ОБОБЩЁННАЯ ФОРМУЛА БИНОМА НЬЮТОНА И ФОРМУЛЫ СУММИРОВАНИЯ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 21. Выпуск 4.

УДК 511.3 DOI 10.22405/2226-8383-2020-21-4-270-301

Обобщённая формула бинома Ньютона и формулы

суммирования

В. Н. Чубариков

Владимир Николаевич Чубариков — доктор физико-математических наук, профессор, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова (г. Москва). e-mail: chubariklQmech.math.msu.su

Аннотация

В основе работы лежит формула бинома Ньютона и её обобщения на последовательности многочленов биномиального типа. Даны применения к обобщённой проблеме Варинга (Хуа Ло-кен) и проблеме Гильберта - Камке (Г.И.Архипов). Доказана формула Тейлора — Маклорена для многочленов и гладких функций и даны её приложения в численном анализе (решение уравнений методом касательных Ньютона, лемма Гензеля в полных неархимедовских полях, приближенное вычисление значений гладких функций в точке). Даётся аналог формулы бинома Ньютона для многочленов Бернулли и доказывается формула Эйлера — Маклорена суммирования значений функции по целым точкам, выведена формула Пуассона суммирования значений функции. Рассмотрены примеры последовательностей многочленов биномиального типа (степени, нижние и верхние факториальные степени, многочлены Абеля и Лагерра). Найдены биномиальные свойства многочленов Ап-пеля и Эйлера. Для многочленов и гладких функций от нескольких переменных доказана формула Тейлора, получены многомерные аналоги формул Эйлера - Маклорена и Пуассона суммирования значений функции по решётке. Рассмотрен многомерный аналог этих формул для решётки в многомерном комплексном пространстве. Доказаны ряд свойств последовательности многочленов биномиального типа от нескольких переменных.

Ключевые слова: бином Ньютона, последовательность многочленов биномиального типа, нижние и верхние факториальные многочлены, многочлены Абеля, Лагерра, Аппе-ля, Бернулли, Эйлера, формулы Тейлора-Маклорена, формулы суммирования Эйлера-Маклорена.

Библиография: 19 названий. Для цитирования:

В. Н. Чубариков. Обобщённая формула бинома Ньютона и формулы суммирования // Чебы-шевский сборник, 2020, т. 21, вып. 4, с. 270-301.

CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 21. No. 4.

UDC 511.3 DOI 10.22405/2226-8383-2020-21-4-270-301

A generalized Binomial theorem and a summation formulae

V. N. Chubarikov

Vladimir Nikolaevich Chubarikov — doctor of physical and mathematical sciences, professor, M. V. Lomonosov Moscow State University (Moscow). e-mail: chubariklQmech.math.msu.su

Abstract

The paper is based on the Binomial theorem and its generalizations to the polynomials of binomial type. Thus, we give some applications to the generalized Waring problemm (Loo-Keng Hua) and Hilbert-Kamke problem (G.I.Arkhipov). We also prove Taylor-Maclaurin formula for the polynomials and smooth functions and give its applications to the numerical analysis (Newton's root-finding algorithm, Hensel lemma in full non-archimedian fields, approximate evaluation of the function at given point). Next, we prove an analogue of Binomial theorem for Bernoulli polynomials, Euler-Maclaurin summation formula over integers and Poisson summation formula for the lattice and consider some examples of binomial-type polynomials (monomials, rising and falling factorials, Abel and Laguerre polynomials). We prove some binomial properties op Appel and Euler polynomials and establish the multidimensional Taylor formula and the analogues of Euler-Maclaurin and Poisson summation formulas over the lattices. Finally, we consider the multidimensional analogues of these formulas for the multidimensional complex space and prove some properties of binomial-type polynomials of several variables.

Keywords: the Newton binomial formula, a sequence of the binomial type polynomials, lower and upper factoriales, the Abel, Laguerre, Appell, Bernoulli, Euler polynomials, the Taylor-Maclauren formula, the Euler-Maclauren formula.

Bibliography: 19 titles. For citation:

V. N. Chubarikov, 2020, "A generalized Binomial theorem and a summation formulae", Chebyshev-skii sbornik, vol. 21, no. 4, pp. 270-301.

1. Введение

Источником для написания настоящей работы явились прекрасные исследования по комбинаторике, алгебре и математическому анализу ([1]-[18]). В основе её лежат свойства биномиальных коэффициентов и сама формула бинома Ньютона. В первую очередь нас будут интересовать алгебраические и аналитические стороны последовательностей многочленов рп(х) с коэффициентами из некоторого поля (или евклидова кольца с единицей), удовлетворяющих следующей последовательности тождеств

Рп(х + у) = ^ \1)Рк(х)рп-к(х),р0(х) = 1,рт(0) = 0(п > 0,т > 1), к=о

где рп(х) — многочлен точной степени п со старшим коэффициентом, равным 1. Последовательность таких многочленов называется последовательностью биномиального типа ([9]). Примерами их являются следующие последовательности многочленов:

Рп(х) = хп, п > 0

(степени),

Рп(х) = х(х — 1)... (х — п + 1),п > 1,р0(х) = 1,

(нижние факториалы),

Рп(х) = х(х + 1)... (х + п — 1),п > 1,р0(х) = 1,

(верхние факториалы),

Рп(х) = х(х — ап)и-1,п > 1,р0(х) = 1,

(многочлены Абеля),

Рп(х) = ^ п.Ук — 1)(—х)к,п > 1,Ро(х) = 1 к=0 . ^ '

(многочлены Лагерра).

Представляется интересным изучение обобщённого бинома смешанного типа. Пусть задана последовательность многочленов дп(х) биномиального типа, и пусть выполняется следующая последовательность тождеств

Рп(х + у) = ^ (к) 1п-к(х)Рк(у),п > 0, к=0 ^ '

тогда последовательность Рп(х) назовём последовательностью смешанного типа. К такому типу относятся следующие последовательности:

'Рп(х) = Вп(х), дп(х) = хп

(Вп(х) — многочлены Бернулли),

Рп(х) = Еп(х), дп(х) = хп

(Еп(х) — многочлены Эйлера),

Рп(х) = Ап(х), дп(х) = хп

(Ап(х) — многочлены Аппеля). Все эти многочлены будут определены позже.

Хотя, как правило, нами используются элементарные методы (принцип математической индукции, рекуррентные соотношения), но при доказательстве ряда теорем мы не отказываемся от методов из основ математического анализа и простейших утверждений из теории дифференциальных уравнений.

Заключительная часть работы посвящена многочленам от нескольких переменных, являющихся обобщёнными многочленами биномиального и полиномиального типа.

2. Бином Ньютона и формула Тейлора^Маклорена

Для полноты изложения здесь мы приводим с полными доказательствами классические утверждения, от которых будем отталкиваться при изучении свойств последовательностей многочленов биномиального и смешанного типов.

2.1. Бином Ньютона

Сразу отметим, что формула бинома Ньютона лежит в основе алгебры и комбинаторики многочленов и математического анализа.

Теорема 1. (Формула бинома Ньютона). Пусть п > 0. Тогда для любых чисел х и у имеем

(х + у)п = ^(Лхтуп-т.

т=0 ^ '

Числа , 0 < т <п, называются биномиальными коэффициентами и равны числу сочетаний из п различных элементов пот > 1 различным элементам. При т = 0 по определению полагаем (д) = 1. Сочетанием из п по т различным элементам называется выбор т различ-

п п т

типа: содержащие п-й элемент или не содержащие его. Число сочетаний первого типа равно

1), поскольку приходится делать из оставшихся п — 1 элементов выбор т — 1 различных элементов. Число сочетаний второго типа равно (п—1). Таким образом получаем основное рекуррентное соотношение для биномиальных коэффициентов

(V)={:т 1)+(т )•

п = 0

лива для п = т. Докажем её для п = т + 1. Пользуясь предположением индукции и основным рекуррентным соотношением для биномиальных коэффициентов, имеем цепочку равенств

ЛЬ / \ / \ ЛЬ / \

(х+уГ+1=(х+У) ^ [т)хкут-к=е {т)хк+1 ут-к+Е (т)хкут-к

т+1 , ч т , ч

=е и т 1) хкут-к+1+хкУт-к+1= к=1 ^ ' к=0^ '

(тт)х-+{ту1+§ цкт 1)+(т)) =| (т+

что и требовалось доказать.

Дадим другое доказательство теоремы, не использующее основное рекуррентное соотношение. Воспользуемся производной степенной функции (хп)' = пхп-1. Индукция по п. При п = 0 п = т.

п = т + 1 .

Л(х + хт+1 =(т + 1)(х + у)т = (т + 1) (Гк)хкут-к. х к=0 ^ '

х.

(х + УГ+1 = ( т + 1) £ (т) к+^Ут-к + С (у) = Е(т+ ^хкут-к+1 + С (у). к=0 ^ ' + к=1 ^ '

х = 0,

т

0

С (у)= ут+1 =(т Ут+1.

