CC BY
14
ПРЕДУПРЕЖДЕНИЕ И ЛИКВИДАЦИЯ ЧС
УДК 629.7.017.3
В. Ф. Воскобоев
ОБ УПРАВЛЕНИИ УСТОЙЧИВОСТЬЮ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ ТЕХНИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ
Для объекта, поведение которого описывается цепью Маркова I порядка, задача управления устойчивостью функционирования формулируется как задача линейного программирования. Решение задачи обеспечивает определение области оптимальной остановки, что даёт возможность предпринимать меры по предупреждению нарушения устойчивости функционирования. В формулировке задачи учитывается погрешность контроля, влияние которой приводит к увеличению значения целевой функции и изменению размера области оптимальной остановки. Представлены соотношения, позволяющие оценивать интервалы времени между моментами нарушения устойчивости, а также значение времени до достижения такого момента при известном начальном состоянии. Приводится пример.
Ключевые слова: управление устойчивостью, погрешности контроля.
V. Voskoboev
MANAGEMENT OF STABILITY FUNCTIONING TECHNICAL OBJECTS
For an object behavior which is described by the Markov chain of the first order, a management task is formulated by stability functioning as a task of the linear programming. The decision of the task provides determination of area of optimal stopping that gives an opportunity to take measures for warning of violation of stability functioning. In problem setting taken into account control errors and its influence is the result of value increasing of objective function and changing of size of area of optimal stopping. The article presents correlations of estimating time domains between the moments of violation of stability and temporal value, before a moment at the known initial state. The example is given.
Keywords: management of stability, control errors.
Введение
Проблема анализа устойчивости функционирования объектов рассматривается в двух принципиально отличающихся постановках. Первая по времени связана с использованием частотного представления поведения технического объекта [1]. Суть этого подхода заключается в том, что на комплексной плоскости строится годограф поведения системы и выделяются в отрицательной полуплоскости специфические точки (корни характеристического уравнения). Если траектория годографа охватывает эти точки, то поведение системы считается устойчивым.
В настоящее время более широко используется подход, связанный с анализом поведения скалярного или векторного, зависящего в том числе и от времени, параметра X(t) в некоторой области G . В заданной области Gj с G выделяются состояния It, нахождение в которых рассматривается как устойчивое поведение системы. Факт нарушения условия It е Gj фиксируется на основе
измерения (контроля) либо скалярного, либо векторного параметра X(t). С точки зрения управления это приводит к необходимости проведения мероприятий, направленных на устранение возникшего нарушения.
В качестве примеров можно указать на контроль устойчивой работы газотурбинного двигателя по показаниям за температурой газов перед турбиной, приведённой частотой вращения турбо-
компрессора [2], за плотностью, вязкостью дисперсной среды, температурой, коэффициентом поверхностного натяжения, рН-среды в растворе, давлением, скоростью звука в газовой фазе [3] и т. д.
Для ряда технологических процессов измерения проводятся из условия экономичности с учётом физики изменения состояния не непрерывно, а дискретно в заранее установленные моменты времени, причём зачастую определяется не точечная оценка параметра, а принадлежность его к определённой области. Подобная схема даёт основание использовать в качестве одной из простейших моделей изменения технического состояния цепи Маркова I порядка. Некоторые результаты построения схем управления цепями Маркова для идеальных случаев измерений изложены в [4, 5]. Целью настоящей статьи является формулировка задачи управления устойчивым функционированием объекта с учётом погрешностей измерения.
Постановка задачи
Рассмотрим объект, для которого оценка его устойчивого состояния определяется на основе наблюдения в дискретные моменты времени t. = 7 • Дt, 7 =1, 2..., при этом становится известно одно
из возможных состояний параметра . Множество возможных состояний параметра является конечным G = {1, 2, ..., F}, где состояние 1 - наилучшее с точки зрения устойчивости функционирования объекта, а состояние F соответствует ситуации нарушения устойчивого функционирования. Во времени переходы между состояниями определяются матрицей вероятностей перехода вида
Q = ^, 7, ] е 7^}, (1)
где Чч =р {7+1 = А7,=7}.
