Упруго-пластическая модель массива, учитывающая изменение прочности пород вокруг выработки для расчета крепи перегонных метрополитена в сложных горногеологических условиях Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

Нгуен Зуен Фонг

УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ МАССИВА, УЧИТЫВАЮЩАЯ ИЗМЕНЕНИЕ ПРОЧНОСТИ ПОРОД ВОКРУГ ВЫРАБОТКИ ДЛЯ РАСЧЕТА КРЕПИ ПЕРЕГОННЫХ МЕТРОПОЛИТЕНА В СЛОЖНЫХ ГОРНОГЕОЛОГИЧЕСКИХ УСЛОВИЯХ

Исследована область применения и технологические параметры подземной конструкции с использованием диаграммы равновесных состояний системы «крепь-массив». Описано решение задачи, реализованное в виде полного алгоритма расчета и соответствующего компьютерного программного комплекса. В слабых осадочных породах, широко представленных в условиях строительства метрополитена в неустойчивых породах, это может привести к образованию зон пластических деформаций. Смещения контура выработки, зависящие не только от поперечных размеров породного обнажения, но и от размеров зоны пластических деформаций, могут достигать значительных величин (десятки сантиметров). Установленная в выработку крепь взаимодействует с породным массивом. Деформации крепи и массива происходят совместно до наступления равновесного состояния в системе «крепь-массив». Ключевые слова: строительство туннелей, напряженно-деформированное состояние пород, крепь выработки, проектирование крепи.

Основные теоретические положения

Отставание сооружения крепи от забоя выработки дает возможность массиву свободно перемещаться в определенных пределах. Такой же эффект достигается при установке податливой крепи. Если крепь возводится на значительном удалении от забоя или конструкция крепи имеет большую податливость, то вокруг выработки может формироваться зона пластических деформаций. При этом концентрация напряжений, вызванная образованием выработки, перемещается вглубь массива, а в окрестности контура выработки напряжения уменьша-

ISSN 0236-1493. Горный информационно-аналитический бюллетень. 2016. № 6. С. 241-250. © 2016. Нгуен Зуен Фонг.

УДК 622.261; 622.831

ются. Вследствие этого, как правило, при наступлении равновесия системы «крепь-массив» нагрузка на крепь снижается.

Таким образом, чем больше податливость подземной конструкции, и чем дальше от забоя она устанавливается, тем больше будут смещения породного контура, и тем меньше будет нагрузка, которая передается на нее при достижении равновесного состояния системы «крепь-массив». В этом заключается смысл применения податливых конструкций крепи, возводимых с отставанием от забоя.

Однако облегчение статической работы крепи может быть обеспечено лишь в строго ограниченных пределах, поскольку при определенном размере области пластических деформаций, сплошность массива может нарушаться. При этом породы в окрестности выработки переходят в состояние так называемого руинного разрушения, сопровождаемого значительным ростом нагрузки на крепь [3].

Следовательно, для конкретных условий существует такая величина смещений контура тоннеля, при которой породы на контуре выработки приходят в предельное состояние устойчивости, сохранящем сплошность массива в целом. Это означает, что вокруг выработки образуется максимальная область пластических деформаций без руинного разрушения приконтур-ной зоны. Если крепь, вступив во взаимодействие с породным массивом, создает равновесное состояние системы «крепь-массив» при таком смещении контура, то при этом нагрузка,

Рис. 1. Расчетная схема к определению допустимых смещений контура подземных выработок

действующая на крепь, будет минимально возможной. Такое смещение контура тоннеля будем называть допустимым [и].

Задача определения допустимого смещения породного контура на основании теории запредельного деформирования пород может быть решена аналитически с использованием принципов расчета, изложенных выше. Расчетная схема поставленной задачи представлена на рис. 1.

Принимается, что начальное напряженное состояние массива пород является равнокомпонентным, т.е.

(0)(0)

(0X0)

' = =

Тоннель имеет круговое поперечное сечение радиусом R0. Разделим, как и ранее, все геометрические размеры на величину R0, тогда будем считать, что размер выработки характеризуется относительным радиусом т0 = 1. Отпор крепи обозначим через

-?о.

