CC BY
93
УДК 539.3:624.073
РОГАЛЕВИЧ В. В. ТИМАШЕВ С. А.
Эффективный приближенный метод расчета гибких пластин
Рогалевич
Виктор
Вячеславович
доктор физикоматематических наук, профессор, старший научный сотрудник Научноинженерного центра «Надежность и ресурс больших систем и машин» УрО РАН
e-mail: sec@wekt.ru
Тимашев
Святослав
Анатольевич
доктор технических наук, профессор, директор Научно-инженерного центра «Надежность и ресурс больших систем и машин» УрО РАН
e-mail: sec@wekt.ru
В статье [1] предложен простой приближенный метод решения геометрически нелинейных задач изгиба пластин и приведены результаты расчета гибких круглых и квадратных пластин постоянной и переменной толщины.
В данной статье дано дальнейшее развитие предложенного метода на класс более сложных нелинейных краевых задач. Приведены результаты расчета гибких осесимметричных кольцевых пластин и гибких прямоугольных пластин постоянной и переменной толщины при различных условиях на контуре.
Ключевые слова: новый метод, корректирующие коэффициенты, нелинейные задачи, расчеты, гибкие пластины.
ROGALEVICH V V.
TIMASHEV S. A.
EFFECTIVE APPROXIMATE DESIGN METHOD FOR FLEXIBLE PLATES
In paper [1] a simple approximating method is described for solving geometrically nonlinear problems of plates in bending, and results of calculations of flexible circular and square plates with constant and variable thickness are presented.
In this paper the above method is further developed and generalizedfor solving a class of more complex nonlinear boundary problems. The results of calculations are presented for flexible axisymmetrical ring and rectangular plates with constant and variable thickness and different boundary conditions.
Keywords: new method, correcting coefficients, nonlinear problems, calculations, flexible plates.
Сущность метода
Приближенное решение нелинейной краевой задачи
Цм + Ц (м, м) + Ср = 0 , (1)
1ц> = 0 (2)
( Ь1, I и Ь2 — линейные и нелинейный дифференциальные операторы; w — искомая функция; Ср — алгебраические выражения или числа) представим в простом виде
ректирующие коэффициенты решения; А — искомый коэффициент.
Подставляя решение (3) в уравнение (1), находим невязку
б = A ■ L1X + An ■ Ц (X, X)-Cp,
(4)
= A • X = A • I (a )• K (bk)
(3)
где n — целое число, зависящее от порядка нелинейности краевой задачи.
Для определения коэффициента A воспользуемся либо условием ортогональности невязки с аппроксимирующей функцией, либо методом коллокации [3], принимая координату(ы) узла коллокации в качестве корректирующего (щих) коэффициента (ов).
В результате при p = const получим
где X — аппроксимирующая функция, удовлетворяющая краевым условиям (2); I (а1), К (Ьк) — главная и корректирующая части аппроксимирующей функции; а, Ьк — кор-
A • /'i + An • ij — p• І3 — 0 ,
(5)
где 11 , 12 , г3 — числа, представляю-
щие собой либо скалярные произведения
[/; =(ЦХ, X), 12 = (Ь2 (X, X), X), 4 = (С, X)], если использовано условие ортогональности ^ 6 • Хйв = 0,
в
либо значения функций ЦХ , £, (X, X) и коэффициента С из (4), если применен метод коллокации.
Принимая в качестве параметра решения коэффициента А = А1, находим из уравнения (5) р1 (в задачах изгиба пластин А и р — прогиб в характерной точке и нагрузка соответственно), вычисляем интегральную среднеквадратичную невязку Д =
А • А (I, к)+ "
А • ь2 (I • к, I • к)- єРі
йО
толщины пластины соответственно в сечениях X = г / с, х0 = г0 / а , где а , г0 — радиусы наружного и внутреннего контуров кольцевой пластины; с = 12 (1 — V2).
Конкретные результаты получим для кольцевых пластин, у которых наружный контур защемлен, а внутренний — свободен от закреплений или наоборот.