Матрица (1) удовлетворяет условиям стохастической матрицы.
Зададим начальный вектор для рассматриваемой системы в виде
Р(0) = {1,...,0} . (2)
При сделанных предположениях последовательность измеряемых величин {11,, = 1, 2 ...}
отражает процесс естественного изменения состояния устойчивости во времени и описывается нестационарной цепью Маркова I порядка со стационарными вероятностями переходов в пространстве состояний 1, F .
На основе результатов проверки в любой момент времени , = 1, 2. принимается решение о том, что следует предпринять относительно технического состояния системы. Естественными исходами принимаемых решений можно считать:
сохранение наблюдаемого состояния 7;
изменение состояния 7 на 5 Ф 7.
Выберем в качестве пространства решений класс Д, содержащий конечное число допустимых решений. Обозначим количественное решение через Dг■5 , а через d.s - факт изменения состояния от 7 до 5 при условии, что в момент контроля зафиксировано состояние 7. Тогда
D1S = Р К }> 0, Db е Д. (3)
Эта запись означает, что имеется возможность принять решение с некоторой вероятностью. Следовательно, класс Д содержит все возможные рандомизированные правила. Введённые решения удовлетворяют условию
^^ = 1, (4)
5=1
которое физически означает, что в каждый момент контроля решение обязательно принимается.
После введения решений вида (3), (4) процесс, характеризующий поведение системы во времени, существенно изменяет свои свойства, а именно: становится управляемым эргодическим процессом со стационарными вероятностями переходов. Матрица вероятностей такого процесса N определяется в виде
N = D • Q , (5)
а элемент матрицы N
^ = У?, •О, *,у е1¥. (6)
¿=1
Свойство эргодичности означает существование безусловных стационарных вероятностей нахождения в любом состоянии 7 = 1, 2 ,...., ¥. Эти вероятности удовлетворяют системе уравнений
Уя„ - Л. = 0, 7 = 1, ¥
¥
Ул. = 1 л. > 0.
¿—1 У У
л .
'=\ У (7)
Реализация решений требует определённых затрат. Такие затраты в общем случае представляют собой случайные величины, зависящие от условий эксплуатации объекта, подготовленности инженерно-технического состава, оснащённости контрольно-измерительной аппаратурой, конструктивного исполнения технического объекта (определяющего ремонтопригодность) и т. п. Будем оперировать средними величинами этих затрат.
Пусть проверка, т. е. определение состояния у требует затрат при условии, что последнее состояние было $ Обозначим затраты на принятие решения dis через с$. Для расширения возможностей по интерпретации получающихся результатов введём затраты - штрафы за пребывание в состоянии у и обозначим этот компонент через zsj. В частности, эту величину можно рассматривать
как потери, связанные с пребыванием в одном из состояний у е 1, ¥ .
Одной из важнейших характеристик качества процесса управления устойчивостью функционирования следует считать величину средних удельных затрат, т. е. затрат, связанных с обеспечением единицы времени устойчивого функционирования. Тогда задача управления устойчивостью состоит в выборе таких решений, которые обеспечат минимум средних удельных затрат.
Для рассматриваемого эргодического процесса единицей времени является интервал между соседними моментами контроля (шаг контроля). На основании теоремы о полном математическом ожидании для эргодических марковских цепей математическое ожидание затрат на один шаг имеет вид:
¥ ¥ ¥ ¥ ¥ М[С1 = УУУл.0« (V. + z.) + УУл.0.с. , (8)
J ^^ ^^ ^^ I 13 ¿¿у \ $) $ / ^^ ^^ I 13 13 ' 4 '
7=1 3=1 j=1 7=1 3=1
где л. удовлетворяют системе (7). Первый член выражения (8) представляет собой математическое ожидание затрат на контроль и пребывание в состояниях 7 = 1, ¥, а второй член - математическое ожидание затрат, связанных с принятием решения. Тогда задача управления устойчивостью может быть сформулирована как следующая задача математического программирования. Выбрать значения О $ такие, чтобы значение средних удельных затрат (8) было минимальным при соблюдении условий (7).
