Новый приближенный методрасчета гибких пластинпостоянной и переменной толщины Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3:624.073 РОГАЛЕВИЧ В. В., ТИМАШЕВ С. А.

Новый приближенный метод расчета гибких пластин постоянной и переменной толщины

Рогалевич

Виктор Вячеславович

доктор физико-математических наук, профессор, старший научный сотрудник Научно-инженерного центра «Надежность и ресурс больших систем и машин» УрО РАН

e-mail: sec@wekt.ru

Тимашев

Святослав Анатольевич

доктор технических наук, профессор,

директор Научно-инженерного центра «Надежность и ресурс больших систем и машин» УрО РАН

e-mail: sec@wekt.ru

В данной статье дано развитие метода на класс геометрически нелинейных краевых задач. Приведены результаты расчета гибких осесимметричных круглых пластин переменной толщины и гибких квадратных пластин постоянной и переменной толщины при различных условиях опирания по контуру.

Ключевые слова: новый метод, корректирующие параметры, нелинейные задачи, расчеты, гибкие пластины.

ROGALEVICH V. V., TIMASHEVS. A.

NEW APPROXIMATE DESIGN METHOD FOR FLEXIBLE PLATES OF CONSTANT AND VARYING THICKNESS

A new approximate method is designed for solvinggeometrcally non-linear boundary problems of plates in bending. Results of calculations are given for flexible axisymmetric circular plates with varying thickness, and flexible squre plates of constant and varying thickness, with different boundary conditions.

Keywords: new method, correcting parameters, non-linear problems, calculations, flexible plate.

В работе [1] предложен простой приближенный метод решения линейных краевых задач математической физики. Метод успешно применен для расчета жестких пластин различных очертаний в плане на изгиб и устойчивость [2]. Предложенный метод основан на простой аппроксимации функции прогиба, определении одной константы решения из условия ортогональности невязки с аппроксимирующей функцией, отыскании корректирующих параметров из условия минимума среднеквадратичных интегральных невязок по нагрузке.

Сущность метода

Нелинейную краевую задачу представим в операторном виде

Цм + Ь, (ш, ■№) + Ср = 0, (1)

1ц> = 0, (2)

где Ь1, I и Ьг - линейные и нелинейный дифференциальные операторы, действующие в области С (Ц, Ц) и на ее границе Г (I) соответственно; Ср - алгебраические выражения или числа; w - искомая функция.

Приближенное решение задачи (1), (2) представим в простом виде

w = А • X = А • I(а1 )• К(Ьк), (3)

где X - аппроксимирующая функция, удовлетворяющая краевым условиям (2); I(а), К(Ьк) - главная и корректирующая части аппроксимирующей функции; аг, Ьк - корректирующие параметры решения; А - искомый коэффициент решения.

Предполагается, что главная часть I может зависеть от одного параметра, а структура корректирующей части К устанавливается в процессе решения каждой конкретной краевой задачи.

Подставим решение (3) в уравнение (1) и найдем невязку

6 = А • ЦХ + Ап • 4 (X, X)-Ср, (4)

где п - целое число, зависящее от порядка нелинейности краевой задачи.

Для определения коэффициента А воспользуемся условием ортогональности

J 6 • ХйО = 0.

в

© Рогалевич В. В., Тимашев С. А., 2012

67

В результате получим

A • i'i + A • i2 — p' І3 — 0,

(5)

Д =

Ai. L (I,K)+ ■■

+An ■ L (I ■ K, I. K)- CPl

dG

(6)

x dw

p2+

О;

dN

безраз-

где /; = (ДХ, X), і2 = (Ц (X, X), X), і3 = (С, X) - скалярные произведения.

Дальнейшая процедура зависит от выбора параметра решения. Если в качестве параметра принять р (в задачах изгиба пластин это нагрузка), то из уравнения (5) следует определить коэффициент А. Если же в качестве параметра решения принять А (в задачах изгиба пластин это, чаще всего, прогиб в центре), то из уравнения (5) следует определить р.

Поскольку второй вариант решения предпочтительнее, то необходимо задать А = А1, найти

р1 = {і1А + і2Ап) • і-1, вычислить среднеквадратичную интегральную невязку

где и = иа / ?02 = [А (х)] (1 — у) хЫг + х1

мерная функция радиального перемещения.

