CC BY
14
Владикавказский математический журнал 2020, Том 22, Выпуск 2, С. 83^97
УДК 519.644
DOI 10.46698/ v5909-5966-1536-u
О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ ЗНАЧЕНИЯМИ ФУНКЦИИ И ЕЕ ПРОИЗВОДНЫХ
В. В. Шустов1
1 Государственный научно-исследовательский институт авиационных систем, Россия, 125319, Москва, ул. Викторенко, 7 E-mail: vshustov@gosniias.ru
Аннотация. Рассмотрена задача интегрирования функции на основе ее приближения двухточечными интерполяционными многочленами Эрмита. Получены квадратурные формулы для общего случая, когда порядки производных, заданных в концевых точках отрезка, могут быть не равны друг другу. Представлена формула для остаточного члена, и на этой основе дана оценка погрешности численного интегрирования. Приведены примеры интегрирования функций с данными о погрешности и ее оценке. Проведено сравнение двухточечного приближения интегралов с методом, основанным на использовании формулы Эйлера — Маклорена. Сравнение метода двухточечного интегрирования с подходом, основанном на использовании формулы Эйлера — Маклорена, показало, что для достаточно гладких функций точность двухточечного интегрирования существенно выше, чем по формуле Эйлера — Маклорена. Приведен пример интеграла, для которого его приближения, полученные с использованием формулы Эйлера — Маклорена, расходятся, а полученные по формуле двухточечного интегрирования сходятся и достаточно быстро. Отметим также, что в отличие от формулы Эйлера — Маклорена, формула двухточечного интегрирования применима и в случае, когда максимальные порядки производных на концах отрезка интегрирования могут быть не равными друг другу, что важно в практических приложениях.
Ключевые слова: квадратура функций, двухточечный интерполяционный многочлен Эрмита, квадратурные формулы с использованием производных, оценка погрешности интегрирования, формула Эйлера — Маклорена, сходимость приближений.
Mathematical Subject Classification (2010): 41А55, 41А10, 65В15, 65D30.
Образец цитирования: Шустов В. В. О представлении определенных интегралов значениями функции и ее производных // Владикавк. мат. журн.—2020.—Т. 22, вып. 2.—С. 82-97. DOI: 10.46698/ v5909-5966-1536-u.
Введение
Теория приближенного вычисления определенных интегралов от заданных функций занимает значительное место в численном анализе и является важной в практическом отношении, в частности, для математического моделирования. Широко известными методами вычисления этих интегралов являются методы трапеций, Симпсона, Гаусса, Чебы-шева и другие, изложенные в учебниках [1-5], более специализированных изданиях [6, 7]
© 2020 Шустов В. В.
и других работах. В квадратурных формулах этих методов используются только значения функции и не используются значения ее производных. К направлению интегрирования с применением производных относится метод, основанный на использовании формулы Эйлера — Маклорена и соответствующего ей ряда, который, однако, как отмечено в [8, с. 544] «вообще говоря, расходится».
Одним из подходов к нахождению определенного интеграла от заданной функции является подход, связанный с заменой данной функции, другой — в известном смысле более простой и к последующему вычислению интеграла от этой упрощенной функции. За приближенное значение интеграла от заданной функции принимается значение интеграла от приближающей ее функции. Здесь возникает много вопросов, связанных с возможностью применения и с оценкой погрешности такого аппроксимационного подхода.
Одним из направлений приближения функций является использования интерполяционных многочленов Эрмита, в котором используется данные о значениях не только функции, но и о ее производных до определенного порядка, заданных в узловых точках. Использование интерполяционных многочленов Эрмита для задач интегрирования предложено в общем виде С. М. Никольским в [6, с. 92].
Приближение функций с использованием частного вида многочленов Эрмита, именно двухточечных многочленов, когда значения функции и ее производных заданы только в двух концевых точках отрезка, рассмотрено в [9]. Там же получены в конечном виде формулы представления аппроксимирующего многочлена, построенного по значениям функции и ее производных, заданных в концевых точках отрезка представления, в том числе и для случая, когда максимальные порядки производных могут быть не равны друг другу.
В работах автора [10, с. 85-87] и [15] представлены некоторые результаты работы по интегрированию функций для симметричного случая, когда максимальные порядки используемых производных на концах отрезка интегрирования одинаковы. В настоящей работе, которая является продолжением [10, 15], рассмотрен общий случай интегрирования функций, когда порядки производных на концах отрезка могут быть различными.
