Согласование и исследование методов, основанных на дифференциальном и интегральном операторах распространения лазерного излучения в среде с малыми неоднородностями Текст научной статьи по специальности «Физика»

СОГЛАСОВАНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ МЕТОДОВ, ОСНОВАННЫХ НА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМ И ИНТЕГРАЛЬНОМ ОПЕРАТОРАХ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ЛАЗЕРНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ В СРЕДЕ С МАЛЫМИ НЕОДНОРОДНОСТЯМИ

Стрилец А. С., Хонина С.Н.

Самарский государственный аэрокосмический университет им. С.П. Королева Институт систем обработки изображений РАН

Аннотация

В данной работе рассмотрено распространение монохроматических световых пучков в среде с малыми неоднородностями показателя преломления, в частности в среде с параболическим профилем показателя преломления. Проведено обоснование метода моделирования распространения светового пучка в параболическом волокне, основанного на его распространении в однородной среде через периодическую последовательность тонких линз. С помощью предельного перехода к бесконечному числу линз, находящихся на бесконечно малых расстояниях друг от друга, получен интегральный оператор распространения в параболической среде в параксиальном приближении, проведен анализ его свойств. Проведено исследование действия параксиального интегрального оператора на моды Гаусса - Лагерра.

1. Распространение линейно поляризованного монохроматического светового пучка в неоднородной среде

1.1. Среда с малыми неоднородностями показателя преломления

Рассмотрим неоднородную диэлектрическую среду. Напряженность электрического поля Е = Е (г) распространяющегося в ней монохроматического светового пучка описывается векторным уравнением

V2 Е + У(У 1п п\Е) + к02п2 Е = 0:

(1 )

где п = п (г) - показатель преломления среды; г -2п

радиус-вектор; к0 = — - волновое число; Х0

дли-

на волны в свободном пространстве.

5( п2)

-М-« 1

При условии

(где 5 означает измене-

ние, неоднородность), которое должно выполняться на расстояниях порядка длины волны, вторым слагаемым в уравнении (1) можно пренебречь [1]. Таким образом, уравнение (1) переходит в уравнение Гельмгольца

[V2 + к02п2 (г)] Е (г ) = 0.

(2 )

В рамках скалярной теории рассматриваются линейно поляризованные световые пучки. Для них справедливо скалярное уравнение Гельмгольца

[V2 + к02п2 (г)] Е (г ) = 0.

(3 )

Далее рассмотрим среду, показатель преломления которой не зависит от расстояния на оптической оси г , то есть п = п (х, у), где х, у иг - декартовы координаты.

Перепишем уравнение (3)

д2

—Е(х,у,г) = -[V! + кУ (х,у)]Е(х,у,г), (4 )

д д

где ^ = —- +--- - поперечный лапласиан.

дх ду

Представим решение уравнения (4) в виде

Е (х, у, г)= ехр{±/Аг} Е0 (х, у), (5)

где А - некоторый дифференциальный оператор;

операторная экспонен-

г ^ )Р

Р=0

п!

та; Е0 (х, у) - распределение комплексной амплитуды в начальной плоскости на расстоянии г = 0 ; знак «+» соответствует распространению волны в положительном направлении оптической оси.

Подставляя соотношение (5) в уравнение Гельмгольца (4) можно получить, что для оператора А справедливо соотношение

А2 = V +к2п2 (х,у). (6)

Далее рассмотрим среду с малыми поперечными неоднородностями показателя преломления

п (х, у ) = п0 +5п (х, у), (7)

где п0 - некоторое среднее значение показателя преломления; 5п (х, у) - функция, описывающая неоднородность среды.

Соотношение (6) для оператора А можно переписать в виде

(

А = ^ +к1

1 +

5п (х, у)

V

(8)

где к = к0п0 - волновое число в однородной среде с показателем преломления п0.

0

п

Согласно [2-5] при условии малой неоднородно-

Ъп (х, y)

сти -^ 1 справедлива следующая аппрокси-

мация

A « КР =[v!+ к2 f + к

Ъп (х, y)

(9 )

Можно показать, используя (5) и (9), что для световых пучков, распространяющихся на небольшие расстояния Ъг в положительном направлении оптической оси справедливо соотношение

Е (х, у, ) ехр |/ у [V'+ к2 ]12 |х х ехр {г'5гх(х, у)}х (10 )

х ехр |/ у [V! + к2 ]121 Ео (х, у) + О (3).

