CC BY
28
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 21. Выпуск 2.
УДК 511.3 DOI 10.22405/2226-8383-2020-21-2-403-416
Теорема о среднем значении тригонометрических сумм на последовательности многочленов биномиального типа
В. Н. Чубариков
Чубариков Владимир Николаевич — доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математических и компьютерных методов анализа, президент механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова (г. Москва). e-mail: chubariklQmech.math.msu.su
Аннотация
Доказана теорема о среднем для тригонометрических сумм на последовательности многочленов биномиального типа. Как известно, классическая теорема И. М. Виноградова о среднем [10] относится к последовательности многочленов вида {хп,п > 0}. Важным приложением найденной теоремы о среднем являются оценки сумм вида
п
£ е2^ Н/(т) = «kPk (т),
т<Р к=0
где Рк (х) — последовательность целозначных многочленов биномиального типа, а набор чисел («1 а1,..., ап) представляет собой точку n-мерного едипичного куба Q : 0 < а1,..., ап < 1.
Ключевые слова: теорема И. М. Виноградова о среднем, последовательность многочленов биномиального типа, многочлены Абеля, Лагерра, нижние и верхние факториалы, экспоненциальные многочлены.
Библиография: 17 названий. Для цитирования:
В. Н. Чубариков. Теорема о среднем значении тригонометрических сумм на последовательности многочленов биномиального типа // Чебышевский сборник, 2020, т. 21, вып. 2, с. 403-416.
CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 21. No. 2.
UDC 511.3
DOI 10.22405/2226-8383-2020-21-2-403-416
The mean-value theorem for trigonometric sums on the sequence of binomial type polynomials
V. N. Chubarikov
Chubarikov Vladimir Nikolaevich — doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of the Department of mathematical and computer methods of analysis, president of the mechanics and mathematics faculty of the M. V. Lomonosov Moscow State University. e-mail: chubariklQmech.math.msu.su
are the important application of the finding mean-value theorem. Here pk (x) is the sequence integer-valued polynomials of the binomial type, but a set of numbers (a1a1,..., an) represents a point of the n-fold unit с ube Q : 0 < a\,...,an < 1.
Keywords: the mean-value I. M. Vinogradov theorem, the sequence of polynomials of the binomial type, polynomials of Abel, Laguerre, lowers and upper factorials, exponential polynomials.
Bibliography: 17 titles. For citation:
V. N. Chubarikov, 2020, "On a mean-value theorem for multiple trigonometric sums" , Chebyshevskii sbornik, vol. 21, no. 2, pp. 403-416.
1. Введение
Предметом настоящей статьи, с одной стороны, являются последовательности многочленов, возникающих из перечислительных задач комбинаторики и классического исчисления конечных разностей в численном анализе (интерполяция, квадратурные формулы) [6, 9]. С другой стороны, в основе статьи лежат аддитивные задачи теории чисел, в современном изложении которых выдающуюся роль играет "круговой метод Г. Харди — Дж. Литтлвуда — С. Рамануджана в форме тригонометрических сумм И. М. Виноградова". В центре метода тригонометрических сумм находится теорема И. М. Виноградова о среднем [10].
Пусть задана последовательность многочленов {рп(х)}, удовлетворяющая при n > 0 равенствам
Abstract
The mean-value theorem for trigonometric sums on the sequence of binomial type polynomials was proved. As known, the classical I. M. Vinogradov mean-value theorem belong to the sequence of polynomials of the form [xn, n > 0}. Estimates of sums of the kind
]T e2^(m),f(m) = Y, «kPk(m),
m<P
причём точная степень рп(х) равна п, а коэффициент при старшей степени равен 1. Такую последовательность {рп(х)} называют последовательностью многочленов биномиального типа [9, 1, 3, 4, 7].