Целью данной работы является построение формул интегрирования, основанных на использовании двухточечных интерполяционных многочленов Эрмита общего вида, оценка приближения ими интегралов от заданных функций и сравнение результатов, полученных по формулам двухточечного интегрирования и по формуле Эйлера — Маклорена.
Пусть функция /(х) определена на отрезке [хо,Х1] и имеет достаточный набор производных на этом отрезке. Пусть также в обеих концевых точках отрезка [хо,х1 заданы значения функции /(х) и ее производных до порядка то и Ш1 включительно:
Из условия существования производных следует, что для функции / (х) существует определенный интеграл
хо
Необходимо построить формулу для приближающего интеграла 1т, который использует условия (1) и аппроксимирует интеграл I с определенной точностью.
1. Постановка и решение задачи
/и)(хг) = 3 =0,1,-..,тг; г = 0,1.
(1)
(2)
Для построения приближающего интеграла 1т используется аппроксимация подынтегральной функции интерполяционным многочленом Эрмита Н(ж), учитывающего производные, в варианте его двухточечного представления [9].
Согласно результатам работы [9, с. 1096] приближающий многочлен Н(ж), удовлетворяющий условиям (1), можно представить, в частности, в виде
то . (у) то —
н{Х) = (1 - Е - х°У Е
у=0 ^' к=0
тх „ (у) т\-з
+го+1Е Е (з)
у=0 ^' к=0
В формуле (3) для многочлена Н(ж) буквой £ обозначена относительная переменная,
связанная с исходной переменной ж соотношением
= (4)
Ж1 — ж0
Коэффициент ат определяется соотношением
, _ (т + к)\
т ~ к\т\ К }
и выражается через биноминальный коэффициент Ст+к (например, [11, с. 163]) как
ат = Ст+к • (6)
Обозначим через £ длину отрезка [ж0,ж1], определенную соотношением
Ь = ж1 — ж0. (7)
Тогда формулу (3) для двухточечного многочлена можно переписать с использованием только относительной переменной £ в виде
то е(з)т] то-у тх .(у) _у тх-у
яш = (1-ег1+1Е^^ Е (е~1)г £ ^а-е)"- (8)
у=0 к=0 у=0 к=0
Для двухточечного многочлена Н(ж) можно построить определенный интеграл 1т [ж0, ж1]
хх
1т = J Н (ж) ^ж,
хо
или, переходя только к относительной переменной £, в виде
1
1т = / Н (£)^£.
Используя формулу (8) для Н(х), получим соотношение для интеграла 1т:
¿=0 I 3' J ¿=0 I 3' J
где коэффициенты й3то,т1 ^ е3тоопределяются формулами
(V
Р mo-j
ye(i - c)mi+1 Е < £k, (ю)
0 k=°
1 mi - j
e>
(i - £)j£mo+1 £ amo (i - 0fc d£. (11)
0 k=°
Путем замены переменной £i = i — £ в соотношении (11) для ejmo ,mi легко показывается, что
ej = dj С121
umo,mi "mi ,mo' V
поэтому достаточно определить только коэффициент dino,mi-
Формулу (10) для коэффициента (По,mi) пользуясь свойством интеграла и степеней, можно записать в виде
mo-j 1
dLo,mi = £ akmi £j+k(i - £)mi+1 d£. (13)
fc=° °
Интеграл, который находится в правой части формулы (13), относится к типу интегралов, зависящих от параметров, называется бета-функцией Эйлера и представляется в виде функции от своих параметров (см., например, [12, с. 325]) как
i
У £ao (i - £Г d£ =
a°!a1!
