Оценка постоянной Лебега для точек экстремума многочлена Чебышева Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 24. Выпуск 2.

УДК 517.9 DOI 10.22405/2226-8383-2023-24-2-129-140

Оценка постоянной Лебега для точек экстремума многочлена

Чебышева

О. В. Гермидер, В. Н. Попов

Гермидер Оксана Владимировна — кандидат физико-математических наук, Северный (Арктический) федеральный университет им. М. В. Ломоносова (г. Архангельск). e-mail: [email protected]

Попов Василий Николаевич — доктор физико-математических наук, Северный (Арктический) федеральный университет им. М. В. Ломоносова (г. Архангельск). e-mail: [email protected]

Аннотация

Двусторонняя оценка константы Лебега для интерполяционного процесса по Лагранжу получена с использованием полиномов Чебышева первого рода. В качестве узлов интерполяции выбраны точки экстремумов этих полиномов. Выбор узлов интерполяции обусловлен тем, что при таком подходе константа Лебега на отрезке [-1, 1] при фиксированном числе узлов стремится к своему минимальному значению, а также наблюдается устойчивость к ошибкам округления при приближении функции интерполяционным полиномом. На основе проведенного анализа поведения фундаментальных многочленов Лагранжа при заданном выборе узлов интерполяции выражение для константы Лебега получено в замкнутом аналитическом виде. Двусторонняя оценка константы Лебега представлена в виде конечной суммы усеченного асимптотического знакочередующегося ряда. Найдено оптимальное число членов этого ряда, обеспечивающее его сходимость. Анализ полученных выражений для верхней и нижней границ изменения константы Лебега при заданном числе и расположении узлов интерполяции выполнен с использованием свойств логарифмической производной от гамма-функции Эйлера и дзета-функции Римана. Проведен численный анализ полученных выражений и выполнено их сравнение с аналогичными результатами, имеющимися в открытой печати.

Ключевые слова: многочлены Чебышева первого рода, постоянная Лебега, полиномиальная аппроксимация.

Библиография: 14 названий. Для цитирования:

О. В. Гермидер, В. Н. Попов. Оценка постоянной Лебега для точек экстремума многочлена Чебышева // Чебышевский сборник, 2023, т. 24, вып. 2, с. 129-140.

CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 24. No. 2.

UDC 517.9

DOI 10.22405/2226-8383-2023-24-2-129-140

Estimate of the Lebesgue constant for points of extrema of the Chebyshev polynomial

O. V. Germider, V. N. Popov

Germider Oksana Vladimirovna — candidate of physical and mathematical sciences, Northern (Arctic) Lomonosov Federal University (Arkhangelsk). e-mail: [email protected]

Popov Vasily Nikolaevich — doctor of physical and mathematical sciences, Northern (Arctic) Lomonosov Federal University (Arkhangelsk). e-mail: [email protected]

A two-way estimate of the Lebesgue constant for the Lagrangian interpolation process is obtained by using Chebyshev polynomials of the first kind. The extremum points of these polynomials are selected as interpolation nodes. The choice of interpolation nodes is due to the fact that with this approach, the Lebesgue constant on the segment [-1, 1] tends to its minimum value for a fixed number of nodes, and there is also resistance to rounding errors when the function is approximated by an interpolation polynomial. Based on the analysis of the behavior of the fundamental Lagrange polynomials with a given choice of interpolation nodes, the expression for the Lebesgue constant is obtained in a closed analytical form. The two-way-estimate of the Lebesgue constant is represented as a finite sum of a truncated asymptotic alternating series. The optimal number of terms of this series ensuring its convergence is found. The analysis of the obtained expressions for the upper and lower bounds of the change in the Lebesgue constant for a given number and location of interpolation nodes is performed using the properties of the logarithmic derivative of the Euler gamma function and the Riemann zeta function. Numerical analysis of the obtained expressions is carried out and their comparison with similar results available in the open press is done.

Keywords: Chebyshev polynomials of the first kind, Lebesgue constant, polynomial approximation.

Bibliography: 14 titles. For citation:

0. V. Germider, V. N. Popov, 2023, "Estimate of the Lebesgue constant for points of extrema of the Chebyshev polynomial" , Chebyshevskii sbornik, vol. 24, no. 2, pp. 129-140.