Приведём примеры. Последовательности точных степеней
Рп(х) = хп, п > 0, имеем бином Ньютона (см., например, [14], теорема 1, с. 33)
(х + у)п = £ (%куп-к;
и—п V /
нижних факториалов
Рп(х) = (х)п = х(х — 1) ... (х —п +1),п > 1,Ро(х) = 1, по индукции находим формулу Вандермонда (см., например, [6], с. 18)
Рп+\(х +у) = (х + у — п) рп(х + у) = (х + у — п)^ (П) Рк(х) Рп-к (у) =
к=0 ^ '
= £ и) (х — к)Рк(х)Рп-к(у) + £ (п)Рк(х)(у — п + к)рп-к(у) = к=0 ^ ' к=0 ^ '
£ (к)Рк+1(х)Рп-к(У) + £ (к)Рк(х)Рп-к+1(У) =
Ь—П ч / и—п V /
П+1 , ч п , ч
у Рк(х)Рп-к+1(у) + Е (п)Рк(х)Рп-к+1(У) =
П+1 (п + 1\
= ^2[гк )Рк(х)Рп-к+1(у);
верхних факториалов
Рп(х) = (х)п = х(х + 1)... (х + п — 1),п > 1,р0(х) = 1,
аналогично предыдущему доказывается, что эта последовательность многочленов относится к биномиальному типу;
многочленов Абеля [2, 7]
Рп(х) = х(х — ап)и-1, п > 1,а € Я,ро(х) = 1;
экспоненциальных многочленов [5]
Рп(х) = £ в(п, к)хк, п > 1,ро(х) = 1, к=0
где ,в(п,к) — числа Стирлинга второго рода, определяемые соотношением
п
^)п = £ 8(п, к),п > 1, (г)о = ^ = з(0, 0) = 1;
к=0
многочленов Лагерра
п .
^ (х) = ^ Ш/
.к- 1
^(х) = £ - 1)(-ж)"^ -0;
к=0
являются последовательностями многочленов биномиального типа.
Теорема. Пусть рп(х) — последовательность многочленов биномиального типа, пусть .] = .](Р; п, к, Л) — число решений системы диофантовых уравнений вида
2 к
Рк(хз) = \к, 1 < к < п, (1)
3=1
где неизвестные х^, 1 < ] < 2к, пробегают целые значения в пределах от 1 до Р, а правые части уравнений Х(к) являются постоянными и могут принимать любые целые значения. к - п , - 0,
J < В(г)Р2^), Д(т) = п(п + 1) (1 - (1 - 1 )Т) .
2. Общие леммы
Лемма 1. Имеем
1 1
1) J(Р; п,к, Л) = /• • • I\3(А)\2к е-2^^(«1А1+-+«пЛп) ^... ^
00
где
Б(А) = ^ ^ (Х), Дх) = <*т(х) + • • • + апРп(х);
Х<Р
2) J(Р; п, к, Л) < J(Р; п, к, 0) = J; J < Р2klJ(Р; п,к - кь 0);
3) (Р; п, к, Л) = Р2к; ^ < кР(1 + о(1)),...,\\п\<кРга(1 + о(1)); л
4)\5(А)\2 к = ^ J(Р; п, к, Л)е2™(«1Л1+-+«"Л");
л
5) J(Р; п, к, 0) - (2к)-пР2к-0'5п(п+1)(1 + о(1)).
Доказательство [15], с. 139-140.
Далее набор чисел х1,хз,..., х2к-1 называют регулярным по модулю ц, если ранг матрицы
Р1(х1) ... Р1(х2к-\)
Рп(х\) ... Рп(х2к-1)
,
сингулярным.
Лемма 2. а) Пусть х1,..., х2к — решение системы уравнений (1). Тогда для любого целого числа а набор чисел х1 + а,..., х2к + а, также является решением системы уравнений (1).
б) Пусть набор чисел х1,хз,... ,х2к-1 является регулярным (сингулярным) по простому модулю д. Тогда для любого целого числа а набор чисел х1 + а, х3 + а..., х2к-1 + а, также
.