В случае скользящей заделки при х = 1

0. (10)

a dw .

w = 0, — = 0, Nr dxr

В обоих случаях с учетом осесимметричности деформирования и ограниченности радиального усилия в центре пластин (х = 0) имеем

dw = 0, N = 0.

dx ’ dx

(ll)

1 0

и минимизировать ее, используя корректирующие параметры а1, Ьк.

Рассмотрим некоторые результаты решения.

Гибкие круглые пластины переменной толщины

Осесимметричный изгиб равномерно нагруженных гибких круглых пластин переменной толщины описывается известными дифференциальными уравнениями равновесия и совместности деформаций [3]:

г, , м3 й, , 1 й2ш , , 1 йт

\'< («>1 й?+м х - м ? л-

При неподвижной заделке функцию прогиба, удовлетворяющую краевым условиям (11), (9), представим в виде

w (x) = A ■ X (x) = A ■ I (x)• K (x, bk), (12)

где I (x) = (1 — x2 )2 - главная часть аппроксимирующей функции; K (x,bk) = exp (b1x2 + b2x4 )• (1 + b3 x2 + b4 xs) -корректирующая часть, содержащая пять корректирующих параметров ( Ьг, ..., Ь4, s - целое четное число).

Функцию радиального усилия, удовлетворяющую краевым условиям по Nr из (11), (9), представим в виде, подобном (12):

Nr (x) = B Y (x) = B • S (x )• T (x, ck), (13)

где S (x) = 1,

T (x, ck) = exp (c1x2 + c2 x4 + c3x6 + c4 x8 + c5x‘),

(У) причем

— — (1 — v + 2ci + 4c2 + 6C3 + 8C4) • t , t > 8

C5

целое четное число.

[h (x)] x'

+0,5(^ Ї І dx J

d N

dx2

dN

+ /3 (x) x^xt - /4 (x ) Nr +

(8)

(черточки над безразмерными величинами и функциями опущены; подчеркнуты нелинейные члены).

В уравнениях (7), (8), наряду с общепринятыми, введены следующие обозначения:

/1 (X) = 1 + 3/(х), /2 (х) = 1 - 3/(х),

/зМ = 3 - /М> /4 М = (!-у)/(х),

'(х)~щ "м"1 (х)7'•,

? (х) - толщина пластины в сечении х.

Систему нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений (7), (8) необходимо проинтегрировать при заданных краевых условиях.

Для неподвижной заделки краевые условия при х = 1 запишутся в виде

л dw

w = 0, — = 0; dx

dN

u = (1 -v) Nr + = 0,

r dx

(9)

Итак, функция радиального усилия (13), так же как и функция прогиба (12), содержит пять корректирующих параметров ( q , ..., c4, t ).

В соответствии с порядком решения, изложенном в предыдущем разделе, подставляем функции (12), (13) в уравнения (7), (8), выполняем процедуры ортогона-лизации возникающих невязок с аппроксимирующими функциями и из полученных алгебраических уравнений выражаем коэффициент B через A2, интенсивность поперечной нагрузки p — через A и A3, а затем, изменяя корректирующие параметры по заданной схеме, минимизируем среднеквадратичные интегральные невязки.

Конкретный расчет гибкой круглой пластины переменной толщины выполнен при h (x) = exp (0,4x2), v = 0,3 для шести значений коэффициента Ai (0,5; 1; 1,5; 2; 2,5; 3).

Нелинейная зависимость прогиба центра пластины w0 = Ai от нагрузки p = pt представлена на Иллюстрации 1 (кривая 1).

В Таблице 1 для трех вариантов решения ( n = 0; 4; 10; n - количество корректирующих параметров) приведены значения нагрузки p, невязок Д2

и безразмерные значения изгибных ( и ) и мембранных ( м ), радиальных (r ) и кольцевых ( j ) напряжений в характерных точках круглой пластины при A = w0 = 2, полученные по известным формулам [3].

—с

о

№ n p Ді д2 ст.(0) ст.(1) ^,Ж (0) Ст. ,Ж (1)

1 0 53,90 5,42 1,77 5,714 -13,115 3,424 1,618

2 4 54,15 0,80 0,56 4,931 -13,474 4,045 1,604

3 10 54,22 0,07 0,29 4,894 -13,474 4,100 1,603

Сравнивая представленные в Таблице 1 результаты, убеждаемся, что при расчете неподвижно защемленной по контуру, равномерно нагруженной гибкой круглой пластины переменной толщины достаточно принять п = 4, т. е. сохранить в (12) и (13) по два корректирующих параметра.