1. Введение

Рассмотрим процесс интерполяции по Лагранжу непрерывной на отрезке [-1,1] функции f = f (х), заданной значениями /0, /i, ..., fn в точках х0, Х\, ..., хп £ [-1, 1]. Определение функции / = f (х) при этом происходит с использованием многочлена в форме Лагранжа [1]

Abstract

'Рп(х) = fkIk (х),

(1)

значения которого совпадают со значениями интерполируемой функции в узлах интерполирования хо, х\, ..., хп. Здесь 1к(х) - фундаментальные многочлены Лагранжа:

п х х

Ш = ТТ--, - = 0,п. (2)

А. А. /у>, _ /у> .

• п хк х 1 3 = 0

0=к

В случае, когда в узлах интерполяции вычислены приближенные значения Д функции / с погрешностью, не превышающей величины 5 > 0: | Д — Д | < 5, то отклонение построенного возмущенного полинома рп(х) от рп(х) не превосходит 5Лп:

|Рп(х) — рп(х)1 < 5Лп. (3)

Здесь Лп - константа Лебега для заданного множества узлов интерполяции Оп = = {хо, хь . ..хп}:

хк = ео^ —- ) , к = 0, п, (5)

Лп,п = шах V" 11к (х) |. (4)

1] ¿0

Представленная работа посвящена вычислению константы Лебега (4) в точках экстремума полинома Чебышева первого рода Тп (х):

'—к\ п )

п

Лебега для интерполяционных задач на отрезке [—1, 1] к своему минимальному значению при п

онным полиномом. Обзор некоторых результатов поведения константы Лебега в зависимости от точек интерполяции, близких к оптимальным, приведен в [2]. Представленная работа является логическим продолжением исследования [3] и позволит получить оценку погрешности построенного в [3] решения модельного кинетического уравнения Больцмана.

2. Представление постоянной Лебега на заданном множестве узлов интерполяции

Введем функцию

п

^п(х) = П(х — х3). (6)

3=0

Базис Лагранжа (2) для Ога запишем в виде

1к(х) = (х — х£1лхь), Ш'п,х(хк) = ^Шп(х) Подставляя (7) в (4), получаем

шп(х)

—к

П

ЛпД = шах У

(х — хк)ш'п Лхк)

к = 0, п. (7)

(8)

В силу единственности существования интерполяционного многочлена Лагранжа на множестве Оп и того факта, что точки (5) являются пулями полинома (х2 — 1)Т^х(х) с коэффи-циетом 2га-1п при ха+1 [4], получаем

I о /л

х2 1

(х) = Ц(х — х3) = т—п^ ,х(х). (9)

3=0

Выполняя преобразование

х = cos t, Xk = cos tk, tk = —, к = 0,n, (10)

n

имеем

sin t sin nt

Un(t) =--, (11)

, ^ I (-n—2-, к = 0,n, , ,

Un(tk ) = < (_ 1)nn (12)

(-¿I-, 0 <k<n.

Подставляя (9) и (12) в (8), получаем

2«-i п п

Лп,п =- max V"" ТТ |ж - Xj|. (13)

' п xe[-i, i] ^ 11

1 ' J к=0 j=0, j=k

Здесь двойной штрих у знака суммы означает, что первое и последнее слагаемое умножается на 1/2. Из задания точек интерполирования (5) видно, что функция Лебега

2«-i п п

Ап,п(*) = —Е''П I* - xj I, (14)

к=0 j=0, j=k

[-1, 1]

чения достаточно рассмотреть отрезок [0, 1]

2„_i п п

Ап,П = ~ ЖХ"П |ж - xj1. (15)

[ , ] fc=0 j=0, j=k

При j = [n/2 + 1] ... n разность x - ж j принимает неотрицательные знач ения. Знак х - Xj при j = 0... [п/2] определяем из условий х - Xj > 0 и к > j. Л этом случае имеем

2„_i п п

Кп = — та* ^'-У П О* - ) (16)

[ , ] к=0 j=0, j=k

где q = 0 для j = [n/2 + 1] ...ми [п arccos^)/ж] < к, иначе q = 1.

