CC BY
34
Вестник Челябинского государственного университета. 2015. № 22 (377).
Физика. Вып. 21. С. 110-115.
УДК 539.21:534
УПРУГИЕ СВОЙСТВА ЭЛЕКТРИЧЕСКИ СТАБИЛИЗИРОВАННОГО КОЛЛОИДНОГО КРИСТАЛЛА С ГЕКСАГОНАЛЬНОЙ РЕШЁТКОЙ
Е. В. Гладкова, П. Е. Дышловенко
ФГБОУ ВПО «Ульяновский государственный технический университет», Ульяновск, Россия
Средствами вычислительного эксперимента на основе численного решения уравнения Пуассона — Боль-цмана находятся равновесное давление и модули упругости двумерного электрически стабилизированного коллоидного кристалла с гексагональной решёткой. Для нахождения упругих свойств используются зависимости напряжения от деформации. Обсуждаются результаты численного эксперимента для широкого диапазона значений параметра решётки. Отмечается существенная роль многочастичных эффективных взаимодействий в кристалле.
Ключевые слова: коллоидный кристалл, модуль упругости, уравнение Пуассона — Больцмана, многочастичное эффективное взаимодействие, соотношение Коши.
Введение
Коллоидные кристаллы представляют собой дисперсную систему, образованную частицами твёрдой фазы в жидкой среде, при этом частицы пространственно упорядочены и образуют кристаллическую решётку определённого типа. Интерес к коллоидным кристаллам в последнее время значительно возрос. Это связано с возможностью их использования в технологии получения фотонных кристаллов, особенно инвертированных, на основе самоорганизующихся структур [1—3]. Важный класс коллоидных систем составляют электрически стабилизированные системы, в которых частицы твёрдой фазы электрически заряжены, а жидкая среда является электролитом [4].
В настоящей работе рассматривается модель двумерного электрически стабилизированного коллоидного кристалла с гексагональной решёткой. Электростатическое взаимодействие макрочастиц в ней полностью описывается нелинейным уравнением Пуассона — Больцмана (ПБ) [5; 6]. Все макроскопические свойства коллоидного кристалла выводятся из решений уравнения ПБ и соответствующего ему фундаментального тензора напряжений.
Описание модели
Элементарная ячейка исследуемого в данной работе двумерного коллоидного кристалла показана на рис. 1. Кристалл образован бесконечно
длинными цилиндрическими частицами радиуса R, расположенными в узлах гексагональной решётки Бравэ. В силу того, что в направлении вдоль оси частиц свойства системы не меняются, система может рассматриваться также, как система двумерных жёстких дисков на плоскости. Векторы r(1), r(2) и r(3) — векторы примитивных трансляций; величина а = |r(1)| = |r(2)| = |r(3)| называется параметром решётки, Sm) и S'(m), m = 1,2,3 — пары противолежащих границ ячейки Вигнера — Зейтца (см. ниже). Система частиц погружена в жидкий электролит. Частицы являются абсолютно твёрдыми диэлектриками. Частицы электрически заряжены, при этом на поверхности частиц поддерживается постоянной плотность заряда ст = const.
Рис. 1. Фрагмент двумерного электрически стабилизированного коллоидного кристалла с гексагональной решёткой и его ячейка Вигнера—Зейтца
Показанная на рис. 1 элементарная ячейка является ячейкой Вигнера — Зейтца кристалла в исходном состоянии. При наложении деформации ячейка деформируется вместе со всем кристаллом, при этом деформированная ячейка снова является элементарной ячейкой. Все обозначения справедливы и для деформированной ячейки.
Электрический потенциал ф в области электролита описывается нелинейным дифференциальным уравнением Пуассона — Больцмана, которое в общем случае имеет вид [5; 6]
V2ф = ——£ гдп ехР ф/кТ) (1)
е0е 1
где е0 — электрическая постоянная;
е — диэлектрическая проницаемость электролита;
де — элементарный заряд;
— валентность г-й компоненты электролита; п01 — объёмная концентрация г-й компоненты электролита в объёме, то есть в области вдали от заряженных частиц, где потенциал принимается равным нулю;
к — постоянная Больцмана; Т — абсолютная температура. Суммирование в (1) осуществляется по всем компонентам электролита. В дальнейшем рассматривается случай бинарного симметричного одновалентного электролита или 1:1 электролита, который имеет две компоненты с валентностями 2\ = +1 и ¿2 = -1, при этом п01 = п02 = п0.
