УПРОЩЁННАЯ ФОРМУЛА СУММИРОВАНИЯ ДИСКРЕТНЫХ ЗНАЧЕНИЙ НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

2024

Вычислительные методы в дискретной математике

№ 64

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ МЕТОДЫ В ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

УДК 519.651

DOI 10.17223/20710410/64/7

УПРОЩЁННАЯ ФОРМУЛА СУММИРОВАНИЯ ДИСКРЕТНЫХ ЗНАЧЕНИЙ НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИЙ

В. Р. Осипов г. Москва, Россия E-mail: [email protected]

Получен упрощённый вариант формулы суммирования Эйлера — Маклорена

где у0 = а — Н/2; ут = а + (т + 1/2)Н. Формула включает в себя интегральную оценку суммы дискретных отсчётов функции и поправку к ней в виде суммы ряда весовых граничных значений её нечётных производных. Упрощением является исключение из результата суммирования полусуммы граничных значений функции и достигается путём смещения Нт отсчётов внутрь отрезков интегрирования. Доказывается, что оптимальным является смещение каждого отсчёта в середину отрезка т = 1/2. Это смещение задаёт пределы интегральной оценки уо, ут и значения весовых коэффициентов производных поправочного ряда. Найдено аналитическое выражение этих коэффициентов и их производящая функция

где В2к — числа Бернулли. На примерах получения точных выражений сумм

тт

кп, а^к, где т,п — целые положительные числа, показана справедливость

к= 1 к=ко

полученной формулы и производящей функции её коэффициентов. Формула была использована для получения приближённых выражений для дзета-функции Римана, пси-функции, полигамма функций, а также сумм бесконечных обратно-степенных рядов и гармонического ряда. На основании анализа погрешности этих выражений показаны преимущества упрощённой формулы перед формулой Эйлера— Маклорена в точности и краткости.

1 - 21-2к bk = B2k, % (Í) = 1

Ключевые слова: сумма, ряд, коэффициент, производящая функция, число Бернулли, поправка, погрешность.

SIMPLIFIED FORMULA FOR SUMMING DISCRETE VALUES

OF SOME FUNCTIONS

V, E, Osipov

Moscow, Russia

The simplified variant of Euler — Maclaurin summation formula is obtained:

Ут

m^b 1 Г

£/(a + kh) = - / (y) dy h2k—1bk(/(2fc-1)(ym) - / (2fc-1)(yo)), k=0 h J k

yo

where y0 = a — h/2, ym = a + (m + 1/2)h. The formula includes an integrated estimation of the sum of function discrete samples and the correction to it in the form of the series sum of weight boundary values of its odd derivatives. Simplification is the exception a half-sum of boundary function values from summing result and is reached by shiftihg hr samples inside the integrated segments. The optimal value of this shift for each sample to the middle of the segment r = 1/2 is proven. This shift specifies integrated estimation limits y0, ym, and values of correction series weighting coefficients. The analytical expression of these coefficients and their generating function

1 — 2i—2k t t ro

have been found: bk = —^— B2k, ^b(t) = 1 — - cosech- = E bkt2k, where B2k

(2k)! 2 2 k=1 are Bernoulli numbers. Using examples of obtaining exact expressions for the sums

mm

E kn, E ahk, where m,n e n, the validity of the resulting formula and the genera-

k=1 k=ko

ting function of its coefficients is shown. The formula was used to obtain approximate expressions for the Riemann zeta function, psi function, polygamma function, as well as sums of infinite inverse power series and harmonic series. Based on an analysis of the error of these expressions, the advantages of the simplified formula over the Euler — Maclaurin formula in terms of accuracy and brevity are shown.

Keywords: sum, row, coefficient, generating function, Bernoulli's number, correction, error.

Введение

Решения задач прикладной математики и асимптотические оценки некоторых специальных функций иногда сводятся к результату в виде суммы параметрического функционального ряда

m

Sm(a, h)=E f (a + kh), (1)

k=0

гДе f (y) - функция члена ряда, суммируемая в узлах равномерной сетки.

Сумму (1) можно оценить определённым интегралом от функционального члена в пределах значений k при условии его существования. Фундаментальной основой такого способа является формула суммирования Эйлера — Маклорена, Приведём вариант этой формулы из авторитетного справочника [1, (23,1,30)]:

m 1 Гb 1 n—1 h2k—1

ЕF(a+kh) = h F(t)dt+-(F(a)+F(b))+ E ^^k(F(2k—1)(b) — F(2k—1)(a)) +

k—0 J a k—1 V /* /o'N

h2n m—1 b — П

• • • + 72^7B2n E F(2n)(a + kh + вh), h = —^

(2n)! k=ko m

где B2k, B2n — числа Бернулли,

Формула (2) связывает результат суммирования (т +1) значений (отсчётов) функции с интегралом от этой функции в заданных пределах и содержит, кроме него, полусумму крайних значений и поправочный ряд с остаточным н-м членом.

Целью работы является уточнение интегральной оценки и упрощение формулы суммирования за счёт избавления её от потенциально сравнимого с конечным результатом значения полусуммы,

1. Вывод упрощённой формулы суммирования

Для монотонных на интервале функций поставленную цель можно достигнуть, используя теорему о среднем значении на основе её утверждения о равенстве определённого интеграла на этом интервале значению функции в его промежуточной точке, умноженной на длину отрезка. При этом для разных интервалов смещение промежуточной точки относительно границ будет неодинаковым, зависящим от самой функции, Для одинакового значения этого положения внутри всех интервалов его следует оптимизировать с целью минимизации погрешности интегральной оценки,

1,1, Оптимизация положения функциональных отсчетов

внутри интервалов Представим непрерывную функцию ряда (1) как функцию дискретных значений (отсчётов) целочисленного аргумента, помещённых внутрь (т — к0 + 1) единичных интервалов. Представим результат суммирования этих отсчётов в виде разности интегральной оценки по всем интервалам и суммы дискретных поправок для каждого единичного интервала:

т+1 —г

т Г т

Е /(к) = /(к) ¿к — Е (Ф(к + 1 — г) — ф(к — г)), (3)

к=ко к=ко

ко—г

где ф(у) —функция поправки; г < 1—одинаковое для всех интервалов смещение от их нижних границ.