Рассматривая х £ [xi, жг+i] (I = 0, [(п - 1)/2]), значение параметра q в выражении (16) определяем следующим образом, а именно, для j = [п/2 + 1] ...ши I < к это значение равно нулю, иначе q = 1. Далее исследуем на максимум функцию Лебега на каждом интервале. Локальные максимумы (16) монотонно возрастают, что соответствует [5] и [6]. Учитывая, что п нечетное, получаем, что точкой максимума функции Лебега (16) на ж £ [0,1] (t £ [0,^]) является х = 0 (t = я/2). Тогда

1 n-i 1

Лп п = , 1 ,. (17)

га,П cos tk I 1 '

В силу того, что cos tk = - cos tn_k > 0 (к = 0, (n - 1)/2), для n> 1 имеем

2 (*_i)/2 1 1 / (n_i)/2 1 \

Лп,п = - E -V -1 =1 (1 + 2 E -V I. (18)

n cos tk n n \ cos tk /

k=0 K \ k=i K J

С использованием элементарных тригонометрических преобразований выражение (18) можно представить в виде [5]

к=1 4 7 к=1 4 7

Разложим функцию (t — к/2) cos 11 ряд Тейлора в окрестности точки п/2. В результате

= — (t — 2)-1+2f <—1)5—('— Г1 ■ <»>

г=1

где В21 ■■■■■■■■■■ числа Бернулли.

Подставляя (20) в (18), получаем

1 4 (п-1)/2

Лп = - + - V (п — 2к)-1 + П1гП, (21)

п —

к=1

( 1)г(1 21-2г)—2г-1В (п-1)/2

** = —4 Е(—1)(1 £ (п — 2к)2'-1. (22)

Оценим каждый член ряда (21). Обозначим

(п-1)/2

^о,п = У (п — 2к)-1. (23)

к=1

Применяя свойство функции Ф(х) = — ( ) [7]

Ф(1 + х) = Ф(х) + 1, (24)

х

где Г(х) - гамма-функция, перепишем выражение (23) в виде

= Ф ( п) — * (-) . (25)

Воспользуемся формулой [8], [9] для вычисления Ф(1/2): [ - ]

* (=2 £ «о8 1п (81п ( ) — ^ (— 1п(2д) -„ (26)

где [ д/2] - целая часть д/2, дар- натуральные числа и р < д. Находим Ф(1/2):

= —7 — 2 1п 2. (27)

Учитывая выражение Бине [10]

те

ад = к.) — — / (ехр^1— — 1 + 0 ехР<—Ы)М, (28)

о

и разложение в ряд Маклорена подынтегральной функции, стоящей в скобках [10]

оо

ехр(£) - 1 £ 2

г=1

Ч2 = Е & -1, (29)

получаем

1 1 1 Ф(х) = 1п(х) - — - 2 £ ^-

г=1

- } (ехрм-г -1 + 2- ^"') ехр(-(1)л <30>

О ^ г=1 /

<х

Ряд В«^х-2гг-1 является знакочередующимся и асимптотическим, поэтому ограничива-

г=1

ем суммирование на члене ряда с индексом д, за которым последующие начинают неограниченно расти. Найдем д из неравенства

^щ+фх« < 1. (31)

1В2д 1(д + 1)х2(ч+1)

Учитывая, что числа Бернулли через дзета-функцию Римана ((х) выражаются как

2С (2)(20!

1 = (2^)2г ' 2 > 1 (32)

имеем

,2д

(33)

1^2(4+1)1((2(д + 1))2д(2д - 1)х2

1В2д |(д + 1)х2(ч+1) (2тт)2( (2д)х2(ч+1) '

Учитывая, что ((2( д + 1))/С(2д) < 1, при х = п/2 (п > 3,п нечетное) получаем

" 1 "

Цп =

- (1 + л/4тт2п2 +

(34)

п п

Абсолютная погрешность вычисления интеграла в (30) не превосходит по модулю первого

отброшенного г-го слагаемого г < дп в сумме

1 Яп 1

2Е \В21 • =1

Поскольку В21 = (—1)г+1 |-В2г| (г > 1), а при п = 3 значение дп равно 4, то для любого х = п/2 (п > 3) имеем следующую оценку

Фп,О + Фп,2т1-1 < Ф (2) < Фп,О + Фп,2тх , 2 < 2Ш1 < Яп, (35)