Вокруг выработки образуется область пластических деформаций (область II на рис. 1) радиусом т, в которой прочность горных пород изменяется вследствие влияния технологических факторов. Прочность в массиве уменьшается от первоначального значения стпр при т = т' до остаточной прочности ст^ на контуре выработки (т = г0 = 1). Соответствующее уравнение зависимости прочности пород от расстояния до контура выработки принимается нелинейным. Запишем уравнение этой зависимости в виде уравнения обобщенной гиперболы

ст (г) = опр [А - ктп ]. (1)

где параметры а, k определяются из соответствующих граничных условий (рис. 1), а параметр п определяется экспериментальным путем.

Влияние величины параметра п на распределение прочности пород вокруг выработки проиллюстрировано на рис. 2.

Граничные условия, необходимые для определения параметров модели а, k принимают вид:

Рис. 2. Изменение прочности при различных величинах параметра п

a. (r )_К "PUf _ 1 . (2)

[апр npur _ г

Тогда в соответствии с предложенной моделью получим:

a(0) 1__

a

(3)

k _-, a _ 1 + кг''"'

1 - r-"

Таким образом, принципиальными отличиями сформулированной модели пород (грунта) от рассмотренной выше являются два предположения:

• отсутствие упрочнения в зоне запредельного деформирования пород;

• допущение изменения прочностных свойств грунта в этой зоне, обусловленного влиянием технологических факторов.

Очевидно, что решение поставленной задачи будет таким же, как описано в [4]. Оно заключается в определении радиуса области пластических деформаций r и в выявлении зависимости между Г и радиальным смещением контура u, используя которую можно определить величину допустимого смещения [u].

Ранее подобная задача рассматривалась И.В. Баклашовым и Б.А. Кортозия [1] при условии, что прочность грунтов в зоне пластических деформаций изменяется линейно. Как легко видеть, это является частным случаем предлагаемой модели, если положить n = -1 в выражении (1).

Условие предельного состояния пород [2]:

a _ Ж cos Ф п _ 1 - sin Ф

Далее обратимся к уравнению равновесия:

^ +ar -ae _0 . (5)

dr r

составляют систему двух уравнений для двух компонентов напряжений, если известны напряжения на границе пластической области. В этом случае задача является статически определимой.

Следуя работе [1], условие (4) перепишем в виде:

се - Pa = -cn(r). (6)

где ae, ar — соответственно тангенциальное и радиальное напряжения; a (r) — прочность пород в области пластических де-

1 + sin ф

формаций, которая определяется выражением (1), Р = i sin ф ;

Ф — угол внутреннего трения горных пород; знак «—» в правой части равенства (6) введен для учета того обстоятельства, что в рассматриваемом случае нагружения напряжения сте, стг будут сжимающими, то есть отрицательными.

Воспользуемся функцией напряжений F, удовлетворяющей условию (7). Из условия несжимаемости пород (ег +ве = 0) следует дифференциальное уравнение:

du u

— + - = 0. (7)

dr r

и связанной с напряжениями известными соотношениями:

F dF

o =— ;ав = ~г. (8)

r dr

Здесь и в дальнейшем под r будем понимать то же, что и r . С учетом представлений (8) условие (6) может быть записано в виде:

dF F

dFF "р F = "с-(r). (9)

Принимая во внимание выражение (1), дифференциальное уравнение (9) примет вид

dF nF f ko )

dr r \ rn )

Очевидно, что в соответствии с принятым правилом знаков, значение cnp следует задавать отрицательной. Подробное решение полученного линейного неоднородного дифференциального уравнения методом Бернулли, окончательно функция F принимает выражение:

F - k°np ч r1-n - ^r + Dr(11) (1 -n-Р) 1 -Р

Неизвестную константу интегрирования D определим из следующего граничного условия:

F

or = — = -Я0 при r = 1, (12)

r

отражаюшего загружение контура выработки величиной отпора -q:

(10)

Условие (12) с учетом соотношений (8) принимает вид:

ка„

пр

1 = ~Т = (1 -п -р)

т-п + Бте-1 - ЙС"р

ка

пр

аа

пр

(1 -п-Р) (1 -Р) Используя (13), получим:

(1 -Р)

Б = -Яо-

Б = -

ка

пр

аа

пр

(1 -п-р) (1 -р) Окончательно функцию F запишем в виде

(14)

^ =

ка

пр

_т1-п - аапр

( ка

т -

пр

аа

\

пр

1 -п-р 1 -р

Яо

тв • (15)

(1 -п-р) 1 -р

С использованием представлений (8) находим выражения для радиальных и тангенциальных напряжений в области II (рис. 1):

ка

а =

пр

аа

т -

пр

( ка

пр

аа

пр

(1 -п -р) 1 -р ^ 1 -п -р 1 -р

Я о

а =

(1 - п) капр п - аапр

-р

( ка

пр

аа

р-1

(16)

пр

1-п-р 1 -р

Я о

,Р-!

