= —, an n n
получаем уравнение равновесия в перемещениях: d2u du d2W dW
—aiTT — a2~T + a3u — a4 ~T~2 a5T = °> dr dr dr dr
, dW , d3W , d2W , dW _
d — + d — - d — + Ъ,— = ß.
(4)
1
dr Здесь:
al = 12S2, a2 =
dr 1252
dr2 1252
' , аз = 2
dr
1 d W 1 dW
a=
5 dr3 rS dr2
6 (1 -1) dW
'2S- Ü W
, b = 1, b = -,
dr r
b = — + 12S
, 1 12 _
b = — +—5
du 1 f dw Y u
dr 2S t dr J + fl — r
u du 1 ( dW
—+ jU — r dr + u— 25 t dr
12(1 -U) 4
ß = q■ 4o>q =——~5 >q = q(r).
E
Система уравнений (4) решается в области:
I 0 < r < 1 — (сплошнойкруглой пластин), I
[или r0 < r < 1 — (кольцевойкруглойпластин) I
со следующими граничными условиями:
= 0, RvÖW\г= 0. (5)
TSu = 0, MS
v v г , v /-,
d v
Уравнения равновесия гибких круглых пластин (4) при заданных граничных условиях решается методом сеток.
Введем сетку:
Г = ih - (сплошнаякруглая пластина),
Г- = r0 +(1 - r0 )h -
кольцевая круглая
пластина
(i = 0,1,2,..., N )
с шагом h = — соответственно на отрезках:
0 < r < 1 или r0 < r < 1.
Используя центральные разностные формулы, аппроксимирующие производные с точностью второго порядка [1, 131-153; 3, 10-11], вместо уравнений (4) в матричной форме получим следующую систему квазилинейных алгебраических уравнений:
АгХг_2 + B,X, _i + CX + D,Xt+1 + EXi+2 = g,, (6)
где:
A. =
f0 0 ^ fb b л
u u B = U11 u12
V 0 a22 J
V
0 b
C =
22 J
f С и О
V 0 С 22 J
f du d,2 > (0 0 > f 0 ^
D, = , Et = , gi =l
V 0 d22 J V 0 e22 J Vß)
, м2 N at2 N
bn = a N - a2~, bi2 = a4 N - d—’
cn = 2a1 N2 + a3, cl2 = a4 N2,
1 лт2 N , лт2 N
dn=aN + a2~, di2=a4N + d—,
a 22 = b N - K—’ e22 = b N + K—’
b22 = 4b N4 - b2N3 + b3 N2 + b4 N,
c 22 = 6b, N4 + 2b3 N2,
d22 = 4bj N4 + b2N3 + b3 N2 - b4 N,
a.1 = 12fi2, a2 = 12—, a3 = 12—,
r r
= N (+2 - 2Wi+1 + 2Wi-! - W-2) +
25
+Njiw,+1 - 2Wi + W-1)+
( 1 N Л 2
125--^-(W+i-W-1 br , bi = 1, b = -> r о 2 r
b3 = \ +125 r
N, ч
~2 (+1- u--1)+
+—(Щ+, -Wt 1 )2+vu 85 +1 ‘ r
b = 1 -
— + » ^7 (+1 - u-1 ) + »T7(Wi+1 - -1 )2
Г 2 85
a 4 =
г
33
Section 4. Mechanics
Расмотрим некоторые разностные краевые условия для гибких круглых пластин.