Найдём значение дискретной поправки к интегральной оценке на единичном интервале:

к+1—г

Дф(к, г) = ф(к + 1 — г) — ф(к — г)= У /(к) ¿к — /(к). (4)

к—г

Потребуем от подынтегральной функции, чтобы она была аналитической в пределах каждого из единичных интервалов, и представим её в виде разложения в степенной ряд Маклорена с радиусом сходимости г < 1:

е /(п) (к)

/(к + *) = /(к)+ Е ^н-1 ^.

п=1 н!

Подставим это разложение в (4) и получим выражение для поправки в виде ряда

к+1—г

Дф(к,г)= / /(к) + Е ¿-НША ¿1—/(к)= Е ((1—г)п+1 — (—г)п+1). (5)

3 \ п=1 н! / п=1(н + 1)!

к—г

Проанализируем значение общего множителя этих поправок 9п (г) = (1 — г)п+1 — — (—г)п+1, для чего исследуем производную квадрата этой зависимости:

(0п(г)2У = 2(н + 1) ((1 — г)п+1 — (—г)п+1) ((1 — г)п — (—г)п).

Легко видеть, что при г = 1/2 эта производная для любого п равна 0, что еоответ-ствует минимуму значения зависимости. При этом 6^(1/2) = 0 для всех нечётных п, 6^(1/2) = (1/2)п для всех чётных п, а при г = 0 или 1 для любых п имеет максимальное значение (г)| = 1, Таким образом, значение г =1/2 обеспечивает минимизацию общего множителя, а также способствует сокращению числа членов разложения (5) за счёт исключения из него членов с нечётными индексами и обеспечивает сокращение радиуса его сходимости, С этой точки зрения, полагая оптимальным положение дискретного отсчёта г = 1/2 в середине единичного интервала, подставим это значение в (5) и произведя замену п ^ 2п, получим

^ / (2га) (к)

Дф(к, 1/2) = ф(к + 1/2) - ф(к - 1/2) = Е 22^{2п . (6)

1,2, Определение аналитического выражения

функции поправки Очевидно, что функция поправки ф(у) должна быть связана с суммируемой функцией / (у), Представим эту связь в виде функционального ряда

те

Ф(У) = Е Ьг/(г)(у), (7)

1=0

где Ьг — весовые коэффициенты пропзводных / (г)(у). Тогда функциональное выражение для дискретной поправки примет вид

те

Ф(к + 1/2) - ф(к - 1/2) = Е Ьг /(г)(к + 1/2) - /(г) (к - 1/2)). (8)

г=о

Представим граничные значения производных в (8) в виде степенного ряда, используя формулы производных функции /(у):

/(г)(к ± 1/2)= £/^~"Т(к)(±1/2)9. 9=0 д!

Подставим эти разложения в (8) и приравняем результат подстановки к правой части (6):

те те /(1+9) (к) те /(2™) (к)

Е\?о^((1/2)9- (-1/2)9) = Е^

Ьг

функции является индексное равенство / + д = 2п, Поскольку п ^ 1 то / + д ^ 2, При этом выражение (1/2)9 - (-1/2)9 = 2/29 имеет ненулевое значение только для нечётных д, следовательно, индекс / также должен быть нечётным, а функция поправки (7) может быть представлена, как и в формуле Эйлера —Маклорена, функциональным рядом только с нечётными производными:

Ф(У) = Е Ьг/(2г-1)(у). (Ю)

г=1

Составим для преобразованных индексов новое уравнение 2? - 1 + 2/ - 1 = 2п, Решив его относительно д, получим условие д = п - / + 1, ограничивающее число значений

индекса / числом н. Подставим преобразованные значения индексов в (9) и приравняем

н

™ / (2п)(к)(1/2)2п—21 /(2п) (к)

¿=Г (2н — 2/ + 1)! 22п(2н + 1)!'

Сокращая в правой и левой части отношение /(2п)(к)/22п, получаем независимую от суммируемой функции систему уравнений

п С 1

Г-С-=-1-, (11)

¿1 (2н — 2/ + 1)! (2н + 1)!, 1 ;

где с = 221 Ь, Последовательно задавая значения / = 1, 2, 3..., вычисляем Ь = —, 7 31

5760' 967680' "'

Для получения общего выражения для коэффициентов Ь найдём производящие функции коэффициентов степенных рядов правой и левой части (11). Для коэффи-

е ¿2п—1

циентов правой части используем разложение вЬ £ = Е ^-^ур Вычитаем из него

первый член, в результате имеем

е ¿2п+1

* (— г = Е ёНТЦг (12)

Производящую функцию левой части, ввиду присутствия в ней двух индексов, представим в виде произведения функций п(£)Фс(£) с нулевым значением при £ = 0 и приравняем результат произведения их разложений в степенные ряды ряду (12):

Е П(?)(0) Е ЕЕ П(?)(0) Е £-2п+1

Е^Еф<°(0)г1 = Е Е(0)^^ = Е т^—т.. (13)

д=1 ?! г=1 9=11=1 ?! п=1 (2н +1)!

Сгруппируем члены ряда левой части (13) со степенью £ в соответствии с уравнением ? + / = 2н + 1. Решив уравнение относительно получим ? = 2н — / + 1. Приравняем члены рядов правой и левой части (13) с одинаковой степенью Сократив в них £2п+1, получим

2п п(2п—1+1) (0) 1

у ф(0(0)^-(0) =-1-.

¿1е ( )(2н — / + 1)! (2н +1)!