(1 -п-р) 1 -р

В упругой области I (рис. 1) напряжения находятся по формулам:

М К

(17)

л В л В

ат = А - —; ае = А + —; V =

т т

в (17) которых константы А, B и радиус зоны неупругих деформаций г определяются из граничных условий:

„(1) _(2). _(1) _(2) * ат = ат ; ае = ае , при г = г;

а(т° = ае1) = -уЯ , при

(1)

г = да.

(18) (19)

Из условия (19) следует, что

Л = -уИ. (20)

Далее, подставляя выражения для напряжений (17), (16) в первое условие (18), запишем

а((1) = а(.2) =-уЯ - 4 = т

ка

пр

аа

(1 -п-Р)

т - -

пр

( ка

пр

аа

пр

1 -р I 1 -п-р 1-р

Я о

«р-1

В свою очередь, из второго условия (18) будем иметь

с«> = Сд2) = _уИ + ^ =

В

(1 - п) кс

пр г'-п _

ас

пр

_Р

( кс„

пр

ас

пр

1_ п_р 1 _р

(1 _п _р) 1 _р

Из выражения (21) находим константу В

кс

90

«р-1

В = _

пр

*2-п аСпр «2

Г +-- Г

(1 _п _р) 1 _р

( кс

+

пр

ас

Л

(23)

пр

9о

_ уИ • г*

1_ п_р 1 _р

Складывая соотношения (21) и (22), получим уравнение относительно неизвестного радиуса г* зоны неупругих деформаций

_(1 + Р)

( кс

пр

ас

\

пр

1_ п_р 1 _р

9о

«р-1

(2 _ п) кс

(1 _п _Р)

^ г*-п + 2

уИ _

ас

(24)

пр

1 _Р

= 0.

Уравнение (24) ввиду его нелинейности решается численно. Для определения смещений контура выработки используется формула:

" (25)

с

и = —. г

где с — произвольная константа.

при этом коэффициент с определяется из условия равенства радиальных смещений на границе упругой и пластической зон:

и(1) = и(2) при г = г*. (26)

Как было указано, смещения и(2) в зоне II (рис. 1), где массив находится в условиях неупругих деформаций определяются по формуле (25).

Смещения в области I (рис. 1), принимая во внимание плоскую деформацию среды, будем использовать следующее физическое уравнение теории упругости (закон Гука), записанное в полярной системе координат:

ей =

-„)се_Ц,сг ]

(27)

и выражение: .

8е= - , (28)

т

следующее из условия равновесия.

С учетом соотношений (17) выражение (27) перепишем в виде

-ц)ае-илт ] = Цг\(1 - 2ц) А -ББ

2 (29)

т

Из выражений (29) и (27) получим следующее соотношение

*

на контуре радиусом г

-(1) = 8е х т* = ^ (1 - 2ц) Ат' - 4 , (30)

Е [ т ]

в котором константы Л, В определяются из выражений (20), (23).

Поскольку второе граничное условие (18) справедливо только при допущении несжимаемости пород (когда объем пород при сжатии не изменяется), в полученном выражении (30) следует положить ^ = 0,5 и, таким образом, представить в виде

-(1) =8ех Г =- ^ 4 • (31)

Е т

В результате из граничного условия (26) с учетом представлений (25) и (31) придем к выражению для определения искомой константы: . 5 В

- 4 = - М В. (32)

т Е т

с = М Б. (33)

Откуда получим:

Полученные по формуле (25) безразмерные величины смещений должны быть умножены на величину Я0. При этом учитывается, что знак «—» указывает только на направление пере-мешений — внутрь выработки.

Для определения равновесного состояния единой деформируемой системы «крепь-массив» воспользуемся графическим представлением зависимости q0 от и. Очевидно, что указанная зависимость должна быть построена по участкам.