Доказательство. Имеем
2к 2к I , I , 2к
£(- 1)Pi(xj + а) = Е S )Р*(а) = Е s)p°(a) Е—Ур^э) = 0.
j=\ j=\ s=0 ^ ' s=0 ^ ' j=\
Тем самым доказано утверждение а).
Утверждение б) следует из того, что после вычитания линейной комбинации строк матрица
Pl(xi) ... P\(X2k-l)
Рп(х\) . . . Pn(X2k-l) приводится к матрице Вандермонда.
3. Лемма о числе решений полной системы сравнений
Лемма 3. Пусть р — простое число, {рп(х)} — последовательность многочленов биномиального типа, Т — число решений системы сравнений вида
'pi(xi) +-----+ р(xn) = pi(yi) +-----+ pi(yn) (mod p),
. (2) J)i{xi) +-----+ p(xn) = Pn(yi) +-----+ Pn(Уп) (mod pn),
где неизвестные xi,..., xn, у i,... ,yn пробегают полную систему вычетов по модулю рп и набор чисел xi,... ,хп удовлетворяет условию регулярности по модулю р. Тогда имеет место следующее неравенство
Т < n\p2n2 -0,5n(n+i)
В частности, та же оценка справедлива для последовательности многочленов pn(x) = хп,п > 0, биномиального типа. Доказательство. Будем считать, что р > п, так как в противном случае нет наборов xi,..., хп, удовлетворяющих условию регулярности по модулю р. Рассмотрим 0 < xs, ys < рп, 1 < s < п. Запишем каждое неизвестное в р-адической форме
п—i п—i
XS = Е Vs = Е 0 < xs^, ys^ <p,s = 1,...,П.
p.=0 p.=0
Т0
fPi(xi,0) +-----+ Pi(xn,0) = Pi(yi,0) +-----+ Pi(Уп,0) (mod p),
<Pn(xi,0) +-----+ Pn(xn,0) = Pn(yifl) +-----+ Pn(Уп,0) (mod p),
для чего опустим условие регулярности по модулю р на переменные xs, 1 < s < п.
Имеем Т0 < п\рп. Действительно, зафиксируем любой набор 0 < yi}0,..., уп,0 < р. Тогда при некоторых Xs, 1 < s < п набор 0 < Xi,... ,хп < р является решением системы сравнений
Pi(xifl)+-----+ Pi(xn,0) = Xi (mod p),
Pn(xi,0) +-----+ pn(xn,0) = Xn (mod p),
Число решений этой системы не превосходит п\. Далее при п — 1 >v> 1 положим
v
Us,v = ^ = Us,v-1 + PvXs,v , 1 <S<n.
p=0
Из системы сравнений (2) следует, что любое её решение xs, 1 < s < п, с условием регулярности по модулю р при любых фиксированных ys, 1 < s < п, и при некоторых Xs, 1 < s < п, удовлетворяет следующей системе сравнений Wv вида
Pv(Ui,v) +-----+ Pv(Un,v) = К (mod Pv+1),
Pn(Ui,v) +-----+ Pn(Un,v) = К (mod pv+1),
Обозначим число её решений символом Т(Шу).
Зафиксируем любое решение и,У-1,1 < 8 < п системы сравнений Шу-1. Получим условия, которым должны удовлетворять р-адические координаты х3уУ, 1 < 8 < п. Находим
Рг(и3,у) = Рг(и3,у-\) + р"р[(и3,и-1)х3,и (mod ру+1), V + 1 < в < п. Таким образом при некоторых ЛV + 1 <Ь<п, приходим к системе сравнений
п
^(иа, "-1)хз,и = Л[, V + 1 <Кп, (3)
=1
при условии, что и3,у-1,1 < в < п, удовлетворяют условию регулярности по модулю р.