Очевидно, что условиями идентичности этого выражения с (11) являются чётное значение индекса /, независимость от индекса н значения производных п(2п—21+1)(0) = С и равенство ф(21)(0) = с/С, где С — константа. Таким образом, индекс ? должен быть нечётным числом и разложение функции п(£) является рядом Маклорена из нечётных степеней £ с постоянным значением при £ = 0 и пулевых значениях чётных производных. Этим требованиям соответствует разложение вЬ в котором С = 1. Отсюда следует равенство ф(21)(0) = с, и го (12) и (13) получаем у равнение вЬ £ Фс(£) = вЬ £ — решив которое, получим производящую функцию для коэффициентов с из (11):

Е

фс(£) = Е С£21 = 1 — £ совесЬ(14) 1=1

Далее, воспользовавшись разложением в степенной ряд [1, (4,5,65)]

1 * 7 3 31 5 2(22п-1 - 1)В2п 2п

С08ееЬ* = 1 - 6 + 360- 15120+ ■ ■ ■ - ( (2п)! * + ■ ■ ■ <

где В2га —числа Бернулли, получим из (14)

Фе(*) = 1 - t

1 _ I + ,3 _ _ 2(221-1 - 1)В21 .21-1 + 1 _ те 2(221-1 - 1)^2^21 г 6 + 360 ... (2/)! +...

У^ "У"_ / 2ь ,2

1=1 (2/)! г

Очевидно, что общий коэффициент этого ряда является коэффициентом с разложения в степенной ряд (14), Подставив его выражение в соотношение между коэффициентами из (11), получим

Ь1 = 2-21 с 1 = 2-212(22-1 - 1)521 = I-!-1в (15)

1 1 (2/)! (2/)! 21' 1 ;

или, более кратко, па основании соотношения Вп(1/2) = -(1 - 21-га)Вга [1, (23,1,21)]

52(1/2)

Ь = -:

(2/)!

Для достаточно больших / > 3 формулу (15) можно упростить, используя ограничения для чисел Бернулли [1, (23,1,15)]:

2(2п)! 1 > (_1)Я+1д > 2(2п)!

(2п)2™ 1 - 21-2™ > ( ) 2п > (2п)2™.

Согласно соотношению между Ь и В21 в (15), изменив обозначение /на п, умножим

1 _ 21-2™

обе части этого неравенства на —-— —, В результате получим

(2п)!

22

> (-1)п+1Ь™ >7^(1 - 21-2п).

(2п)2п ' (2п)2п

п

2(-1)п+1 "(2Л)

Ь™ - (16)

Из соотношения между коэффициентами си Ь1 нетрудно получить производящую функцию для коэффициентов Ь1, Для этого воспользуемся преобразованием

те те с те / + \ 21 //

фь(г) =ЕЬ1 г21 = Ег21 = Ес (2) = 2

Отсюда из (14) окончательно получаем

оо

г , г _ г е*/2

Фь(г) = ЕЬ1г21 = 1 — совесЬ - = 1 - --. (17)

1=1

2 2 е*-1

Подставив в (10) выражение для весовых коэффицентов Ь1 (15), получим аналитическое выражение для функции поправки:

те 1 _ 21-21

Ф(У) = Е ^т" 521 / (21-1)(у). (18)

Представление функции поправки рядом из нечётных производных не противоречит представлению дискретной поправки (6) рядом высших чётных производных, так как последняя является разностью между граничными значениями функции поправки в единичном интервале.

Просуммируем дискретные поправки в (3), учитывая взаимное уничтожение их крайних значений на границе соседних интервалов —ф((к+1) —1/2) + ф(к+1/2) = 0, и получим поправку к интегральной оценке в виде разности граничных значений функции ф(у):

т

Е (Ф(к + 1/2) — ф(к — 1/2)) = ф(т + 1/2) — ф(ко — 1/2).

к=ко

1,3, Аналитическое выражение упрощённой формулы суммирования Результатом оптимизации положения дискретных отсчётов суммируемой функции в середине единичных интервалов г = 1/2 является определение как коэффициентов (15), так и границ интегральной оценки. Используя это значение и аналитическое выражение функции поправки (18), приведём формулу суммирования дискретных значений функций от целочисленного аргумента (3) к виду

т+1/2

т Г 1 _ 21-2&

Е /(к) = J /(у)^у — Е ^(/(2к—V +1/2) — /(2*-1)(ко — 1/2)), (19)

ко —1/2

где к = 1, 2, 3,...; В2к — числа Бернулли,

Общее выражение для формулы суммирования, сходное по виду с формулой Эйлера — Маклорена (2), можно получить, раскрывая параметрическую зависимость аргумента ук = а + к1, где а = а° + к°1:

а,+тЛ+Ь,/2

т1

Е/(а + к1) = 1 / / (у) ¿у — ...

к=° 1 Л/2 (20)

п— 1 1 _ 21-2&

— Е12'-1 — В2к (/(2к—^(а + т1 + 1/2) — у(2к—^(а — 1/2)) + Я. к (2к)!

Для монотонных функций, поскольку все производные нечётного порядка /(2к—1) (у) не меняют знак, поправочный ряд в формулах (2) и (20) является знакопеременным, так как числа Бернулли поочерёдно меняют знак в соответствии с равенством В2к = (—1)к—1|В2к| [2, (9,611)], Если при этом последний член этих рядов при неограниченном росте его индекса стремится к нулю, то, согласно признаку сходимости Лейбница знакопеременного ряда с монотонно убывающими членами, абсолютное значение остатка его суммирования не превышает абсолютного значения первого отбрасываемого в (20) члена |Яп| ^ |Ап| [2, (0,227)], где Ап = = 12п—1 Ьп (/(2п—1)(а + т1 + 1/2) — у(2п—1) (а — 1/2)), В остальных случаях без исследования остатка суммирования поправочного ряда Яп знак равенства в формулах (19) и (20) является условным. Однако если производные а) /(2п+2)(у) и б) /(2п+4)(у) не меняют знак на всём интервале интегрирования, то, согласно свойствам поправочного

ряда формулы Эйлера — Маклорена, |Яп| = в|Ап|, где в < 2 в случае (а) и в < 1 в слу-

+

можно применить в упрощённых формулах (19) и (20), используя сходство последней

с (2), а также мажорирующее значение коэффициентов в (2) к коэффициентам Ьк в (20), Их отношение 1/(1 - 21-2к) больше 1 и стремится к 1 при к ^ го, При этом первый коэффициент поправочного ряда в (20) вдвое меньше первого коэффициента формулы (2), что может быть существенным для приближённых оценок.

