CC BY
24
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ ГРАЖДАНСКОЙ ЗАЩИТЫ
УДК 629.7.017.3
В. Ф. Воскобоев
УПРАВЛЕНИЕ УСТОЙЧИВОСТЬЮ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ
ТЕХНИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ С УЧЁТОМ ТРЕБОВАНИЙ ПО БЕЗОПАСНОСТИ
Для объекта, поведение которого описывается цепью Маркова I порядка, представлена задача управления устойчивостью функционирования с учётом требований по безопасности. Эти требования учтены за счёт введения дополнительного условия в общую систему ограничений задачи линейного программирования. Доказано, что расширение системы ограничений влечёт появление рандомизации в принимаемых решениях. Приводится пример.
Ключевые слова: управление, устойчивость, безопасность.
V. Voskoboev
CONTROL OF STABILITY TECHNICAL OBJECTS FUNCTIONING ACCORDING TO ESSENTIAL SAFETY REQUIREMENTS
The article presents control of stability objects functioning according to essential safety requirements for the object characterized by a Markov chain I order. These requirements are taken into account by introducing additional conditions in a general system of limitation in linear programming. The author of the article proves the set of constraints expansion results in randomization of solutions and gives the example.
Keywords: control (management), stability, safety.
Введение
В работе [1] рассмотрена задача управления устойчивостью функционирования технических объектов с учётом погрешностей оценки его технического состояния. Вместе с тем для ряда классов объектов необходимо учитывать также и требования по безопасности. Такими следует рассматривать объекты, относящиеся к опасным, особо опасным и иным, характеризующимся способностью наносить существенный вред населению, экологии и др.
Целью настоящей статьи является расширение формулировки задачи [1], обеспечивающее учёт ограничений на безопасность функционирования технического объекта.
Постановка задачи
Рассмотрим объект, поведение которого определяется на основе наблюдения за параметром X(t). Будем по-прежнему [1] полагать, что параметр X(t) описывается нестационарной цепью Маркова I порядка со стационарными вероятностями переходов. Отличие от [1] в описании технических состояний будет заключаться в том, что при нахождении объекта в состоянии F может возникнуть опасная ситуация. К таким ситуациям можно отнести возможность взрыва, пожара, прорыва защитных сооружений и т. п. явления.
Задача управления устойчивостью [1] сводилась к следующей задаче математического программирования: выбрать решения по изменению технического состояния Dis такие, чтобы целевая функция
M1 [С ]= M [C ] + (1 - p ){£ ¿ ¿ [ p )■ tj + j( p )■ z, ]+¿ ¿ ■ DB ■ fj3)( p )■ c, } ü)
была минимальна при соблюдении системы ограничений 10 -
ЕЯ - = ° ] = 1,Е
Г (2)
!>;= 1 Я > 0
Н
где qsj с^, , zsj - элементы матриц вероятных переходов неуправляемой цепи Маркова и затрат;
- функция, обеспечивающая учёт погрешностей контроля; V, - элементы матрицы управляемой цепи Маркова;
М [С ] - математическое ожидание затрат на управление без учёта погрешностей контроля; Р - значение достоверности контроля.
В произвольный момент времени I в стационарном режиме параметр Х(0 может находиться в состоянии i = 1,...Ес вероятностью кг. В соответствии с допустимыми решениями Д^ вероят-
__Е
ность оказаться в одном из безопасных состояний , = 1, Е — 1 при заданном i равна пг ^ Д, . Из
,=1
любого состояния , = 1, Е — 1 вероятность попасть в опасное состояние Е в момент (+1 равна
Е—1
Я • ^ Д, • qjP . Отсюда общая вероятность оказаться в опасном состоянии равна
,=1
F F-1
СО =
Qo = ■ Dj • q}F . (3)
¿=1 j=1
Тогда дополнительное ограничение, отражающее условие непревышения опасности на определённом шаге, примет вид:
F F -1
Qo • Djj • 4jF <У , (4)
¿=1 j=1
где v - заданный уровень опасности.