Для приведения уравнения и всех последующих выражений к безразмерному виду вводятся следующие величины: длина Дебая для 1:1 электролита к-1 = (2п0д2е/е0екТ)-1/2 для измерения длины и величина кТ/дг для измерения электрического потенциала. В этих единицах уравнение Пуассона — Больцмана для исследуемой системы записывается в следующей безразмерной форме: V 2ф = sh ф. (2)
Постоянство плотности заряда на поверхности частицы приводит к неоднородному граничному условию Неймана вида
^ф- п = СТ. (3)
Такое граничное условие справедливо в приближении большой диэлектрической проницаемости электролита по сравнению с диэлектрической проницаемостью материала частиц, что типично для водных растворов. При этом электрический потенциал в области электролита оказывается независимым от потенциала внутри частицы.
В силу пространственной периодичности кристалла достаточно искать решение уравнения (2)
в области одной элементарной ячейки. В исходной конфигурации, то есть в отсутствие деформации, в качестве области определения задачи выбирается ячейка Вигнера — Зейтца кристалла, показанная на рис. 1. При наличии деформации областью является соответствующим образом деформированная ячейка Вигнера — Зейтца исходной конфигурации. Внутреннее пространство частицы исключается из области определения задачи в силу (3).
Внешние границы области образованы тремя парами противолежащих сторон $~т) и 5"<~т), т = 1,2,3. Для обеспечения периодичности решения и его градиента на внешние границы области налагаются периодические граничные условия
ф(г ) = ф(г + г (т)), т = 1,2,3, (4а)
Vф(r) - п(т> =^ф(г + г(т)) - п '(т\ т = 1,2,3, (4Ь)
(т)
5(т)
где Пип — внешние единичные нормали противолежащих друг другу участков границы в паре т, а векторы г(т), т = 1,2,3 — векторы примитивных трансляций, разделяющие противоположные границы (см. рис. 1). Граничные условия (4а) и (4Ь) выполняются как в исходной, так и в деформированных конфигурациях. В исходной конфигурации векторы
^ >/3 1 __(2) ~ ™ _.(3) .{ 1 >/3 1
г (1) = а
г(2) = а(1,0), г(3) = а
2 2
В случае ненулевой деформации векторы г(т), т = 1,2,3 преобразуются в соответствии с этой деформацией.
Уравнение (2) вместе с граничными условиями (3) и (4) составляют краевую задачу на описанной выше области, решение которой полностью описывает свойства системы в рамках принятой модели.
Детали вычислительного эксперимента
В кристалле с гексагональной решёткой в силу очевидной симметрии начальное напряжение изотропно и сводится к (осмотическому) давлению. Это давление имеет осмотическую природу и в исходной конфигурации равно превышению осмотического давления в кристалле над осмотическим давлением в чистом электролите. Зависимость напряжения от деформации для такого кристалла имеет вид [7]
Т = - р8.. + Ве.. +....
11 ± г. 1}к1 к. '
(5)
где Т. — тензор напряжений в текущей конфигурации;
ек1 — тензор инфинитезимальной деформации; 8у — дельта-символ Кронекера; р — равновесное давление в исходной конфигурации;
Буш — модули упругости кристалла, а многоточие обозначает члены порядков выше первого.
Индексы в (5) пробегают значения 1, 2 и подразумевается суммирование по повторяющимся индексам.