Таким образом, при сформулированных ограничениях для функции остаток суммирования поправочного ряда в (20) можно оценить выражением

К| = в |Ь^2П-1 (/(2П-1) (Ут) - /(2П-1)М) | , (21)

где Ьп — коэффициент поправочного ряда (15); в < 2 при однозначности производной /(2п+2)(у) на всём интервале [у0,ут] и в < 1 при дополнительной однозначности производной /(2п+4)(у).

Замечание 1. В случае равенств /(к0) = 0 в (19) или /(а) = 0 в (20), не влияющих на значения итоговых сумм, использование приведённых в формулах нижних границ приведёт к ошибке. Для определения границ упрощённой формулы следует использовать только крайние значащие отсчёты суммируемой функции,

2. Применение упрощённой формулы для решения прикладных задач

Подтвердим справедливость полученной формулы и получим на её основе новые приближённые формулы,

2,1, Получение точных аналитических выражений Найденную упрощённую формулу можно проверить, не прибегая к вычислениям, на примерах получения с её помощью точных аналитических выражений. Очевидно, что точное аналитическое выражение можно получить для функций с конечным числом членов поправочного ряда, то есть функций с ограниченным числом производных. Такой является, например, степенная функция /(к) = (а + кЛ,)п с целочисленным по-п>0

п

нов поправочного ряда, входящих в выражение, равно п/2 для чётного п и (п +1)/2 - 1 для нечётного,

к0 = 1

ных степенных рядов и сравним результаты суммирования с известными [2, (0,121)]:

к

к=1

п+1/2 1

к ^к = -

к2

к=1

п

Е к3 к=1

1/2

п+2)3 - (2

п п) -(1

п+2) Ч2

1

24

21 п+2)- 2

п(п + 1) 2 ,

п(п + 1)(2п + 1)

1 / 1\2 3

24 3 п + 2] - 22

6

п(п + 1) 2

2

2

3

4

п

Ь1

при производных поправочного ряда,

Ь1

примере суммирования членов геометрической прогрессии [2, (0,112)]:

т ле(т+1) _ 1

£ ^ = а

к=0

1

Применим для суммы значений функции формулу (20), преобразовав её к виду = е^, где к = с 1пИнтегрируя в (20) преобразованную функцию при а = 0,

получаем

m

£ е^ = (1/к)(е^т+1/2) - е-^2) - ф(к(т + 1/2)) + ф(-к/2), к=0

где ф(ку)— функция поправки. Использовав равенство функции поправки ряду (10) и выражение для производящей функции (17) при £ = к, приведём её к виду

те 1 те 1

ф(ку) = е^ ЕЬгк21-1 = еЛу -£Ьк21 = еЛу -Фь(к). 1=1 кг=1 к

Таким образом, формулу искомой суммы можно определить, применяя выражение для производящей функции коэффициентов Ь^:

m

eh(m+l/2) _ e-h/2 gh(m+l/2) _g-h/2 eh(m+1/2) _ g-h/2

k=0 e =-h---h-*'<h) =-h-(1 —

h е^/2

С помощью формулы (17) приведём выражение в скобках к виду 1 — Фь (h) = —- и

eh — 1

подставим этот результат в предыдущее выражение. После несложных преобразований, используя подстановку h = c ln d, окончательно получаем

m eh(m+1/2) _ e-h/2 h eh/2 eh(m+1) _ 1 dc(m+1) — 1

V ehk =--= - = -

k=o h eh —1 eh —1 dc — 1 '

Этот результат совпадает с выражением для суммы геометрической прогрессии, что доказывает справедливость найденного выражения для производящей функции весовых коэффициентов поправочного ряда,

С помощью производящей функции можно получить точные суммы линейных комбинаций показательной функции, например гиперболических функций sh (hk), ch (hk), 2,2, Общее выражение приближённых формул суммирования

и их погрешность Вычисление с помощью полученных формул приблизительных числовых значений сумм ограниченных функциональных рядов с заданными параметрами не имеет смысла, поскольку можно получить практически точный результат, используя компьютер, Приближённые аналитические выражения могут потребоваться для установления упрощённой функциональной связи результата суммирования с его параметрами, а также для получения его числовой оценки с требуемой точностью при неограниченном числе членов суммируемого ряда. Эти приближения неизбежны в случае бесконечного числа членов поправочного ряда в формулах (19) и (20) и ограничение их числа приведёт к погрешности итогового результата формул, равной остатку его суммирования. Из-за возможного большого различия граничных значений производных в формулах (19) и (20) целесообразно разделить поправочный ряд на два, с верхним и нижним значениями производных и разным количеством учитываемых членов с соответствующим остатком.

