Упрощенные уравнения нелинейной динамики круговых цилиндрических оболочек Текст научной статьи по специальности «Математика»

УПРОЩЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ НЕЛИНЕИНОИ ДИНАМИКИ КРУГОВЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК

И. В. Андрианов1, В. В. Данишевскии2

1. Технический университет Ахена (Германия), научный сотрудник, igor_andrianov@hotmail.com

2. Приднепровская государственная академия строительства и архитектуры Днепропетровск (Украина), профессор, vdanish@ukr.net

1. Введение

Наличие содержательных обзоров [4, 7, 14, 16, 18, 19] позволяет избежать детального анализа имеющейся литературы. Отметим лишь, что нам не удалось найти обоснованного вывода упрощенных уравнений для наиболее часто встречающего случая нелинейных полубезмоментных колебаний. Этому вопросу и посвящена настоящая работа.

2. Исходные уравнения

А. Феппль предложил в 1907 г. [20] нелинейные уравнения деформации мембраны:

Ш'ххФуу + Ш'уу Фхх 2Шх у Фху — Р?

-^У4Ф + ШххШуу - (Шху)2 = о,

где Ш — нормальное перемещение, Ф — функция Эри, Е — модуль Юнга, Р — ц/Ь, ц-нормальная нагрузка, Ь — толщина мембраны,

4 д4 д4 д4

V =_________|- 2________I_____

дх4 дх2ду2 ду4

Эти уравнения могут рассматриваться как основные в нелинейной теории мембран, пластин и оболочек. В дальнейшем был предложен ряд есественных обобщений. Так, Карман в 1910 г. [21] обобщил уравнения Феппля, учтя изгибную жесткость пластины:

Р_.

1г

—— \¥ХХФ уу + ]¥ууФхх — 2ШхуФху — Р,

1 ЕЬ3

-У4Ф + \¥хх\¥уу-(\¥ху)2=0, В=Щ1_^у

где V — коэффициент Пуассона.

Доннел [17] и Муштари [8, 9] предложили нелинейные уравнения пологих оболочек, носящие сейчас их имена. Для динамики круговой цилиндрической оболочки эти уравнеия могут быть записаны так:

— \74Ш — }¥ХХФ уу + У^ууФхх — 2\¥хуФху + дФжж — (1)

© И. В. Андрианов, В. В. Данишевский, 2011

1у4Ф + ^шхх + \VMWyy - {Шху)2 = 0, (2)

где К — радиус оболочки, р — плотность материала оболочки.

Эти уравнения дают большую погрешность при малой изменяемости в кольцевом направлении, в связи с чем Шкутин [13] предложил их несложное обобщение:

— — ~№ххФуу + ї^ууФхх — 2]¥хуФху + —

п К

где

— \7f\V — \¥ххФуу + \¥УУФХХ — 2\¥хуФху + — Фхх — рК\¥ц, (3)

-^Ф + ^¥хх + 1¥ХХМУУ - (Шху)2 = 0, (4)

V4 - — О д4 д2 ( д2

1 дхА дх2ду2 ду2 \ду2 К2 )

Эти уравнения описывают низкочастотные колебания при относительно больших (до нескольких толщин) перемещениях. Для дальнейших выкладок удобно переписать систему (3), (4) в безразмерном виде:

а2 а2У|ад — + аютт — а(и>££ Гпп + — 2ю^п ) = 0, (5)

+ а [ю55юпп — (ю5п)2] = 0, (6)

где

X у ТУ Ф 1\[Щ~Р ь 2 1

{= п, *? = „, и) = —, ь = -—— т = —-р—, а=— а =

К 1 К Н’ ЕНК а1/2Д ’ К 12(1 — V2)’

У4-— о дА &_<&_ п

2 <9£4 д^дгр- дг]2 дг]2

Предположим, что края оболочки шарнирно оперты:

и — и^ — Рпп — — 0 при £ — 0, I, (7)

где I — Ь/К, Ь — длина оболочки.

В дальнейшем мы предполагаем, что оболочка имеет среднюю длину,

К/Ь > £ > а/Ж.