Результатом действия первой дифференциальной экспоненты на начальное распределение комплекс-

ной амплитуды

expfi|[Vi+ к2 f }E0 (х, y)

явля-

ется распределение, формируемое при распространении светового пучка в однородной среде с показателем преломления п0 на расстоянии 2 Ъг от

начальной плоскости. Умножение распределения комплексной амплитуды на выражение ехр{/5г%(х, у)} эквивалентно действию некоторого

тонкого оптического элемента на проходящий через него световой пучок. Этот оптический элемент изменяет волновой фронт на величину

ф(х у) = Ъzх(x, у) .

Таким образом, многократное использование аппроксимации (10) с точностью до погрешности

О (дг3) эквивалентно моделированию распространения светового пучка через периодическую систему одинаковых тонких оптических элементов с

функцией пропускания т(х, у) = ехр{х(х, у)} в однородной среде с показателем преломления п0 .

Первый элемент расположен на расстоянии 1Ъг от

начальной плоскости, два соседних элемента располагаются на расстоянии Ъг друг от друга.

Отметим также, что в приближении Френеля справедлива аппроксимация

exp {iz [V2 + к2 ]1 } и exp jikz

V2

1 +

2k2

(11 )

Результат действия дифференциального оператора (11) на распределение Е0 (х, у) аналогичен

распределению комплексной амплитуды, полученному с помощью интеграла Френеля

E(^ z) = -2-exp{,kz}j j E0 (^n)>

2nz

f ik <exp<— j 2z

(x-|)2 + (y-n)2

(12 )

d d n.

Далее перейдем к рассмотрению среды с параболической зависимостью показателя преломления -важного частного случая неоднородной среды.

1.2. Среда с параболической зависимостью показателя преломления

Для показателя преломления градиентного параболического волокна справедливо соотношение

(

п (r )= по

2

1 - 2Д-

= п2 (1 -а2r2),

(13 )

'о У

где r = -Jx2 + y2 - радиус цилиндрической системы

координат; п0 - показатель преломления на оптической оси волокна; г0 - характерный радиус волокна; А - параметр дисперсии показателя преломления л/2д

среды; а = -

константа, определяющая кри-

визну профиля показателя преломления.

Известно [6, 7], что решением уравнения Гельм-гольца (3), конечным на оптической оси, в цилиндрических координатах является суперпозиция мод Гаусса - Лагерра (ГЛ)

Т (r, Ф, z ) = C

п,m V ' / п,

i .. лН

L

m

С ..2 Л

v-2 у

<exp

г ^ л

v Н у

(14 )

exp (,^)exp (±ißn)mZ),

где г, ф , г - цилиндрические координаты; п - неотрицательное целое число, т - целое число;

1 dn

Цт (£)= -^т— {¡Гт } - многочлены Лагер-ра.

В выражении (14) входят следующие параметры: 1) а = 1 %/ка тальной моды;

эффективный радиус фундамен-

2) ßn,m = ^ 1 - 2а(2п + Н + 1)

постоянная рас-

пространения;

3) C = — Ст0

п!

п(п + Н)

- нормировочная кон-

станта.

п

о

п

о

r

о

Для параболической среды функцию х( х, у) из

выражения (10) можно переписать следующим образом

. . 5п(г) г2 / х(г ) = к—и. = -к д 1Г+о (д2).

(15 )

Известно, что выражение т(г) = ехр |-г -^-у>

является функцией пропускания тонкой круглой собирающей линзы в параксиальном приближении, где / - фокусное расстояние.

Таким образом, в случае параболической среды оптическими элементами являются собирающие

г2 1 1

линзы с фокусным расстоянием / = —--=

2Д 5г а 5г

2. Параксиальный интегральный оператор

распространения в параболическом волокне 2.1. Вывод параксиального интегрального оператора

В приближении Френеля для параболической среды, пользуясь интегралом (12), можно получить при условии аг << 1 выражение (10) в интегральной форме

Е(х,у,5г) « ——--_5__еХр{¡к5г}х

2п5г у (5г)

I гк "ХР1

I гк "ХР1 Ж

2 -

2 -

1

У(5г) 1

У(5г)

[х2 + у2 ]Щ Ее (4, п) [42 +П ][>

(16 )

ехр 1 ~--7Гт[х +пу] а 4ап + О (5г3),

5г у(5г) где у (г) = 1 -

2 2 а г

Можно показать, что после прохождения световым пучком N одинаковых тонких линз его комплексная амплитуда на расстоянии N52 будет описываться следующим интегральным соотношением

Е (х, у, N 5г )-

гк

1

2п5г у« (52)

ехр ^ 5г}>

ехр

ехр

ехр

гк 25г

гк 25г

2-

1

2-

Т(1) (52) 1

[ х2 + у2 ]Щ Ее (4, п)> [42 +п2 ][>

(17 )

к 1

у«(5г)

[[+пу] Г а 4а п+о (5г3),

где уу (г) и у)2' (г) - последовательности, для которых справедливы следующие рекуррентные соотношения:

4--

У N2+1 (г )=У^(

)

4 —

у(д2 )

У (г)-1

у(1)(г ) = у(2)(г ) = у(г).