Разделяя ряд, представим формулу (20) в виде

m ___

Е/(Ук) = Sqm( / (y)) — ^J (Ут) + ф/ (yq) + Aj (Ут) — А/ (y,).

fc=0

Здесь приближённая интегральная оценка

Ут

- 4 1С

/(у)) = £ /(у*) + -Г /(у) ¿у; (22)

к=0 Г ./

Уч

фJ(ут), ф/(у?) _ поправка к оценке, представленная ограниченными рядами поправочной функции (18):

ф/(у?) = Е 6/(2г-1)(у9), фJ(Ут) = £ 6,-/(2^-1)(ут); (23)

г=1 ¿=1

А/(у?), AJ(ут) — погрешности интегральной оценки, равные остаткам суммирования рядов (23), взятым с противоположным знаком, у? = а + (д + 1/2) Г где д определяет вклад значения А/(у?) в погрешность интегральной оценки. Задавая граничные индексы =1, 2, 3,... и раскрывая числовые значения коэффициентов +1 из (15), эти погрешности можно представить виде

_А ( ) = / -/'(У?) _ 7Г3/ '"(Уд) 31Г5/у (уд) 1

А/ (У?24 , 5760 , 967680 ,"'/ ; [ }

А( )= Г Г/'(Ут) _ 7Г3/'''(Ут) 31Г5/У (Ут) 1 AJ (Ут)=| 24 , 5760 , 967680 ,"'/' { }

Значений погрешностей (24) и (25) интегральной оценки недостаточно для определения её точности, О ней можно судить, лишь вычислив относительную погрешность. При численно неопределённых параметрах суммирования эту погрешность можно определить приблизительно:

?-(/,/) * А(Ут) - А(У?). (26) 9 ( , ) (у))

В случаях известного результата суммирования относительную погрешность приближённой интегральной оценки можно определить с любой точностью:

зт(/(у))

)= I ^ П - 1. (27)

Е / (Ук)

к=0

2,3, Суммирование дискретных значений функции /(у) = у-р Очевидно, что при бесконечном числе отсчётов функции у-р сумма существует только для р > 1, В остальных случаях при проведении оценки следует ограничивать число отсчётов.

Исследуем сходимость поправочного ряда, для чего найдём предел отношения зна-

- ' , 6*-н/(2к+1)(у) ••

ченпн соседних его членов ак = ——, , . Общее выражение для нечетных про/ (2к-1)(у)

изводпых этой функции можно привести к виду

/ 1 \ Р+2к-1 2к-1

/(2к-1)(у) = - - П(р +1 - 1). (28)

ЧУ/ ¿=1

Отсюда, задавая k = 1, 2, 3,... и используя выражения для коэффициентов (15) и (16), получаем

Г (1+ p)(2 + p) (3+ p)(4 + p) (5+ p)(6 + p) (p + 2k - 1)(p + 2k) |k 1 = \ 34,2857y2 , 37,9355y2 , 39,0551y2 39,4784y2

Из выражения k-го члена этой последовательное!и следует lim |dk | = то, что прокате

тнворечпт признаку сходимости Даламбера lim |dk| < 1 [2, (0.222)]. Это означает,

что поправочный ряд расходится для любых y < то, Поскольку все нечётные производные (28) отрицательны, поправочный ряд на их основе является знакопеременным из-за противоположности знаков его соседних членов. При этом все чётные производные имеют положительный знак во всём интервале [y0,ym]. Отсюда, согласно (21), погрешность можно оценить первым отбрасываемым членом функции поправки при 9 < 1.

Из выражения для производной (28) видно, что погрешность оценки А/(yq) тем

yo

y0 < 1, целесообразно просуммировать в соответствии с (22) начальные члены с yk < 1 с целью установления нижней границы yq > 1. Если число суммируемых отсчётов ограничено, а параметры a, h в (20) столь малы, что приводят к значительному количеству членов начальной суммы с yk < 1, формулу (20) можно свести к оценке суммы отсчётов функции от целочисленного аргумента путём умножения каждого отсчёта на hp и деления результата суммпрования на hp+m+i при a > 0 и на hp+m при a = 0. p = 1

— q 1 1

Sm(y-p) = £y-p + Т-ТТТ-Т - (-TT-p-T, (29)

fc=o (p - 1) y? (p - 1) ym

где yq = a + (q + 1/2)h; ym = a + (m + 1/2)h; оценка по формуле Эйлера — Маклорена равна

q 11 1

SEM (y-p) = £y-p + 2-p + ( 1) p-i - ( 1) p-i, (30)

fc=0 2yq (p - 1)yp (p - 1)ym

где yq = a + (q + 1)h; ym = a + mh.

Для численных расчётов с заданными параметрами p, a, h, m значение q определяется заданной погрешностью, а начальную сумму можно рассчитать на компьютере при практически неограниченном числе её членов. Тогда без учёта поправки ожидаемая погрешность в соответствии с (21) будет определяться первым членом поправочных рядов (23): для упрощённой оценки

Ai(yq,m) = ^тт+т; (31)

для формулы Эйлера — Маклорена

Aem(- ) = _Р_

Ai ^qw = 1 0 p+i •

12y

q,m

Поскольку Д^) ^ 0 при т ^ то, увеличивая число членов начальной суммы q, можно обеспечить любую точность численной интегральной оценки.

Sm (k-1) = Cq + ln(m + 1/2), где Cq = Et - ln(q +1/2).

m

Суммирование гармонического ряда Sm(k-1) = E k-1

fc=i

Этот ряд является расходящимся, поэтому число отсчётов m должно быть ограниченным, Известный ещё в начале прошлого века результат суммирования имеет вид [2, (0.131)]

n 1 1 те A

Е1 = C + ln(n) + - - Е ( +1) k + , 1), (32)

k=1 k 2n k=2 n(n + 1)... (n + k — 1)

где C = 7 —постоянная Эйлера; A2 = A3 = 1/12 A4 = 19/80; A5 = 9/20, .,.

Представим в соответствии с (22) приближённую интегральную оценку этого ряда в виде

q1 Е1 fc=ik

Задавая значения q = 1, 2, 3, 4,..., получим Cq ~ 0,594535, 0,583709, 0,58057,0,579256, 0,577593,... При дальнейшем увеличении q получим, согласно [1, (6.1.3)], lim Cq = 7,

д^те

где 7 = 0,577 215 664 901 532 5 ... — постоянная Эйлера.