Следовательно, справедливо искомое равенство.

2.2. Обобщённая проблема Варинга, проблема Гильберта — Камке

Далее дадим арифметические приложения формулы бинома Ньютона к исследованию ба-

п

Варинга (Хуа Л.-к.[2],1940)) и последовательности значений векторов (х,х2,... ,хп) (проблема Гильберта - Камке (Г.И.Архипов[13],1981)). Это касается только нижних оценок для числа переменных соответствующих сравнений и систем сравнений полиномиального вида. В оригинальной работе Г.И.Архипова, введённые им многочлены, представлял ись через верхние факториальные многочлены, а многочлены Хуа Ло-кена — через нижние факториальные многочлены.

п > 1 , х \п-.в I х \ 25-1

Нп(х) = £ (-1)n-s(^

многочлен степени п. Тогда имеем,

_ |0 (mod 2п), если 2\х,

(-1)п-1 (mod 2п), если 2 \х.

Н™(х) 1

{

Доказательство. По формуле Тейлора находим

(-1)- = (! - 2) = ¿Q (-2)' = 1 + ¿(X) МГ + Е (X) МГ ^

s—0 s— 1 s—

= 1 + 2(-1)пНп(х) (mod 2n+1)

Следовательно,

(~1)х - 1 Нп(х) = (-1)п- (mod 2п).

Теорема доказана.

Пусть Р (х) — целозначный многочлен степени п с положительным старшим коэффициентом. Хуа Ло-кен нашёл оценки количества переменных G(n;P(х)) для разрешимости при всех достаточно больших N обобщённого уравнения Варинга

Р (х1) + ■■■ + Р (хS) = N

в неотрицательных целых неизвестных х1,... ,х3.

Поскольку Нп(х) принимает только два несравнимых по модулю 2п значения: 0 и (-1)п-1, для разрешимости сравнения

Нп(х1) + ■■■ + Нп(ха) = 2п - 1 (mod 2п)

необходимо выполнение условия s > 2п - 1.

Более того, так как при чётном п многочлен Нп(х) принимает только три несравнимых по модулю 2п+1 значения: 0, -1 и 2п - 1, то для разрешимости сравнения

Нп(х1) + ■■■ + Нп(х3) = 2п (mod 2n+1)

необходимо выполнение условия s > 2п. Следовательно,

2п - 1, если (п, 2) = 1,

¡2п - 1, \2п,

G(n; Нп(х)) >,

2' , если 2\п.

Представим многочлен Нп(х) в виде

п

Нп(х) = Е

а$х .

S=i

Г.И.Архипов нашёл необходимые и достаточные условия разрешимости системы уравнений Гильберта - Камке

Xi +-----+хк = Ni,

х'1 + ■■■ +xl = Nn,

в натуральных числах xi,..., хк, и дал верхние и нижние оценки для числа переменных к. Для того чтобы система сравнений

'Xi +-----+хк = Ni (mod2n),

xi + ■■■ + х1 = Nn (mod2n), была разрешима, необходимо, чтобы выполнялось неравенство

к > Ьо,

где Ьо — наименьший неотрицательный вычет числа b = b(Ni,..., Nn) по модулю 2п,

п

Ь = ^asNs.

s=i

В самом деле, из разрешимости предыдущей системы сравнений следует, что разрешимо сравнение

Нп(х1) + ■■■ + Нп(хк) =b (mod2n).

Если положить Ni = ■ ■ ■ = Nk = 2п — 1 (mod 2га), то b = Ьо (mod 2п). Отсюда получим, что при к > Ьо > 2п — 1 система сравнений Гильберта - Камке разрешима.

Формула бинома Ньютона лежит в основе многочлена Тейлора. Справедливо следующее утверждение.

2.3. Формула Тейлора для многочленов над полем и для гладких функций на вещественной оси

Теорема 3. (Формула Тейлора). Пусть п > 0, ¡(х) = a0 + а-\_х + ■ ■ ■ + апхп, an = 0, — многочлен степени п над некоторым полем F. Тогда для любых чисел х и у из F имеем,

! (х + у) = ± ^у*,

к=0

где ¡(к)(х) = (f(k-i)(х)) ( х),

¡'(х) = папхn-i + ■■■ + ai, f(0)(х) = ¡(х).

Доказательство. Индукция по п. При п = 0 утверждение теоремы очевидно. Предположим утверждение теоремы верно при п = т. Докажем справедливость его при п = т + 1. Имеем

т

¡(х) = д{х) + ат+\хт+1, д(х) = ^ак хк.

к=0

По предположению индукции получим

9(х + У) = £ ^ ук •

к=0

а по формуле бинома Ньютона

ат+;(х + у)т+1 = ат+\ X; (т+ 1)хт+1-кук = ат+1 £ (^Д

А:=0 ^ ' к=0 '

Стало быть,

Дх + у)= д(х + у)+ ат+;(х + уТ+; = £ Ш + ^^ ук + ¿т+^У^1 =

к=о ! ( + )!

= ^к

^ к! У .

к=0

Теорема доказана.

Пусть теперь поле Е является полем вещественных чисел. Тогда справедлива следующая формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

Теорема 4. Пусть существует ¡(а+1"> (х) на отрезке [а, Ь]. Тогда для любых чисел х и у из [а, Ь] справедливо тождество

¡(х + у) = Рп(х; у) + Кп(х; у),

где

Рп(х; у) = Рп(х; = ^^Г^,

к=0 !

где ¡(к\х) = (¡(к-1\х)) -к

( х),

Яа = Еп(х;у) = У11+1,

причём с — некоторая точка, принадлежащая интервалу с концам,и х и х + у.

Доказательство. Без ограничения общности будем считать, что у > 0. Рассмотрим вспомогательную функцию

Рп = <Рп(х;у) = ¡(х + у) - Рп(х;у) - Нуп+1.

Найдём параметр Н из условия рп(х; у) = 0. Очевидно, имеем

^п(х;0) = ^(х;У)

йу

= = йпрп(х; у)

у=0 йУП

= 0.

у=0

Из условия ^п(х;0) = фп(х;у) = 0 по теореме Ролля получим, что найдётся точка С\ такая, что 0 < С\ < у и = о. Аналогично, по теореме Ролля найдётся точка С2 с условием

у У=с 1

п ^ ^ <12<лп(х::у)

0 < С2 < С\ и такая, что — , ч2

у= 1

= 0, и т.д. Наконец, найдётся точка сп+г, 0 < Сп+1 < сп,

такая, что

с1п+1<£п(х-,у)

у= 2

= 1<п+1)(х + Сп+г) - (п + 1)1Н = 0.

У=Сп+1

йу п+г

Полагая с = х + сп+1, получим Н = ¡(п+г) (с)/(п + 1)1. Теорема доказана.

2.4. Численное решение уравнений для гладких функций на вещественной оси и неархимедовском полном поле, приближенное вычисление значе-

и 1 и

нии гладких функции

Дадим приложение формулы Тейлора к численному решению уравнения /(х) = 0 для гладкой функции /(х) на отрезке [ а, Ь] (метод касательных Ньютона, метод последовательных приближений).

Теорема 5. Пусть ¡'(а)/(Ь) < 0, и пусть на отрезке [а, Ь] существует вторая непрерывная, производная, функции f (х), причём для любого х имеем, |/"(х)1 < М, I/1 (х)| > т > 0. Тогда, предел, последовательности

/ (®п)

ап+1 = а,п

ГЫ

при

М I „< 1

М 2т

V (а0)

даёт, единственное решение х = а уравнения ¡(х) = 0 на, от,резке [а, Ь], причём

п 2п+1

2т д2

|а -ап|< М Т-^+т.

Доказательство. По формуле Тейлора для любых х,у Е [а, Ь] до второго члена с остаточным членом в форме Лагранжа находим

/ (х + у) = /(х) + /'(х)у + 2/' '(с) у2,

где с € [а, Ь] — некоторая точка.

Определим две последовательности ап и Рп,п > 0, из равенств

ап+г = ап + Рп, /(ап) + Рп!'(а,п) = 0(п > 0). Отсюда, используя формулу Тейлора, получим

/ (ап+г) = /(ап + Рп) = \Г'(сп ,

где Сп Е [а, Ь].

Переходя к оценкам, имеем

Следовательно,

\Рп+г\< ^Рп(п > 0).

2т 2п+1 \Рп+г\ < 2Мд2 .

Поскольку ряд

те

а = ао +

п=0

по критерию Коши сходится, находим оценку точности приближения

те „ 2"+1

\а — ап\< Е \&\< -т.

к=п+1 4

Теорема доказана.

Подобное утверждение (лемма Гензеля) имеет место для неархимедова нормирования. К сожалению, наглядной геометрической трактовки метода последовательных приближений для такого нормирования нет.