В первом случае краевые условия отсутствия перемещений при X = 1 и усилий ( Мх Ох , Nr ) при X = х0 запишутся в виде
л п
w = 0, — = 0, йх
йЫ
(1 - V) Nr + ^ = о при х = 1, йх
(6)
й2ы V йы
1 йы
и минимизируем ее либо по корректирующим коэффициентам аі, Ьк , либо по аі, Ьк и координате (ам) узла коллокации.
Приведем некоторые результаты решения геометрических нелинейных задач изгиба пластин.
Гибкие кольцевые пластины переменной толщины
Уравнения равновесия и совместности деформаций равномерно нагруженных гибких кольцевых пластин переменной толщины [2] представим при осесимметричном изгибе в безразмерном виде:
ах~ + х0 йх ’ йх3 + х0 йх2 х0 йх ’
N = 0 при х = х0.
Во втором случае
йо й Зм + й2ш йт о йх2 йх ’ йх3 йх2 йх
N = 0 при х = 1,
(9)
(10)
(11)
■ = 0, ^ = 0, (1 - V) N + х0 = 0 при X = х0. (12)
ах ах
[А (х)]
й^ .. л йЗы
л—+ /1 (х)-----------;
ах4 Л ’х йх
.м 1 й2^ , , , 1 (Ы
- -/(х + /з(х) хз йх
1 х2 йх2 ,г й2ш і ,г
--Р + «.-йх + т|«. + —I-
й«гЇ й^ йх I йх
\к [х )]-1
йх2
+л[х) х^Хг- /з (х)
+0,5(—) = о І йх I
(подчеркнуты нелинейные члены; черточки над безразмерными величинами и функциями опущены).
В уравнениях (7), (8), наряду с общепринятыми, введены следующие обозначения:
/ (х) = 2 + 6 / (х);
/2 (х) = 1 -(2 + V)3/(х)- 6/2 (х)- ^(х);
/з (х) = 1 - 3 / (х) + 6у/2 (х) + Ъvg (х);
/4(х) = 3-/(х); /5(х) = (1 -V)/(х);
... х йк (х) х й 2к (х)
I(х ) = ^-^г; «(х ) =-------------—•
к(х) йх к ( х) = і ( х) / ій, і ( х), і0
к (х) йх2
Функцию прогиба, удовлетворяющую краевым условиям (9), (10), представим в виде
(7)
*(Х) = ^.Щ = ^)•К(х,К) . Х (Х0 ) 1 (Х0,аі )• К (Х0> К )
(13)
(8)
Здесь числа в знаменателях обеспечивают нормирование, т. е. позволяют при решении конкретных задач задавать в качестве параметра решения прогиб пластины на контуре отверстия х = х0, свободного от закреплений.
В выражении (13) функция
I (х, а, ) = Д, (х ) + £] аД (х) -/=1
главная часть решения, содержащая три ( а1, а2 , а3) корректирующих коэффициента,
К (х, Ьк) = ехр \^Ь1 (х — х0 )4 + Ь2 (х — х0 )61 —
корректирующая часть, содержащая два ( Ь1, Ь2 ) корректирующих коэффициента.
В главной части —
Д , (х) = 5; + £2X2 + £3 1п X + Я4Х2 1п X + 64-1 X4
является точным решением линейной задачи изгиба кольцевой пластины постоянной толщины при р = 1 ;
Д (х) = (1 — х )2 (х'-1 + т1х' + н1х'+1) —
функции, в которых коэффициенты , п установлены из первого и второго краевых условий (10).
Таким образом, функция прогиба (13) удовлетворяет всем краевым условиям по w из (9), (10) и содержит всего пять корректирующих коэффициентов ( а1, а2 , а3 , Ь1 , Ь2 ).