(1 + ao + ai)!' o
Эту формулу можно представить также в виде
i
Í Го(1 _ еГ = 1 . (14)
0 (1 + ao + ai)Ca0+ai
Путем несложного преобразования формула (13) для коэффициента d3mo,mi с учетом (14) записывается в виде
mo-j сk
dLm, = У -mi+k -+.U-• (15)
mo'mi ¿(2 + Ш1 +j + k)C^1+i+k
Проведя суммирование в правой части формулы (15), получим компактное выражение для коэффициента d3mo>mi:
с j+i
Ср = ___fifi)
"то,mi (л,л\Г3+1 ' К >
(j + 1)Cmo+mi+2
1
Введем коэффициент , связанный с коэффициентом й3то,т1 соотношением
¿0
ТЛЗ = итр,т1 /17\
^то,»«! ) Vх1 )
и для его значения получим формулу:
с
j+1
=-- (18)
(j + i)!Cm0 +mi+2
Окончательная формула для представления интеграла Im в соответствии с (9) и с учетом связи em0,mi и din0,m1 (12) записывается в виде
±m ~ I j! то,mi I I 2-^t I ^ ' j\ mi ,mo f ' (1J/
j=0 I j' ) j=o I j' J
n
n
xi
rIm = / rm(x) dx, (20)
xo
n
но fl, c. 173] записывается как
f (mo+mi+2)(n)
= T-,-^:(x-x0)m0+l(x-xi)mi+l, »7G (21)
(mo + mi + 2)'
С учетом этого соотношения остаточный член приближения
r Im
форму
xi
Пт = [ ! m°+mi+2, {x—Xo)mo+l (x—x\)mi+l dx. (22)
J (mo + mi + 2)'
x0
После перехода к относительной переменной £ согласно (4) и небольших преобразований остаточный член приближения записывается в следующем виде:
1
(_ 1)mi + 1rmo+mi+3 г
rI™ = —т^г- / ^то+т^тто+ч 1 - omi+1
(mo + mi + 2)' J
(23)
Используя теорему о среднем [13, с. 402] и учитывая, что выражение £то+1(1-£)т1+1 не меняет знак на отрезке [0,1], эту формулу перепишем в виде
1
(-1)И1 + 1гто+Ш1+3 г
г1™ = —г^/(то+т1+2)Ы / Г°+1(1ЧГ1+Ч, VI € (хо,хг).
(Шо + Ш1 + 2)! J
что
С учетом формулы (14) для интеграла в правой части этого соотношения получим, (то + Ш1 +2)! (то + Ш1 + 3)!
Согласно полученным результатам можно сказать, что имеет место следующая
/(х)
интеграла этой функции имеет место формула
/Х1 то т1
/(х) ^х = £ ^тотГ'/ + £( —1)'^т 1,тоГ/^ + Г1т, (25)
хо ¿=0 ¿=0
где
с ¿+1
т~)3 =_ __Г261
(3 + 1)'Сто +т1+2 ( —1)т1+1ь Г то +т1+3
Пш = [ ' , -) (2?)
(т0 + т-1 + 2)'
_ (т0 + 1)!(т1 + 1)! Ото.т!- (то + т1 + 3)! ' ^
Г = х1 — х0 и точка п € (х0,х1).
Следствие. Пусть производная функции порядка т-0 + т1 + 2 включительно на отрезке [х0, х1] ограничена некоторой константой Мто+т1+2 > 0, т. е. считаем, что
|/(то+т1+2)(х)| ^ Мто+т1+2, х € ^х^. (29)
Тогда для погрешности приближения интеграла функции Ыт = |г1т| имеет место:
Ыт ^ А1т,
где Д1т обозначена оценка погрешности приближения
а г Ьто,т1 Мто+т1+2Гто+т1+3 /„пч
(т0 + т-1 + 2)'
Случай симметричного распределения производных на концах отрезка.
[х0, х1]
производной один и тот же, т. е. при выполнении условия
т0 = т1 = т
квадратурная формула (25) для представления интеграла 1т записывается в виде
т
1т = £ ^тГ+1 [/0Л + ( —1)/1(Л] , (32)
¿=0
где коэффициент Д^, в соответствии с (26) выражается формулой
С ¿+1
В табл. 1 представлены коэффициенты Дт для начальных значений т и 3. Из формулы (32)
видно, что интеграл 1т? выражается через значения функции и ее
т
ния.
Отметим, что численные коэффициенты Дт перед производными зависят не только 3 т т.
Таблица 1. Коэффициенты В3„
3 т 0 1 2 3 4 5 6 7
0 1/2
1 1 2 1 12
2 1 2 1 10 1 120
3 1 2 3 28 1 84 1 1680
4 1 2 1 9 1 72 1 1008 1 30240
5 1 2 5 44 1 66 1 792 1 15840 1 665280
6 1 2 3 26 5 312 5 1 1 1
23432 11440 308880 17297280
7 1 2 V 60 1 60 1 624 1 9360 1 205920 1 7207200 1 518918400
Остаточный член интегрирования т1т согласно (27) для симметричного случая принимает вид
где коэффициенты Ьт представляются формулой
_ (ш + 1)!(ш + 1)!
Ьт~ (2т + 3)! '
которая соответствует формуле, полученной в [15, с. 119].