Так как неизвестные 0$ входят линейно как в (7), так и в (8), то для их отыскания принципиально возможно использование алгоритмов линейного программирования. Однако непосредственное применение алгоритмов линейного программирования пока невозможно. Это обусловлено
- 25
Научные и образовательные проблемы гражданской защиты - 2011'4
тем, что в формулировку (7), (8) входят также и неизвестные значения п. (п.) . Обойти эту трудность возможно, если ввести обозначение
х. = п. • В . (9)
13 I 13 4 '
Тогда целевая функция (8) примет вид
¥ ¥ ¥ ¥ ¥ М[С] = УУУх. • а ^ + г.)+УУх. • с. , (10)
I. J ^^ ^^ ^^ и 133 \ 33 3. ' ^^ ^^ 13 1$' 4 '
/=1 $=1 .=1 /=1 $=1
а система ограничений (7) преобразуется как
У х. -У У х. • а = 0, . = 1,¥ ,
3=1 /=1 3=1 /1 1 \
¥ ¥ ^ ' УУх
.3 '
.=1 3=1
¥
так как п.. = У х
3=1
■ =У х„, . = 1, ¥ . (12)
Формулировка (10), (11) может быть непосредственно использована для решения задачи линейного программирования по определению 0.3, которое по найденному х.3 определяется как
х
В,3 =т^-, (13)
Ух.
¿^ 13
3=1
что непосредственно вытекает из (9) после подстановки в него значения для п. (12).
Результатом решения является матрица решений, имеющая в качестве элементов 1 или 0. Характер этой матрицы таков, что для состояний 1,... /* — 1 единичные элементы располагаются на главной диагонали. Для состояний /* ...¥ единичные элементы размещаются в первом столбце [5] . Соответственно, область [/*, ¥ ^ определяет область оптимальной остановки.
Учёт достоверности оценки состояния
До настоящего момента предполагалось, что контроль является идеальным, т. е. текущее состояние определяется верно с вероятностью единица. На практике достоверность измерения всегда меньше единицы. Учтём эту особенность, связанную с практическим применением схемы управления устойчивостью функционирования. Пусть при контроле состояния . с вероятностью р < 1 фиксируется состояние . и с вероятностью (1 -р) - одно из состояний 1, 2,.... - 1, 7+1,... ¥.
В этом случае средние удельные затраты примут вид
М1 [С] = р • М [С] + (1 — р)• М2 [С], (14)
где М2 [С] — математическое ожидание затрат при наличии погрешностей измерения.
С физической точки зрения появление погрешностей может привести к возрастанию числа проверок, а также к проведению работ в случае ошибочных решений. Поэтому в общем случае при р < 1 затраты
с = с0 + Ас,
где с0 - затраты при р = 1, Ас - дополнительные затраты за счёт р < 1.
Если обозначить символом А дополнительные затраты, то из (10, 14) получим:
¥ ¥ ¥
м [С 1 = УУУ^. • Б. • а -(г + г. ) + УУ^. • Б • с. +
.= 1 . = 1 3=1 7=1 3=1 (15)
Г ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ 1
+ (1" р)-\УУУл. • Б • а •(At. + Аг. ) + УУ^. • Б. -Ас. к
V 3 Щ )
1=1 . = 1 3=1 .=1 3=1
Теперь задача линейного программирования заключается в определении таких Dis, которые
обеспечат минимум (15) при условии (7).