Теперь задача управления устойчивости с учётом требований по безопасности функционирования сводится к решению следующей задачи: выбрать Dis так, чтобы был обеспечен минимум целевой функции (1) при ограничениях (2) и (4).
Анализ решений
Найдём область определения величины v. Из вероятностной природы величины v следует, что верхняя граница vmax = 1.
Для определения нижней границы vmin рассмотрим матрицу вероятностей переходов {qi ¿} и выберем
qmF = min {q,F }• (5)
i
Обратимся к выражению (3) и попытаемся найти его минимальные значения. Очевидно, что величина минимума зависит от выбора значений Dj , так как qjF постоянны.
Без снижения общности результата допустим, что для каждого i = 1,...F — 1 существуют решения вида Dim > 0 и Dik = 1 — Dim, т. е. в каждом состоянии i с вероятностью Dim осуществляется изменение состояния до такого значения т, для которого выполняется (5), и с вероятностью 1 — Dim - любое другое изменение. Тогда имеем
Qo = Е Я [Dm • qmF + (1 - Dm ) qkF ] . (6)
i=i
В силу условия (5) для любого k Ф m, qkF = qmF + s, s > 0 . Тогда (6) примет вид
F f F Л
Qo =E^ '[Dm * qmF +(1 - Dm ) ' (q^ + s)] = qmF + S 1 ' Dm I . (7)
¿=1 V ¿=1 У
Из выражения (7) следует, что если решения для любого i выбираются в виде распределения по возможным состояниям, то значение Q0 всегда больше, чем qmF .
Глобальный минимум (7) достигается только в случае, если Dim = 1 для всех i. Тогда
f F Л
min Q0 = mDn S 1 -ЕЯ ' Dm I + qmF = qmF.
V i=1 У
Отсюда следует, что нижняя граница величины v должна быть не менее члена
qmF = min {qiF } матрицы вероятностей переходов. Поэтому область определения величины v зада-
i
ется интервалом
min{qw}<v < 1. (8)
i
Обычно предполагается, что минимальная вероятность достижения опасного состояния соответствует состоянию параметра i = 1. Поэтому (8) можно записать в виде
%F <V < 1. (9)
При выборе V < min {qiF } система ограничений будет противоречива, так как не существует
таких Dis > 0, чтобы выполнялось условие (4).
Уменьшение величины v означает требование обеспечить на очередном шаге меньшую вероятность опасного функционирования. Это может быть обеспечено за счёт проведения более частых работ по «улучшению» технического состояния. Поэтому введение ограничения вида (4) может привести к уменьшению значения уровня оптимальной остановки i. Очевидно, что при этом возрастёт значение средних удельных затрат (1).
При введении ограничения (4) может также измениться характер решений: возможно появление рандомизированных решений. При системе ограничений (2) решения Dis оказываются внутри подкласса Д е D - подкласса нерандомизированных решений [2]. Введение ограничения (4) в общем случае нарушает условия существования нерандомизированных решений, а это эквивалентно утверждению, что решение нужно решать во всём классе решений D . Докажем этот факт.
12 -
Научные и образовательные проблемы гражданской защиты - 2012'1
Рассмотрим систему ограничений (2). Эта система (Е+1) уравнений имеет ранг F, поскольку одно из уравнений является линейной комбинацией остальных. Действительно, суммируя первые F уравнений по 1, получим
Е Е Е
Ежз -Е^—Еж1 =
¿=1 1=1 1=1
Е
Так как для стохастической матрицы выполняется условие Е qij = 1, то Е = 1 и
i 1=1
Е
Ел} — 1 = °, что совпадает с последним уравнением системы (2). Это подтверждает утверждение
1=1
относительно существования линейной зависимости.