где

Фп,о = - 1п(2) +1п(п) - 1,

п

2 п2

=1

1

Подставляя (27) и (35) в (25), имеем

+ 2Ф™,2т-1 < ^0,п < ^0*,га + 1Фга,2т, (37)

1 1 1 Р0*п = 77 + 11п2 + 11пп — —. (38)

2 2 2 2 п

Для нахождения членов с г > 1 в (22) введем обозначения

(п—1)/2

Рг,п = У (п — 2к)2г—1, (39)

к=1

п

Чп = у-' , ¿ = 2г — 1. (40)

к=0

Преобразуем выражение (39) к виду

(п— 3)/2

Рг,п = У (1 + 2к)2г—1. (41)

к=0

Тогда

^г,п = 2 — 2 %,(га—3)/2. (42)

Применяя к (42) формулу [11]

. ..А Вк (п + 1У+'—*

=-'! Е ИЦ + 1 —к)! ■ (43)

учитывая В21+1 = 0 (I > 1) имеем

_ 1)! V* ^

(2 к)!(2г — 2к)!

Р =(2 _ !)! ^В2>(п — I)2-2» (1 — 2'2*—') ,п = (2г (2-)!(2г_2-)! . 144] к=0

Подставляя (39) и (44) в (22), приходим к следующему выражению для К1,п:

= £> 21—2* — 1 — ,,•),. ^„„„'„г №)

- ^ ^ 1—2, л\(п — ^2г —М|ВМ| ^ В2к (22к—1 — 1)

=

Пусть

те / -I \ 2г 2г1 п I г~ 1

V г21—2*_ 1и п — 1 ) — |В^ V

— ^ п ) 2г ¿¿(п — 1)2Й (2к)!(2г — 2к)!'

Й1Л1 = _ 1 £ (2'—и (пп!)2', («,

— г(2г)! \ п )

2—

= - ^ В2, (22^—1 — 1) ^ ^ 1 ^У " (п—Х^2

К1,щ2 = —Ь (п — ^(2;)^ (2г)! \ п ) . (47)

Тогда К1,п = Д1,п,1 + К1,п,2-

Для нахождения К\,п,1 запишем равенство (20) в виде

— Г1 (2 — 22г)|В2г| л — \2*-1 ео8 — 2) =£ —(2)— — 2)

и проинтегрируем его левую и правую части по Ь в пределах от ж/(2п) до ж/2. В результате

/ 1+81п(7т/(2п)) N 1пж 1п (п - 1 \ = 1 ^ (21-2- - 1)ж2г \В2г | (п - 1N 24 21п2 - 1Ч есв( ж/(2п)) ) - 1пж - 1Ч= -2 ^ ^—; •

Отсюда получаем Ri,n,\:

к (f 4п \ , /1 + sin(к/(2п))\\

Для нахождения Ri,n,2 последовательно 2j — 1 раз дифференцируя (20) по t, в точке t = к/(2п) имеем

^" <cos-1)'2'-1) (2П) =

2j-l

(2l-2i — 1)к2г|S2i| П (2i — q) .2,

М + £-^-^ •

(49)

Тогда

2 -i

(2l-2i — 1) к2* 1В2г| П (2» — q)

q=l ( п — 1

^ _g=i_ ( п — 1 \

,=+1 (*)! V п )

= )' (cos-1)"-1' (£) — + —

(2l-2j — 1)к^|В2,| /п — 2J

И •

(50)

2

Для вычисления (cos-1) (2"' l' (t) воспользуемся представлением [12]

(cos-1)-1'(,) = J™, + ™ (с (2,^) —С (2,,^)

— (^Ь). CD

где C(2j, t) - дзета-функция Гурвица [13].

Подставляя t = к/(2п) в (20) и учитывая, что T(2j) = (2j — 1)! и ф^-1'(£ ) = (2j — 1)!C(2j, t)

Rl, n,2

Д1 п 2 = 2 У ^-1 - ^ (^2-^+1; (>-1)(3Ш±Л - ф(2-1^-Л1,п'2 ж ^ п2.1(2.])! V2 * V V 4п ) Ф V 4п )

-Ф(2^-1) (^ + Ф(2^-1) (^) ) - (2-2^+1 - 1)) • (52)

Члены ряда (52) принимают отрицательные значения, а сам ряд (52) асимптотический.