Пусть Ту обозначает число её решений. Тогда Т(Шу) < ТуТ(^у-1). Система сравнений (3) эквивалентна следующей системе сравнений
п
^2/р[(х3>о)х3> у = Л[ (mod р), V + 1 <Кп, (3). =1
Поскольку строки матрицы
Р'у+1(.х1,о) ... р'у+1(хп,о)
Рп(х1, 0) ... Рп(х п,0 )
линейно независимы по модулю р (условие регулярности), имеем следующую оценку Ту < р Следовательно,
Т < pn То ... Tn-i < п! Ц pv = п\р
v=0
Лемма доказана.
n- 1
V = п r?n2-0,5n(n+1)
4. Рекуррентное неравенство
Лемма 4. Пусть п — 2, к — 2п,Р — 1, J(Р;п,к) — число решений системы диофантовых уравнений (1). Тогда существует число р такое, что Р1/п < р < 2Р1/п, и справедливо неравенство
J(Р;п, к) < 2к2пр2(к-п)+2п2-0Mт^+1)J(Р1; п, к - п) + 22™2+1п2кР2(п-1),
где Р1 = Рр-1 + 1.
Доказательство. Теорема очевидно справедлива при Р < 2пп2и, поскольку второе слагаемое в неравенстве утверждения леммы превосходит Р2к. Поэтому в дальнейшем будем считать, что Р > 2пп2. Тогда та отрезке [Р1/п, 2Р1 /п] будет находиться не менее п различных простых чисел: р1 <р2 < • • • < рп-
Запишем величину .](Р; п, к) в следующем виде
J (Р ;п,к) =
0 0
£<
х<Р
2maipi (х)+-----+а„р„ (х)
2к
da1...dan =
00
Х1<РХЯ<Р X2k-l<P
2m(F (xi)+f (x3)-+f (X2k-i))
da\... dan,
где
F (x) = YasPÁx).
S=1
Все наборы х1,хз,... ,х2к-1 разобьём на две совокупности А и В. В первую совокупность А отнесём те из них, которые хотя бы при одном р3,1 < 8 < п, удовлетворяют условию регулярности по модулю р3 = р. Остальные наборы отнесём ко второй совокупности В. Тогда в понятной символической записи имеем
1 1
J (Р ;п, к) = I •••I
00
£+£
А В
da1... dan < 2J1 + 2J2,
где
1 1
J1 =
00
£
А
£
в
da1... dar,
2 1 1 da1... dan, J2 = j• • • J
00
Перейдём к оценке J1. Совокупность А наборов x1,x3,..., x2k-1 разобьём на п непересекающихся подсовокупностей А1,..., Ап в соответствии с числом ps, 1 < s < п, по которому набор x1,x3,..., x2k-1 является регулярным по модулю ps. Если набор является регулярным для нескольких ps, то отнесём его в подсовокупность с наименьшим из таких s. Имеем
1 1
J1 =
00
££
S=1
1 1
da1... dan < п ^
S=1
00
£
da1... dan < п2,10,
J0
1 1
00
£
da1... dan,p = ps, As = А0.
Поскольку набор x1,x3,..., x2k-1 является регулярным по модулю p, найдутся в этом наборе
п чисел xj1, xj2,
, xjn, таких, что определитель матрицы
(p1(xh) p1(xj2) ... p1(xin )\ p2(xh) p2(xj2) ... p2 (xjn)
\pn(xji) pn(xh) ... pn (xJn))
1
1
2
1
1
2
2
2
2
отличен от нуля по модулю р. Без ограничения общности можно с читать, что = 1, ]2 = 3,..., ]п = 2п - 1, так как перестановка столбцов матрицы не влияет на справедливость условия регулярности по модулю р. Следовательно,
Л <
С)'
1 1
0 0
(ЕЕ--Е}' £-£
Х1 Хз Х2п-1 ВДп+1 Х2к-1
йа1... (1ап
где штрих в знаке суммы означает, что суммирование по соответствующим переменным отвечает условию регулярности по модулю р, а суммирование по переменным Х2п+1,... ,Х2к-1 ведётся по сплошным промежуткам от 1 до Р. Представим х],] = 2п + 1,..., 2к - 1, в виде
х] = У] + РЪ, 1 < У] < Р, 0 < Zj < Рр 1.