Напомним, что неархимедовым нормированием \ ■ \ поля К называется вещественная неотрицательная функция, удовлетворяющая условиям:

1) \ а\ = 0 ^^ а = 0;

2) для любых а и 3 из К имеем \а(3\ = \а| ■ \(3\;

3) для любых \ а\ < 1 из К имеем \ 1 + а\ < 1, что эквивалентно условию: для любых 3 и 7 К

\ а + р\ < тах{\а\,\(3\}.

В частности, отсюда следует, что, если \ 7\ < \(3\, то \ (3 + 7\ = \(3\.

Поле К с нормированием \ ■ \ называется полным, если любая фундаментальная последовательность ап,п > 1, сходится к некоторому элементу из К. Последовательность ап,п > 1, фундаментальна, если для всякого е > 0 найдётся номер по такой, что для всех номеров п > по и т > п0 имеем \ат — ап\е.

а, а < 1 К

обозначается символом Ие .Множество а € К таких, ч то \а| < 1 образует максимальный идеал р в кольце Ие.

Теорема 6. Пусть К — полное поле, ¡(х) € Ке[х], и пусть а0 € Ие таково, что 0 < \ $ (ао) \ < \ / '(ао) \2. Тогда предел последовательности

/ (ап)

ап+1 = ап

Г(ап)

даёт, единственное решение x = а уравнения f(x) = 0, причём

I I ^ f2n+1 f f(a0)

I а -ап| < f0 , f0 = JO) ■

Доказательство. По формуле Тейлора находим

Пх + у) = ± ^',

к=0 '

где f(k\x) = (f(k-l\x))' — к-я производная многочлена f(x), причём

f'(x) = папхп-1 + ■■■ + ai е Re[x], f(0)(x) = f(x) е Re[x], ^ е Re[x].

к!

Для кратк0сти записи определим величину $п,п > 0, следующим образом

/( an)+pnf'(ап)=0.

Из условия теоремы имеем

!(ао)

< \1 'Ы\< 1.

гы

Следовательно, Ро Е Ие.

Сначала докажем, что 1) а,п Е Ие; 2) Ц'(а,п+г)\ = \/'(а,п)\,п > 0; 3) \/(а,п)\ < Ц'(а,п)\2. п. п = 0

( х),

\/'(аг) -/'(ао)\ =

± ^

к=1

к1

\С1(ао) \ <

/(ао)

/'ао

< \ Г(ао) \.

где

С1(ат) = ]Г ^а^Ркп1^ > 0.

к=1

к

Отсюда, используя условие 3 в определении нормирования, получим

\ /'Ы \ < тах{\Г(а0)\, \Г (а1) - /'(ао)\} = \/'(ао)\,

\/'(ао)\ < тах{\/'(а1)\, \/'(а1) - /'(ао)\} = \/'(а1)\, т.е. \ /'(а1) \ = \ /'(а0) \. Тем самым при п = 0 условие 2) доказано.

п = т.

п = т + 1.

Сначала покажем, что утверждение 1) справедливо. Имеем ат+1 = ат — Рт. По предположению индукции (условие 1)) ат Е И.е, а из условия 2) находим

\ Рт \ =

/(ат)

/'(ат)

< \ /'(ат) \ < 1,

что даёт условие Рт Е И,е .Следовательно, ат+1 Е И,е .

( х),

\ /'(ат+1) - /'(ат) \ =

±

к=1

к

= \ Рт \ • \ С1(ат) \ < \ Рт \ =

/ (ат)

/'ап

< \ ¡'(ат) \.

Аналогично предыдущему, имеем

\/'(ат+1)\ = \/'(ат)\,т > 0;

что приводит к справедливости утверждения 2).

Докажем утверждение 3). По формуле Тейлора находим

/ (ат+1) = /(ат) + Рт/' (ат) + РтСо(ат),

где

Оо(ат) = Е ^г^Рт-2 Е Ие,

в=2

т.е. \ Со (ат) \ ^ 1.

Поскольку /(ат) + Рт/'(ат) = 0, получим

\ /(ат+1) \ = \ Р2тСо(ат)\ < \Р^\ =

/(ат)

( ат)

<

2

(по предположению индукции |¡'(ат+1)| = |¡'(ат)1 и |¡'(ат)1 < ^'(ат)12)

< И'(ат)|2 = 1Г(ат+1)12,

т.е. |¡(ат+\)1 < |/'(ат+1)12. Утверждение 3) доказано.

Далее при п > 1 го условий |/(ап)1 < 1Уп-112,1/'(ап)1 = 1/'(а0)1 имеем

113п1~1Г -0)1.

Применяя последовательно это рекуррентное неравенство при п,п — 1,..., 1, находим

> 2 \о |22 |д |2П

п— 11 ^ |уп-

,П I ^ ^ \ftn-2 \ _\Ро\

|Рга| - I f'(а)1 - I f'(а) 12 - ^ - I f!

\Г(ао)\~ \Г(ао)\2~ - \ГЫГ-1' Наконец, при п > 1 из рекуррентного равенства ап = an-i + @n-i получим

п— 1

ао + fis.

ап = а0 I / у У в.

в=0

Так как |/(од)| < Ц'(ао)12, то для любого е > 0 найдется номер д такой, что для всех Q > 2я выполняется неравенство

= ( I /Ы1 у <р

и = 1 1Г(ао)12) <£.

Отсюда, используя критерий Коши для полного поля К, к оценке

|28

\®r -aq\ - \ У Ps\ - max \&\ - max —

,=д+1 К3<г К3<г 1 Г (ао) 12"

I/(ао)12\, и I Дао)Г л*

ж<г и'(ао)12 ж<г |/' (ао)|2

Тем самым доказано, что при п ^ те последовательность {ап} сходится к некоторому эле-а К.

Оценим скорость сходимости этой последовательности. Имеем

\а - ап\ =

те

£ &

s=n+1

I п I ^ ¡•2п+1

= sup max \(3s\ - /0 .

q>1 n<s<q

Теорема полностью доказана.

Далее рассмотрим итерационную формулу для вычисления значений гладкой функции в точке на вещественной оси. Пусть хо S R и fo = f (хо), и пусть fn — приближение к fo с точностью An = \ fn — /о\. Тогда справедливо следующее утверждение.

Теорема 7. Пусть G(x) дважды, непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки ¡о, причём в этой окрест,ноет,и max\G"(t)\ = с, и пусть fn+1 = G(fn)

G( fо) = = 0.

Тогда, Ап+1 - 0, ЬсА2п.

Действительно, по формуле Тейлора - Маклорена имеем

¡п+1 = С(к) = С(¡о) + С(к)(к - к) + 0,5С'(0(к - к)2,

о.

Поскольку О(к) + С(¡о)(¡п - ¡о) = к, находим

Ап+1 < 0, 5 сАп.

Например, 1) для хо > 0, /(хо) = /хо получим к+1 = С(к) = ^ ^к + ^^ ;

2) для 0, 5 < хо < 1, /(хо) = 1, С(к) = 2к - хох2п,

3) для 1 <хо < 1, ¡(хо) = /хо, С(к) = 3 (2к + §) или С(к) = ).

2.5. Многочлены Вернул ли

Для дальнейшего необходимы следующие новые понятия. Определим числа Бернулли Вп, п > 0, из соотношений

п

Во = 1> 52{Пк}Вк = Вп,п > 0. к=0 '

L £(п>

к=0 4 7

Далее определим многочлены Бернулли Вп(х),п > 0, следующим образом

Во(х) = 1,Вп(х) = ]Г (п)вп-кхк, п > 0.

к=о к

В частности, отсюда находим

Во = 1, В1 = —, В2 = 1, Вз = 0, Вл =--, В5 = 0, Вб = —;

о , 1 2' 2 6 3 ' 4 5 ' 6 42'

1 1 3 1

Во(х) = 1, В1(х) = х - -, В2(х) = х2 - х + -,Вз(х) =х3 - -х2 + -х.

2 Ь 2 2

п > 0. х

п

Вп(х + у)= £ (1ЛхтВп-т(у).

т=0 ^ 7

Доказательство. По определению и формуле бинома Ньютона имеем

Вп(х + у) = £ Вп-к (П) (х + У)к = £ Вп-к (п) £ (к) Xsyk-s =

к=0 ^ 7 к=0 ^ 7 s=0 ^ 7

= Ê х- £ (^ = ± (п УЁ (п » = ± ^-s (У).

s—0 к—s s—0 к—0 s—0

что и требовалось доказать.

Теорема 9. (Формула Ньютона для многочленов Бернулли). Пусть

f(х) = а0В0(х) + а\Вх(х) +-----h апВп(х), д(х) = а0 + а\х +-----h а.пха, ап = 0,

многочлен степени п над некоторым полем F. Тогда для любых чисел х и у из F имеем,

f (х + У) = £ 9-^тВк(у). к=0 '

2.6. Формула Эйлера — Маклорена суммирования значений функции по целым точкам

В теории чисел формула Эйлера - Маклорена часто применяется для дважды непрерывно дифференцируемых функций (формула Н.Я.Сонина).

