Упруго-пластическая задача плоского деформирования среды с разупрочнением вокруг отверстия круглой формы Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

УДК 622.831

А.Н. Шашенко, С.Н. Гапеев

УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА ПЛОСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ СРЕДЫ С РАЗУПРОЧНЕНИЕМ ВОКРУГ ОТВЕРСТИЯ КРУГЛОЙ ФОРМЫ

Приведено решение упруго-пластической задачи об НДС породного массива в окрестности выработки. Получены компоненты напряжений, деформаций и перемещений в упругой и неупругой областях, размеры и форма разделяющего их контура. Оценена сходимость результатов аналитического и численного решения задачи.

Ключевые слова: одиночная горная выработка, напряженно-деформированное состояние, упруго-пластическая задача, зона неупругих деформаций, среда с разупрочнением.

ТУ ассмотрим напряженно-

деформированное состояние однородного изотропного упругого породного массива в окрестности длинной одиночной горизонтальной выработки кругового очертания, расположенной на глубине Н от земной поверхности и не испытывающей влияние очистных работ. Радиус выработки - Rо, к ее контуру приложена равномерно распределенная нагрузка интенсивностью Ро, равной отпору крепи. Породную среду, обладающую пределом прочности на сжатие 13с, в пределах зоны влияния выработки полагаем невесомой. Ошибка вследствие подобной идеализации тем меньше, чем больше глубина расположения выработки и, как показано в работах [1, 2], величина ее не превышает 1 %.

В направлении осей Х и У на бесконечности приложены внешние равномерно распределенные нагрузки, которые могут быть либо не равны друг другу (Я Ф 1), либо равны (Я = 1) (здесь Я -коэффициент бокового распора). Величина этих нагрузок такова, что вокруг выработки образуется область пластических деформаций, полностью охваты-

вающая ее контур. Деформирование и разрушение породной среды происходит в режиме заданных деформаций со стороны упруго сжатой части массива. И в упругой, и в пластической областях сохраняется гипотеза о сплошности среды. Поскольку перемещение породного массива в направлении продольной оси выработки невозможно, рассматривается случай плоской деформации. В результате решения задачи следует определить компоненты напряжений, деформаций и перемещений в упругой и неупругой областях, а также размеры и форму контура L, разделяющего эти области.

Наиболее сложным случаем задачи, сформулированной выше, является тот вариант, когда внешние усилия неодинаковы, то есть коэффициент бокового распора Я не равен единице. При этом граница между пластической и упругой областями (контур L) имеет форму эллипса.

Конечные выражения такого решения отличаются существенной сложностью, что затрудняет их исследование и практическое использование. В [3], основываясь на работах Ж.С. Ержанова,

Рис. 1. Расчетная схема к решению задачи о равновесии породного массива в окрестности одиночной горизонтальной выработки (к = 1)

делается вывод о том, что в пределах верхнего слоя литосферы, где, собственно, и ведутся горные работы, в горизонтально залегающих осадочных породах для широкого диапазона горно-геологичес-ких условий можно считать, что напряжения в нетронутом породном массиве распределены гидростатически, т.е. Я = 1. В этом случае решение поставленной задачи существенно упрощается, поскольку контур эллипса L вырождается в круг. Расчетная схема, используемая для решения задачи, приведена на рис. 1.

Для рассматриваемой одномерной задачи запишем в полярной системе координат исходные соотношения:

- уравнения равновесия

d стг dr

СТп — ст.

0

(1)

- уравнения совместности деформаций

d2 є0 2 dєа 1 dє„

dr2

+ ■

г dr г dr

0

- соотношения Гука 1

— Ц1 — м)СТг — МСТе] ,

2G

1

— [(1 — ^)сте —

] ,

(2)

(3)

(4)

(5)

- соотношения Коши

- и - и

Єг - dr ’ Єе _ г ’ где стг, сте и гг, єе - соответственно радиальный и тангенциальный компоненты напряжений и деформаций; и - радиальное перемещение, G - модуль сдвига, ^ - коэффициент Пуассона, г -полярная координата.

є

є

е

Здесь и далее все величины, имеющие размерность длины и перемещений отнесены к радиусу выработки Rо. Граничные условия и условия сопряжения имеют вид:

аг = ае = уН , при Г ^ го, (6)

СТ = Р0, при г = 1 , (7)

стГ = стГ1), иг = иг(1), при Г = Г_. (8)

Будем обозначать все компоненты

напряжений и перемещений в упругой области без индекса, а в пластической -с индексом 1.