Для случая скользящей заделки на контуре (10) функции прогиба и радиального усилия представим по-прежнему в виде (12) и (13), но при этом

I (x) = cos2 (0,5nx), K (x, bk) = exp ^ bkx2

k=1

S (x) = cos (0,5nx), T (x, ck) = 1 + ^ ckx2k.

Данные функции обеспечивают выполнение краевых условий (11), (10), а корректирующие части K , T аппроксимирующих функций содержат по четыре корректирующих параметра.

Как и в предыдущем случае, принимаем h (x) = exp (0,4x2) , v = 0,3 , а расчет производим для пяти значений коэффициента Д (1; 1,5; 2; 2,5; 3). Полностью сохраняя процедуру решения, устанавливаем нелинейную зависимость w0 - p (Иллюстрация 1, кривая 2).

Прямая 0 на Иллюстрации 1 является результатом решения линейной задачи изгиба круглой защемленной по контуру пластины переменной толщины h (x) = exp (0,4x2) при p = 1 и v = 0,3.

Функция прогиба задана в виде (12), причем I (х) = (1 — x2) , K(x,bk) = exp (bjX2 + b2x4), где b1, b2 - корректирующие параметры.

В результате минимизации среднеквадратичной интегральной невязки по нагрузке установлено, что при bj = -0,548 ; b2 = 0,040 коэффициент A = w0 = 0,095274, средняя нагрузка p = 0,9998, невязка Aj = 0,00049, изгибные напряжения а,,„ (0) = 0,347; а,,, (1) =-0,376.

Гибкие квадратные пластины постоянной и переменной толщины

Рассмотрим гибкие равномерно нагруженные квадратные пластины, НДС которых симметрично относительно осей x, y. Полагаем, что на контуре пластин заданы скользящая или неподвижная заделки.

В первом случае расчет пластин целесообразно производить в смешанной форме ( w, j ), а во втором - в перемещениях ( w, и, n ).

Систему нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных смешанного типа, описывающих НДС пластин переменной толщины, представим в компактной форме [3]:

A(DAw) -(1 — v) L(D, w) —

—cL (w, ф) — Cp = 0;

Иллюстрация 1. Зависимости «нагрузка - прогиб в центре» круглых и квадратных пластин

(черточки над безразмерными величинами и функциями опущены; подчеркнуты нелинейные члены).

Нелинейные дифференциальные уравнения равновесия (14) и совместности деформаций (15) необходимо проинтегрировать при краевых условиях скользящей заделки на контуре I ( —1 < х, у < 1), заданных в виде

I n dw w\r = 0 ,

dn

о,

дт2

о,

д2^

дпдт

(16)

(17)

где и и т — нормаль и касательная к сторонам опорного контура.

Функции прогиба и усилий представим в виде, подобном (12), (13), с учетом двумерности задачи и симметрии НДС относительно осей х, у:

ш(х,у) = А ■х(х)■¥(у) =

= А ■ I (х) К (х, Ьк )■ Ь (у) М (у, Ьк);

ip(x, у) = B-Ф(х )• Z (у) =

= B •P(х)R(хck)•S(у)T(У,ck),

(19)

(14)

Д(НДр)-(1 + v) L (H, ф) + 0,5L (w, w) = 0 (15)

здесь I, L, P, S - главные части аппроксимирующих функций; K, M, R, T - корректирующие части, зависящие от параметров bk, ck.

Для выполнения краевых условий (16), (17) достаточно принять I (х) = P (х) = (1 — х2) ,

L (у ) = 5 (у ) = (1- у2 )2.

Корректирующие функции зададим в следующем виде:

K (x, bk) = (1 + b1x2 + b2 x4) • exp (b3xs),

(s — четное число );

^O)

k=1

о

Таблица 2

№ n Px Ді д2 p «ч, (0; 0) °х,и (і; 0) (0;0) °У,м (1; 0)

1 0 571,05 244,6 12,05 543,87 5,71 -13,12 1,62 -2,18

2 8 438,25 32,87 5,04 428,16 4,89 -12,78 1,94 -2,06

3 МКР сетка 10х10 422,21 4,74 -13,03 1,93 -2,03

4 сетка 20х20 428,45 4,85 -12,76 1,96 -2,05

R (x, ck) = exp (c1x2 + c2x4) (l + c3xt), (t — четное число).