3. Асимптотическая процедура

Используя в качестве естественного малого параметра величину а, построим нелинейную полубезмоментную динамическую теорию круговых цилиндрических оболочек. Статические и динамические линейные уравнения такого типа хорошо известны [3, 5, 6, 10], нелинейные статические полубезмоментные уравнения описаны в [1]. Для построения полубезмоментой теории можно использовать физически обоснованные гипотезы [1, 3, 10] или асимптотические методы [5, 6]. В настоящей работе применяется метод нескольких масштабов [2, 11], в соответствии с которым вводим быструю переменную ф — а-1/4п и представляем искомые функции в виде разложений:

и — uo(£, п, Т)+ и^(£,n,ф,т)+ а1/4[ио1 (£,п,т)+ W2 (£,п,ф,т)] + ••• ,

Р — Ро(£,п,т) + р (£,п,ф,т) + а1/4[^01(£, п,т) + Р (£,п, ф, т)] +-.

где Ш1, р —периодические по отношению к переменной ф функции с периодом Ь —

2па-1/4.

Принимаем следующие асимптотические оценки, справедливые для рассматриваемого типа колебаний:

Ш1 ~ а1/2; р ~ аи1. (9)

Новое выражение для производной по кольцевой координате таково:

^ = ^ + 0"1/4^' (ю)

Подставляя выражения (8), (10) в уравнения (5), (6), принимая во внимание оценки (9) и используя оператор осреднения по быстрой переменной ф на промежутке [0, Ь], получаем:

ь

—Ро££ + ашо££ — а1/2 § (ш155Р1фф + и^ффР1_££ — 2и^фР^ф)йф,

0 (11)

ь

У^о + ио^ — —а1/2 / [и155Ш1фф — (и15ф )2] йф,

о

а2аи1фффф + аи^ — Р1_££ + а1/2 [(Р!^ + Ро££ )и1фф + (и1££ + ио££ )Р1фф — 2р_£ф и^ф ], а-1Р1фффф + и155 + а1/2[(и155 + ио^ )и1фф — (и^ф )2] — 0.

(12)

Система (11), (12) описывает нелинейные полубезмоментные колебания. Граничные условия для системы (11), (12) получаются после расщепления граничных условий (7) и имеют вид [11]:

ио — и1 — Ропп — Р1фф — 0 при £ — 0, I. (13)

Анализируя известные численные результаты для линейного случая [12], нетрудно убедиться, что полученные условия действительно являются основными для рассматриваемого типа колебаний.

Перейдем к построению уравнений краевого эффекта. Вводим новую быструю переменную ^ — а-1/4£ и следующие разложения:

и — [ио(£, п,т) + иЙо(<£>, п,т)] + [и1(£, п, ф,т) + ик1 (у>,п,ф,т)]+

+а1/4 { [ио1 (£, п, т) + идо (<£>, п, т)] + [и2 (£, п, ф, т) + и^ (<£>, п, ф, т)] } +-,

(14)

Р — [Ро(£,п, Т) + Рдо (^,п, Т)] + [Р1(£,п, ф, Т) + Рд1 (<Лп, ф, Т)] +

+а1/4 { [Ро1 (£, п, т) + Рко1 (<Л п, т)] + [Р (£, п, ф, т) + Рд2 (<Л п, ф, т)] } +----.

Новое выражение для производной по продольной координате таково:

д д 1/2 д

^ = 7^ + а 7Г' 15

д£ д£ ду>

Принимаем следующие асимптотические оценки, справедливые для рассматриваемого типа колебаний:

ид1 ~ а1/2, Рд1 ~ аид1. (16)

Подставим выражения (10), (14), (15) в уравнения (5), (6) и учтем уравнения (11), (12) и оценки (9), (16). Функции юо(£, п, т), юі(£, п, т), Го(£, п, т), Г\(£, п, т) можно „заморозить" по продольной координате, полагая £ = 0 или £ = / (в зависимости от того, какой край рассматривается). Это связано с тем, что краевой эффект быстро затухает с удалением от края оболочки. Окончательно получаем:

Уравнения краевого эффекта линейные и квазистатические, время входит в них лишь в качестве параметра.

Граничные условия для системы (17), (18) получаются после расщепления граничных условий (7) и имеют вид [11]:

4. Решение полученных уравнений

Система уравнение (11), (12) имеет 4-й порядок по продольной координате и не содержит несущественных членов. Схема решения при граничных условиях (7) может быть следующей. Задаем одночленную аппроксимацию, удовлетворяющую условиям периодичности и граничным уловиях полубезмоментной теории (13):

Подставляя выражения (19) в систему (11), определяем ио^^, Ро££ и вводим найденные значения в уравнения (12). Это позволяет естественно удовлетворить условию периодичности в кольцевом направлении, которое обычно вводится искусственно [14, 16, 18, 19]. Далее следует применять вариационный метод Рейсснера.