Тогда
Е
Ас
Х1 Хз Х2п-1 ВДп+1 %2к-1
Воспользуемся неравенством Гёльдера. Находим
(ЕЕ • Е}'
Х1 хз Х2п-1
Е Е
у=1х<Рр-1
2(к-п)
' 2 р 2 2(к-п)
£ < р2(к-т)-1 ^ (ЕЕ- Е}' Е
Ас у=1 Х1 Хз Х2 п — 1 х<Рр-1
Отсюда имеем
1 1
^ < (П) Р2(к-п) туах''700, ^0 = /•••/
00
(ЕЕ " Е}'
Х1 хз Х2п-1
Е
2(к-п)
йа.1... йап.
Величина интеграла Тда равна при некотором у = у0 числу решений следующей системы диофантовых уравнений
2 п 2 к
^(—1Урь(х])= ^ (-1)^(У0 + рг]), 0 <1<п,
]=1 ]=2п+1
где неизвестные Х1,Хз,... ,Х2п-1 удовлетворяют условию регулярности по модулю р, а неизвестные X], 2п + 1 < ] < 2 к пробегают сплошные промежутки целых чисел от нуля до Рр-1. По лемме 2 с сохранением условия регулярности решения предыдущей системы уравнений являются решениями следующей системы уравнений
2 п 2 к
^(-1)^(Х] - У0)= £ (-1)^(2^), 0 <1<п,
]=1 ]=2п+1
Отсюда имеем эквивалентную систему уравнений
2 п 2 к
^(-1)](Х] - У0)= Р< £ (-1)] 2%, 0 <t<,., ]=1 ]=2п+1
п,
(4)
2
2
2
2
2
Пусть 3*(Р'р 1;п,к — т, Л) обозначает число решений системы уравнений вида
2к
£ (—1Уг* = \и 0 <1<п, 3=2п+1
где Л — набор фиксированных целых чисел 0 < Ь < п, а неизвестные изменяются в пределах 0 < ^ < Рр_1, 2п + 1 < .] < 2к. Тогда из леммы 1 получим
3*(Рр~ 1;п,к — т, Л) <3 *(Рр~ 1;п,к — т, 0) = 3*^(Рг,п,к — т, 0) =
= 3(Р1;п, к — т, 0) = 3(Р1;п, к — т),
где 3*(Р1;п, к — т, 0) — число решений предыдущей системы уравнений, но неизвестные в
Р1 .
Следовательно, из системы уравнений (4) имеем
3оо < Т3(Р1; п, к — т).
Далее, поскольку
Т < п\р2п2-0,5п(п+1),
находим
31 < п2п\(^^2р2(к-п)+2п2-°,5п(п+1)3(Р1]п,к — п) < к2пр2(к-п)+2п2-°,5п(п+1)3(Р1]п,к — п).
Перейдём к оценке 32. Оценим число и элементов в совокупности В. Набор чисел Х1,Хз,..., х2к-1 относится к совокупности В, если при к > п матрица
(р1(Х1) Р1(х3) ... Р1(Х2к-1)\ Р2(Х1) Р2(Хз) ... Р2(Х2к-1)
\Рп(Х1) Рп(Хз) ... Рп(Х2к-1)) имеет для всякого 8,1 < 8 < п, ранг то модулю р3 меньший, чем п. Другими словами, для
такой, что имеют место сравнения
всякого 8 найдется свои набор чисел с1 ,..., сп из полной системы вычетов по модулю р3
^^РьХ) = 0 (шоё Рз),Х] =Х^ (р3) (шоё Рз),] = 1,3,..., 2к — 1, г=1
причём не все с^ сравнимы с 0 по модулю р3, с^ = 0 ми 1. При фиксированных наборах 1 < £ < п, каждое из сравнений имеет не более п решений. Отсюда, используя китайскую теорему об остатках, находим
и < П (:2Рп3-1пк) < 2п2пкРп-1, 32 <и2 < 22п2п2кР2(п-1). в=1
Лемма 4 доказана.