0
+
Иллюстрация 1. Зависимости «нагрузка - прогиб свободного контура» для кольцевых пластин
Функцию радиального усилия, удовлетворяющую краевым условиям по Nr из (9), (10), представим в виде
Nr (x) = B • Y (x) = B • S (x, ct )• T (x, d), (14)
где ^ (x, сi) = Na (x) + ^ c,Ni (x) -i=1
главная часть решения, в которой функции N (x) = (x — x0 )(1 + tix'+1), i = 0,1,2,3;
T (x, d1 ) = exp |d (x2 — l)4 j —
корректирующая часть.
Отметим, что коэффициенты установлены из краевых условий для Nr из (9), в то время как краевые условия по Nr из (10) выполняются автоматически.
Итак, функция радиального усилия (14) содержит четыре корректирующих коэффициента ( q , c2, c3, ).
Следуя порядку решения, изложенному в предыдущем разделе, из двух полученных алгебраических уравнений выражаем коэффициент B через A2, нагрузку p через A и A3 и, изменяя корректирующие коэффициенты по заданной схеме, минимизируем среднеквадратичные интегральные невязки.
Конкретные расчеты гибких кольцевых пластин выполнены при следующих данных: х0 = 0,5 и 0,7; h(х) = 1 + а(х — х0), а = 0, а = 1,2;
v = 0,3; A = 0,5; 1; 1,5; 2; 2,5; 3 при х0 = 0,5;
В случае краевых условий (11), (12) функции (13), (14) приведены к виду, соответствующему этим краевым условиям, а конкретный расчет выполнен при х0 = 0,5; а = -0,5; V = 0,3; А = 1; 1,5; 2; 3 .
На Иллюстрации 1 приведены зависимости прогиба свободного контура пластин ш0 = ш (х0) = Д от нагрузки р = р. Кривые 1, 3 относятся к пластинам при х0 = 0,5; х0 = 0,7; а = 0, а кривые 2, 4 — к пластинам при х0 = 0,5; х0 = 0,7; а = 1,2. Кривая 5 получена при х0 = 0,5 и а = -0,5. Прямые 6, 7, 8, 9, 10 — результаты решения краевых задач в линейной постановке.
Подчеркнем, что нелинейные зависимости, полученные для пластин постоянной толщины (кривые 1 и 3), полностью совпадают с результатами решения, полученными методом коллокации с использованием кубических сплайнов [2] (показаны кружочками).
В Таблице 1 для четырех вариантов решения (п = 0; 2; 4; 5, п — количество корректирующих коэффициентов) приведены значения нагрузки р , невязок Д1, Д2 и безразмерные значения изгибных ( и ) и мембранных (м), радиальных (г г) и кольцевых (^ ), напряжений в характерных точках кольцевой пластины при х0 = 0,5 ; а = 1,2 ; А = w (х0) = 2 , полученные по известным формулам [2].
Нетрудно убедиться, что при расчете данной пластины для достижения хорошей точности достаточно принять п = 4 , т. е. использовать по два корректирующих коэффициента (а1; Ь1) и (с1; ) в (13) и (14)
соответственно.
При прогибе w (х0)> 2 количество необходимых для получения качественного решения корректирующих коэффициентов возрастает и при ш (х0 ) = 3 равно семи.
Гибкие прямоугольные пластины переменной толщины
Систему нелинейных дифференциальных уравнений равновесия и совместности деформаций смешанного типа, описывающих напряженно-деформированное состояние (НДС) равномерно нагруженных пластин переменной толщины, представим в компактной форме [2]:
A(DAw) -(1 — v) L(D, w) —
—cL (w, ф) — Cp = 0
Д(ИДр)-(1 + v) L (И, ф) + 0,5L (w, w) = 0
(15)
(16)
A
A
0,5; 1; 1,5; 2
при
x0 = 0,7
О;
0,4; 0,8; 1,2 при x0 = 0,1 и а = 1,2.
(подчеркнуты нелинейные члены).
Напомним, что w и ^ — безразмерные функции прогиба и усилий; Н = 1/ к и Б = к3 — безразмерные жесткости при растяжении-сжатии и изгибе; к — безразмерная толщина; с = 12(1 — у2), С = с / (16Х2); р — безразмерная нагрузка; 1 — параметр удлиненности; п — коэффициент Пуассона.