Теорема 10. (Формула Эйлера-Маклорена суммирования значений функции по целым т, п > 1 а, ¡(т)(х)

[ а, ]

Е № = ¡№ + Е f(k-1)(х)

a<n<b „ k=1

+ Rm,

где

ь

Rm = (-1)m+1 Í Bm({*} f(m)(x) dx.

J m\

Доказательство. Индукция по m. При m = 1 вывод формулы (см., например, [14], гл. VIII, §2, с.205-206) использует формулу Ньютона-Лейбница. Действительно, следует доказать,

TJ'PQ

Е /н = / f(x)dx - Щхх^^{0)х ° + J

a<n<b

^f (x)dx.

Положим

У

F(У)= Е f(n)+Bi([y])f(y),B\(y) = у- \,G(y) = J

a<n<y

BlMlf>(x)dx + B1({a])f(a).

Функции Р (у) и С (у) являются непрерывными на [а, Ь], поскольку "скачок" суммы в Р (у) при переходе через целую точку гасится скачком функции В1({у})/(у) в этой точке. В нецелых точках производные функций Р(у) и С(у) равны. Наконец, Р(а) = С(а) = В1({а})/(а). Следовательно, функции Р(х) и С(х), как первообразные от одной и той же функции, совпадают [ а, ]. т = 1

т = . т = + 1 .

К3. Интегрируя по частям, находим

(-1) 8+1Я8 = I ¡^(х)йх = I ¿^й (!вз (М)Ж^ =

Поскольку

получим

f(s)(x)

Bs({u}) du

ь ь

f(s+1) (x)

Bs({u}) du I dx.

Bs({u}) =

B's+i({u}) s + 1 :

: X

Bs({u})du = j

Bs+i({u})du =Bs+i({x}) Bs+i(0)

s + 1

s + 1

s + 1

a

X

X

a

Следовательно,

(—1) = (в)(х)Ь

о

Я*+1, Я,+1 = 1 ¡(,+1)(х)йх,

что и доказывает утверждение теоремы.

Заметим, что для любых целых а и Ь и при т > 1 формулу Эйлера-Маклорена можно представить в виде

Ь-1 Ь,. т

1 " * ^ " — 1 — I " - йх , ^ В2к ( Я2к-1)^ А2к-1 2" ■ ^ ' '2'..........

;¡(а) + Е !(п) + \т = [ ¡(х) йх + £ || (¡(2к-1)(Ъ) — /(2к-1)(а)) + Я2т

п=а+1 { к=1 (

где

ь

Я'2т = "/ НЩТ''2т)(х)йх,

а

так как Вк({а}) = Вк({6}) = Вк(0) = Вк.

а

значений гладкой функции

1 ь-1 1 ьг

^¡(а)+ Е !(п) + ^!(Ь)= (¡(х) + В1({х})Г(х))йх.

п=а+1 а

а

мула Эйлера-Маклорена приобретает вид

т

Е Кп)= [¡(х)йх + £ В2к(^(1(2к-1)(Ь) — Ук-1)(а))+К2т,

а<п<Ь а к=1 ( ''

с той же функцией К2т, что и в предыдущей формуле, причём

Ч 1)=0,В2к(¡) = (1 — 22-)В2к,к > 1.

а

Ь

х х

Е /(п) = /( 1(х)+В1({х])Г(х))йх.

а< п<

Последняя формула используется для вывода формулы Пуассона суммирования значений гладкой функции по целым точкам.

2.7. Формула Пуассона суммирования значений гладкой функции по целым точкам

В начале отметим, что подобная формула имеет место и для функций с ограниченным изменением.

Теорема 11. Формула Пуассона. Пусть числа а и Ъ — полуцелые, функция ¡'(х) имеет непрерывные производные на отрезке [(а, Ь], причём для любого х из [а, Ъ] имеем, |/'(х)1 < С. Тогда, при любом натуральном, М справедлива, формула

м

а<п<Ь

где

Е ^п)= Е № е2ттхйх + Км,

т=-маа

„ 8 С ( Ь — а)(1пМ + 1) ^м <-

М

Доказательство см., например, в [14], с. 112. теорема 3.

3. Последовательность биномиального типа

Далее дадим обобщение формулы бинома Ньютона.

Последовательность многочленов рп(х), (1е^(рп(х)) = п, п > 0, со старшим коэффициен-1,

Рп(х + у) = Е рк(х)Рп-к(у)(п > 0)ро(х) = 1,р3(0) = 0(з > 1),

называют последовательностью биномиального типа. По существу, эти тождества представляют обобщение формулы бинома Ньютона.

Теорема 12. (Формула бинома для многочленов биномиального типа). Пусть задана, последовательность многочленов биномиального типарп(х),п > 0,р0(х) = 1, над некоторым полем ¥. При любом п > 1 имеем, рп(0) = 1. Тогда для любого м,н,огочлена ¡(х) степени п,

¡(х) = аоро(х) + агрг(х) +-----+ а,прп(х),а,п = 0,

и для, любых чисел х и у из~Е справедливо тождество

!(х + у) = £ -^ рк (у), к=0 '

где —к/(х) = — {—к 1 ¡(х)) к-я итерация линейного оператора — многочлена ¡(х) с условиям,и,

Жрп(х)) = прп-г(х), —ро(х) = 0, —0рп(х) = рп(х), рп(0) = 0(п > 1).

п. п = 0

ложим утверждение теоремы верно при п = т. Докажем справедливость его при п = т + 1. Имеем

т

¡(х) = д(х) + ат+1 рт+\(х), д(х) = ^ак'рк (х).

к=0

По предположению индукции получим

т —(к) д(х)

9(х + ^ = Е-к\-рк(y),

к=0 '

а по формуле бинома Ньютона для последовательности многочленов биномиального типа находим

т+1 /т + 1\ т+1 Ок (ат 1 рт Ах)

ат+!Рт+1 (х +у) = ат+1 Е ( + ) Рт+1-к (х)рк (у) = Е -т+1\ т+1-Рк Ы)'

к=0 ' к=0 '

Так как Ят+1д(х) = 0, поскольку Яро(х) = 0, то отсюда имеем

f (х + у) = д(х + у) + ат+1Рт+1(х + у) = т (к (9(х)+От+1Рт+1(х)) , , , Ят+1 ¡(х) ( , (к¡(х)

= Е -к-Рк(У) + 1тТ1)^Рт+1(у) = Е (У)-

к=0 У '' к=0

Теорема доказана.

4. Нижние и верхние факториальные многочлены

Нижние (убывающие) факториальные степени

х(п) = х(х — 1) ... (х — п +1), х(0) = 1,п > 0,

подсчитывают число взаимно-однозначных функций из множества, состоящего из п различ-

х х

п

х х

х — 1 п х — п + 1

собами. Отсюда получаем формулу для х(п). Заметим, что в каждом сочетании из х по п с п п

'х\ (х\ х(х — 1)... (х — п + 1) х!

П!' 1 - ™ ' 1 - -

К п)=х(п),(п)

Кп) (п),\п/ п\ п\(х — п)У

Докажем формулу бинома для нижних факториалов.

п > 0. х

п / \

п

(х + У)(п) = Е \ Гт\х(,т)У(:п-т).

т=0 ^ '

Доказательство. Очевидно, имеем х(п) = (х — п + 1)х(п-1). Индукция по п. При п = 0

п = т.

п = т + 1 .

т / N

(х + У)(т+1) = (х + У — т)(х + У) (т) = (х + У — т)У( т I х(к)У(т-к) =

к=о^к/

т /т\ т /т\

= Е ( т ) (х — й)х(к)У(т-к) + Е ( т ) х(к) (У — т + к)У(т-к) = к=0 ^ ' к=0 ^ '

т+1 / т \ т /т\

= Е [к — ^х(к)У(т-к+1) + Е ук)х(к)У(т-к+1) =

(т\ v^ // т \ iт\\ (т\

W Х(т+1)У{0) + ^ VU - У \к)) X(k)y(m-k+l) + ^ о) х(0)У(ш+1) =

(т + 1\

k )Х(к)У(ш-к+1),

что и требовалось доказать.

Теорема 14. (Формула бинома для нижних факториалов). Пусть п > 0,f(x) = аоХ(о) + + a\X(i) + ■ ■ ■ + апХ(п),ап = 0, ^ многочлен степени п над некоторым полем F. Тогда для любых чисел х и у из F имеем

, A Akf (x)

к=0

где Акf (x) = А (Ак-1 f(x))— k-я убывающая конечная разность многочлена f(x), причём,

Af(x) = f(x + 1) - f(x), A°f (x) = f(x).

F

формула Тейлора для нижних факториалов с остаточным членом в форме Лагранжа.