Очевидно, что для такой оценки поправка ф/(yq) = 0 и погрешность А/(yq) = 0. Отсюда, согласно (19), используя при p = 1 выражение для производной (28) f (2k-1)(y) = = —y-2k(2k — 1)!, представим упрощённую формулу суммирования гармонического ряда в виде

те (1 _ 21-2k)В

Sm Г1) = 7 + ln<m +1/2)+ Е 2^+1/2)^ • ^

Аналогичным способом можно получить из (2) формулу

1 те В

<k-1»=7+ln m+2m— £ <34>

Отметим, что интегральные оценки формул (32) и (34) совпадают, причём и первые члены поправочного ряда при больших m, n практически равны. Получим из (33) и (34) приближённые выражения, удерживая в них не более двух членов, зависящих

m

Sm (k-1) = 7 + ln(m +1/2); (35)

555 (k-1) = 7 + ln(m +1/2) + 24(m +1/2)2; (36)

1 2m

^м (k-1) = 7 + ln(m) + —. (37)

Взятый с обратным знаком третий член формулы (36), в соответствии с (21), определяет приближённую погрешность формулы (35) Д1 (т) =---.-

24(т + 1/2)2

Найдём, согласно (26) и (27), относительные погрешности приближённых формул (35)-(37) и сравним их между собой:

?°1(m)=, Mm)=^ — 1, in(m)=— 1, ¿em(m)=— 1.

^(k-1) ^k-1 Ek-1 Ek-1

fc=1 fc=1 fc=1

Результаты вычислений этих погрешностей приведены в табл. 1.

Таблица 1 Относительные погрешности интегральных оценок сумм гармонического ряда

т 3 10 100 1000

¿Ем(т) 5•10-3 2,84 • 10-4 1,61 • 10-6 1,11 • 10-8

¿10 (т) -1,86 • 10-3 -1,29 • 10-4 -7,95 • 10-7 -5,56 • 10-9

¿1о(т) -1,83 • 10-3 -1,29 • 10-4 -7,95 • 10-7 -5,56 • 10-9

¿11 (т) 2,55 • 10-5 2,04 • 10-7 1,38 • 10-11 8,88 • 10-16

Сравнив табличные результаты, можно сделать следующие выводы:

— все приближённые формулы (35)-(37) обеспечивают хорошую точность суммирования даже для малых значений ш;

— приближённая ¿10(ш) и реальная Д10(ш) погрешности формулы (35) практически совпадают;

ш

ном, более чем в 2 раза точнее формулы (37), полученной из формулы Эйлера — Маклорена и представленной двумя такими членами;

ш

несколько порядков точнее формул (35) и (37),

Численные расчёты, сумм бесконечных рядов к-р с показателем, степени р > 1 Формулы для этих расчётов можно получить из выражений (29)—(31), задавая параметры а = 0 К = 0 иш = то:

5 (к-р)= £ к-р + 9

1

(р - 1)(ц + 1/2)р-1; 11

сЕМ(к-Р) = у^ к-р +___к

5 (к ) ¿Т +2(д +1)р + (р - 1)(ц + 1)р-1'

р

Д19 (к-р) = -

24(д + 1/2)р+г

(38)

(39)

(40)

Формула (40) задаёт приближённую погрешность формулы (38), зависящую от количества членов начального ряда ц, Задавая q.J можно сколько угодно уменьшать эту погрешность, однако её использование в качестве реальной следует проверить. Реальную погрешность можно вычислить, применяя известные точные значения сумм

р

51°°(к-р) = £ к

„—2га

к=1

22га-1^2™

(2п)!

|В2га|

Используя значения этих сумм, можно вычислить реальную погрешность (27) формулы (38) и сравнить её с относительной погрешностью (26) и с реальной погрешностью формулы (39), полученной из формулы Эйлера — Маклорена (2):

™ = (к р) 1 ?р = (к Р) 9 = ^1(к-р) ' 9 = (к-р)

5 ЕМ (к-р)

сЕМ = 9 V >

=

51°(к-Р)

- 1.

На рис, 1 представлены графики десятичного логарифма приближённой относительной погрешности Др вычисления сумм бесконечных рядов к-р по формуле (38)

при р € [1,5,14] и количестве членов начальной суммы д = 10,100,1000, Маркерами отмечены реальные относительные погрешности для чётных значений р = 2,..., 12, Для тех же чётных р в табл. 2 приведены числовые значения реальной погрешности

формулы (38), отношения её приближённой погрешности к реальной = и от-

ношения реальных погрешностей =

^101 ^Р)1

Рис. 1. Относительные погрешности формул суммирования бесконечных рядов к р

Т а б л и ц а 2

Относительные погрешности вычисления сумм бесконечных рядов к-р

с чётным показателем р

ч Формула Значение суммы

п2/6 п4/90 п6/945 п8/9450 п1и/93555 691п12/638512875

р

2 4 6 8 10 12

10 Зр кР кЕМ 4,36 • 10-5 1,00 -0,574 1,20 • 10-6 1,01 -0,629 1,72 • 10-8 1,01 -0,688 2,09 • 10-10 1,02 -0,752 2,35 • 10-12 1,03 -0,821 2,53 • 10-14 1,05 -0,895

100 X кр кЕМ 4,99 • 10-8 1,00 -0,507 1,50 • 10-11 1,00 -0,513 2,37 • 10-15 1,00 -0,518 3,17 • 10-19 1,00 -0,523 3,94 • 10-23 1,00 -0,528 4,68 • 10-27 1,00 -0,533

1000 X кр кЕМ кд 5,06 • 10-11 1,00 -0,501 1,54 • 10-16 1,00 -0,501 2,45 • 10-22 1,00 -0,502 3,30 • 10-28 1,00 -0,502 4,14 • 10-34 1,00 -0,503 4,97 • 10-40 1,00 -0,503

Данные графиков и результаты расчётов позволяют сделать следующие выводы:

— если значение суммы неизвестно, то погрешность её расчёта можно задавать при достаточно большом количестве членов начальной суммы, благодаря практически равным при этом приближённой и реальной погрешностей;

— увеличивая количество членов начальной суммы, можно задавать практически .ню-бую точность результата суммирования;

— формула (38), несмотря па более короткую форму, почти вдвое точнее формулы (39), полученной из формулы Эйлера — Маклорепа,