( п)

начинают неограниченно расти по абсолютной величине. Полученный в результате усеченный ряд будем обозначать Д1,п,2,д- При п = 3 5 и 11 соответственно имеем д = 7, 10 и 19. Таким образом, асимптотическое представление для Лп,п имеет вид:

Лп,П = Я1,п,2,д! + Д1 (53)

14/7 1 1 1 1 4?В2Л

п ; \ 22 2 2п п2гг I

+к И^ц) - ьГ'+'Ъ™^ , (54)

где д1 > - и ^2 > ^и п > 3.

3. Анализ результатов

Для оценки разности значений полигаммы функций, входящих в (52), последовательно 2] - 1 раз дифференцируем равенство (24) по х. В итоге приходим к соотношению, приведенному в [14]

ф(2^-1)(х + 1) - ф(2^-1)(х) = -(2^' -)!. (55)

х2

С учетом того, что Ф(2^-1)(х) при х > 0 является убывающей функцией = 1, 2,...), для оценки нижней границы (53) имеем

ф(2,-1) ( 3п + 1 ^ _ ф(2,-1) ( П+-^ > ф(2,-1) ( 5п +1 ^ _ ф(2,-1) ( П+-^ = \ -п / V -п / V -п / V -п /

У

(23 - -)!, (56)

-п 4 2

п + 1

- тт) > -( 3-П-У - (57>

Для оценки верхней границы (53) используем теорему Лагранжа о среднем значении. Тогда

- 1 ^ _ (ф(2.-1) ( 5П + 1 ^ ф(2^-1) / 5П - -- - п -

7-1) /'П +

(ф(2'-[) (3-п-) - ф(2'-[) (^-т-)) - (ф-) (^) - ф-) (^-т-))+

+ (ф(21-') (^) - ф(21-') (т-т-)) =

= 2- (ф(2%.) - ф(2,)«2)) - (п-^)" (V - < - (" (V - (58)

/ 3п - 1 3п + 1N / 5п - 1 5п + 1 \

где ¿й е —--, —-- , Е2 е —--, —-- . Неравенство (5о) записано на основании

1 - п - п 2 - п - п

того, что £2 > £1, а функция ф(2^)( х^и х > 0 является возрастающей функцией = 1, 2,...).

При такой двусторонней оценке разности значений полигаммы функций, входящих в (52),

1 2

т,п < Лп,п < Мп, (59)

т _0 2 2 ^ (22*-1 - 1)/ 1 + 1 + \B2j\n22 (1 - 2-2^)\

тп " 0l'ra'2'2 - ^-i- ^(3п - 1)2. + (ПГ^ +-пШ!-J ' ( }

+ 1 _ 1 + / / 4п ^ + (+/(2п))^

= д1>га>2>1 + 72(П + 1)П2 - э(п + 1)2+ = П + 2 ^Ч+(п - 1) у* - V еов(+/(2п)) ^ +

+ 2(1п(2п)+^ - П - 3П?) + 72(п + 1)п2 - 3(п +11)2ж- (61)

В таблице 1 представлены результаты вычислений Лга,п и полученные оценки нижней и

п

Таблица 1: Значения Лгап, тга и Мп в зависимости от п

п Л„,п, (17) Лп,п, (19) [5] Л„,п, (53) тп (60) Мп (61)

5 1.988854 1.988854 1.988778 1.988342 1.988793

11 2.489430 2.489430 2.489425 2.489331 2.489432

15 2.686715 2.686715 2.686713 2.489425 2.686716

21 2.900825 2.900825 2.900824 2.900798 2.900826

31 3.148712 3.148712 3.148712 3.148700 3.148713

4. Заключение

В работе получена двусторонняя оценка константы Лебега для случая узловых точек, которые являются точками экстремума многочлена Чебышева первого рода. Выражения для верхней и нижней границ оценки представлены в виде суммы членов усеченного асимптотического знакочередующегося ряда с использованием свойств логарифмической производной от гамма-функции Эйлера и дзета-функции Римана. Проведен анализ полученных выражений.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Привалов А.А. Теория интерполирования функций. - Саратов: Издательство Саратовского университета, 1990. - 229 с.