Теорема 15. Пусть существует f(n+1\x) на отрезке [а, Ь]. Тогда, для, любых чисел x из [а, Ь] и любых 0 < у < 1 справедливо тождество

f (x + у) = Р(x; у; п) + R(x; у; п),

где

™ А(к) f (x) Р(x; у; п) = Р(x; у; п; f) = ^---у(к),

к=0 '

где А(к) f(x)

= А (А(к 1) f(x)^ — k-я конечна убывающая разность функции f(x), Af (x) = = f(x + 1) - f(x), А(0) f(x)=f(x),

fin+1)(c) R = R(x; у;п)= + yn+1,

причём с — некоторая точка, принадлежащая интервалу с концам,и x и x + у.

Доказательство. Сначала докажем, что в точках у = 0,1,..., п разность f(x + у) — —Р(x; у; п) обращается в нуль. Индукция по п. Очевидно, утверждение справедливо при п = 0.

п = т. п = т + 1,

справедлива формула

m+1 А(Oßx), k!

f(x + т + 1) = Е--^xl (т + 1)к = S.

к=0

Преобразуем правую часть 5 этой формулы. Используя предположение индукции, имеем

8 = Е (т+1)А{к' п*) = (тьн

к=0 ^ ' ^ 7

+£ ((т)+{кт:))^<*>+(т

т / N т / \

= ЕГ а(к)№ + Ей)А(к+1)№) = f(x + т) + + т) = !(х + т +!). к=0 ^ ' к=0 '

Рассмотрим далее вспомогательную функцию

y(t) = у(х; t; п) = f(x + t) - Р(х; t; п) - Ht{n+i).

Имеем

у(0)=у(1) = ••• = у(п) = 0.

Найдём параметр H из условия у(у) = 0. Далее, по теореме Ролля из условия, что функция y(t) обращается в нуль в п + 2 различных точках: 0 < у < 1 < ••• < п, получим, что найдутся п + 1 различных ci,..., cn+i точек таких, что

У (ci) = у' (С2) = У (Сп+l) = 0.

Повторяя это рассуждение п + 1 раз, находим, что существует точка с* такая, что

у(п+1)( с*) =0,

т.е.

f(x + с*) - (п + 1)!H = 0.

Положим с = х + с*. Имеем H = f (п+1\с)/(п + 1)!. Теорема доказана. Подобным образом, верхние (возрастающие) факториальные степени

х(п) =х(х + 1)... (х + п - 1), п > 1,х(0) = 1,

п х

ек, когда выбран линейный порядок шаров внутри каждой ячейки и нет ограничений на число

х( п) п

ковых шаров в х различных ячеек, т.е. число решений в неотрицательных целых щ,... ,пх уравнения щ + ■ ■ ■ + пх = п, а затем для каждого размещения, предполагая, что шары различные, найдем, что их можно переставить п! способами. Таким образом, учитывая, что число решений уравнения равно (Х'+П-1^, П0ЛУЧИМ

( п) х + п - 1

! х + п - 1 .

! п .

ху ' = п

п

Докажем, что последовательность верхних (возрастающих) факториалов является последовательностью биномиального типа.

Теорема 16. Пусть п > 0. Тогда для любых чисел х и у имеем,

(х + у)(п) = V (П\х(т)у(п-т).

.т,

т=0 4 '

Доказательство. Определим оператор = х(п) — (х — 1)(п). Имеем = пх(п-1\

п > 1.

п. п = 0

ложим, что утверждение имеет место при п = т. Докажем его при п = т + 1. Используя предположение индукции и предыдущее равенство, находим

т f \

У(х + у - s )(т+1) = (т + 1)(х + у - s )(т) = ( т + 1) Е(7) (х - ^)(к)у(т-к), 0 < s < х.

x,

х т / ч

(x + у)(т+1) — у(т+1) = ЕЕ и)(т + 1)(x — *)(к)у(т-к).

s=0 к=0 ^ '

Поскольку

имеем

E(x —* )( к)

=0

!ю(к+1) k + 1

(x + у)(т+1) — у(т+1) = Е (т) (т + Е(x — *)(к)) У

( т- к )

Е

к=1

т + 1\:ю(к)у(т-к+1),

что и требовалось доказать.

Теорема 17. (Формула бинома для верхних факториалов). Пусть п > 0 f(x) = аох(0 + + а1х(1) + ■ ■ ■ + апх(п),ап = 0, ^ многочлен, степени п над некоторым полем F. Тогда для любых чисел х и у из F имеем

f (х + ») = £ У<»

к=0

k!

где Vle f(x) = V (V к 1f (x)) k-я разность противоположного сдвига многочлена f(x), причём

V f (x) = f(x) — f(x — 1), Vx(0) =0, V0 f(x) = f(x).

Теорема 18. Пусть существует, f(n+1 (x) на, отрезке [а, Ь]. Тогда для любых чисел, x из [а, Ь] и любых у € [0,1] справедливо тождество

f(x + у) = Р(x; у; п) + R(x; у; п),

где

" Т/к f(x)

Р(x; у; п) = Р(x; у; п;/) = ^ ^j-1-

-У

( к),

к=0

где Vкf (x) = V (Vк 1 f(x)) — k-я конечная возрастающая разность функции f (x), Vf (x) = = f(x) — f(x — 1), V(0 f(x)=f(x),

R = R(x; у; п) = {^^$ у(n+1)

(п + 1)!

x x + .

5. Последовательность многочленов Абеля

В том же духе можно рассмотреть многочлены Абеля

Ап(х) = Ап(х; а) = х(х — ап)и-1, 0 <п < х/а.

Далее находим вероятность того, что при случайном бросании дуги окружности длины а на

х п < х/ а а

пересекаются. Эта вероятность равна

Ап(х;а) х(х — ап)п-1

хп хп

Теорема 19. Пусть п > 0. Тогда для любых чисел х и у имеем,

Ап(х + У)=Е( Ат (х) Ап—т (у).

т=0 ^ '

Доказательство. Без ограничения общности теорему достаточно доказать при а = 1. Воспользуемся производной степенной функции

(Ап(х))' = (х - п)п—1 + (п - 1)х(х - п)п—2 = пАп—1(х - 1).

Индукция по п. При п = 0 теорема очевидно верна. Предположим она верна при п = т.

Докажем утверждение теоремы при п = т + 1. Используя предположение индукции, имеем

аАт+1(х + У) =(т + 1)Ат(х + у - 1) = (т + 1) V И Ак(х - 1)Ат—к(у).

йх V к

к=0 К '

х.

Ат+1(х + у) = (х + у)(х + у - т)т = (т + 1) ^ Ат—к (у) ^ Ак (х - 1) йх^ + С (у). к > 1

У Ак (х - 1)йх = I й(х -к - 1)к = (х - ^(х-к - - Ц(х -к - 1)кйх =

х(х -к - 1)к Ак+1(х)

= к + 1 = ~к+Г.

Следовательно

т+1 /т + 1\

Ат+1 (х + У)=Е( к )Ак (х)Ат+1 — к (у)+С(у). к=1 ^ '

Подставляя в это соотношение х = 0, находим

т + 1

С (У) = Ат+1 (У) = ( 0 \Ао(х)Ат+1(у).

Следовательно, справедливо искомое равенство для разложения многочлена Абеля как многочлена биномиального типа.

Теорема 20. (Формула бинома для многочленов Абеля). Пусть п > 0 /(х) = аоАо(х) + + а1А1(х) + ■ ■ ■ + апАп(х), ап = 0, ^ многочлен степени п над некоторым полем Е. Тогда, для, любых чисел х и у изЕ имеем

/(х + ») = £ Ак („) = £ Ак („),

к=0 к=0

где (БЕ)к/(х) = ИЕ ((БЕ)к—1/(х)) — к-я итерация композиции операторов сдвига и диффе-

( х),

ИЕ (Ап(х)) = (Ап(х + 1))' = пАп—1(х), (ИЕ )0А,п(х) = Ап (х).

Теорема 21. Пусть существует f(n+1\x) на отрезке [а, Ь]. Тогда, для любых чисел х из [а, Ь] и любых у € [0,1] справедливо тождество

f (х + у) = Р(х; у; п) + R(x; у; п),

где

n

(DЕ)кf (x) А ¡(к)(x + k)

Р(х; у; п) = Р(х; у; п; f) = £ ^^(у) = £ ^^ Ак(у),

к=0 ' к=0 '

где (DE)kf (х) = DE [(DE)k-1 f (х)) к-я степень линейного оператора DE, применённого к функции /(х), DE (¡(х)) = f(х + 1),DE(0) f(х) = f(х),

!<п+1)( с)

R = Я(х;у;п) = ^-(^-An+i(y), причём с — некоторая точка, принадлежащая интервалу с концам,и х и х + у.

6. Последовательность многочленов Jlareppa

Приведём ещё один важный пример последовательности биномиального типа — это последовательность многочленов Лагерра

tn(*)=£ п (п - '^-х)к k=i 4 7

Теорема 22. Пусть п > 0. Тогда, для, любых чисел х и у имеем,

Ьп(х + у) = Е ( ) ьш(х)Ь п—т (у).