(18)

Сделав предельный переход: 5г ^ 0, N ^го , N51 = г, можно показать, что справедливы следующие предельные соотношения [8]:

_1_

5г

2 —

1

у(1)(52

а

1ап (аг)

а

(5г) sin(аг) '

(19)

Тогда, учитывая эти предельные соотношения, интеграл (16), примет вид

гка

Е (х, у, г )«-

2п (с

-ех

:р {гкг}

> ехр 1[ х' + у ' ]}Д Е (4,

ехр

<ехр 1

гка

21ап(

аг

(20 )

1к а sin (аг)

[4х+пу] Г а4ап.

Интеграл (20) является параксиальным оператором распространения светового пучка в волокне с параболическим профилем показателя преломления (13), справедливым при условии аг << 1.

Интеграл (20) имеет такой же вид, что и рассмотренный в предыдущей статье [9] интегральный оператор. Эти интегралы различаются коэффициентами в аргументе тригонометрических функций.

2.2. Свойства параксиального интегрального оператора

Рассмотрим кратко свойства интеграла (20), доказательство которых схоже с приведенными в предыдущей статье [9] выкладками.

1. Переход к однородной среде: а^-0. При этом предельном переходе интегральный оператор (20) принимает вид интеграла Френеля (12), описывающего распространение световых пучков в однородной среде в параксиальном приближении.

1

1

2п

2. Интеграл (20) имеет период 2Т = —.

а

На расстояниях кратных четверти периода распределение ¥ (х, у, 2) = Е (х, у, 2 )ехр{-/£2} имеет

следующие особенности: 1) 1

1) на расстоянии 2 = хТ распределение

¥ (х, у, 2) является преобразованием Фурье начального распределения;

2) на расстоянии 2 = 2 хТ формируется перевернутое распределение - Е0 (-х, - у);

3) 3

3) на расстоянии х = хТ распределение

¥ (х, у, х) является обратным преобразованием Фурье начального распределения;

4) на расстоянии 2 = 2Т формируется начальное распределение Е0 (х, у).

2.3. Анализ действия параксиального интегрального оператора на моды Гаусса - Лагерра

Рассмотрим действие параксиального интеграла (20) на моды ГЛ (14) с произвольным начальным эффективным радиусом ст

Е0 ( Ф) = Тя,я ( Ф,0) =

= C

m

Л

m

í „2 Л

V-2у

exp f - — f exp {шф}.

(21 )

Выкладки, позволяющие получить результат действия оператора (20) на моды ГЛ (21), аналогичны приведенным в предыдущей статье [9]. Приведем полученный результат

Т (г, ф, 2) = C

n,m V ' / n,

f л

-(

(2)l-(2)

(22 )

хЛ

m

! (2).

eXP jißn,m (Г, 2) - 2-2 (2) + ШФ

где ст(г ) = cos2 (az) +—^sin2 (az) - эффективный радиус ^ „m (Ф>z);

ß„m ( z) = kz +

+(2n+mi+1)

arctan f •

-2 1

f__

1-2 tan (a2)l

1 —

! (z) J tan (az) 2ct0 определяющая фазовую скорость Tnm (г, ф, z).

В частности, если волновод освещен его собственной модой ГЛ (ст = ст0), то выражение (22) принимает вид

Т (г, ф, 2) = C

n,m \ > т? / n,

Í г Л

m ( „2 Л

Л

m

v-0 у

х exp

2

(23 )

2-0 у

где ßn,m = k

eXP {ißn,m2} eXP {?тф} ,

1 (2n+mi+1)

Полученное выражение (23) практически совпадает с точным решением (14). Эти выражения различаются только величиной Ри т .

Точное значение Рит описывается следующим

выражением Ри т = к^ 1 -2^(2« + \т\ +1).

Разложив это выражение по формуле Тейлора с учетом а<<1, к>>1 и оставив только два слагаемых, можно получить выражение для величины Рит из

соотношения (23).

Ниже на рис. 1 приведены графики зависимости эффективного радиуса ст(2) из выражения (22)

фундаментальной моды, распространяющейся в параболическом волокне, от расстояния 2 .

a/a„ 2,0

1,5

2,0

0,5

1 - -- G=0,5<30 ---а=1,5а0 - (Т=СТв

\ \

X X V J \ >

/ ^ \ / 4 У \ » /

0 0,25 0,50 0,75 аС/2к

Рис. 1. Зависимость ст(2)/ст0 от величины 2/2Т .