Решив уравнение Эйлера, полученное из (2), удовлетворяя граничным условиям (6), получим формулы для определения компонентов напряжений в упругой области

С С

ст = УН - —; ст = УН + —, (9)

Г Г

где С - неизвестная постоянная интегрирования, определяемая из условий сопряжений радиальных напряжений на контуре L (8).

В области неупругих деформаций справедливо физическое уравнение:

Сте-Стг = 2к- в^, (10)

где k - некоторая константа, зависящая от исходных физических предпосылок, заложенных в условие прочности, определяемое в нашем случае выражением 4х2 - 2ст(1 -^) * - *2У = 0;

А и В - константы, которые можно установить на основе выражений

г2 г 2 - к

А = ^-Ч (1 - кост); в = —р.

1 - г2 1 - г2

Здесь: х = (ст1 - ст3)/2 - максимальное касательное напряжение; ст = (ст1 +ст3 )/2 - величина, характери-

зующая вид напряженного состояния;

у = *р/*с - отношение пределов прочности породы на растяжение и сжатие (коэффициент хрупкости); кост- коэффициент остаточной прочности; Г - безразмерный радиус области неупругих деформаций.

Решая это уравнение совместно с уравнением равновесия (1), получим с учетом граничных условий (7) выражения для компонентов напряжений в пластической области

стГ1) =-2к [0,5 А (г-2 -1) + в 1п г] + Р0,

(11)

сте1) =-2к[0,5А (г-2 +1) + В 1п г] + Р0,

(12)

При Г = Г , учитывая равенство радиальных напряжений, определяемых формулами (9) и (11), получим значение неизвестной постоянной интегрирования — = кг-.

Таким образом, компоненты напряжений в упругой и пластической областях определены. Тогда, используя (8), (11), получим трансцендентное выражение для определения радиуса области неупругих деформаций:

0,5А (Г-2 -1) + В 1п гI =

уН - Р0 1 (13)

= 2 к 2'

Полученная формула (13) следует из соотношения :

ве1) +вГ1) =в„ (Г) . (14)

Из (13) следует, во-первых, что отпор крепи Ро чрезвычайно мало влияет на размеры области неупругих деформаций, поскольку величина его на глубоких горизонтах шахт несоизмеримо меньше гравитационного давления уН . В этой связи в формуле (13) без ущерба для точности можно положить Ро = 0.

Во-вторых, для подавляющего большинства углевмещающих горных пород величина у приблизительно равна 0,1 и если положить ее в таком случае равной нулю, то ошибка от подобной идеализации не превысит 5 %.

Основываясь на анализе зависимо-

А *л)

стей Г_ = Т I-----I для различных зна-

I Чн )

чений коэффициента кост, приведенном в [3], положим, что кост=0. Тогда, окончательная формула для определения радиуса области неупругих деформаций примет вид

,''2 III Г I ЧН

(15)

Г21п г и

г2 -1

уН

(2

Исходя из того, что для хрупких горных пород в полученных выше зависимостях можно полагать у =0. Тогда выражение для определения смещений на контуре выработки будет иметь следующий вид

( I—П Л

и о =в„

0,5 -

Ун

(2

(16)

Основные зависимости для определения параметров упругопластического состояния породного массива в окрестности одиночной выработки (15) и (16), полученные выше, позволяют определить некоторые (точечные) значения вероятностных по своей природе величин: радиуса области неупругих деформаций Г_ и радиальных смещений на контуре выработки и 0.

Определим радиус области неупругих деформаций и величину перемещений контура выработки для средних условий Западного Донбасса при следующих исходных данных:

- глубина расположения выработки Н = 350 м;

- предел прочности на одноосное сжатие стс = 25 МПа;

- объемная плотность, у = 2,50-10-3 МН/м3;

- радиус выработки ^ = 2,0 м;

- коэффициент структурномеханического ослабления кс = 0,33;

- предельное значение объемной деформации в условиях одноосного сжатия = -0,1.

Согласно выражениям (15) и (16), для этих условий получим, что Г = 3,6 , а и0 = 0,38 м.

Аналитические решения, являясь точными решениями задач геомеханики, служат, наряду с практикой, критерием оценки работоспособности и точности расчетных алгоритмов приближенных методов расчета, таких, как метод конечных элементов (МКЭ). Приведенная выше задача была использована для проверки специального расчетного алгоритма МКЭ, учитывающего нелинейные эффекты деформирования и разрушения породного массива в окрестности выработки, описание которого можно найти в

[4].