В силу высокой симметрии гексагональный кристалл имеет только три независимых модуля упругости: В111Ь ВШ2 и ВШ2. Как следует из (5), модули Вцц и Вц22 могут быть получены из зависимости напряжения от деформации при наложении деформации растяжения вдоль оси х, а для определения модуля В1212 необходим сдвиг в плоскости ху. Тензоры указанных деформаций в матричном виде имеют вид
'е 0 ^ (0
I и I I соответственно. (6)
ч0 01 ^е 0) к '
Тогда из (5) следует, что
Тп =- р + ВШ1 е„ + ...,
Т22 = — р + В1122 е11 + . •, Т12 = 2 В1212 е12 +
(7a) (7b) (7c)
где учтено, что е12 = е21, а также, что для кристаллов рассматриваемой симметрии В2211 = В1122 и В2121 = В1212 [7]. При этом еп = е и е12 = е.
Компоненты тензора напряжений Ту находятся через фундаментальный тензор напряжений П-, связанный с уравнением (2) [8]. Для кристалла с гексагональной решёткой
Тш = у I^ { ПА, (8)
' с т=1 3(Ш)
где £>~т) — одна из двух сторон в каждой паре границ т, на которую указывает вектор г(от), т = 1,2,3; УС — объём ячейки в данной конфигурации. Нормали к поверхностям направлены наружу. Выражение (8) позволяет вычислить тензор напряжений как в исходной, так и в деформированных конфигурациях. Тензор напряжения П- для уравнения (2) имеет вид
П = (Уф), (Уф)- — 12 Уф|2 + Лф — 115-. (9)
В ходе компьютерного эксперимента определяются зависимости напряжения от деформации при деформациях растяжения и сдвига вида (6). Параметр относительной деформации в (6) изменяется в диапазоне от -0,01 до 0,01 с шагом 0,001. Для каждого значения е численно решается соответствующая краевая задача для уравнения Пуассона — Больцмана. Решение краевой задачи находилось численно, методом конечных элементов с использованием треугольных нерегулярных сеток и Лагранжевых элементов 2 порядка. Расчёты частично поддержаны ресурсами суперкомпью-
терного комплекса Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова [9].
Для нахождения равновесного давления р и модулей упругости В1111, В1122 и В1212 зависимости напряжения от деформации аппроксимируются полиномами стандартным методом наименьших квадратов. Наилучшее качество аппроксимации достигается при использовании полиномов третьей степени. Коэффициенты аппроксимаций дают нужные величины.
Результаты и обсуждение
Исследование упругих свойств коллоидного кристалла проводилось при следующих значениях параметров: радиус частицы Я = 1, постоянная плотность заряда частицы ст = 2. Параметр решётки а изменялся в диапазоне от 2,1 (почти контакт частиц) до 6 (взаимодействие частиц исчезающее мало). Результаты представлены на рис. 2.
20 1В
&
- 14 Р
о 12
о
10
К б
га
Ч 4 2 0
200
rt 180 и
- 160 Р
0 140 ¡120 2 юо Е 80
1 60 | 40 5 20
3 4 5
Параметр решетки а, отн. ед.
1
:
:
: Вин /
ЕТ / D
: bll22
212
Параметр решетки a, ote. ед.
Рис. 2. Равновесное давление: а — модули упругости; б — в кристалле; R = 1, и= 2
Анализ результатов показывает, что при увеличении плотности системы (уменьшении параметра решётки) давление в исходной конфигурации и модули упругости монотонно растут. Положи-
б
тельное значение модуля упругости В1212 во всём диапазоне значений параметра решётки говорит о том, что в отличие от кристалла с квадратной решёткой [10] двумерный кристалл с гексагональной решёткой устойчив по отношению к деформациям сдвига. Для оценки степени присутствия в системе многочастичных эффективных взаимодействий проводится проверка соотношения Коши С1122 = С1212 для модулей упругости, где СШ2 = ВШ2 -Р и С1212 = В1212 + р. График зависимости отношения С1122/С1212 от параметра решётки а показан на рис. 3.
0,65.....................
2 3 4 5 6
Параметр решетки а, отн.ед.
