Уравнение радиуса пятна моды слабонаправляющего оптического волокна Текст научной статьи по специальности «Физика»

20 декабря 2011 г. 12:05

ТЕХНОЛОГИИ ИНФОРМАЦИОННОГО ОБЩЕСТВА

Уравнение радиуса пятна моды слабонаправляющего оптического волокна

Бурдин А.В., Бурдин ВА

Получена аналитическая форма записи уравнения эквивалентного радиуса пятна моды для мод произвольного порядка круглого слабонапраалеющего оптического волокна с профилем показателя преломления произвольной формы.

Несмотря но развитие «точных» методов расчета, базирующихся но методе конечных разностей, методе конечных элементов и т.п., продолжаются роботы по поиску и разработке методов расчета приближенных оценок параметров передачи оптических волокон (ОВ), потребность в которых возникоет для ряда приложений. В частности, приближенные оценки используются в качестве «пристрелочных» при реализации «точных» методов, о приближенные методы вычислений широко применяются в задачах имитационного моделирования, где на первый план выходит требование экономии вычислительных ресурсов.

Для слабонаправляющих коаксиальных многомодовых волокон достаточно эффективно применение метода приближения Гаусса [1]. В основе метода лежит аппроксимация поля моды ОВ с произвольным профилем показателя преломления полем моды оптического волокна с некоторым параболическим профилем показателя преломления. Соответственно, предполагается, что продольные составляющие полей линейно поляризованных мод СРи слобанаправляющего ОВ в цилиндрических координатах записываются в виде гармонических функций:

1<р 1 с о$!<р\

где /^(Я) - радиальное распределение поле моды lpJ I и т - азимутальный и радиальный порядок моды 1Р^ соответственно; Р - постоянная распространения,- о радиальная зависимость поля моды ^(/?) некоторого ОВ описывается выражением:

■ ил 0

ехр[-/(«/-/?;)]•

11)

где Яяг/о - нормированный радиус; г - координата; а -радиус сердцевины волоконного световода; -

нормированный радиус пятна моды; г0 - радиус пятна моды; - полином Лагерра.

Задачо сводится к определению некоторого эквивалентного радиуса пятна моды К для заданного ОВ. Найденный параметр является для данного приближения базовым и полностью определяет искомые характеристики моды.

Для слабоноправляющих волокон Р„\г) является решением дифференциального уравнения:

Г </•' \ 4 ., ,, ч /г

— + -— + кп(г)—г- Р \аг г аг г'

Кп(г) = 0-

Из (3) получают выражение для постоянной распространения моды [ 11:

где п(г) - профиль показотеля преломления ОВ. Эквивалентный радиус пятна моды находится решением уравнения др2 /дг0 = 0

Переходя к безразмерным параметрам из (4) получают выражение для волноводного параметра моды [ 1 ]:

Гііг

12)

Л^-’иГ"

где V = кипиу/2А - нормированная частота (волио-водный параметр), определяемая первичными параметрами ОВ; кш2я/л - волновое число; Л - робочоя длина волны; Д = (л* - л,2)/ 2п1 - параметр высоты профиля

13)

показателя преломления; п0 - максимальное значение показателя преломления сердцевины; л, - показатель преломления оболочки; функция профиля показателя преломления, удовлетворяющая выражению, описывающего профиль показателя преломления ОВ:

Эквивалентный родиус пятна моды может быть найден

/,-'(*) = я;[|-2Д-/(Л)].

как решение уравнения:

еиг л И)

= о

Описанный подход требует аналитического решения задачи и вывода уравнения пятна моды из (4) или (5) для каждого частного примера формы профиля показателя преломления. В [ 1 ] представлены аналитические выражения для эквивалентного радиуса пятна основной моды для частных случаев профиля: ступенчатого, сглаженного степенного, описываемого функцией Гаусса.

В [2] предложена модификация метода Гаусса. Формулу (5) для I/ представляют в виде суммы двух интегралов:

и1 = /, + /,

(5)

*/«■

шЦг [/№!*!*•

Интеграл /, приводится к выражению вида:

/,=4,

л.-

(6)

Т-Сошт, #8-2011

31

ТЕХНОЛОГИИ ИНФОРМАЦИОННОГО ОБЩЕСТВА

М = ♦ 2/: £ £>,(,♦/-1)' - 4+ /)!

(ш-1)! н н

Ш1п(иЛ-1) \ / V

ч= !«,(£>„(&)•

I".

С. =

т(у.т-1)

¿Х^К-Ле?).

Я"яи(0.| «и!)

в«(^вм)» ^\^*»-?) * коэффициенты полиномов Логерро ¿*>(и соответственно, определяемые из формулы

явного вырожения полинома Лагерра [3]:

4’м-!»,*•=«г ■(/+я,|!—х* •

’■* (/ + ?)!(т-?)!?!

Подставляя во второе слагоемое /, (5) функцию профиля показателя преломления исследуемого ОВ с учетом (6), получим вариационное выражение для пораметра моды в сердцевине. Для определения эквивалентного нормированного радиуса пятна моды необходимо решить уравнение (4).

Следует отметить, что при анализе параметров основной моды 1Р01 и мод низших порядков IР^ выражение для параметра моды в сердцевине и характеристическое уравнение относительно нормированного радиуса пятна моды К, значительно упрощаются.

Для профиля показателя преломления градиентного ОВ, который отличается от идеального параболического наличием характерного провала в центральной области сердцевины ОВ и характеризуется глубиной провала п} -минимальное значение показателя преломления в центре сердцевины, и радиусом облости провала ау функцию профиля показателя преломления описывают формулой [2]:

Л-К«3; 0<«< — а

/(«) = ■!^-< «5 1 ;

а

1; I < /? < ос

где Ь ид- порометры дефекто профиля.