Поскольку ранг этой системы равен Е, то любое допустимое базисное решение задачи линейного программирования содержит равно Е положительных переменных, а остальные переменные, как это следует из основных свойств симплекс-метода [3], равны нулю. Обозначим, как и ранее [1]
= щ • Я. (1°)
Тогда система (2) примет вид:
Е Е
Е^—ЕЕ^ • q.y = °
5=1 ¿=1 5=1
ЕЕ ( )
ЕЕ X, — 1 = 0.
1=1 5=1
Из рассмотрения системы (11) следует, что при 5 Ф 1 коэффициенты qsj неположительны или величины (1 — qsj) положительны, а переменные X^ в силу (1°) неотрицательны. Тогда должен существовать по крайней мере один коэффициент вида (1 — qii), при котором для всех i > °. Иными словами, для каждого i существует по крайней мере одна переменная X^ > ° . Если для некоторого 1 существуют две переменные X^ > °, то в некотором i- м ограничении отсутствует слагаемое с сомножителем (1 — qii), поскольку любое допустимое базисное решение имеет ровно F
положительных переменных X^, а остальные равны нулю. Но в этом случае будет нарушено условие равенства правых частей ограничений нулю или единице. Следовательно, для каждого i существует только одна переменная xis > °, а остальные равны нулю.
Введение дополнительного независимого ограничения означает изменение ранга рассматриваемой системы до Е +1. Из общих свойств симплекс-метода вытекает, что в этом случае допустимое базисное решение должно содержать ровно Е+ 1 положительных переменных, а это при числе состояний в эргодическом классе ровно Е означает существование для некоторого i не менее двух переменных xis > ° . При этом условие равенства правых частей нулю или единице нарушено не будет.
Пусть для некоторого 1 существуют x]■s > ° и X! > ° , 5 Ф р . Тогда, используя (1°), получим
^ =
х.
Х], + ХР
^ =
Х], + ХР
х
Полученные величины D]■s и Djp строго меньше единицы, что и означает существование
рандомизированных решений.
Найденная матрица решений, как и прежде [1], позволяет оценить интервалы времени до попадания как в область оптимальной остановки, так и до возникновения опасной ситуации. Пример
Рассмотрим процесс, матрица вероятностей переходов которого представлена в примере [1]. Кроме этого, сделаем такие же допущения относительно затрат. Тогда приведённая целевая функция может быть представлена в виде
М [С ]г; = ^ • Т— + р.£ £ пг • Ц, + £ ^ • DFs, где р = ^,
i=l ,=1 Тр
а система ограничений будет включать (2) и (4). Решение задачи линейного программирования при вариации значения V позволило получить следующие результаты:
V 1,0 - 0,10 0,09 - 0,08 0, 07 0, 06 0,05 - 0,04
i 7 6 5 4 3
Из приведённых данных следует, что при задании более жёстких требований по безопасности (V убывает) область оптимальной остановки сокращается.
Приведём для наглядности матрицы решений при р = 0,8 для V = 0,1 и V = 0,05.
г = 0,1 г = 0,05
(1 0 0 0 0 0 0 1 ( 1 0 0 0 0 0 01
0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0,218 0 0,782 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0
V 1 0 0 0 0 0 0 У V 1 0 0 0 0 0 0 У
Видно, что при V = 0,05 уровень оптимальной остановки изменился до I* = 3 по сравнению со случаем V = 0,1 (I* = 7), а также появились рандомизированные элементы D31 = 0,218 и D33= 0,782.
Литература
1. Воскобоев В.Ф. Об управлении устойчивостью функционирования технических объектов / Научные и образовательные проблемы гражданской защиты / 2011. № 4.
2. Барлоу Р., Прошан Ф. Математическая теория надёжности. - М.: Советское радио, 1969.
3. Юдин Д.Б., Гольштейн Е.Г. Задачи и методы линейного программирования. - М.: Советское радио,
1964.