Таблица 1
и
а
№ n p Di Di qV.u (x0 ) (x0 ) CTr(x0 ) CTr,Ж (x0 )
1 0 194,2 61,3 7,33 5,66 3,79 -26,7 1,01
2 2 137,6 2,75 3,68 5,92 7,57 -22,5 0,89
Э 4 138,9 2,24 1,79 5,91 8,31 -22,6 0,98
4 5 138,9 2,20 1,77 5,91 8,28 -22,6 0,97
Систему уравнений (15), (16) проинтегрируем
при краевых условиях скользящей заделки на контуре Г(-1 < х,у < 1).
I л dw
w| г = °, dn
d т2
о,
dnd т
(17)
(ІЗ)
где п и т — нормаль и касательная к сторонам опорного контура.
Функции прогиба и усилий представим в следующем виде:
w (x, y) = A • X (x)• Y (y) =
= A •1 (x)K (x, ak )• L (y)M (y, bk),
ip(x,у) = B Ф(x)• Z(у) =
= B •1 (x)R (x ck )•L (у )T ^, dk),
(19)
(З0)
K (x,ak ) =
1 + ^ atxJ ■ exp [a4sin2 (0,5nx)], j = 2'
R (x, ck) = exp (c1x2 + c2x4 )• (l + c3x6).
(З1)
(ЗЗ)
з
где I (х) = (1 — х2) , Ь(у) = (1 — у1) — главные части аппроксимирующих функций, не содержащие корректирующих коэффициентов; ^ M, R, T — корректирующие части, зависящие от корректирующих коэффициентов ак, Ьк , ск , ёк .
Нетрудно убедиться, что краевые условия (17), (18) выполняются при этом точно.
Корректирующие функции К (х, ак) , Я (х, ск) примем в виде
Заменяя х на у , ак на Ьк , ск на йк, получим корректирующие функции М (у, Ьк) и Т (у, йк).
Конкретные расчеты гибких прямоугольных пластин постоянной и переменной толщины выполнены при V = 0,3 с использованием в качестве корректирующих коэффициентов координат х1, у1 одного узла колло-кации.
На Иллюстрации 2 приведены нелинейные зависимости w0 - р, полученные при X = 1, к (х, у) = 1 (кривая 1), X = 1, к (х, у) = ехр (0,4х2 + 0,4у2)
(кривая 2), X = 2 , к(х,у) = 1 (кривая 3), X = 2,
к(x,y) = exp(0,4x2 + 0,2y2) (кривая 4), Х = 1,4 ,
к(x, y) = exp (0,4x2 + 0,2y2) (кривая 5). Прямые 6, 7, 8, 9 — результаты решения задач в линейной постановке, полученные при p = 1.
Иллюстрация 2. Зависимости «нагрузка - прогиб в центре» для прямоугольных пластин ( w , 1р )
Отметим, что при решении нелинейных краевых задач в качестве параметра решения принят прогиб в центре пластин (A = w0), изменяющийся с шагом 0,5 (кривые 1, 2, 3, 4) и с шагом 0,25 (кривая 5).
Отметим также, что для упрощения расчета среднеквадратичные интегральные невязки определялись и минимизировались вдоль осей x и y, а корректирующие коэффициенты устанавливались с точностью 0,001.
В Таблице 2 приведены значения нагрузок, невязок и безразмерных напряжений в характерных точках прямоугольной пластины ( X = 2/3 ) переменной толщины ( к (x, y) = exp (0,4x2 + 0,2y2)), полученные при A = w0 = 2. В строках 1 и 2 представлены результаты решений при отсутствии ( n = 0 ) и наличии шестнадцати ( n = 16 ) корректирующих коэффициентов соответственно.
В результате процедуры оптимизации установлено, что средние интегральные невязки в выполнении уравнений (15), (16) уменьшились вдоль осей х , у в 17 и 5 раз соответственно, причем средняя невязка по нагрузке (A1cp = 5,47 ) меньше 0,03рср (5,47/187,1 = 0,0292), где РСр = 187,1 — средняя нагрузка вдоль осей х , у .