т=0 ^ 7

Доказательство. Имеем классическое рекуррентное равенство для многочлена Лагерра

(Рп(х))' = п(Рп-1(х))' - п(Ьп-1(х)).

Индукция по п. При п = 0 Теорема очевидно верна. Предположим она верна при п = т. Докажем утверждение теоремы при п = т + 1. Используя предположение индукции, имеем

йЬт+1х + У) =(т + 1) ^х+А - (т + 1)Ьт(х + у) =

т / \ т / ч

т т

= ( т + 1)>{ , 4(х)Ь

к (У) - (т + ^ } А , )Lk (х)Ьт-к (У). к=0 7 к=0 ^ 7

х.

т / \ т / \

т т

Lm+1(x + у) = (т + 1) Е {т)Ьк^)ьт-к(у) — (т + 1) Е (т) ( / Ьк(x) äxj Lm-к(у)+С(у).

к=0 k к=0 k

При k > 1 вычислим разность

Lk (x) —J ^ (x) äx = £ (—1). — 1) x> — Z—)-1 ^^ — 1)

£(-1)'к (С--1)+С--1)) ** -- <-')'х+1=в-»-к(. - =^

Следовательно

Ьт+1(х + у) = (т + 1) Е (т) Ьт—к (у) ^х1 + С (У).

к=0 к к + 1

х = 0,

т + 1

С (у) = Ьт+1(У) = ( 0 )Ьо(х)Ьт+1(У). Следовательно, справедливо равенство

Ьт+1(х + у) = Е (^Т+^^—к(У)Ьк+1(х) + [ + )Ьо(х)Ьт+1(у) = к=0 к к + 1 0

т+1 т + 1

Е \ к )Ьт—к+1(У)Ьк(х),

к=0

что и требовалось доказать.

Теорема 23. (Формула бинома для многочленов Лагерра). Пусть п > 0 /(х) = а0Ь0(х) + + а1Ь1(х) + ■ ■ ■ + апЬп(х), ап = 0, ^ многочлен степени п над некоторым полем Е. Тогда, для любых чисел х и у изЕ имеем

/ (х + у) = £ Цт1^ (у)

к=0

-к-1

где (Ьк/(х) = Ь (Ьк 1 /(х)) к-я итерация оператора Лагерра многочлена /(х), причём Ь(Ьп(х)) = (пЬп—1(х) - Ьп(х))' = пЬп— 1 (х), Ь°Ьп(х) = Ьп (х).

7. Последовательности многочленов Аппеля и Эйлера

Пусть задана некоторая последовательность а0,а1,..., ап,.. .элементов из поля Е. Опре-

А п ( х)

п п

Мх) = Е{к)акхп—к,п > 0.

Имеем А'п(х) = пАп—1(х),п > 1.

п > 0. х

Ап(х + У) = £ (П)хтАп—т(у) = £ (Ап(У^т)хт. ^ \т) ^ т!

Доказательство. По определению и формуле бинома Ньютона имеем

Ап(х + у) = Ск^ап—к(х + у)к = Еап—кСк) £ (к^х*ук * = к=0 к к=0 к =0

=е - Е ш*^=£ (:)х-(п к ^=£ , «=

= £ п(п - 1) (,,-* + !) = £ (А,,Щ-> х,

*= ! *= !

что и требовалось доказать.

Теорема 25. (Формула бинома для многочленов Аппеля). Пусть

/ (х) = ЪоАо(х) + ЬА1( х) + ■ ■ ■ + ЪпАп(х),д(х) = Ъ0 + Ьх + ■ ■ ■ + Ьпхп, Ьп = 0, многочлен степени п над некоторым полем Е. Тогда для любых чисел х и у из Е имеем,

/(х + у) = £ ^ Ак (у). к= к!

К классу многочленов Аппеля принадлежат многочлены Л.Эйлера

£ (I) Ек (х - 2 )к' •

к=

где Ек,к > 0 — числа Эйлера, причём Ео = 1, Е2к+1 = ^и к > 0, и

2т\

т I,—п \

2к )

Е2 к = 0, т > 1,

\ 2 к I

к=

поскольку эти многочлены удовлетворяют уравнению

Е'п(х) = пЕп—1 (х),п > 0.

Отметим, также, что

те

1 к х

(-1) к Е2 к

2 к

соъх ^ (2к)!'

к=

и производящая функция для многочленов Эйлера имеет вид

^ Ек (х) к = 2ехЛ

^ к! е* + 1

к=

п > 0. х

п

Еп(х + У) = £ (П)хтЕп—т(у) = £ (Еп(У))т)хт.

т — т!

<т — П ' <т—П

Теорема 27. (Формула бинома для многочленов Эйлера). Пусть

/(х) = Ь0Е0(х) + ЬЕ1(х) + ■ ■ ■ + ЬпЕп(х), д(х) =Ь0 + Ьх + ■ ■ ■ + Ьпхп, Ьп = 0, п Е. х Е

/(х + У) = £ д-^гЕк(у). к= к!

8. Многочлены от нескольких переменных

Первым обобщением бинома является полином Ньютона.

Теорема 28. (Формула полинома Ньютона). Пусть п > 0,г > 1 — натуральные числа,. Тогда, для любых чисел х1,... ,хг имеем

п п !

(х1 + ••• + хг )п = У • • • ^^^-. ..хгтг

1

114'. . . . тг:

тх +-----+тг =п

т J ... тг!

т\=0 тг

Доказательство. При г = 1 формула очевидно верна. Предположим, что она справедлива для г — 1 переменных. Докажем её для г переменных. Положим х = х1 + • • • + хг-1. По формуле бинома Ньютона (теорема 1) находим

(х + хг)п = £ (п}хтхгп-т. т=0 т

т

т=0

Далее по предположению индукции имеем

т

V

т J ... тг- J

rni =о тг-1 =о тх +-----+тг-1=т

Отсюда получим

т т т !

х - (х1 + ' ' ' + хг— 0 - / ' ' / i 1х1 . . . хг— 1 Г 1

т ! . . . т ! 1

т1 =0 тг-1 =0 т1+-----+тг-1=т

п п т т т! (х1 + ■■■+хг)п = у п)хп-т у ■■■ у —-хт1...хг-1т-1,

\ш ^ т1! ...тг-^ 1

-

т1+-----+тг_1=т

что и даёт искомое равенство.

Теорема 29. (Формула Тейлора для многочленов от нескольких переменных). Пусть п > 0,г > 1 — целые чиела, х = (х1,..., хг),

п п

f(x) = у •••J2a(t 1,..., tr )х1 ...хГ, ¿1=0 tr=0 t1+-----+ tr <п

многочлен степени п над некоторым полем F. Тогда, для, любых векторов x и y имеем,

п 1

f(x + У) = Е ^f(x), к=0 к!

где D(k) f(x) = D (D(y 1) f(x)^j к (x),

Dy f(x) = £ V; D((0) f(x) = f(x).

Заметим, что

дх3 =1

п п к! df (к)(x)

D(к) f(x) = V ... V_к!__дг '(x) к1 к

D Ьо Ьок1....кг'дхк1...дхкг У1...У'

к\ +-----+кг=к

r

Доказательство. При г = 1 формула очевидно верна (теорема 2). Предположим, что она справедлива для г - 1 переменных. Докажем её для г переменных. Положим х(г—^ = (х1,... ,хг—1), у(т—^ = (у1,..., уг—1). По формуле Тейлора (теорема 2) находим

/(х + У)=9(хг + Угуг • Далее по предположению индукции имеем

д(т)(хг

т!

т=0

п— т

/(х + у) = Н(х(г—1) + у(г—1)) = Е ¿^Ц Нх(г—1)).

к=0 !

Отсюда получим

ГЫ + у) = V -1 V ( 9т/(*)ут\ = V 1

/(х + У) 8\У(г-1){ 9хт Уг = к!

Теорема доказана.

Справедлива следующая формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

Теорема 30. Пусть существует 0(п+1")/(х) в некоторой окрестности точки а е К. Тогда для любых точки Ь = а + Ь из этой окрестности найдётся такая точка с = а + вЬ, 0 < в < 1, что справедлива, формула

/(а + Ъ) = Рп(а; Ь) + Кп(а; Ь),

где

п ( к)

Рп(а; Ь) = Рп(а; Ь;/) = Е ^ ^

к!

к=0

где /(х) = ИУ (^У ^/(х)^ — к-й дифференциал функции /(х), отвечающий, приращению у,

п(:+1)/(с)

Кп = Кп(а; Ь)

(п + 1)!

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию

<Рп(Ь) = /(а + *Ь), 0 <г< 1.