(21)

M (у) = 1 + Ьіу2; F (x, y) = 1 + bi (x2 + y2) + b3x2y1 b1, b2, b3 - корректирующие параметры.

Заменяя x на y , получим корректирующие функции M (y, bk), T (y, ck).

Конкретные расчеты гибкой квадратной пластины выполнены при постоянной толщине и при толщине, изменяющейся по экспоненциальному закону h (x, y) = exp |0,4 (x2 + y2), при v = 0,3 и A , изменяющемся от 0,5 до 3 (в первом случае) и от 0,5 до 2 (во втором случае), с шагом 0,5.

С учетом двумерности задачи обобщаем описанную ранее процедуру решения и устанавливаем нелинейные зависимости w0 - p , представленные на Иллюстрации 1 кривыми 4 и 5 соответственно.

Для упрощения расчета среднеквадратичные интегральные невязки определялись и минимизировались только вдоль оси х, причем на невязку по нагрузке введено ограничение Д; < 0,075px, где px - средняя нагрузка вдоль оси x, а корректирующие параметры устанавливались с точностью 0,001.

В Таблице 2 для двух вариантов решений предложенным методом при отсутствии ( n = 0 ) и наличии восьми (строка 2) корректирующих параметров и двух вариантов решений методом конечных разностей (МКР, строки 3, 4) приведены значения нагрузок, невязок и безразмерных напряжений в характерных точках пластины при A = w0 = 2.

Результаты, представленные в строках 2 и 4, практически совпадают.

На кривых 5и 4 (Иллюстрация 1) результаты решения МКР на сетке 20 х 20 показаны кружочками. Следует подчеркнуть, что эти результаты получены из совместного решения двух систем нелинейных алгебраических уравнений высокого порядка, в то время как предложенным методом решение получено простыми средствами, а функции прогиба и усилий (18), (19) имеют при заданном коэффициенте A вполне конкретный аналитический вид.

Прямая 3 на Иллюстрации 1 соответствует решению линейной задачи изгиба равномерно нагруженной ( p = 1 ) квадратной пластины постоянной толщины с защемленными краями.

Функция прогиба принята в виде

w(x, y) = A ■ I (x) K (x)• L(y)M (y) • F(x, y), (22)

где

I (x) = (1 - x2 )2; K (x) = 1 + b1x2; L (y) = (1 - y2 )2; Таблица 3

Не вводя ограничений на невязку Д: вдоль оси х и принимая у= 0,3, устанавливаем, что при Ь1 = 0,23 ; Ь2 =0,03; Ь3 = 0,203 среднеквадратичная интегральная невязка Д1 равна 0,0021, а средние интегральные нагрузки вдоль оси х и на четверти поверхности пластины равны 0,998 и 1,0425.

Безразмерные значения прогиба в центре и изгиб-ных напряжений в центре и серединах защемленных сторон равны: w0 = 0,013817; ст и (0; 0) = 0,034345;

(1; 0) = 0,076946. ,

Полученное решение значительно проще приведенного в монографии [4].

Рассмотрим некоторые результаты расчета гибкой квадратной пластины постоянной толщины при неподвижной заделке по контуру.

Систему нелинейных дифференциальных уравнений в перемещениях [5] представим в компактной безразмерной форме:

A2w —

—12\Ьу (и, V, ш) + Ь2 (и, V, ш) + Ь3 (и, V, ш)1 — (23)

-Cp = 0;

д и

д и

тг + v\ ттт + v2 дх ду

д v

дх ду

д^ д^ д2и

—Т + V, —т- + V,-------------

ду дх дхду

+ L4 (w, w) = 0; (24)

+ L (w, w) = 0 (25)

(черточки над безразмерными величинами и функциями опущены; подчеркнуты нелинейные члены).

Нелинейные уравнения равновесия необходимо проинтегрировать при следующих краевых условиях на I (-1 < х , у < 1):

I л dw

w r = °; т-dn

= 0; u\r = 0; v|r = 0,

(26)

где п - нормаль к сторонам опорного контура пластины.