2. Bavram A. I. Lebesgue functions and Lebesgue constants in polynomial interpolation // Journal of Inequalities and Applications. 2016. Vol. 93. P. 1-15.

3. Гермидер О. В., Попов В.Н. О решении модельного кинетического уравнения ES // Че-бышевский сборник. 2022, Т. 23, №3. С37-49.

4. Mason J., Handscomb D. Chebvshev polynomials. - Florida: CRC Press, 2003. - 360 p.

5. McCabe J.H., Phillips G.M. On a certain class of Lebesgue constants // BIT. 1973. Vol. 13. P. 434-442.

6. Brutman L. On the Lebesgue Function for Polynomial Interpolation // SIAM Journal on Numerical Analysis. 1978. Vol. 15, № 4. P. 694-704.

7. Espinosa O., Moll V. A generalized polvgamma function // Integral Transforms and Special

Functions. 2004. Vol. 15, № 2. P. 101-115.

8. Luke Y. L. The Special Functions and their Approximations. - New York: Academic Press, 1969 - 348 p.

9. Murtv M.R., Saradha N. Transcendental values of the digamma function //J. Num. Theo. 2007. Vol. 125. P. 298-318.

10. Bateman H. Higher Transcendental Functions. Vol. 1 - New York: McGraw-Hill Book Company, 1953. - 316 p.

11. Sherwood H. Sums of power of integers and Bernoulli numbers // The Mathematical Gazette. 1970. Vol. 54. P. 272-274.

12. Benghorbal M., Corless R.M. The nth derivative // ACM SIGSAM Bulletin. 2002. Vol. 36, № 1. P. 10-14.

13. Hu S., Kim M.-S. On the Stieltjes constants and gamma functions with respect to alternating Hurwitz zeta functions // J.Math.Anal.Appl. 2022. Vol. 509, 125930.

14. Batir N. On some properties of digamma and polvgamma functions //J. Math. Anal. Appl. 2007. Vol. 328. P. 452-465.

REFERENCES

1. Privalov, A. A, 1990, Theory of interpolation of functions, Saratov University, Saratov, 229 p.

2. Bavram, A.I. 2016, "Lebesgue functions and Lebesgue constants in polynomial interpolation", Journal of Inequalities and Applications, vol. 93, pp. 1-15.

3. Germider, O. V. k, Popov V. N., 2022, "On the solution of the model kinetic equation ES", Chebyshevskii Sbornik, vol. 23, no 3, p. 37-49.

4. Mason, J. k, Handscomb, D., 2003, Chebvshev polynomials, CRC Press, Florida, 360 p.

5. McCabe, J. H.& Phillips, G. M., 1973, "On a certain class of Lebesgue constants", BIT, vol. 13, pp. 434-442.

6. Brutman, L., 1978, "On the Lebesgue Function for Polynomial Interpolation", SIAM Journal on Numerical Analysis, vol. 15, no 4, pp. 694-704.

7. Espinosa, O. k, Moll, V., 2004, "A generalized polvgamma function", Integral Transforms and Special Functions, vol. 15, no 2, pp. 101-115.

8. Luke, Y. L., 1969, The Special Functions and their Approximations, Academic Press, New York, 348 p.

9. Murtv, M.R.& Saradha, N., 2007, "Transcendental values of the digamma function", J. Num. Theo., vol. 125, pp. 298-318.

10. Bateman, H., 1953, Higher Transcendental Functions, vol. 1, McGraw-Hill Book Company, New York, 316 p.

11. Sherwood, H., 1970, "Sums of power of integers and Bernoulli numbers", The Mathematical Gazette, vol. 54, pp. 272-274.

12. Benghorbal, M. & Corless, R. M., 2002, "The nth derivative", ACM SIGSAM Bulletin, vol. 36, no 1, pp. 10-14.

13. Ни, S. к Kim, M.-S., 2022, "On the Stieltjes constants and gamma functions with respect to alternating Hurwitz zeta functions", J.Math.Anal.Appl., vol. 509, 125930.

14. Batir N., 2007, "On some properties of digamma and polvgamma functions", J. Math. Anal. Appl, vol. 328, pp. 452-465.

Получено: 24.01.2023 Принято в печать: 14.06.2023