Оценка погрешности интегрирования А1т для симметричного случая имеет вид
А1т= (2т + 2)! ^ (36)
где константа М2т+2 > 0 ограничивает производную функции порядка 2т + 2 включительно на отрезке [жо,Ж1], т. е. выполняется условие
|/(2т+2) (Ж)| < М2т+2, X € (Ж0,Ж1). (37)
Формула (36) для оценки погрешности интегрирования А1т в этом случае также соответствует формуле в [15, с. 119].
2. О сопоставлении интегрирования по двухточечной формуле и по формуле Эйлера — Маклорена
Для вычисления определенных интегралов, как отмечено во введении, существуют и другие методы интегрирования, которые используют значения производных подынтегральной функции. Один из таких методов основан на формуле интегрирования Эйлера — Маклорена. Для этого подхода интеграл
Х1
I = у /(ж) йж (38)
от заданной функции / (ж) представим в виде
I = Ет + тЕт, (39)
где приближенное значение интеграла Ет выражается формулой Эйлера — Маклоре-на [14, с. 136], приведенной для случая задания значений функции только на концах отрезка [ж0,ж1
Ь г . . п А Вз Ь3
= % [/о + Л] + Е ^ЩГ - ' (40)
3 = 1
B2j — числа Бернулли, рассмотренные, например, в [1, с. 292], гЕт — остаточный член приближения интеграла, который согласно [1, с. 292] имеет вид
Запишем формулу Эйлера — Маклорена в развернутом виде
(41)
= § [УЬ+Л] [/¿-Л] [/¿"-Л"] +--[УЙ2^-15-/С2—. (42)
Сравнение формул (32) и (42) показывает, что в отличие от формулы двухточечного интегрирования, в которую входят производные как четного, так и нечетного порядков, формула Эйлера — Маклорена содержит производные только нечетного порядка.
Для оценки погрешности приближения ¿Ет = |гЕт| используем формулы Эйлера — Маклорена при условии, что производная функции порядка 2т + 2 включительно на отрезке [жо, Ж1] ограничена некоторой константой М2т+2 > 0, т. е. считая, что
|/(2т+2)(ж)| < М2т+2, Ж € (Ж0,Ж1), из формулы (41) следует, что имеет место соотношение
§Ет ^ ДЕт,
где через ДЕт обозначена оценка погрешности приближения интегрирования
др \В2т+2\Ь2т+3
АЕт = (2т+ 2)! Щт+2" (43)
Оценка погрешности двухточечного интегрирования Д/т в соответствии с (36) может быть записана в виде
Ь ь2т+з
= (44)
где числа Ьт согласно (35) представляются формулой
Ьт- (2т+ 3)! • {45)
Сравнение формул (44) и (43) показывает, что оценки погрешностей для двухточечного интегрирования и по формуле Эйлера — Маклорена имеют одинаковую структуру и отличаются только числовыми коэффициентами Ьт и В2т+2, соответственно. Поэтому отношение остаточных членов и, соответственно, оценок погрешностей интегрирования определяется отношением числовых коэффициентов обоих методов приближения.
Из формулы (45) следует, что числа Ьт уменьшаются с возрастанием т и при этом
Нш Ьт = 0.
Действительно, обозначая a = m + 1, для чисел bm можно записать
_ (ш + 1)!(т + 1)! _ alai <-A- i < ГТ 1 _ 1 _ 1 т ~ (9<т -I- ЯМ ~~ (т -А- 1 М9пЛ! 77Т7 ^ J. J. 9 9«
(2т + 3)! (а + 1)(2а)!^11 а + г^112 2а 2т+!'
г=1 г=1
откуда и следует, что Ьт — 0 при т — то.
В то же время для чисел Бернулли имеется формула [1, с. 293]
^ = С(2ш),
где £(з) — известная дзета-функция Римана (например, [8, с. 263]), определенная как (¡"(5) = и обладающая свойством [1, с. 293], что (¡"(5) —> 1 при в —> то.
Из формулы для чисел Бернулли следует, что последовательность чисел Бернулли В2т стремится к бесконечности при т — то.