Приближённые формулы суммирования бесконечных рядов к р при, р > 1 Задачей приближённых формул является упрощение связи результата суммирования с параметрами суммируемой функции. Для создания приближённых формул сумм бесконечных рядов к-р можно использовать формулы (38) и (39) с небольшим количеством членов начальной суммы. Удерживая не более двух таких членов, из них получим:

(38) при ц = 1, без поправки, с приближённой погрешностью Д1о

р

24(3/2)р+1-

^ю (к-р) = 1 +

(Р - 1)(3/2)р

1

(38) при ц = 2, без поправки, с приближённой погрешностью Д20

52о(к-р) = 1 + — + --^ , , ■

1 ; 2р (р - 1)(5/2)р-1

(41)

р

24(5/2)р+1-

(42)

(38) при ц = 1, с первым членом поправки, с приближённой погрешностью Д11 7р(р + 1)(р + 2)

5760(3/2)р+3

5ц(к-р) = 1 +

р

(р - 1)(3/2)р-1 24(3/2)р+1 '

(39) при ц = 1, без поправки, с приближённой погрешностью Де

(43)

р

12 • 2р+1

^ (к-р) = 1 + -+1 +

2р+1 (р - 1)2р-1 '

(44)

По этим формулам, согласно (26), рассчитаны приближённые относительные погрешности, Для их сравнения с реальной погрешностью с помощью (38) и (39)) при ц = 1000 рассчитаны уточнённые суммы и, в соответствии с (27), уточнённые относительные погрешности. Результаты расчётов приведены на рис, 2, где пунктиром показаны приближённые погрешности, сплошной линией — уточнённые.

По результатам проведённых расчётов можно сделать следующие выводы:

— кривые приближённой погрешности имеют сходную с соответствующей уточнённой погрешностью траекторию и находятся в её пределах, что доказывает справедливость формулы (21) для оценки остатка суммирования поправочного ряда;

— наилучшее приближение Д20(р) < 0,3 % даёт формула (42), наихудшее Д10(р) < < 1,7% —самая простая (41);

— формула (43), содержащая поправку, не имеет преимуществ в точности при р > 2,5;

— приближённые погрешности и их близость к уточнённым сильно зависят от коли-

ц

— сравнение погрешностей Д20(р) формулы (42) и Дет (р) формулы Эйлера — Макло-

р

щество упрощённой формулы суммирования.

1

1

1

т

0,025

0,020

0,015

0,010

0,005

0,000

✓ / / ¿10 (р) / ' /—\ / / — ч ч ч ч ч ч ч ч ч

/ ц 1Г ш / ------\ N \ ч ¿ет X \ \ N \ ч (Р) ч ч ч ч ч ч ч

V ✓ ✓ У ✓ ¿11 \ ч X ч (Р) ч ч V ч N V ч ч - ^ ^

✓ , г ✓ ______ I \ ч \ч ¿20 (Р) ^у» ^

0

10

12

Рис. 2. Относительные погрешности приближённых формул суммирования бесконечных рядов к-р

2

4

6

8

Р

2.4. У и р о щ ё н н ы е фор м у л ы и е к о т о р ы х с и е д и а л ь и ы х ф у и к ц и й На конечных и бесконечных суммах обратпоетепеппых числовых рядов основаны выражения и оценки дня некоторых специальных функций.

Приближённое выражение для дзета-функции, Рим,а,на

Классическое представление этой функции в виде ряда Дирихле имеет вид |4, с. 58|

те

С (я) = Е п-*,

п= 1

где я = а + гЬ и ряд сходится к аналитической функции при а > 1,

В п. 2.3 проведён сравнительный анализ приближённых форму:: дня такого ряда в отсутствие мнимого аргумента (Ь = 0). Проверим их справедлив ость при Ь = 0, Дня этого используем формулу (42), содержащую два члена начальной суммы:

^ = 1 + * + (я - 1Ц5/2)- • (45)

и более точную, содержащую поправку к пей:

^ 11 я

= 1 + 2* + (я - 1)(5/2)-1 - 24(5/2)*+1 • (46)

Рис. 3 и 4, где приведены графики зависимости погрешностей абсолютных значений Кго(я)| и |С21(я)| от комплексного аргумента относительно истинного абсолютного значения дзета-функции (з)|, указывают на вполне удовлетворительную (|С20(я)| < 10% для (45) и |С21(я)| < 5% для (46)) точность оценки значений дзета-функции в пределах изменения аргументов |я| € [1,10], ф* € [—п/2, п/2], Приближение я к мнимому значению ^ ±п/2 значительно увеличивает погрешность формул при увеличении

Рис. 3. Относительная погрешность при-ближенншх) абеолютншх) значения дзета-функции (45) на комплексной плоскости

Рис. 4. Относительная погрешность при-ближенншх) абсолютного значения дзета-функции (46) на комплексной плоскости

Приближённые формулы для пси-функции

Дня вывода приближённого выражения пси-функции (или дигамма-функции) из всего многообразия её представлений воспользуемся формулой дня целочисленного аргумента |1, (6.3.2)|

{—7, если п = 1,

-1 ^

—7 +2^ к , если п ^ 2,

к= 1

где 7 — постоянная Эйлера.

В этой формуле присутствует сумма гармонического ряда, дня которого найдены приближённые выражения — простейшее (35) и более точное (36). С их помощью получим следующие приближённые формулы:

<Й>(п) = 1п(п — 1/2); (48)

Й(п) = 1п(п - 1/2) + 24(п -! 1/2)2. («)

Проверим справедливость этих формул для любых действительных п = г > 1/2. На рис. 5 представлены графики этих зависимостей в сравнении с реальным значением пси-функции ^(г). Как видно из графиков, зависимости значительно отклоняются от реальной при г ^ 1/2, поскольку при этом значении аргумента в формулах (48) и (49) возникает неопределённость. От этого недостатка можно избавиться, прибавляя к сумме в (47) член 1/пи вычитая его из итоговой оценки. Модифицированные таким образом формулы (48), (49) при п = г примут вид

1?„(;)=1п(г + 1/2) - 1; (50)

■Мг)=1п(г +1/2) - 1 + 24(- + 1/2)2 • (61)

На рис.6 приведены графики относительной погрешности форму.:: (50), (51) при значениях аргумента 0,01 ^ г ^ 0,5.