Если начальный эффективный радиус ст меньше, чем эффективный радиус собственной моды волокна ст0, то радиус пучка ст(2) вначале увеличивает-

ст2

ся, достигая максимального значения ст = —0- в точ-

—

ках 2s = — a

1

s — 2

s e N , где формируется Фурье -

образ исходного пучка. Затем он уменьшается, достигая своего начального минимального значения

п

2), 2s = — s, s e N . Если же -

a

больше, чем величина -0, то -(2) вначале убывает

до значения amin = —, а затем возрастает, принимая ст

начальное значение.

ст

4

2

Ниже приводятся распределения интенсивно- суперпозиций, распространение которых описывает, ! \|2 т-тт ется формулой (22). сти ^nm (г, ф, г) для некоторых пучков ГЛ и их г ; V /

0 1 8 Т 1 3 8Т 1 2Т

• • • щ ■

Рис. 2. Распределения интенсивности для моды 0 (ст = — ст0).

0 1 8 т 1 4 ^ 3 8т 1

о) • (о О

Рис.3. Распределения интенсивности для моды ^ 1 (ст = ст0).

0 1 1 3 1

8 ^ 4Гт 8 ^ 2 ^

• - % •

5 3 7

8т 4 ^ 8т

* • % •

Рис.4. Распределения интенсивности для суперпозиции мод 0 _1 (ст = ст0).

5

—Zt

Рис.5. Распределения интенсивности для суперпозиции мод 0 2 + з (ст = сто)■

3. Заключение

В данной работе проведено исследование распространения монохроматических линейно поляризованных световых пучков в неоднородной среде и, в частности, в волокне с параболическим профилем показателя преломления.

В работе выполнена аппроксимация дифференциального оператора распространения в среде с малыми неоднородностями, которая позволяет рассматривать распространение световых пучков в неоднородной среде как распространение в однородной среде через систему тонких оптических элементов.

С помощью предельного перехода при бесконечно большом количестве линз, находящихся на бесконечно малых расстояниях друг от друга, получен в приближении Френеля интегральный оператор распространения световых полей в параболической среде. При анализе параксиального интеграла было установлено самовоспроизведение поперечного распределения световых пучков с определённым периодом гт. В пределе при стремлении дисперсионного параметра волокна к нулю интегральный оператор переходит в интеграл Френеля, описывающий распространение светового поля в однородной среде.

Аналитически получен результат действия интегрального оператора на моды Гаусса - Лагерра с произвольным начальным эффективным радиусом. Если начальный радиус совпадает с радиусом собственной моды для этого волокна, то полученная результирующая функция совпадает с модой ГЛ с точностью до двух слагаемых в разложении Тейлора величины впт. В случае несовпадения эффективных радиусов пучок периодически расширяется и

сужается, восстанавливаясь на расстояниях, кратных периоду zT.

Благодарности Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Российско-Американской программы «Фундаментальные исследования и высшее образование» (грант CRDF RUX0-014-Sa-06), а также грантов РФФИ № 07-07-97600 и 08-07-99007.

Литература

1. Короленко, П. В. Оптика когерентного излучения. -М.: Наука, 1997

2. Feit M.D., Fleck J.A. Light Propagation in Graded-Index Optical Fibers // Appl. Opt., 1978. Vol. 17 (24). PP. 39903998

3. Okoshi T., Kitazawa S. The Beam Propagation Method // Analysis methods for electromagnetic wave problems. Editor E. Yamashita, Artech House, 1990. Chapter 10.

4. Huand W. et al. The Finite-Difference Vector Beam Propagation Method: Analysis and Assesment // J. of Lightwave Technology, 1992. Vol. 10 (3).

5. Lu Y.Y. Some Techniques for Computing Wave Propagation in Optical Waveguides // Communications in Computational Physics, 2006. Vol. 1. PP. 1056-1075.

6. Снайдер А., Лав Д. Теория оптических волноводов. -М.: Радио и связь, 1987

7. Методы компьютерной оптики / Под ред. В.А.Сойфера. - М.: Физматлит, 2003. - 688с.

8. Корн, Г. Справочник по математике / Г. Корн, Т. Корн - М.: Наука, 1977. - 832 с.

9. Стрилец А. С., Хонина С. Н. Исследование распространения лазерных пучков в параболическом оптическом волокне с помощью интегрального параксиального оператора / Компьютерная оптика, 2007. Том 31 -№ 4. - С.33-39.

1

3

1

1

0

z

z

z

z

T

T

T

T

8

8

4

2

7

3

z

z

— z

T

T

T

8

8

4