Таблица 2. Числовые коэффициенты Ьт и числа Бернулли В2т+2
гп 0 1 2 3 4 5 6 7
Ьт 1 6 1 30 i 140 1 630 1 2772 1 12012 1 51480 1 218790
£>2т + 2 1 6 i 30 1 42 i 30 5 66 691 2730 V 6 3617 510
7„ _ Ьт Кт ~ \В2т + 2\ 1.00 1.00 0.30 0.048 0.0048 0.00033 1.7 • 10~ь 6.4 • 10~у
Таблица 3. Формулы для интегралов Нт и Е, и оценок их погрешностей А1т и ДЕт
т Формулы для интегралов 1т и Ет <1 <1
0 /о = ф(/о+/х) Яо = |(/о + /1) M9LÓ 12 M9L3 12
1 /1 = т(/° + /1) + Т5г(/6-/1) МлЬь 720 M4L5 720
2 /2 = #(/о + /1) + ^(Л " Л) + + /") = + /1) + - Л) " ^(/о" " Л") M6L< 100800 MQL7 30340
3 /з = |(/о + /1) + # (Л - Л) + Й С/о + Л') + т^о (Л" " Л") = + Л) + 71 (Л - Л) - ^(Л" - Л") + зшо - Л(5)) M8La 25401600 MgL9 1209600
4 /4 = £(/„ + Л) + ^(Л - Л) + + ЛО + - Л") , Ь5 ,,(4) ,(4)ч 30240 ^ 0 + Н ) Mi«lu 10059033600 M,»!11 47900160
т = ^г (/о + л) + (Л - Л) + 4т1 (/о + ЛО + 4т1 (Л" - Л") + • • • + + (-1)тЛ(т)) = ^ (Л + Л) + (Л - Л) + (Л" - Л") , ВКЬ6(Л5) ,(5)ч . . В9тЬ2т г Л2т-1) ,(2ш-1), "Г 6! ио VI Л •■■ (2т)! ио VI ^ (2т+2)! M2m+2 ?2т+2)! M2m+2
Для сравнения в табл. 2 приведены числовые коэффициенты двухточечного интегрирования Ът, числа Бернулли В2т+2 и округленные до двух цифр значения коэффициента кт, равные отношению их модулей для начальпых значений т. Как видно из табл. 2, первые два члена числовых последовательностей, соответствующие значениям т = 0 и т = 1, совпадают. Далее, с увеличением т, начиная с т = 2, обе числовые последовательности расходятся друг от друга, причем в разных направлениях: коэффициенты Ьт
монотонно уменьшаются, стремясь к нулю, а модули чисел Бернулли В2т+2) начиная с некоторого номера, неограниченно возрастают, стремясь к бесконечности.
Последняя строка табл. 2, содержащая данные об отношении коэффициентов Ьт и чисел Бернулли В2т+2) показывает то, что кт не превосходит единицы и монотонно уменьшается с увеличением т. Соответственно, оценка точности двухточечной формулы интегрирования не хуже оценки формулы Эйлера — Маклорена и становится суще-
т
В табл. 3 представлены формулы для интегралов Нт и Ет, а также оценок их пот
3. Результаты численных экспериментов
Пример 1. Для сравнения обоих методов интегрирования проведены расчеты приближения интеграла для функции y = sin x на отрезке [0,п] с использованием формул двухточечного интегрирования и по формуле Эйлера — Маклорена для различных значений т. Значение интеграла
п
I = J sin xdx 0
легко определяется аналитически и равно двум.
С использованием квадратурных формул, представленных в табл. 3, формулы для численной погрешности интегрирования
Ыт = 11 - Im| (46)
и их оценок, выраженных (36) и (43), получены численные значения интегралов, их пот
В каждой ячейке второго, третьего и четвертого столбца этой таблицы вверху приводятся результаты расчета по формуле двухточечного интегрирования, внизу приводятся данные, полученные по формуле Эйлера — Маклорена.
Таблица 4. Значения интегралов Im, Em, их погрешностей SIm, 5Em и оценок SIm, 5Em
rn Im SIm SIm
Em SEm SEm
0 0.000000000 2.000000000 2.583856390
0.000000000 2.000000000 2.583856390
1 1.644934067 0.355065933 0.425027340
1.644934067 0.355065933 0.425027340
2 1.973920880 0.026079120 0.029963226
1.915514875 0.084485125 0.099877422
3 1.998952025 0.001047975 0.001173513
1.979098817 0.020901183 0.024643766
4 1.999973416 0.000026584 0.000029248
1.994787525 0.005212475 0.006142026
5 1.999999535 0.000000465 0.000000505
1.998697660 0.001302340 0.001534358
6 1.999999994 0.0000000059 0.0000000064
1.999674463 0.0003255368 0.0003835187
7 2.000000000 0.000000000058 0.000000000062
1.999918619 0.000081381203 0.000095875264
Анализ результатов расчетов показал, что оба подхода при т = 0 и т = 1, дают одинаковые результаты. Однако при т равным двум и более точность результатов, полученных при использовании двухточечной формулы интегрирования, существенно выше данных, полученных по формуле Эйлера Маклорена, и это повышение точности
т
Сравнение точности результатов наглядно проявляется при представлении их в графической форме. На рис. 1 представлены зависимости погрешности приближения 5т т
ния и по формуле Эйлера Маклорена.