Естественно предположить, что дополнительные затраты зависят от достоверности контроля. Пусть эта зависимость имеет вид
Ас = / ( р )• с0 , (16)
где / (р) - неотрицательная, кусочно-непрерывная функция, удовлетворяющая на интервале 0 < р < 1 условиям Дирихле, и / (р) = / (1) = 0 .
В общем случае для каждого вида затрат / (р) может отличаться. Пусть Atsj = (р)(1) • t., Аг. = (р)(2) • г. , Асй = (р)(3) • . После подстановки их в (15) получим
м 1 [С] = м [Со ] + (1 - р) • {У У У .. • д • а. • [. (р) • + (2) (р) • ] +
I'=1 3=1 ]=1 (17)
+У У ^ • Б • Л(3)(р)• с. 1.
.=1 3=1 J
Из рассмотрения (17) следует, что учёт достоверности контроля приводит к возрастанию математического ожидания средних удельных затрат. Второй вывод, который может быть сделан, состоит в том, что при р < 1 возможны изменения уровня оптимальной остановки Г . Это обусловлено тем, что оптимальный план (набор решений ) определяется коэффициентами при неизвестных как в целевой функции, так и в системе ограничений. В данном случае изменяются коэффициенты целевой функции, а, следовательно, уравнение плоскости, что и влечёт возможность изменения оптимального плана.
Оценка интервалов времени
Определение значений безусловных вероятностей п. и области оптимальной остановки Г* позволяет оценить интервалы времени между моментами нарушения устойчивости функционирования и среднего значения времени до момента принятия мер по недопущению нарушения устойчивого функционирования при условии, что известно текущее состояние объекта. Для этого следует воспользоваться теорией поглощающих целей Маркова [6].
Пусть имеется матрица А эргодического процесса с состояниями 1,...,¥. Чтобы определить среднее значение времени до попадания процесса в состояние ¥, необходимо сделать его поглощающим. Это достигается тем, что вероятности а¥., . Ф ¥ приравниваются к нулю, а вероятность
а¥¥ = 1. Для вновь полученной матрицы вычислим фундаментальную матрицу:
G=(1-е)-1 (18)
и вектор
Т = G •£, (19)
где I- единичная матрица размером (¥-1) х (¥-1);
2 - матрица, полученная из матрицы А путём вычеркивания столбца с номером ¥; £ - вектор-столбец размером 1 х (¥ -1) при условии, что начальное состояние есть ..
Вектор дисперсий времени до попадания в поглощающее состояние
г2 =[2 (I - Q)-1 -1}(! - Q)-1 е-тщ, (20)
где т - вектор-столбец, каждый элемент которого равен квадрату соответствующего элемента вектора т1.
Аналогичным образом определяются значения т,1 и т2 для случая, когда область оптимальной остановки содержит более одного состояния. В этих случаях множество Г* заменяется одним состоянием, причём размер матрицы Q будет равен Р - Г + 1, где Г - число состояний в области оптимальной остановки. Дальнейший порядок расчёта т,1 и т2 сохраняется.
Оценка интервала времени между соседними моментами нарушения устойчивого функционирования может быть получена на основе знания величины безусловной вероятности лр пребывания в неустойчивом состоянии Р. Тогда математическое ожидание числа шагов (времени между моментами нарушения устойчивости)
Трр = Лр-1. (21)
Введённые оценки (19) и (21) позволяют оценить эффект от проведения мероприятий по предупреждению состояний неустойчивого функционирования в виде
Трр (Г*)
Л =-
т
171
(22)
где ТРР (г*) - среднее время между моментами нарушения устойчивости при использовании области оптимальной остановки размером Г*.