Литература

1. Аксельрод Э. Л. Гибкие оболочки. М.: Наука, 1976. 376 с.

2. Бауэр С. М., Смирнов А. Л., Товстик П.Е., Филиппов С. Б. Асимптотические методы в механике твердого тела. М.; Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Ин-т компьютерных иссл., 2007. 356 с.

3. Власов В. З. Общая теория оболочек и ее приложения в технике. М.; Л.: Гостехиздат,

4. Вольмир А. С. Нелинейная динамика пластин и оболочек. М.: Наука, 1972. 432 с.

5. Гольденвейзер А. Л. Теория упругих тонких оболочек. М.: ГИТТЛ, 1953. 544 с.

6. Гольденвейзер А. Л., Лидский В. Б., Товстик П. Е. Свободные колебания тонких упругих оболочек. М.: Наука, 1979. 384 с.

7. Кубенко В. Д., Ковальчук П. С. Нелинейные задачи колебаний тонких оболочек (обзор) // Прикладная механика, 1998. Т. 34. №8. С. 3-31.

8. Муштари Х. М. Об устойчивости круглой тонкой цилиндрической оболочки при кручении // Труды Казанского авиац. ин-та, 1934, №2.

9. Муштари Х. М. Об одном возможном подходе к решению задач устойчивости тонких цилиндрических оболочек произвольного сечения // Труды Казанского авиац. ин-та, 1935,

(17)

(18)

ю0££ юко<^<^, Гк0п<^ Г0£п, Гк1<^ф Г1£ф

при £ = 0,1; = 0, а-1/2/.

(19)

1949. 784 с.

№4. С. 19-31.

10. Новожилов В. В. Теория тонких оболочек, изд. 2. Л.: Судпромгиз, 1962. 430 с.

11. Образцов И. Ф., Нерубайло Б. В., Андрианов И. В. Асимптотические методы в строительной механике тонкостенных конструкций. М.: Машиностроение, 1991. 416 с.

12. Кармишин А. В., Лясковец В. А., Мяченков В. И., Фролов А.Н. Статика и динамика тонкостенных оболочечных конструкций. М.: Машиностроение, 1975. 376 с.

13. Шкутин Л. И. Введение двух разрешающих функций в уравнения непологих оболочек // ДАН СССР, 1972. Т. 204. №4. С. 809-811.

14. Эвенсен Д. А. Нелинейные колебания круговых цилиндрических оболочек // Тонкостенные оболочечные конструкции. М.: Машиностроение, 1980. С. 156-176.

15. Amabili M. Nonlinear Vibrations and Stability of Shells and Plates. Cambridge University Press, Cambridge, 2008. 374 p.

16. Evensen D.A. Non-linear vibrations of cylindrical shells — logical rationale // J. Fluids Structures, 1999. Vol. 13. P. 161-164.

17. Donnell L. H. A new theory for the buckling of thin cylinders under axial compression and bending // Transactions ASME (AER-56-12). 1934. Vol. 56. P. 795-806.

18. Dowell E. H., Ventres C. S. Modal equations for the nonlinear flexural vibrations of a cylindrical shell // Int. J. Solids Struct., 1968. Vol. 4. P. 975-991. Revised and corrected in cooperation with DeMan Tang, Duke Univ. School of Engn., Report 98-1.

19. Dowell E. H. Comments on the nonlinear vibrations of cylindrical shells // J. Fluids Structures, 1998. Vol. 12. P. 1087-1089.

20. Foppl A. Vorlesungen uber technische Mechanik. Bd 5. Die wichtigsten Lehren der hoheren Elastizitatstheorie. Leipzig: B. G. Teubner, 1907. P. 132.

21. Karman T. Festigkeitsprobleme in Maschinenbau. Enzyklopadie der Mathematischen Wis-senschaften. Bd IV. Mechanik. Teilband 4. Heft 3. Art 27. Punkt 8. Ebene Platten. Leipzig: B. G. Teubner, 1910. P. 311-385.

Статья поступила в редакцию 7 октября 2010 г.