Из поведения графиков наглядно видно, что обе зависимости, совпадая при т = 0 т = 1 т = 1
т
формуле двухточечного интмрирования, лежит ниже аналогичного графика, построенного по формуле Эйлера Маклорена.
Из данных, представленных в табл. 4 и из рис. 1, следует, что, например, при m = 7 отношение погрешности, полученной по формуле двухточечного интмрирования, более чем в миллион раз меньше погрешности, полученной по формуле Эйлера Маклорена (их отношение составляет 0.000000000058/0.000081381203 = 0.71 ■ 10-6). Это отношение вполне соответствует отношению оценок их погрешностей и отношению km = 0.64 ■ 10-6, представленному в последней строке табл. 2.
Для рассмотренной функции f (x) = sin x результаты исследований, представленные в табличной и графической форме, показали, что последовательности приближений интегралов Im и Em, полученные обоими методами, сходятся к точному значению интеграла I, хотя и с разной скоростью.
Пример 2. Рассмотрим интеграл
2
1
который легко вычисляется аналитически и значение которого равно 1п 2 = 0.69314718...
Для подынтегральной функции также существуют производные сколь угодно высоких) порядка, которые, как несложно вывести, представляются формулой
С использованием этой формулы и квадратурных формул, представленных в табл. 3, получены численные значения интегралов с использованием двухточечного интегрирования и но формуле Эйлера Маклорена. В табл. 5 представлены значения интегралов 1т и Ет и их численных погрешностей 51т, ЬЕт для т = 0,... , 10.
Таблица 5. Значения интегралов Im, Em и их погрешностей 5Im, SE,
т 1т Ет Sim 5Ет
0 0.75000000 0.75000000 0.056852819 0.056852819
1 0.68750000 0.68750000 0.0056471806 0.0056471806
2 0.69375000 0.69531250 0.00060281944 0.0021653194
3 0.69308036 0.69140625 0.000066823417 0.0017409306
4 0.69315476 0.69555664 7.5813448 • 10~ь 0.0024094601
5 0.69314631 0.68798828 8.7374176 • 10"' 0.0051588993
6 0.69314728 0.70907593 1.0184515 • 10"' 0.015928747
7 0.69314717 0.62574768 1.1973324 • 10"* 0.067399500
8 0.69314718 1.0690007 1.4170850 • 10~у 0.37585354
9 0.69314718 -1.9849420 1.6862127 • 10~1и 2.6780891
10 0.69314718 24.471245 2.0153288 • 10"11 23.778098
Как видно из табл. 5 и рис. 2, с увеличением т значения интегралов 1т, рассчитанные по методу двухточечного интегрирования, стремятся к точному значению интеграла I, при этом погрешность Ыт монотонно убывает. В тоже время значения интегралов Ет, полученные по формуле по Эйлера — Маклорена, стремятся к значению интеграла I только при малых т, и с некоторого т погрешность 5Ет начинает резко увеличиваться, т. с. процесс приближения становится расходящимся.
й(т)
Рис. 2. Зависимость погрешности от параметра т для функции f (х) = 1/х.
Сравнение результатов, определенное численным путем, подтверждается аналитическими выкладками. Так, погрешность двухточечного интегрирования Ыт = |г1т| с использованием (34) и (46) и погрешность ЬЕт = |гЕт| формулы по Эйлера — Маклорена
с использованием (41) и (46) с учетом Ь = 1 для рассматриваемого интеграла можно записать в виде
г т Ьт г-л |В2т+2| _
= 6Ет= 2т+3 > »71, »72 € (1,2).
41 '12
Для погрешностей Ыт и ¿Ет имеем оценки, соответственно, сверху и снизу
¿/т ^ Ьт, ЬЕт ^ |В2т+2 |/22т+3.
Из этих оценок для этих погрешностей следует, что сходимость приближений интегралов для обоих методов в данном случае существенным образом определяется поведением последовательностей коэффициентов двухточечного интегрирования и чисел Бернулли, соответственно. Как отмечено выше, первая последовательность стремится к нулю при т — то, а вторая стремится к бесконечности при т — то с факториаль-ной скоростью, поэтому процесс приближения по двухточечной формуле для данного интеграла сходится, а по формуле Эйлера — Маклорена расходится.