Первый участок соответствует случаю, когда породы вокруг выработки деформируются на упругой стадии. В этом случае зона пластических деформаций (зона разрушенных пород) не образуется и уравнение (24) не имеет решения. При этом зависимость q0 = Ди), записанная в виде [4]:

Яо = УЯ - -о^Р . (34)

имеет линейный характер, и соответствует начальному участку диаграммы, представленной на рис. 3, где

£дР = (35)

Я

Воспользуемся графическим представлением зависимости (34) в осях q0, и0, показанным на рис. 3.

Дальнейший рост смещений и приводит к образованию вокруг выработки зоны неупругих деформаций. В связи с этим, диаграмма равновесных состояний контура выработки на

втором участке строится по зависимости и = /^0), представленной выражением и = с • Я0, в котором размер области неупругих деформаций определяется в зависимости от величины q0 на основе решения нелинейного уравнения (24).

Рис. 3. Диаграмма равновесных состояний подкрепленной выработки

Заключение

Окончательно, с использованием диаграммы равновесных состояний системы «крепь-массив», как описано в [4], можно исследовать область применения и технологические параметры подземной конструкции. Это позволяет при необходимости принять обоснованные инженерные решения, направленные на ее усиление.

Описанное решение задачи реализовано в виде полного алгоритма расчета и соответствующего компьютерного программного комплекса.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Баклашов И. В., Картозия Б. А. Механика подземных сооружений и конструкции крепей. Учебн. для вузов. 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Недра, 1992. - 543 с.

2. Булычев Н. С. Механика подземных сооружений: Учеб. для вузов. 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Недра, 1994. — 382 с.

3. Либерман Ю. М. Давление на крепь капитальных выработок. -М.: Наука, 1969. — 119 с.

4. Нгуен Зуен Фонг. Проектирование обделок перегонных тоннелей метрополитена г. Хошимин (СРВ) на основе исследования равновесного состояния системы «крепь-массив» // Горный информационно-аналитический бюллетень. — 2016. — № 3. — С. 45—54.

КОРОТКО ОБ АВТОРE

Нгуен Зуен Фонг — аспирант, e-mail: nguyenduyenphong@gmail.com,

МГИ НИТУ «МИСиС».

Gornyy informatsionno-analiticheskiy byulleten'. 2016. No. 6, pp. 241-250. Nguyen Duyen Phong

ELASTO PLASTIC MODEL MASSIF ROCK, TAKE INTO ACCOUNT CHANGES STRENGTH OF ROCKS AROUND THE DEVELOPMENT FOR THE CALCULATION CREPE DISTILLERIES SUBWAY IN COMPLEX GEOLOGICAL CONDITIONS

Investigated the scope and the technological parameters of the underground structures using diagrams of equilibrium States of a system «lining-array». It allows to make informed engineering decisions aimed at its strengthening. The described solution, implemented as a complete calculation algorithm and the corresponding computer software system.

In weak sedimentary rocks, widely represented in the conditions of underground construction in complex geological conditions, it can lead to plastic deformation zones. This bias circuit output, depending not only on the transverse dimensions of the rock outcrop, but also on the size of the zone of plastic deformation, can reach significant values (tens of centimeters).

Installed in the production of support interacts with the rock mass. Deformation of the support and the massif occur together before the equilibrium state in the system of «support-massif».

Key words: tunnel construction, the stress-strain state of the rocks support production, design support.

AUTHOR

Nguyen Duyen Phong, Graduate Student, e-mail: nguyenduyenphong@gmail.com,

Mining Institute, National University of Science and Technology «MISiS», 119049, Moscow, Russia.

REFERENCES

1. Baklashov I. V., Kartoziya B. A. Mekhanika podzemnykh sooruzheniy i konstruktsii krepey. Uchebnik dlya vuzov. 2-e izd. (Mechanics of underground structures and shoring design. Textbook for high schools, 2nd edition), Moscow, Nedra, 1992, 543 p.

2. Bulychev N. S. Mekhanika podz,emnykh sooruzheniy: Uchebnik dlya vuzov. 2-e izd. (Mechanics of underground structures: Textbook for high schools, 2nd edition), Moscow, Nedra, 1994, 382 p.

3. Liberman Yu. M. Davlenie na krep' kapital'nykh vyrabotok (Pressure on lining major roadways), Moscow, Nauka, 1969, 119 p.

4. Nguen Zuen Fong. Gornyy informatsionno-analiticheskiy byulleten'. 2016, no 3, pp. 45-54.

UDC 622.261; 622.831