5. Доказательство теоремы 1
Проведём ндукцию по параметру т. Очевидно, что утверждение справедливо при т = 0. Предположим, что утверждение теоремы имеет место при т = т. Докажем его при т = т + 1. Так как к > п(т + 1), то из леммы 1 находим
3(Р; п, к) < Р2(к-п(т+1))з(Р; п, п(т + 1)).
Воспользуемся рекуррентным неравенством из леммы 4. Получим
3(Р; п, п(т + 1)) < 2(п(т + 1))2пр2пт+2п2-0,5п(п+1)3(Р^пт) + 22п+1п2п(т+1)Р2(п-1),
Р1 = Р - 1 + 1 .
По предположению индукции имеем
3(Р1;п,пт) < В(т)Р2пт-0'5п(п+1)+0'5п(п+1)(1-1/п)т.
Следовательно,
3(Р; п, п(т + 1)) < 11 + 12,
где
11 = 2(п(т + 1))2пО(т)р2пт+2п2-0'5п(п+1)р^о^+Ъ+М, 6(т) = 0, 5п(п + 1)(1 - 1/п)т,
^ = 22п2+1п2п(т+1)р 2(п-1)
Оценим 11. Считаем, что Р > (2пт)2, так как в противном случае утверждение теоремы тривиально. Преобразуя Д, находим
11 = 2(п(т + 1))2п0(т)р2пт+2п2-0,5п(п+1)-2пт+0,5п(п+1)-6(т) х хр2пт-0,5п(п+1)+0,5п(п+1)(1-1/п)т (1 + ^р-1)2'пт-0,5п(п+1)+0,5п(п+1)(1-1/п)т
Поскольку
(1 + рР-1)2пт-0,5п(п+1)+0,5п(п+1)(1-1/п)т <е < 3,
ПОЛУЧИМ
11 < 6(п(т + 1))2п^(т)р2п2—(т)Р2пт-0,5п(п+1)+0,5п(п+1)(1-1/п)т < < 8(п(т + 1))2п22п2 П(т)Р2п(т+1)-0,5п(п+1)+0,5п(п+1)(1-1/п)т+1 < 0, 5^(т + 1)Р2п(т+1)- А(т+1) _ 2.
12 = 22п2 + 1п2п(т+1)Р2(п-1) < 0, 5^(т + 1)Р2п(т+1)-А(т+1).
Теорема доказана.
6. Вывод оценки суммы по последовательности многочленов биномиального типа
Пусть а3, 1 < 8 < п, — произвольные действительные числа, р3(х),8 > 0, — последовательность многочленов биномиального типа, Р > 1. Рассмотрим тригонометрическую сумму вида
г2тгг/ (х) , х<р «=1
£ = £ ^(Х) Дх) = ^азРз(х).
Тогда справедливо следующее утверждение.
Теорема 2. Пусть п, к1,к2 — натуральные числа, Р > 1,У > 1 — действительные числа, Л, М — целочисленные наборы вида (Л1,..., \п) и (ц1,..., цп), причём |ЛГ | < к1Рг, 1цг | < к2Уг, 1 < < п.
1814к1 к2 < 24к1к2Р2к1(2к2-1)у2к1(2к2-1)3(Р]п,к1)3(У;п,к2)Ш0 + (2У)4к1к2,
где
щ = Е
м
£
2ттг д( М,Л)
, д(М, Л) = ^ « Е (!) Л,-*Ц*. 5=1 *=с
Доказательство. В сумме 5 произведём сдвиг промежутка суммирования. Получим
у
5 = У-^ + 29 У^ = ЕЕ е2Ж^(Х+У), 1°1 < 1.