Заключение
В работе рассмотрена задача интегрирования функции с использованием двухточечных интерполяционных многочленов Эрмита общего вида. В результате решения этой задачи получены формулы интегрирования для произвольного заданного порядка производных, в том числе и для несимметричного случая, когда порядки производных, заданных в концевых точках отрезка интегрирования, могут быть не равны друг другу. Получено также представление для остаточного члена, на основе которого дана оценка погрешности интегрирования.
Сравнение метода двухточечного интегрирования с подходом, основанном на использовании формулы Эйлера — Маклорена, показало, что для достаточно гладких функций точность двухточечного интегрирования существенно выше, чем по формуле Эйлера — Маклорена. Приведен пример интеграла, для которого его приближения, полученные с использованием формулы Эйлера — Маклорена, расходятся, а полученные по формуле двухточечного интегрирования сходятся и достаточно быстро. Отметим также, что в отличие от формулы Эйлера — Маклорена формула двухточечного интегрирования применима и в случае, когда максимальные порядки производных на концах отрезка интегрирования могут быть не равными друг другу, что важно в практических приложениях.
В части продолжения работы в этом направлении представляется интересным рассмотрение задачи оптимизации распределения максимальных порядков производных на концах отрезка интегрирования с целью минимизации погрешности приближения.
Литература
1. Верезин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений. Т. 1.—М.: Физматлит, 1962.—464 с.
2. Гончаров В. И. Теория интерполирования и приближения функций.—М.: Гостехтеориздат, 1934.— 316 с.
3. Микеладзе III. Е. Численные методы математического анализа.—М.: Гостехтеориздат, 1953.—528 с.
4. Волков Е. А. Численные методы.—М.: Наука, 1987.—248 с.
5. Калитки Н. Н. Численные методы: учеб. пособие.—СПб.: ВХВ-Петербург, 2011.—592 с.
6. Никольский С. М. Квадратурные формулы.—М.: Наука, 1988.—256 с.
7. Крылов В. И. Приближенное вычисление интегралов.—М.: Наука, 1967.—500 с.
8. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 2.—М.: Наука, 1970.^800 с.
9. Шустов В. В. О приближении функций двухточечными интерполяционными многочленами Эрмита // Журн. вычисл. матем. и матем. физики.—2015.—Т. 55, № 7.—С. 1091-1108. Б01: 10.7868/8004446691504016Х.
10. Шустов В. В. О представлении интегралов значениями функции и ее производных на основе использования двухточечных многочленов Эрмита // Теория операторов, комплексный анализ и математическое моделирование: тез. докл. XIII Междунар. науч. конф. (пос. Дивноморское, 7-14 сентября 2016 г.).-Владикавказ: ЮМИ ВНЦ РАН, 2016.^С. 85-87.
11. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов.—СПб.: Изд-во «Лань», 2010.—608 с.
12. Кудрявцев Л. Д. Математический анализ. Т. 2.—М.: Высшая школа, 1970.—592 с.
13. Кудрявцев Л. Д. Математический анализ. Т. 1.—М.: Высшая школа, 1981.—584 с.
14. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров.—М.: Наука, 1984.^832 с.
15. Шустов В. В. О представлении интегралов значениями функции и ее производных на основе использования двухточечных многочленов Эрмита // Мат. форум. Т. 11. Исследование по математическому анализу, дифференциальным уравнениям и их приложениям; ЮМИ ВНЦ РАН. — Москва: РАН, 2017.—С. 113-122.—(Итоги науки. Юг России).
Статья поступила 15 ноября 2019 г. Шустов Виктор Владимирович
Государственный научно-исследовательский институт авиационных систем,
ведущий научный сотрудник
Россия, 125319, Москва, ул. Викторенко, 7
E-mail: vshustov@gosniias.ru
https://orcid.org/0000-0002-2465-7475
Vladikavkaz Mathematical Journal 2020, Volume 22, Issue 2, P. 82 97
ON REPRESENTATION OF CERTAIN INTEGRALS USING THE VALUES OF A FUNCTION AND ITS DERIVATIVES
Shustov, V. V. 1
1 State Research Institute of Aviation Systems, 7 Viktorenko St., Moscow 125319, Russia E-mail: vshustov@gosniias.ru
Abstract. The problem of integrating a function on the basis of its approximation by two-point Hermite interpolation polynomials is considered. Quadrature formulas are obtained for the general case, when the orders of the derivatives given at the endpoints of the segment can be not equal to each other. The formula for the remainder term is presented and the error of numerical integration is estimated. Examples of integrating functions with data on error and its estimation are given. A two-point approximation of the integrals is compared with a method based on the Euler-Maclaurin formula. Comparison of the two-point integration method with the approach based on the use of the Euler-Maclaurin formula showed that for sufficiently smooth functions the accuracy of two-point integration is significantly higher than by the Euler-Maclaurin formula. An example of an integral is given for which its approximations obtained using the Euler-Maclaurin formula diverge, and those obtained by the formula two-point integration converge quickly enough. We also note that, in contrast to the Euler-Maclaurin formula, the two-point integration formula is also applicable in the case when the maximum orders of the derivatives at the ends of the integration interval may not be equal to each other, which is important in practical applications.