т(1) А У(к)(0) , у(п+1)(в)

Так как

у(0)=/(а),У (0)=£>ъ/(а),...,у(п) (0) = И™ / (а), у(п+1) (в) = /(с), с = а + 9Ь,

то подставляя эти выражения в предыдущую формулу получим утверждение теоремы.

9. Формулы суммирования для функций от нескольких переменных

Докажем многомерный аналог формулы Эйлера-Маклорена суммирования значений гладкой функции по целым точкам.

Теорема 31. Пусть а = (а1,...,аг), Ь = (Ь1,..., Ьг) — векторы с полуцелыми коор-... 2 V"." " _ ьг)

динатами, р(х) = ^ — {х}, х = (х1,...,хг) — вектор с вещественным,и координатам,и, и пусть дх. непрерывны, в параллелепипеде ак < хк < Ьк, 1 < к < г, по всем, наборам,

1 < ]-[_ < • • • < ]3 < г, 1 < 8 < г. Тогда, имеем

У ••• у ¡(пъ...,пг ) = У(—1У у 1х

а1<п1<Ь1 аг <пг < Ьг 3=0 1<jl<•••<js<r

Ьг

[ [ д3 ¡(х) *] •• у дх-—дх^р(хя)...р(х1я)Ах1...Лхг.

ах аг

. = 1

Ь

£ /(п)=!(/(х)—р(х) ¡'(х)) dх,р(х)=2—{х}=—вl({х}), а< п< а

что является формулой Эйлера - Маклорена суммирования значений гладкой функции по целым точкам. Это и доказывает теорему при г = 1.

= ,

£ ••• £ Кт,...,пд) = У(—1у £ 1*

^<п1<Ь1 ач <пч <ЬЧ в=0 1<31<~<3з<д

д3 ¡(х)

дхП . . . дх3а

р(х^)... р(х^а) йх1... .

ах ад

Докажем теорему при г = д + 1. Воспользуемся сначала предположением индукции, а затем формулой Эйлера суммирования значений гладкой функции по целым точкам. Получим

£ ••• £ £ ¡(п1,...п,п+)= Е (£(—1)3 £ 1*

^<п1<&1 ад<пч<Ьдад+1<пд+1<Ьд+г ад+1 <пд+1<Ьд+г \3=° 1<1<-<js<q

Ь! Ьд

д3 ¡(х)

\

а ад

дхП . . . дх3а

р(х^)... р(х^а) йх1... йх<1

/

Ьд+1 ( q Ьг Ьд

ад+1

(—1)

1<31<-<За<,

=0

а ад

д3 Дх) х дхп ... дхзв Р(хп

\

р(х^)... р(х^а) йх1... д,х<1

dхq+l —

/

Ьд+1

/

ад+1

— [ р^+1) £(—1)3 £ уз=0 1< !<•••<

д3+1 пх)

\

а ад

дх^ ... дх^1!дх(1+1

р(х^)... р(х^а) dх1... dхq

dXq+l =

/

X

X

д

q+i "1 "<г+1

Е(-1)* £ [• • [ P(x.i) ■■■P(xjs)dxi ...dxq+i.

s=0 i<ji<-<jsWi Jq+1 dXj1 ■■■dx's

Теорема доказана.

Следствием многомерной формулы Эйлера-Маклорена является многомерная формула Пуассона суммирования значений гладкой функции.

Теорема 32. Пусть a = (ai,^^^), b = (Ъ!_,■■■, br) — векторы с полуцелыми координатам,и, x = (x-i^^^^xr) — вектор с вещественными координатам,и, и пусть

QS f(x)

дх ■ J эХ ■ непрерывны, в параллелепипеде ak < xk < bk, 1 < k < г, no всем, наборам, 1 < ji < • • • < js < т, 1 < s < г, причём найдётся постоянная С > 0 такая, что

д (x)

dxji ■ ■ ■ dxjs

С

для, всех наборов 1 < ]1 < ■ ■ ■ < ,]3 < г, 1 < в < г.

Тогда, при любых натуральных 1 < М1 < ■ ■ ■ < Мг имеем

М1 мг

Е ■■■ Е /(п1,...,пг)= Е ■■■ Е 1х

«1<п1<&1 ат <пг < Ьт т1 =—М1 тг=—Мг

&1 Ьт

х I /(х1 ,...хг)е2™ (т1Х1+^+ттХт )йх1 ...йхг + К(М1,...,МГ),

а1 ат

где

К(М1, ...,МГ) < 8 ■ ?/С (Ь1 -аг)... (Ьг - а, )(ЫМ1 + 1) .у (ЫМ' + 1)

М1

Доказательство. Из предыдущей теоремы имеем

= Е ■■■ Е /(ш,...,пг) = Е(-1)' Е 1х

а1<п1 <Ь1 ат<пт<Ьт ,=0 1<Л< — <.7в <г

Ь1 Ьт

[[ 9*/(х) ху ■ ■ у —9х~^(х^1)...р(хи)йх1...йхг.

а1 ат

р( х) п > 1

p(x) = 1 - {x} = sn(x) +ап(x), sn(x) = E Sm2lTkx

жк

k<n

где an(x) <

sin2 жх

Тогда

sr = E ••• E f(^i,---,nr) = E(-1Г E 1x

ai<ni <bi ar <nr <br s=0 i<ji< — <js <r

"l br f ' ds f (x)

x • • J дх-—dx^~(SMj1 (xji) + aMj1 (xji))■ ■ ■(SMjs(xji) + aMjs(xji))dxi■■■ dxr■

ai ar

4

Раскрывая скобки, находим Sr = S(M\,..., Mr) + Т,(М\,..., Mr), где

S(Mh...,Mr)= У ■ Z f(п!,...,пг) = У(-1У £ 1х

а1<п1<Ь1 ar <пг <br s=0 1 <J1 <••• < js <r

д (х)

* ]•• у дх■ ...дх■ 8м1 (х'1)...(х'1)^1...^,

а1 аг

сумма Т,(М1,..., Мг) подобна ей, но в ней заменяется в каждом слагаемом по 1 < ]1 < • • • < < ,]3 < г хотя бы один сомножитель вмк (х^1) на амь (х^).

В сумме 8(М1,..., Мг) каждый интеграл интегрируем по частям. Используя 8м(а) = = м(Ь) = 0, находим

Ь1 ьг

д (х)

.]•• У дхп ... дхз 8м>1 (хи)... *мь (хз.) г1х1... ^ =

Ъ1 br

==<-1Г1-ф, M, ^)... ) =

Mh b1

11

= (-1)s Z ■■ ■ Z ■ f (х1,.. .,хг ) e2™ {т'1Х]1 ) йх1. ..(1хг .

тП =-Mh ти =-M3sa1 ar ,

M1 Mr b1 hl

S(M1,...,Mr )= У ■■■ У ■ ■■ ¡(хг ,...хг ) e2ni (т1Х1+^+тгХг) ^ ...far.

m.1 = -M1 тг=-Mra1 ar

Оценим сверху \^(M1,..., Mr)|. Воспользуемся при полуцелых а и b следующими оценками

ь ь

sm = j Ism(х) йх1< (b -a)(lnM + 1),gm = J Wm(х)1йх < 8(b - а) ПM+ 1.

a a

Находим

|E( M1, ...Mr )I< £ (-1)s £ 8C (b 1 -аг)... (^ - ar Л^ + + 1 <

s=1 1<j1< — <js<r

8C r r Zr\ 8 Згс r

< ГП & - аг)(}п (Mt + 1))J22s[ J < —— Ц (bt - аг)(Ы (Mt + 1)). M1 =1 =1 M1 =1

r

Теорема доказана.

10. Формула Пуассона суммирования для функций от комплексных переменных

На комплексной плоскости С зададим область

И = И(а, Ь,с,й) = {г е С | а < Ие г < Ь,с < 1т г < й}, где а, Ь,с,й — полуцелые вещественные числа. Теорема 33. Пусть х = х + гу,

9/(г) 9/(г) 92/(г) 9х ' ду ' дхду '

непрерывны в области И = И(а, Ь, с, й), причём найдётся постоянная С > 0 такая, что

9 ( )

дх

< С,

9 ( )

9

С,

92 /( )

9 х 9

С.

Тогда, суммируя по целым гауссовым числам г, при любых натуральных 1 < М, N Л = = т\п{М, N}, имеем,

м N

а<И,е г<Ь с<!тг<с1

т=—Мп=—N

Е Е /(*)= Е Е /(*)е2тКе(^йхйУ + к(м,ы),

где ц = т + гп — целое гауссово число,

Я(М,Ы) < 72С(Ь - а)(й - с)

(1пМ + 1)(1пЫ + 1) Л "

Доказательство этой теоремы проводится по той же схеме, что и формулы Пуассона для функций от вещественных переменных. Для дальнейшего зададим область

И = И(а, Ь, с, ф = {ъ е С | аи < Ие ги < Ьи, спи < 1т ги < йи},

где а„, , ^ ,йи — полуцелые вещественные числа.