1. Для сплошной круглой пластины, защемленной по контуру:
и(0) = 0, W'(0) = 0, W"'(0) = 0 при r = 0, (7)
м(1) = 0, W(1) = 0, W'(1) = 0 при r = 1. ()
Из первого, четвертого и пятого условий (7) получим:
U = 0, uN = 0, WN = 0. (8)
Применяя центральные разностные формулы со вторым порядком аппроксимации [2, 170-171], ко второму, третьему и шестому условиям (7), находим:
4 1 4 8 1
Ж =-W1 — W2, W1 =-W1 + -W2 — W3, , N
0 3 1 3 -1 9 1 9 2 3 3 (9)
W = W
VVN+1 VVN-1-
В векторном виде условия (8) и (9) запишутся в следующем виде:
EX0 = A0X1 + B0X2 , E-1X-1 = A-1X1 + B-1X2 + C-3X3.(10) = 0, EnXn+1 = EnXn_1 . (11)
Подставляя (10) и (11) в систему (6), получим систему квазилинейных алгебраических уравнений: MX = b, (12)
где:
M =
Ci, Di, Ei
B2, C2, d2 e2 A3 B3 C 3 D3 E3
A. B.C4 D. Ел
A B C D E
-4DN-4 N-4UN-4 ПN-4
A B C D E
■^-N-3 nN-3^ N-3LJN-3nN-3
A B C D
^N-2 ПN-2 ^ N-2 UN-2
AN-1 BN-1 C N-1
C, — C, + A.A
-B A0 , Д = D j
AB_i
' 0 0 > ' 0 0 л
4 , B0 = 1
0 0 —
V 3 ; V 3)
BBo,
'0 0Л А 1,
' 0 0 > ' 0 0 > f 0 ^
0 4 , B-1 = 0 8 , b = |
V 9; V 9;
Ej = Ej + Дс_3, B2 — A2A0 + B2,
C2 = C2 + A2B0 , CN-1 = CN-1 + EN-1EN ,
f 0 0 ^ f0 0 л
A = 4 , B = 1 = C, En =
Ai =
2. Для сплошной круглой пластины шарнирно-опертой по контуру:
u(0) = 0, W'(0) = 0, W"(0) = 0 при r = 0, (13) u(l) = 0, W(1) = 0, W"(1) = 0 при r = 1. Разностные условия на контуре в векторной форме примут вид:
XN = 0, EnXn+1 = EnXn_1 . (14)
Поставляя условия (9) и (14) в систему разностных уравнений (6), получим систему квазилинейных алгебраических уравнений в виде (12), где:
ц-2N ц + 2N'
3. Для круглой кольцевой пластины, защемленной по внутреннему и наружному контуру:
и(r0 ) = 0, Ж(r0 ) = 0, W'(r0 ) = 0 при r = r0, (15) и(1) = 0, W(1) = 0, W'(1) = 0 при r = 1.
Из условий (15) имеем:
u = 0, W = 0, W_! = W1. (16)
В векторной форме условия (16) имеют следующий вид:
EX0 = 0, EnX_! = EnXx . (17)
Подставив условия (17) и (11) в систему разностных уравнений (6), получим систему квазилинейных алгебраических уравнений в виде (12), где:
С1 = С1 + AEn .
CN-1 CN-1 + EN-1EN > EN
0 0 о H
i у
4. Для круглой кольцевой пластины шарнирно-опертой по обоим контурам:
и(r0 ) = 0, Ж(r0 ) = 0, Щ (г ) = 0 при r = r0, (18) и(1) = 0, Ж(1) = 0, M1 (1) = 0 при r = 1.
Из условий (18) имеем:
u = 0, Ж0 = 0, Ж_! = HW. (19)
В векторной записи условия (19) имеет вид:
EX0 = 0, EnX_! = EnX1 . (20)
Подставляя условия (20) и (11) в систему разностных уравнений (6) получим систему квазилинейных алгебраических уравнений в виде (12), где:
-Aen , E =
о л H 2 ,
H 2 =
ц + 2r0N Ц- 2r0N
Таким образом можно рассмотреть и комбинации приведенных выше граничных условий для кольцевых пластин.