Рис. 3. Проверка соотношения Коши C1122 = С1212, R = 1, & = 2
Наблюдаемое на графике существенное отклонение отношения С1122/С1212 от единицы свидетельствует о значительном вкладе многочастичных взаимодействий в общее эффективное взаимодействие в кристалле. Из рис. 3 видно, что непарный характер эффективного взаимодействия нарастает при увеличении плотности системы.
Заключение
Предложенная в данной работе численная модель коллоидного кристалла применима к электрически стабилизированным коллоидным системам, в которых размер частиц сопоставим с длиной Дебая электролита. Это имеет место в разбавленных электролитах с частицами субмикронного размера. Предложенная модель наиболее адекватно описывает системы с единичной валентностью ионов; в системах с более высокой валентностью возрастает роль корреляционных эффектов, которые не описываются уравнением Пуассона — Больцмана. В результате работы получены равновесное давление и модули упругости исследуемого кристалла в широком диапазоне значений параметра решётки в приближении статической решётки; установлена его устойчивость и подтверждён существенный вклад многочастичных взаимодействий в общее эффективное взаимодействие в кристалле.
Список литературы
1. Joannopoulos, J. D. Photonic crystal sputting a new twist on light / J. D. Joannopoulos, P. R.Villeneuve, S. H. Fan // Nature. - 1997. - Vol. 386. - P. 143-149.
2. Горелик, В. С. Оптика глобулярных фотонных кристаллов / В. С. Горелик // Квант. электроника. - 2007. -Т. 37, № 5. - С. 409-432.
3. Горелик, В. С. Трёхмерные фотонные кристаллы — новые материалы для нелинейной оптики / В. С. Горелик, А. Д. Кудрявцева, М. В. Тареева, Н. В. Чернега // Оптические методы исследования потоков : тр. Десятой юбил. Междунар. науч.-техн. конф. - М., 2009. - C. 42-45.
4. Дерягин, Б. В. Теория устойчивости сильно заряженных лиофобных золей и слипания сильно заряженных частиц в растворах электролитов / Б. В. Дерягин, Л. Д. Ландау // Журн. эксперим. и теорет. физики. -1941. - Т. 11, № 2. - С. 802-821.
5. Дерягин, Б. В. Поверхностные силы / Б. В. Дерягин, Н. В. Чураев, В. М. Муллер. - М. : Наука, 1985. -399 с.
6. Belloni, L. Colloidal interaction / L. Belloni // J. Phys.: Condens. Matter. - 2000. - Vol. 12. - P. R549-R587.
7. Barron, T. H. K. Second-order elastic constants of a solid under stress / T. H. K. Barron, M. L. Klein // Proc. Phys. Soc. - 1965. - Vol. 85. - P. 523-532.
8. Дышловенко, П. Е. Тензор осмотического напряжения в электрически стабилизированных коллоидных кристаллах / П. Е. Дышловенко // Коллоид. журн. - 2010. - Т. 72, № 5. - C. 620-626.
9. Воеводин, Вл. В. Практика суперкомпьютера «Ломоносов» [Электронный ресурс] / Вл. В. Воеводин, С. А. Жуматий, С. И. Соболев [и др.]. // Открытые системы. - 2012. - № 7. - URL: http://www.osp.ru/os/ 2012/07/13017641.
10. Гладкова, Е. В. Упругие постоянные двумерного электрически стабилизированного коллоидного кристалла с квадратной решёткой / Е. В. Гладкова, П. Е. Дышловенко, Д. В. Чернятьев // Вектор науки ТГУ -2013. - Т. 23, № 1. - С. 23-26.
Поступила в редакцию 20 августа 2015 г. После переработки 14 октября 2015 г.
Сведения об авторах
Гладкова Елена Владимировна — аспирант кафедры прикладной математики и информатики Ульяновского государственного технического университета, Ульяновск, Россия. e.gladkova@mail.ru.
Дышловенко Павел Евгеньевич — кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры прикладной математики и информатики Ульяновского государственного технического университета, Ульяновск, Россия. p.dyshlovenko@mail.ru.
Bulletin of Chelyabinsk State University. 2015. № 22 (377). Physics. Issue 21. P. 110-115.