Теорема 34. Пусть х^ = хи + гуи, 1 <у < г,

9*+/(z)

9х31 . . . 9х3.19Ук1 ...9 У кг

непрерывны в области И по всем наборам, 1 < ]1 < ■ ■ ■ < < т, 1 < к1 < ■ ■ ■ < к < г, 1 < в, £ < г, причём найдётся постоянная С > 0 такая, что

9*+1/(z)

9х^1... 9х^39 ук1 ...9 у к

С

для всех наборов 1 < ]1 < ■ ■ ■ < ,]3 < г, 1 < к1 < ■ ■ ■ < к < г, 1 < < г.

Тогда, суммируя по целым гауссовым числам г1,..., гг, при любых натуральных 1 < М1, Ы1,..., Мг, N, Л = тт{Мь N,..., Мг, N }, имеем

Мт

Nт

М1 N1

£ £ ... £ £ £ £ ■■■ £ £ 1х

а1<ИеХ1<Ь1С1<!тг1<сС1 ат<Яегт<Ьт ст<1тхт<сСт т1=—М1 ^ =—N1 тт=—Мт пт=—Nт

х

D

где

J -J f( Zi,... zr) e2lTi (Re^izi+■■■+№) dXldyi... dxrdyr + R(Mi,Ni ...,Mr, Nr),

C r

R(Mi,Ni, ...,Mr ,Nr) < 8■ 32r -[[(5 s - as)( ds - cs)(lnMs + 1)(lnNs + 1).

s=1

Эта теорема является многомерным аналогом предыдущей теоремы.

11. Многочлены биномиального типа от нескольких переменных

Перейдём к обобщению формулы Тейлора для многочленов биномиального типа от нескольких переменных. Приведем формулировку соответствующей теоремы.

Теорема 35. (Формула Ньютона для многочленов биномиального типа от нескольких переменных). Пусть задана последоват,ельност,ь многочленов биномиального типа pn(x),n > 0,p0(x) = 1, над некоторым, полем F. При любом п > 1 имеем, рп(0) = 1. Тогда для любого многочлена f(x), x = (xi,..., xr), степени n,

n n

f(x) = У ■■■ y,aa(t i,..., tr) Pt-i (xi) ... ptr (xr),

t1=0 t1=0 ti +-----+t r <n

и для любых чисел x и у из F справедливо тождество

ff О. ^ ^TQyf (x)

f(x + У) = У

k!

k=0

где Qyk) f(x) = Qy (Q^y i) f(x— k-я итерация, оператора Q многочлена f(x) с условиями

Q f(x) =J2dsf (x)pi( ys), Q^f (x) = f(x).

=i

ds(pti(xi). .. Ptr (xr)) = tsPts-i(xts)pti(xi). ..Pts-1 (xts)pt s + 1 (xts ) . . . ptr (xr ).

12. Заключение

В настоящей статье достаточно подробно изучены интересные свойства классической формулы бинома Ньютона и её многомерных аналогов. Проведён анализ ряда этих свойств для многочленов биномиального типа. Получены многомерные аналоги формул Эйлера - Ма-клорена и Пуассона суммирования значений гладких функций по решётке. Исследования по дальнейшему изучению этих понятий и свойств предполагается продолжить. Представляется полезным дать их новые приложения ([10]-[18]). В частности, рассмотреть меру Хаара, преобразование Фурье на локально компактных топологических абелевых группах и формулу Пуассона суммирования значений функции по элементам её дискретной подгруппы (диссертация Тейта [19], гл. VII).

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Pincherle S., Amaldi. Le operazioni distributive e le loro applicazioni all'analisi (in collborazione U. Amaldi) // Zanichelli, Bologna, 1900.

2. HurwitzA. Uber Abel's Verallgemeinerung der binomischen Formel// Acta Math., 1902, 26, 199-203.

3. Sheffer I. M. Some properties of polynomials of type zero// Duke Math., 1939, 5, 590-622.

4. Stefensen J. F. The Poweroid, an Extension of the Mathematical of Power// Acta Math., 1941, 73, 333-366.

5. Touchard J. Nombres Exponentiels et Nombres de Bernuolli// Canad.J.Math., 1956, 8 305-320.

6. РиорданДж. Введение в комбинаторный анализ. — М: Изд-во ин. лит., 1963.

7. Riordan J. Inverse Relations and Combinatorial Identities// Amer.Math.Monthly, 1964, 71 485498.

8. Riordan J. Combinatorial Identities. — New York: Wiley, 1968.

9. MullinR., RotaG.-C. On the Foundations of Combinatorial Theory: III. Theory of Binomial Enumeration// Graph Theory and its Applications, 1970, 168-213.

10. Виноградов И. M. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. 2-е изд., исправленное и дополненное — М.: Наука, 1980, 144 с.

11. КарацубаА. А. Основы аналитической теории чисел. 2-е изд. — М.: Наука,1983. 240 с.

12. HuaLoo-Keng. Selected Papers. — N.-Y.,Heidelberg, Berlin, 1983. pp.888.

13. Архипов Г. И. Избранные труды. — Орёл: Изд-во Орловского ун-та, 2013, 464 с.

14. Архипов Г. И., Садовничий В. А., Чубариков В. Н. Лекции по математическому анализу. 4-е изд., испр. — М.: Дрофа. 2004, 640 с.

15. Архипов Г. И., Карацуба А. А., Чубариков В. Н. Теория кратных тригонометрических сумм. — М.: Наука, 1987, 368 с.

16. ArkhipovG. I., Chubarikov V. N., Karatsuba A. A. Trigonometric sums in number theory and analysis. De Gruvter expositions in mathematics; 39 — Berlin, New York: Walter de Gruvter, 2004, pp. 554.

17. Чубариков В. И. Кратные тригонометрические суммы с простыми числами // Докл. АН СССР, 1984, 278, № 2, 302-304.

18. Чубариков В. И. Оценки кратных тригонометрических сумм с простыми числами// Изв. АН СССР, сер.матем., 1985, 49, № 5, 1031-1067.

19. ЛенгС. Алгебраические числа. — М.: Мир, 1966.

REFERENCES

1. Pincherle S., Amaldi. 1900. "Le operazioni distributive e le loro applicazioni all'analisi (in collborazione U. Amaldi)", Zanichelli, Bologna.

2. HurwitzA. 1902. "Uber Abel's Verallgemeinerung der binomischen Formel" Acta Math., 26, 199-203.

3. Sheffer I. M. 1939. "Some properties of polynomials of type zero" Duke Math., 5, 590-622.

4. Stefensen J. F. 1941. "The Poweroid, an Extension of the Mathematical of Power" Acta Math., 1941, 73, 333-366.

5. Touchard J. 1956. "Nombres Exponentiels et Nombres de Bernuolli" Canad.J.Math., 8 305-320.

6. Riordan J. 1963. "An introduction to combinatorial analysis. — Moscow: Publ.House of a foreign literature.

7. Riordan J. 1964. "Inverse Relations and Combinatorial Identities" Amer.Math.Monthly, 71 485498.

8. Riordan J. 1968. "Combinatorial Identities". — New York: Wiley.

9. Mullin R., RotaG.-C. 1970. "On the Foundations of Combinatorial Theory: III. Theory of Binomial Enumeration" Graph Theory and its Applications, 168-213.

10. Vinogradov I. M. 1980. "The method of trigonometric sums in the theory of numbers". 2nd Edition., Moscow.: Nauka. pp. 144.

11. KaratsubaA. A. 1983. "Foundations of analytic number theory". 2nd Ed. — M.: Nauka, pp. 240 (in Russian).

12. HuaLoo-Keng. 1983. Selected Papers. — N.-Y.,Heidelberg, Berlin, pp.888.

13. ArkhipovG. I., 2013. Selected papers. — Orjol: Publ.House of the Orjol University, pp. 464.

14. ArkhipovG. I., Sadovnichii V. A., Chubarikov V. N. 2004. "Lecture on mathematical analysis". 4th Ed., corr. — M.: Drofa. pp. 640.

15. ArkhipovG. I., KaratsubaA. A., Chubarikov V. N. 1987. "The theory of multiple trigonometric sums". — Moscow.: Nauka. 368 c.

16. ArkhipovG. I., Chubarikov V. N., KaratsubaA. A. 2004. "Trigonometric sums in number theory and analysis. De Gruvter expositions in mathematics", 39 — Berlin, New York: Walter de Gruvter, pp. 554.

17. Chubarikov V. N. 1984. "Multiple trigonometric sums with primes" Dokladv AN SSSR,, 278, № 2, 302-304.

18. Chubarikov V. N. 1985. "Estimates of multiple trigonometric sums with primes" Izvestija. AN SSSR, Ser.Matem., 49, № 5, 1031-1067.

19. LangS. 1966. "Algebraic numbers". — M.: Mir.

Получено 04.04.2019 г.

Принято в печать 22.10.2020 г.