Функции перемещений, удовлетворяющие краевым условиям (26), представим в виде, подобном (18):

ы (х, у) = А(1- X2 )2 [і + ЬкХ

1 4

(1 - у2) 1 + £ ЬкУ2

(27)

к=1

№ n Px Ді д2 p «х,, (0; 0) °х,и (1; 0) (0;0) ^У,м (1; 0)

1 0 90,82 322,04 10,97 23,26 5,71 -8,79 -0,38 1,16

2 10 466,89 13,97 1,54 465,3 3,39 -18,66 3,16 2,69

3 МКР сетка 8х8 561,6 3,26 -16,90 3,55 3,31

4 сетка 24х24 474,1 3,39 -18,80 3,16 2,69

(0,6;1) (1;

(-1;-1)(-0,6;-1)

Иллюстрация 2. Распределение перемещений (а) и напряжений (б) в пластине

и (х, у) =

= В |х + а1х3 -(1 + а1) х51 (1 + с1х2) ехр (с2х!) • (28)

•(1 - у2) ехр Ьг; йку2

(29)

V (х, у) = 5(1 — х2) ехр ^ йкх

\к=1

I у + ауу3 — (1 + а1) у51 (1 + С1У2) ехр (с2 у*).

Здесь главные части аппроксимирующих функций подчеркнуты и содержат один корректирующий параметр ( а1), корректирующие части содержат девять параметров ( Ь1, ..., Ь4, с1, с2, ё1, Й?2, 5 - целое четное число).

Подставляя (27), (28), (29) в уравнения (23), (24), (25), находим невязки ( 61, 62 = 63 ), выполняем процедуры ортогонализации невязок с аппроксимирующими функциями, выражаем коэффициент В через А , определяем среднеквадратичные интегральные невязки ( Д1, Д2 = Д3) и минимизируем невязки по корректирующим параметрам. Минимизацию производим только вдоль оси х при ограничении Д; < 0,03рх, корректирующие параметры Ь1, ..., Ь4 определяем с точностью 0,0001.

В Таблице 3, подобной по содержанию Таблице 2 ( А = •w0 = 2 ), на Иллюстрациях 1 (кривая 6) и 2 приведена часть результатов решения.

Если при отсутствии корректирующих параметров ( п = 0 ) полученные результаты совершенно неудовлетворительны, то при наличии десяти корректирующих параметров результаты хорошо согласуются с данными, полученными МКР на сетке 24 х 24 Н. П. Петуховым (г. Казань) и предоставленными в распоряжение авторов статьи.

На Иллюстрации 2 дано распределение прогибов w и перемещений и , п в некоторых сечениях пластины, а также эпюры изгибных охи и мембранных аум напряжений, построенные в разных масштабах.

Обращает на себя внимание сложный характер распределения перемещений V вдоль оси у, который можно установить при решении задачи МКР только на густых сетках.

Заключение

В статье предложен простой приближенный метод решения нелинейных краевых задач изгиба пластин. Метод основан на одночленном представлении искомых функций в виде произведения главной и корректирующей частей, содержащих корректирующие параметры.

В результате выполнения процедуры ортогонализации невязок решения с аппроксимирующими функциями, удовлетворяющими краевым условиям задачи, устанавливаются связи между искомыми коэффициентами и нагрузкой, а при минимизации среднеквадратичных интегральных невязок решения определяются все корректирующие параметры.

Возможности предложенного метода проиллюстрированы на примерах решения одномерных геометрически нелинейных задач изгиба круглых пластин переменной толщины и двумерных задач изгиба квадратных пластин постоянной и переменной толщины.

Установлено, что при решении двумерных нелинейных задач изгиба квадратных пластин достаточно минимизировать среднеквадратичные интегральные невязки вдоль оси симметрии. Максимальные невязки, возникающие в углах пластин, практически не влияют на НДС.

Список использованной литературы

1 Рогалевич В. В. Об одном методе решения линейных краевых задач математической физики // Математическое моделирование и краевые задачи : тез. докл. Всерос. науч. конф. Самара, 2004. С. 189-192.

2 Машкин О. В., Рогалевич В. В. Эффективный приближенный метод расчета пластин. Екатеринбург, 2009.

3 Букша В. В., Рогалевич В. В., Машкин О. В. Расчет пластин и пологих оболочек коллокационными методами. Екатеринбург, 2007.

4 Тимошенко С. П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М., 1963.

5 Корнишин М. С., Исамбаева Ф. С. Гибкие пластины и панели. М., 1968.