Для рассматриваемого профиля из (5)-(6) получено уравнение эквивалентного радиуса пятна моды произвольного порядка, которое имеет вид [2]:

о

""{"к)'

‘■'■'(1 + 4* 1)!«^ (8)

О р\а:гя;'

Р “1

' г>«:’Кг Я. а!К

Уравнение (8) решается численными методами и позволяет найти эквивалентный радиус пятна моды произвольного порядка для описанного выше профиля.

Поскольку для практических приложений наибольший интерес представляют универсальные методы, целесообразно обобщить метод приближения Гаусса для произвольного профиля и получить для этого случая аналитической форму записи уравнения пятна моды. По аналогии с известным методом стратификации [4] некоторый заданный произвольный профиль показателя преломления будем аппроксимировать многослойным, для которого затем на основе описанного выше классического метода приближения Гаусса получим аналитическую форму записи уравнения пятна моды.

Для многослойного профиля выражение для постоянной распространения (2) записывается кок:

" [о>Г !«*•- \у ^'^г ^ гф

19)

где N - количество слоев, а п1 - показатель преломления среды / — того слоя.

Введем обозначения х = Я: /Л,; и п - т - \. Тогда из (1) следует:

(7)

И*>Г

(10)

Рассмотрим выражение для постоянной распространения (9). После подстановки переменных интеграл в знаменателе приводится к табличному [3, 7]:

'(Я)} НМ = |.г [£'(*)? схр(- дгк& = £ 11 Ч

; -л 2 (яд

Рассмотрим интегралы в числителе выражения (2). Первый интеграл с учетом замены переменных запишем в виде:

= ^¡1:«;„Ф|х.| )-к:п';<Ц х,)]

о 1'0 2 ( о

(12)

Ф(дг) = |.Г' [¿^'(х)]1 СЧр(—

Учитывая, что при г- 0 и г —> ао функция ф(л) ровна нулю, перепишем (12) в виде:

32

Т-Сотт, #8-2011

ТЕХНОЛОГИИ ИНФОРМАЦИОННОГО ОБЩЕСТВА

'(Ä)f = ^-¿А-'Дя,-0>(.г,) ИЗ)

дп; = //; - п'

Свойства полиномов Лагерра [3,5]:

irw-iirw

(U)

Интегрируя (20) с учетом( 1 1), (14)-( 16), получаем

if—А^' иЛ RjR -[(«+о1^ ♦ «■* г- х Д.« J 2[ («.♦!> я! Я Я

(21)

Из (9), учитывая результаты интегрирования (11), (13), (16), (21) получаем:

|.r'C(.r^'Wexp(-.tWr = OnpH,>y, (15) ||>:д,/ф(Х|)]__£_! (22)

позволяют второй интеграл в числителе выражения (9) привести к табличному:

(16)

Производную функции Р* будем искать, используя

равенство с/У: / (Ьс - 2У • (/У / с1х.

Предварительно, используя свойства полиномов Лагерра (3, 5):

xdC','(x)ldx = nC(x)-(n+l)L^,(x). xL“'{x)= (л *l]L'i''(x)-(n +1 ]L'i; “(*) находим производную:

dU

(17)

(18)

jx ki'.'’Wcxp(- r)]=(n +1у 'С;'(х)сжЦ-х) (19)

Производную о» 1 ] запишем следующим обро-

jk 4*i ■ «•]■ jew

Тогда, с учетом (16)-( 19) получоем:

-jf'-'cw-z-exK-*)

Z = (n+l)C,"(.r)+<‘"(.r)-/C

Соответственно, производная от равна:

//?’(*) »I*1 :,-г-е* p(-*/2)

ax 2 их 2

Учитывая, что

получаем:

jf—f-’Wl RdR = \\x‘' Z' t\H-x)dx (20)

oL dR J 2 0

(m-l) ' (m-2) f? Й

(23)

Дифференцируем (22) no Rn, учитывая, что:

¿0(.v) = [^'(«)F

и получаем уравнение для эквивалентного радиуса пятна моды cß2 /</г„ в виде:

|t*--4»,VHr;/r-)]}-C = 0 (24)

где С - параметр, который согласно формулы (23) зависит только от порядка моды т и I.

Были выполнены расчеты эквивалентного радиусо пятна моды известным методом путем решения уравнения (8), выведенного для параболического профиля с провалом в центре. А также, представленным в данной работе универсальным методом, решая полученное в аналитической форме уровнение (24), справедливого для любого профиля ОВ, для которого в исследуемой области существуют направляемые моды.

Во всех случаях расхождение оценок нормированного радиусо пятна моды R0, полученных укозанными методами, не превысило 10 \ При этом для числа слоев аппроксимирующего профиля от 10 до 10* и значениях порядко моды т £ 6 и / £ 6 время вычислений для предлагаемого решения сокращается в 2,5-4,5 раза.

Литература

1. Снайдер Д., Лов Дж. Тория оптических волноводов-m.: Радио и связь, 1987. - 656 с.

2. Андреев В.А., Бурдии A.B. Многомодовые оптические волокно. Теория и приложения на высокоскоростных сетях связи - М.: Радио и связь, 2004. - 248 с.

3. Абромовиц М., Стигои И. Справочник по специальным функциям,- М.:Наука, 1979.- 830 с.

4. Clarricoots PJ.B., Chan К.В. Electromagnetic-wave propagation olong radially inhomogeneous dielectric cylin-ders//Electron. Letters, 1970, v.6, N22, p.694-695

5. Градштейн И., Рыжик И. Таблицы интегралов. - М.: Физматгиз, 1962. - 1100 с.

T-Comm, #8-2011

зз