ELASTIC PROPERTIES OF CHARGE STABILIZED COLLOIDAL CRYSTAL
WITH HEXAGONAL LATTICE
E. V. Gladkova, P. E. Dyshlovenko
Ulyanovsk State Technical University, Ulyanovsk, Russia Corresponding author P. E. Dyshlovenko, p.dyshlovenko@mail.ru
Equilibrium pressure and elastic moduli of two-dimensional charge stabilized colloidal crystal with hexagonal lattice are found by means of numerical experiment based on the Poisson — Boltzmann equation. The stress-strain relations are employed for determination of the elastic properties. Results for a broad range of values of the lattice parameter are discussed. Significant role of many-body effective interactions in the crystal is noted.
Keywords: colloidal crystal, elastic modulus, Poisson — Boltzmann equation, many-body effective interaction, Cauchy relation
References
1. Joannopoulos J.D., Villeneuve P.R., Fan S.H. Photonic crystal sputting a new twist on light. Nature, 1997, vol. 386, pp. 143-149.
2. Gorelik VS. Optika globulyarnykh fotonnykh kristallov [Optics of globular photonic crystals.]. Kvantovaya el-ektronika [Quantum Electronics], 2007, vol. 37, no. 5, pp. 409-432. (In Russ.).
3. Gorelik VS., Kudryavtseva A.D., Tareeva M.V., Chernega N.V. Trekhmernye fotonnye kristally — novye mate-rialy dlya nelineynoy optiki [Three-dimensional photonic crystals - new materials for nonlinear optics]. Opticheskie metody issledovanija potokov [Optical methods of research streams. Proceedings of the tenth anniversary of the international scientific-technical conference]. Moscow, 2009. Pp. 42-45. (In Russ.).
4. Deryagin B.V, Landau L.D. Teoriya ustoychivosti sil'no zaryazhennykh liofobnykh zoley i slipaniya sil'no zaryazhen-nykh chastits v rastvorakh elektrolitov [Theory of stability strongly charged lyophobic sols and strong adhesion of charged particles in electrolyte solutions]. Zhurnal eksperimental'noy i teoreticheskoy fiziki [Journal of Experimental and Theoretical Physics], 1941, vol. 11, no. 2, pp. 802-821. (In Russ.).
5. Deryagin B.V, Churaev N.V., Muller V.M. Poverkhnostnye sily [Surface Forces]. Moscow, Nauka Publ., 1985. 399 p. (In Russ.).
6. Belloni L. Colloidal interaction. Journal of Physics: Condensed Matter, 2000, vol. 12, pp. R549-R587.
7. Barron T.H.K. Second-order elastic constants of a solid under stress. Proceedings of the Physical Society, 1965, vol. 85, pp. 523-532.
8. Dyshlovenko P.E. Tenzor osmoticheskogo napryazheniya v elektricheski stabilizirovannykh kolloidnykh kris-tallakh [Osmotic stress tensor in electrical stabilized colloidal crystals]. Kolloidnyy zhurnal [Colloid Journal], 2010, vol. 72, no. 5, pp. 620-626. (In Russ.).
9. Voevodin Vl.V., Zhumatiy S.A., Sobolev S.I., Antonov A.S., Bryzgalov P.A., Nikitenko D.A., Stefanov K.S., Voevodin Vad.V. Praktika superkomp'yutera «Lomonosov» [Practice of Using the Lomonosov Supercomputer]. Otkrytye sistemy [Open Systems Journal], 2012, no. 7. Available at: http://www.osp.ru/os/2012/07/13017641. (In Russ.).
10. Gladkova E.V, Dyshlovenko P.E., Chernyat'ev D.V. Uprugie postoyannye dvumernogo elektricheski stabi-lizirovannogo kolloidnogo kristalla s kvadratnoy reshetkoy [The elastic constants of two-dimensional electrically stable colloidal crystal with a square lattice vector science TSU]. Vektor nauki TGU [Vector science TSU], 2013, vol. 23, no. 1, pp. 23-26. (In Russ.).
Submitted 20 August 2015 Resubmitted 14 October 2015