Из Таблицы 2 отчетливо видно, что безразмерные напряжения [2], полученные при n = 0 , существенно уточнены при n = 16 .
Отметим, что для квадратной пластины (кривые 1 и 2 на Иллюстрации 2) результаты решения полностью совпадают с результатами, установленными методом ортогональной коллокации [2] из решения совместной системы 50-ти нелинейных алгебраических уравнений (показаны кружочками).
Известно, что в случае неподвижной заделки на контуре расчет прямоугольных пластин в смешанной форме ( w , j ) осуществить затруднительно.
Таблица 2
г
о
о
г
г
'=1
№ n Px Py Du D!y Dix Diy ^cp Dicp
1 0 205,5 272,3 107,6 78,6 12,40 14,08 93,1 13,24
2 16 187,1 187,1 5,45 5,49 2,68 2,56 5,47 2,62
№ n (0;0) (0;0) °x,u (1;0) °y,U (1;0) ^(0;0) (°;°) °y,M (1;0) °X,M (1;0)
1 0 3,27 4,98 -5,83 -10,74 2,55 1,13 -1,52 -6,23
2 16 2,67 4,66 -7,47 -10,44 1,50 0,65 -0,75 -2,11
Иллюстрация 3. Зависимости «нагрузка - прогиб в центре» для прямоугольных пластин ( и , п , w )
В этих случаях решение краевых задач целесообразно производить в перемещениях ( и , п , w ).
Систему нелинейных дифференциальных уравнений в перемещениях, описывающих равновесие прямоугольных пластин переменной толщины, нетрудно получить, применяя известную схему [3].
Ввиду громоздкости представим полученную систему в компактной безразмерной форме:
А(ВАш) —
— (1 — V) М1 (В, ш) — 12кЬ1 (и, V, ш) —
—Ср = 0,
(23)
, дк дк к, —, —, и, V
дх ду
+ А
0,
И
. дк дк к, —, —, и, V дх ду
+ А
дк дк к, —, —, м/, ш
дх ду
дк дк
к, —, —, ^
дх ду
(24)
(25)
0,
I л = 0 ,
г йп
0 , и|_ = 0 , у|_ = 0 1г 1г
где п — нормаль к сторонам опорного контура пластины.
Функции перемещений, удовлетворяющие условиям (26), представим в следующем виде:
w (х, у) = А(1 - х2 )2 [і + £^ акх2
(1 - у2 )211 + £ ЬкУу
(27)
и (х, у) =
= в[х + ґ1х3 — (1 + ^) х5 ](1 + с1х2) ехр (с2 х5) •
•(1 — у2) ехр К] йку
I к=1
V (х, у) =
= С (1 - х2) ехр [^ гкх2
I к=1
•[у + і2у3 -(1 + і2) у5 ](1 + /іУ2) ехр (/2у1).
(28)
(29)
Здесь Ы1 и Ц — линейные и нелинейные дифференциальные операторы соответственно; к = к (х, у) — толщина пластины.
Систему уравнений (23), (24), (25) проинтегрируем при краевых условиях неподвижной заделки на Г(-1 < х,у < 1):
(26)
Подчеркнутые главные части аппроксимирующих функций содержат два корректирующих коэффициента ( ^, ?2 ), а корректирующие части — семнадцать коэффициентов ( а1... а4, Ь1... Ь4, с1 , с2, ё1 , ё2, е1 , е2, / ,
/2, 5 — целое четное число).