у=1х<Р
Далее, используя неравенство Гёльдера, находим
у
^ 12к1 < у2к1-1^
У=1
^ е2ттг/(х+у)
Х<Р
2 к1
= У 2к1-1Ш1.
}(Х + у) = У^]а
п
£« £ О
=1 =с
8 / Л £ ]Р1(У)Рз-1 (х).
Преобразуем сумму W1. Имеем у
Wl < ^ Е е2ж^(у,А) = ^ 3(р; п, Ь)
у=1 Х1,...,Х2кЛ <Р
У
У=1
2жгд(у,Л)
= W2,
9(У, Л) = У^а
п
т.«, е :>
=1 =с
8 / л 1 1'рлу)л8-,
2 к
Лг = ^(—1)'Рг (Хз), 0 <г<п. =1
Вновь, используя неравенство Гёльдера, приходим к оценке
V л
\ 2к2-1
т2к2 < ( Е3 (Р ;п,к1, лИ ^3 (Р ;п,к1, Л)
у
у=1
2жг д( у,Л)
2 к2
<
<Р 2к1(2к2-1)3 (Р .п,к1) ^
у
у=1
2жгд(у,Л)
2 к2
= Wз,
Собирая вместе соответствующие слагаемые в Wз, окончательно получим
Wз <3(У; п, к2) Е
м
£
2жгд(М,Л)
д(М, Л) = ¿а, ^^ (^Ъ-г ■ =1 =0
Теорема 2 доказана.
В частности, если положить а1 = • • • = ап-1 = 0, ап = а, в теореме 2 будем иметь
""MlЙminH )
где функция ||х|| обозначает расстояние до ближайшего целого числа х. Применение теоремы 1 в этом случае приводит к оценке
|S| <Р 1-р,р =
7
п2 inn'
где 7 > 0 — некоторая постоянная.
7. Заключение
В настоящей работе дано обобщение теоремы И.М.Виноградова о среднем на последовательность многочленов рп(х),п > 0, биномиального типа, т.е. многочлены имеют представление в виде
п /п\
Р'п(х + у) = Y^ ( к )Рк(х)Рп-к(у), к=0 ^ '
Заметим, что теорема И.М.Виноградова имеет дело с последовательностью хп,п > 0, биномиального типа. Представляется интересным получение нетривиальных оценок тригонометрических сумм вида
g = ^ е2т(a1F1(x)+-+anFn(x)) х<Р
где а\,... ,ап — произвольные действительные числа, a F„_ (х) — последовательность целознач-ных многочленов.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Pincherle S., Amaldi. Le Operazioni Distributive // Zanichelli, Bologna, 1900.
2. HurwitzA. Uber Abel's Verallgemeinerung der binomischen Formel // Acta Math., 1902, 26, 199-203.
3. Sheffer I. M. Some properties of polynomials of type zero // Duke Math., 1939, 5, 590-622.
4. Stefensen J. F. The Poweroid, an Extension of the Mathematical of Power // Acta Math., 1941, 73, 333-366.
5. Touchard J. Nombres Exponentiels et Nombres de Bernuolli // Canad.J.Math., 1956, 8 305-320.
6. РиорданДж. Введение в комбинаторный анализ. — М: Изд-во ин. лит., 1963.
7. RiordanJ. Inverse Relations and Combinatorial Identities // Amer.Math.Monthly, 1964, 71 485-498.
8. RiordanJ. Combinatorial Identities. — New York: Wiley, 1968.
9. MullinR., RotaG.-C. On the Foundations of Combinatorial Theory: III. Theory of Binomial Enumeration // Graph Theory and its Applications, 1970, 168-213.
10. Виноградов И. M. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. 2-е изд., исправленное и дополненное — М.: Физматлит. 1980, 144 с.
11. КарацубаА. А., КоробовН.М. О теореме о среднем // Докл. АН СССР, 1963, 149, № 2.