Пример. Пусть процесс Х(г), имеющий 7 состояний, изменяется на основе матрицы вероятностей переходов
е=
' 0,30 0, 20 0, 20 0,12 0,10 0, 05 0,03Л
0,10 0,30 0, 20 0,13 0,12 0, 08 0,07
0,08 0,10 0,30 0, 20 0,12 0,10 0,10
0,05 0,10 0,10 0,30 0, 20 0,15 0,10
0,05 0,10 0,10 0,15 0,30 0, 20 0,10
0,02 0, 08 0,10 0,10 0, 20 0, 30 0,20
V 0 0 0 0 0 0 1 ,
Зададим для простоты вычислений затраты в следующем виде г. = г0, zjj = 0, а
с = ^
р ' '
0, 7 = $ = 1, Р
В этом частном случае значение М[С] (8) примет вид:
Т
Т
7, $ = 1, Р -1
7 = р, $ = 1, р -1
м\С 1 = г + Т -У У л • О + Т У л • О
I- J 0 П ¿ш^ ¿ш^ 7 1$ р ¿ш^ Р Р$ .
Из полученного выражения следует, что вид решений определяется только характером случайного процесса и затратами ТП и ТР, а точнее, их отношением р = ТП.
Т
С учётом введённого отношения получим
I=1 3=1
3 = 1
м \с 1 • Т -1 = г • Т -1 + р • У У л • О + У л • О
I- J р 0 р ' 7 и Р Р
7=1 3=1 3=1
Для р = 0,1 матрица решений имеет вид
О =
(1 0 0 0 0 0 01
0 1 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0
1 0 0 0 0 0 0
V 1 0 0 0 0 0 0 ,
т. е. в область оптимальной остановки входят только состояния 6 и 7.
В этом случае лр = л6 = 0,072, и среднее время между моментами нарушения устойчивости функционирования ТРР (г*) = 13,9 . При лр = л7 = 0,095 ТРР = 10,5 .
Тогда введение мер по предупреждению нарушения устойчивого функционирования позво-
ляет увеличить интервал между моментами нарушения до л =
трр (г*)
Т,
13,9 10,5
= 1,32, т. е. прибли-
зительно на треть.
Влияние погрешностей контроля можно оценить, если допустить, что /. (р) = k¡ • (1 - р) ,
где k¡ = 0, ^ = 5, kз = 20 .
В этом случае при р = 0,9 матрица решений останется без изменений, а при р = 0,6 7 * = 4.
Из последнего следует, что менее точная система контроля приводит к необходимости более часто изменять техническое состояние объекта, чтобы предупредить возможность наступления момента неустойчивого функционирования.
Заключение
Использование результатов решения рассмотренной задачи оптимального управления устойчивым функционированием объекта позволяет наилучшим образом (с точки зрения выбранного показателя оптимизации) обеспечить проведение работ по недопущению нарушений устойчивости. Кроме того, полученные оценки интервалов времени между возможными нарушениями устойчивости, а также значений времени до возникновения нарушений устойчивости функционирования с учётом текущего состояния обеспечивают возможность прогнозирования таких моментов, а, следовательно, позволяют более точно планировать и распределять силы и средства в интересах поддержания устойчивого функционирования объекта. Существенным является также определение параметров такого управления с учётом погрешностей средств контроля, так как ошибки в определении текущего состояния могут привести к весьма значимым дополнительным затратам по обеспечению устойчивости функционирования объекта.
Литература
1. Теория автоматического регулирования. Под редакцией Солодовникова В.В. Книга 1. - М.: Машиностроение, 1967.
2. Кеба И.В. Диагностика авиационных газотурбинных двигателей. - М.: Транспорт, 1980.
3. Пилипенко А.Т., Пятницкий И.В. Аналитическая химия, т. 1, - М.: Химия, 1990.
4. Барлоу Р., Прошан Ф. Математическая теория надёжности. - М.: Советское радио, 1963.
5. Барзилович Е.Ю., Воскобоев В.Ф. Эксплуатация авиационных систем по состоянию. - М.: Транспорт. 1981.
6. Кемени Дж., Снелл Дж. Конечные цепи Маркова. - М.: Наука, 1970.