Сравнение с аналитическим решением проводилось по параметрам ги (относительный радиус зоны разрыхления) и и0 (величина смещений на контуре выработки) (таблица).

Сравнение результатов аналитического и численного решения

Показа- тель Решение Д, %

аналити- ческое численное

гь 3,60 3,33 7,5

u0, м 0,38 0,35 10,5

Как видно из таблицы, наблюдается достаточно хорошая сходимость численного и аналитического решения, которые, в свою очередь, с достаточ-

1. Ержанов Ж.С. Исследование ползучести пород Донбасса.- М.: ЦИТугля, 1959.- № 1.36 с.

2. Михлин С.Г. Распределение напряжений в полуплоскости с эллиптическим вырезом.-Тр. сейсм. ин-та АН СССР, 1934.- № 29.- С. 212-220.

3. Шашенко А.Н., Тулуб С.Б., Сдвижкова Е.А. Некоторые задачи статистической

ной степенью точности соответствуют результатам натурных наблюдений за развитием геомеханических процессов, проведенных рядом исследователей в шахтных условиях.

-------------- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

геомеханики. - К.: Пульсари, 2001.- 243 с.

4. Шашенко А.Н., Солодянкин А.В., Га-пеев С.Н. Определение напряженно-деформированного состояния породного массива с учетом эффекта разупрочнения в зоне разрыхления // Разработка рудных месторождений. Науч.-техн. сб.- Кривой Рог: КрТУ, 2005,- Вып. 88,- С. 44-49. ЕШ

Коротко об авторах

Шашенко А.Н. - доктор технических наук, профессор, проректор по международным связям, shashenkoa@nmu.org.ua

Гапеев С.Н. - кандидат технических наук, доцент кафедры строительства и геомеханики, gapieievs@nmu.org.ua

Национальный горного университет, г. Днепропетровск, Украина,

------------------------------------------------ ОТДЕЛЬНЫЕ СТАТЬИ

ГОРНОГО ИНФОРМАЦИОННО-АНАЛИТИЧЕСКОГО БЮЛЛЕТЕНЯ

Федоров А.В., ген. директор «ОАО «СУЭК-Красноярск»,

Самарин С.В., зам. ген. директора «ОАО «СУЭК-Красноярск»,

Кулецкий В.Н., зам. исполнительного директора ОАО «Разрез Тунгуйский»,

КовальчукА.Ф., гл. механик ОАО «Разрез Тунгуйский»,

ДовженокА.С., вед. научный сотрудник ОАО «НТЦ НИОГР»,

Хажиев В.А., инженер ОАО «НТЦ НИОГР»,

ОРГАНИЗАЦИЯ РАБОТЫ ЭНЕРГОМЕХАНИЧЕСКИХ СЛУЖБ НА ПРЕДПРИЯТИЯХ КУЗБАССА (отчет о целевой командировке группы руководителей и специалистов ОАО «Тугнуйский разрез» и ООО «Тугнуй-ский филиал СУЭК»)

Представлен отчет о целевой командировке группы руководителей и специалистов ОАО «Тугнуйский разрез» и ООО «Тугнуйский филиал СУЭК» на предприятия Кузбасса.

Для всех заинтересованных в повышении ценности своего труда руководителей и специалистов предприятий, региональных производственных объединений, управляющих компаний.

Ключевые слова: руководители предприятий, электромеханическая служба, ремонт оборудования, экономическая мотивация.

Fedorov A. V., Samarin S. V., Kuletskiy V.N., Kovalchuk A.F., Dovzhenok A.S., Hazhiev V.A. THE ORGANIZATION OF THE OPERATION OF THE ENERGY AN MECHANIC SERVICES AT THE ENTERPRISES OF KUZBASS (A REPORT ON THE DEDICATED BUSINESS TRIP OF TOP MANAGEMENT AND ENGINEERS OF OPEN STOCK COMPANY “TUNGUISKIY RAZREZ” AND LIMITED LIABILITY COMPANY “TUNGUISKIY FILIAL SUAK”

A report on the dedicated business trip of top management and engineers of open stock company “Tunguiskiy Razrez” and limited liability company “Tunguiskiy Filial SUAK” at the enterprises of Kuzbass is presented.

The article is dedicated to the top-managers and engineers from regional industrial associations and managing companies who are interested in the increasing of the value of their labor