В соответствии с разработанной схемой решения подставляем (27), (28), (29) в уравнения (23), (24), (25), находим невязки 81 , 62 , 63 , выполняем процедуры ортогонализации невязок с аппроксимирующими функциями, выражаем коэффициенты В , С через А , определяем среднеквадратичные интегральные невязки
г
Таблица 3
№ п Рх Ру *1х Д1у А2х Л3у ^1ср ^2,3ср
1 0 33,4 43,6 50,1 239,1 3,9 39,8 144,6 21,85
2 19 263,5 263,5 11,70 11,58 4,90 2,36 11,64 3,63
№ п (0;0) (°;°) °х,и (1;0) °У,и (1;0) ^ (0;0) (о;о) °Х,М (1;0) °у,м (1;0)
1 0 2,42 4,73 -2,20 -8,79 -0,17 -0,29 0,39 1,04
2 19 0,69 3,14 -12,57 -15,14 1,50 2,96 2,07 2,40
Иллюстрация 4. Распределение перемещений и напряжений в прямоугольной пластине
Д1, Д2 , Д3 и минимизируем последние по корректирующим коэффициентам.
Как и ранее, невязки определяем и минимизируем только вдоль осей x и у, корректирующие коэффициенты определяем с точностью 0,001.
На Иллюстрации 3 даны нелинейные зависимости w0 - p, полученные при X = 1, h = 1 (кривая 1), X = 1, h 0 x, y) = exp (0,4x2 + 0,4y2) (кривая 2), X = 0,5, h = 1 (кривая 3), X = 0,5 ; h(x, y) = exp(—0,2x2 — 0,4y2) (кривая 4), X = 1,5 , h = 1 (кривая 5). Кружочками на кривых 1, 2 показаны результаты решения задач методом переопределенной внутренней коллокации [4], полностью совпадающие с полученными в данной статье. Линейным решениям задач соответствуют прямые 6, 7, 8, 9, 10.
В Таблице 3, подобной по содержанию Таблице 2, представлены некоторые результаты решения, полученные при X = 0,5 , h = 1 (кривая 3), A = w0 = 2, n = 0 (строка 1) и n = 19 (строка 2).
Как видим, при n = 19 средние невязки вдоль осей х , у уменьшились в 12,4 раза (Д1ср) и в 6 раз (Д23ср), а напряжения, полученные при n = 0 , существенно уточнены.
На Иллюстрации 4 для этой прямоугольной пластины построены эпюры перемещений и напряжений вдоль осей х , у и вдоль контурных линий. Отметим, что эпюры изгибных и мембранных напряжений построены в разных масштабах. Отметим также, что представление функций перемещений в сравнительно простом виде (27), (28), (29) позволяет установить сложный характер распределения и , n , изменяющих знак в очень узкой зоне вблизи контура.
Заключение
Предложенный в статье [1] и развитый в данной статье приближенный метод решения нелинейных краевых задач изгиба пластин основан на простом одночленном представлении искомых функций в виде произведения
главной и корректирующих частей, удовлетворяющих краевым условиям.
Выполнение процедуры ортогонализации невязок решения с аппроксимирующими функциями или использование метода коллокации позволяет установить связи между искомыми коэффициентами и нагрузкой, а минимизация среднеквадратичных интегральных невязок позволяет определить с необходимой точностью все корректирующие коэффициенты.
На приведенных в статье примерах решения сложных геометрически нелинейных задач изгиба кольцевых и прямоугольных пластин постоянной и переменной толщины проиллюстрированы широкие возможности предложенного метода.
Отметим, что при решении двумерных задач вполне достаточно минимизировать среднеквадратичные интегральные невязки вдоль осей симметрии. Максимальные невязки, возникающие в углах прямоугольных пластин, практически не влияют на НДС.
Список использованной литературы
1 Рогалевич В. В., Тимашев С. А. Новый приближенный метод расчета гибких пластин постоянной и переменной толщины // Академический вестник УралНИИпроект РААСН. 2012. № 1.
2 Букша В. В., Машкин О. В., Рогалевич В. В. Расчет пластин и пологих оболочек коллокационными методами. Екатеринбург, 2007.
3 Вольмир А. С. Гибкие пластинки и оболочки. М., 1956.
4 Рогалевич В. В., Логвинская А. А. Метод коллокации при исследовании гибких пластин и пологих оболочек переменной толщины в перемещениях // Известия вузов. Строительство и архитектура. 1980. № 2.