Hz) 1,0

0,5

- 0,5 -1,0

1 0 5 2,0 2,5 z 3

% | Ûi 1-г\

..... щ(z) h(z) ........ </b(z)

Рис. 5. Приближённые формулы пеи-функции (48), (49) в сравнении с реальным ее значением

â(z) 0,020

0,010

- 0,005

^ _ _ « J

ôii(z) ^01 (z)

Рис. 6. Относительная погрешность приближенных формул (50), (51) при значениях аргумента г ^ 1/2

Все рассмотренные приближённые зависимости с ростом г асимптотически стремятся к значению 1пг, что соответствует свойствам пси-функции [1, (6.3.18)].

Приблиоюёч 1,1 те формулы, для полигамма-фу1 тций

Полигамма-функцией порядка п является п-я производная пси-функции [1, (6.4.1)]

dn

Дня целого аргумента этих функций существует выражение |1, (6.4.2) ^(т)(п + 1) = (—1)тт!

1 1

-z (m + 1) + 1 + ^^ + ... +

2m+1

n

m+1

(52)

(53)

где ((т + 1) — дзета-функция Римана,

Выражение в квадратных скобках можно преобразовать, используя определение дзета-функции

1 1

-z (m + 1) + 1 + 2^+Т + ... + -^Г1 = km+1 1 = km+1 k=n+1 km+1 '

те 1 n 1

- Ет-ттт + Е-

-

i

Вынося из суммы первый член 1/(п + 1)т+1 и преобразуя аргумент п + 1 ^ п, из (53) получаем

1 те 1 -

+ Е

к=п+1'

(m)(n) = (—1)m-1m!

-m+1 ' к=ПГ1 km+1

Подставляя в это выражение вместо суммы её упрощённую интегральную оценку

Г 11

имеем

г+1/2 km+1 m(n +1/2)'

•Î(m)(n) = (—1)m-1m!

1

+

1

nm+1 m(n + 1/2)m

(54)

Проинтегрировав (54) при т = 1, п = г по г, получим результат 1п(г + 1/2) — 1/г, полностью совпадающий с упрощённой интегральной оценкой пеи-фупкции (50). Вынос члена суммы 1/(п + 1)т+1 понадобился, как в (50), для устранения неопределённости в приближённых выражениях полигамма-функций при г = 1/2.

0,015

0,0

0,005

0,000

1,5

0,2

0,3

0,4

Z 0,5

2,0

Проверим возможность использования приближённых выражений пси-функции (50), (51) для получения выражений полигамма-фупкций, взяв в соответствие с (52) их производные

¿п -

х1 •

(55)

На рис, 7 и 8 приведены графики погрешности производных (55) приближённых выражений пеи-фупкции (50), (51) относительно реальных значений соответствующих полигамма-фупкций. Максимальная относительная погрешность формулы (55) относительно значений полигамма-фупкций дня приближённого выражения пси-функции "0оП)(г) (50) до десятого порядка не превышает 2,5%, для пси-функции ^^(г) (51) — 0,7 %

8 0%) 0,025

0,020

0,015

0,010

0,005

'(2)

0,000

0

г 10

0,007 0,006 0,005 0,004 0,003 0,002 0,001 0,000

2 6

Рис. 7. Относительная погрешность форму- Рис. 8. Относительная погрешность форму-

лы (55) для функции (50)

лы (55) для функции (51)

Заключение

Полученные приближённые аналитические выражения дня дзета-фупкции Римапа, пеи-фупкции, полигамма-фупкций, а также сумм обратно степенных рядов и гармонического ряда демонстрируют непрямой порядок применения упрощённой формулы суммирования. При их выводе были использованы начальное суммирование дня уменьшения погрешности оценки и прибавление дополнительного члена к оцениваемой сумме с вычитанием его из итоговой оценки дня устранения в пей неопределённости. Полученные формулы выявили некоторое преимущество применения упрощённой формулы перед формулой Эйлера — Маклорепа (2) в краткости и погрешности. Этим она оправдывает своё прикладное значение и существование в качестве ещё одного варианта формулы суммирования Эйлера — Маклорепа. Однако, в отличие от последней, она неприменима для оценки интегралов в пределах, совпадающих с позицией граничных отсчётов функций.

ЛИТЕРАТУРА

1. Справочник но специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами / иод ред. М. Абрамовица и И. Стиган. М.: Наука, 1979. 830 с.

2. Градште.йн, И. С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. 4-е изд. М.: Физматгиз, 1963. 1108 с.

3. Фихтеигольц Г. М. Курс дифференциальнслх) и интмральшнх) исчисления. Т. II. 7-е изд. М.: Наука, Физматгиз, 1970. 800 с.

4. Уи-теккер Э. Т., Ватсои Дж. Н. Курс современнох'о анализа. 4.2. Трансцендентные функции. 2-е изд. М.: Физматгиз, 1963. 500 с.

2

4

6

8

2

3

4

5

REFERENCES

1. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs and Mathematical Tables. M. Abramowitz and LA. Stegun (eds.). N.Y., Dover Publ., 1964.

2. Gradshteyn I. S. and Ryzhik I.M. Tablitsv integralov, summ, rvadov i proizvedeniv [Tables of Integrals, Sums, Series, and Products]. Moscow, Fizmatgiz Publ., 1963. 1108p. (in Russian)

3. Fikhtengol'ts G. M. The Fundamentals of Mathematical Analysis. Elsevier Ltd., 1965.

4. Whittaker E. T. and Watson G. N. A Course of Modern Analysis. 4th Ed. Cambridge, Cambridge University Press, 1927.