Key words: quadrature of functions, two-point Hermite interpolation polynomial, quadrature formulas using derivatives, estimation of the integration error, Euler-Maclaurin formula, convergence of approximations.
Mathematical Subject Classification (2010): 41A55, 41A10, 65B15, 65D30.
For citation: Shustov, V. V. On Representation of Certain Integrals Using the Values of a Function and its Derivatives, Vladikavkaz Math. J., 2020, vol. 22, no. 2, pp. 82-97 (in Russian). DOI: 10.46698/v5909-5966-1536-u.
References
1. Berezin, I. S. and Zhidkov, N. P. Computing Methods. Vol. 1, Oxford, Pergamon, 1965.
2. Goncharov, V. I. Teoriya interpolirovaniya i priblizheniya funktsii [The Theory of Interpolation and Approximation of Functions], Moscow, Gostekhteorizdat, 1934 (in Russian).
3. Mikeladze, Sh. E. Chislennie metodi matematicheskogo analiza [Numerical Methods in Mathematical Analysis], Moscow, Gostekhteorizdat, 1953 (in Russian).
4. Volkov, E. A. Chislennye metodi [Numerical Methods], Moscow, Nauka, 1987 (in Russian).
5. Kalitkin, N. N. Chislennye metodi [Numerical Methods], St. Peterburg, BKhV-Peterburg, 2011 (in Russian).
6. Nikol'skii, S. M. Kvadraturnye formuly [Quadrature Formulas], Moscow, Nauka, 1988 (in Russian).
7. Krylov, V. I. Priblizhennoe viehislenie integralov [Approximate Calculation of Integrals], Moscow, Nauka, 1967 (in Russian).
8. Fikhtengolts, G. M. Kurs diffirentsialnogo i integralnogo isehisleniya [A Course of Differential and Integral Calculus], vol. 2, Moscow, Nauka, 1970 (in Russian).
9. Shustov, V. V. Approximation of Functions by Two-Point Hermite Interpolating Polynomials, Computational Mathematies and Mathematieal Physics, 2015, vol. 55, no. 7, pp. 1077-1093. DOI: 10.1134/S0965542515040156.
10. Shustov, V. V. O predstavlenii integralov znaceniyami funktsii i ee proizvodnykh na osnove ispolzovaniya dvukhtoctechnykh mnogochlenov Ermita, Teoriya operatorov, kompleksnii analiz i matematicheskoe modelirovanie (Divnomorskoe, 7 14 sentyabrya 2016), Vladikavkaz, 2016, pp. 85-87 (in Russian).
11. Bronshtein, I. N. and Semendyaev, K. A. Spravochnik po matematike dlya inzhenerov i uchashchikhsya vtuzov, St. Peterburg, Lan, 2010 (in Russian).
12. Kudryavtsev, L. D. Matematieheskii analiz [Mathematical Analysis], vol. 2, Moscow, Vysshaya Shkola, 1970 (in Russian).
13. Kudryavtsev, L. D. Matematieheskii analiz [Mathematical Analysis], vol. 1, 1981 (in Russian).
14. Korn, G. and Korn, T. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers, McGraw-Hill Book Company, 1968.
15. Shustov, V. V. Representation of Integrals Using Values of Function and its Derivatives On The
11
differencial'nym uravnenijam i ih prilozhenijam (Itogi Nauki. Yug Rossii) [Mathematical Forum. Vol. 11. Studies on Mathematical Analysis, Differential Equations, and Their Applications (Review of Science: The South of Russia)], SMI VSC RAS, Moscow, RAS, 2017, pp. 113-122 (in Russian).
Received November 15, 2019 Victor V. Shustov
State Research Institute of Aviation Systems, 7 Viktorenko St., Moscow 125319, Russia, Leading Researcher E-mail: vshustov@gosniias.ru