12. Карацуба А. А. Теоремы о среднем и полные тригонометрические суммы // Изв. АН СССР, сер.матем., 1966, 30, № 1.
13. Архипов Г. И. Избранные труды. — Орёл: Изд-во Орловского ун-та, 2013, 464 с.
14. Архипов Г. И., Садовничий В. А., Чубариков В. И. Лекции по математическому анализу. 4-е изд., испр. — М.: Дрофа. 2004, 640 с.
15. Архипов Г. И., Карацуба А. А., Чубариков В. И. Теория кратных тригонометрических сумм. — М.: Наука. Гл. ред.физ.-мат. лит. 1987, 368 с.
16. ArkhipovG. I., Chubarikov V. N., Karatsuba A. A. Trigonometric sums in number theory and analysis. De Gruvter expositions in mathematics; 39 — Berlin, New York: Walter de Gruvter, 2004, pp. 554.
17. Чубариков В. И. Кратные тригонометрические суммы с простыми числами // Докл. АН СССР, 1984, 278, № 2, 302-304.
18. Чубариков В. И. Оценки кратных тригонометрических сумм с простыми числами // Изв. АН СССР, сер.матем., 1985, 49, № 5, 1031-1067.
REFERENCES
1. Pincherle S., Amaldi. 1900. Le Operazioni Distributive // Zanichelli, Bologna.
2. HurwitzA. 1902. Uber Abel's Verallgemeinerung der binomischen Formel // Acta Math., 26, 199-203.
3. Sheffer I. M. 1939. Some properties of polynomials of type zero // Duke Math., 5, 590-622.
4. Stefensen J. F. 1941. The Poweroid, an Extension of the Mathematical of Power // Acta Math., 1941, 73, 333-366.
5. Touchard J. 1956. Nombres Exponentiels et Nombres de Bernuolli // Canad.J.Math., 8 305-320.
6. Riordan J. 1963. An introduction to combinatorial analysis. — Moscow: Publ.House of a foreign literature.
7. Riordan J. 1964. Inverse Relations and Combinatorial Identities // Amer.Math.Monthly, 71 485-498.
8. Riordan J. 1968. Combinatorial Identities. — New York: Wiley.
9. MullinR., RotaG.-C. 1970. On the Foundations of Combinatorial Theory: III. Theory of Binomial Enumeration // Graph Theory and its Applications, 168-213.
10. Vinogradov I. M. 1980. The method of trigonometric sums in the theory of numbers. 2nd Edition., correct.and supplement. — Moscow.: Fizmatlit. pp. 144.
11. Karatsuba A. A., KorobovN. М. 1963. On the mean-value theorem // Dokladv AN SSSR,, 149, № 2.
12. Karatsuba A. A. 1966. Mean-value theorem and complete trigonometric sums // Izvestija. AN SSSR, Ser.Mathem., 30, № 1.
13. ArkhipovG. I., 1974. Multiple trigonometric sums // Dokladv AN SSSR,, 219, № 5.
14. ArkhipovG. I., 2013. Selected papers. — Orjol: Publ.House of the Orjol University, pp. 464.
15. ArkhipovG. I.„ Karatsuba A. A., Chubarikov V. N. 1987. The theory of multiple trigonometric sums. — Moscow.: Nauka. Fizmatlit. 368 c.
16. ArkhipovG. I., Chubarikov V. N., Karatsuba A. A. 2004. Trigonometric sums in number theory and analysis. De Gruvter expositions in mathematics; 39 — Berlin, New York: Walter de Gruvter, pp. 554.
17. Chubarikov V. N. 1984. Multiple trigonometric sums with primes // Dokladv AN SSSR,, 278, № 2, 302-304.
18. Chubarikov V. N. 1985. Estimates of multiple trigonometric sums with primes // Izvestija. AN SSSR, Ser.Matem., 49, № 5, 1031-1067.
Получено 11.01.2019 г.
Принято в печать 11.03.2020 г.