К решению системы квазилинейных алгебраических уравнений (12) применяется неявный итерационный процесс в комбинации с методом исключения Гаусса [3, 10-11; 4, 31-32]. После некоторых преобразований t-го уравнения (12) получим:
X = «,X+i + ß ixi+2 +Y, (21)
где: ai = mt ( + dißi-3), ßt = mEt,
Y = ~mt [b - (0iyi-l + Aji-2)],
mi = ~(ci + Aßi-2 + ®iai-1), = Aa;-2 + Bj.
Итерационный процесс при вычислений (21) продолжается до выполнения условия:
X+1) -xt^<£, (22)
где e. - точность решения.
34
The Equation of balance of flexible round plates
После определения искомых функций xt методом В таблице 1 для защемленной по к°нтуру отлош-
конечных разностей вычисляются расчетные величи- ной круглой ил.астины приведены значения ß, W2 (0),
ны Т1, T2, Mp M2, Q. Wm (0), М1л (О), Mlm (0) при N = 40, 8 = 40, s=10-4.
Таблица 1. - Значения величин для защемленной по контуру сплошной круглой пластины
ß W (о) W (о) M u (0) М1ш (0)
1 12,5 0,195808 0,191078 0,485725 0,472984
2 25 0,390618 0,366501 0,970885 0,888274
3 37,5 0,585926 0,516668 1,455331 1,225221
4 57 0,781234 0,645989 1,939213 1,491387
5 62,5 0,976543 0,758306 2,422472 1,705780
6 75 1,171852 0,855859 2,905123 1,876603
7 87,5 1,367160 0,942570 3,378154 2,018304
8 100 1,562469 1,019868 3,668576 2,135593
9 125 1,953086 1,154075 4,829561 2,322764
10 150 2,343704 1,266410 5,788093 2,462441
11 175 2,734321 1,362722 6,744165 2,570735
12 200 3,124939 1,449757 7,697774 2,667368
Примечания: л — линейной, нл — нелинейной постановки задачи.
Из приведенных данных в таблице 1 видно, что при 0 < ß < 57 задачу можно решить в линейной постановке, а в 57 < ß < 200 в нелинейной постановке и с увеличением внешней нагрузки ß, прогиб и моменты в линейной постановке задачи больше чем в нелинейной постановке.
В таблице 2 показано изменение процентного соотношения: к = 100% | —— 1 I H X
и количество итера-
ций в при S = 20 и S = 40 с увеличением параметра ß, при N = 40, s = 10-5.
Из таблицы 2 видно, что при фиксированном 5 в интервале 0,25<&< 100, в растет почти пропорционально ß, т. е. кривые Wm (0)~ß и в ~ß почти совпадают. Результаты таблицы 2 позволяют сделать вывод, что при фиксированном ß с увеличением 5 увеличивается в .
Из приведенных таблиц видно, что где используют гибкие круглые пластины при самолетостроении, кораблестроении и автомобилестроении, обязательно берут решение задачи при нелинейной постановке.
Таблица 2. - Изменение процентного соотношения и количества итераций
ß при 5 = 20 к в ß при 5 = 40 к в
16 8 3 25 6,9 5
32 9,5 5 50 19,2 8
48 18,1 6 100 53,1 12
64 27,6 7 125 70 14
96 47 9 150 85,1 14
112 56 9 175 100 14
128 64,6 9 200 115,6 17
Список литературы:
1. Гавурин М. К. Лекции по методам вычислений. - М.: Наука, 1973.
2. Алибоев А., Юлдашев А., Назарова М. Исследование полей напряжений и деформации круглых пла-стин.//Республиканский межвузовский сборник «Актуальные вопросы в области технических и социально-экономических наук» - Ташкент, 2009.
3. Юлдашев А. Изгиб гибких кольцевых пластин.//Республиканский межвузовский сборник «Актуальные вопросы в области технических и социально-экономических наук» - Ташкент, 2012.
4. Юлдашев А., Хайитметов О.//Республиканский межвузовский сборник «Актуальные вопросы в области технических и социально-экономических наук» - Ташкент, 2012.
35
