CC BY
15
УДК 629.7.017.3
О ВЫБОРЕ МЕРОПРИЯТИЙ ПО ПОВЫШЕНИЮ УСТОЙЧИВОСТИ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ ТЕХНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ПРИ ОГРАНИЧЕННЫХ
РЕСУРСАХ
В.Ф. Воскобоев
доктор технических наук, профессор, профессор кафедры устойчивости экономики и систем жизнеобеспечения,
Академия гражданской защиты МЧС России Адрес: 141435, Московская обл., г.о. Химки, мкр. Новогорск E-mail: v.voskoboevQamchs.ru
Аннотация. Рассматривается задача повышения значения вероятности устойчивого функционирования технических систем за счёт проведения работ по её модернизации при ограниченных ресурсах. Описывается структура методики распределения ограниченных ресурсов, в основе которой лежат идеи градиентных методов решения экстремальных задач. Приводится пример.
Ключевые слова: техническая система, устойчивость функционирования, ограниченные ресурсы, модификация.
Цитирование: Воскобоев В.Ф. О выборе мероприятий по повышению устойчивости функционирования технической системы при ограниченных ресурсах. // Научные и образовательные проблемы гражданской защиты. 2019. № 1 (40). С. 13-18.
В общей проблеме обеспечения промышленной безопасности технических систем важное место занимает задача поддержания и (или) повышения устойчивого функционирования. Достижение заданного уровня устойчивости в ряде случаев обеспечивается за счёт проведения различного объёма модернизации, которая возможна в случае выделения определённых, как правило, ограниченных ресурсов.
По своей структуре техническую систему в общем виде можно представить в виде собственно технического объекта и ряда обеспечивающих подсистем [1].
Модернизация допускает проведение работ как на основном объекте, так и на отдельных обеспечивающих подсистемах.
В настоящей статье предложена структура методики распределения заданного объёма ресурсов, предназначенных для модернизации элементов технической системы, при котором обеспечивается максимально возможное значение показателя устойчивого функционирования основного объекта.
Постановка задачи
Рассмотрим техническую систему, состоящую из следующих элементов: собственно
технического объекта и обеспечивающих его функционирование вспомогательных подсистем - защиты, анализа технического состояния и восстановления работоспособности основного объекта Вероятность устойчивого функционирования объекта имеет вид [1]:
Р(t) = R(t) • D + (1 -D) • R(t) • F(tB) • F(t3), (1)
где R(t) - вероятность безотказной работы собственно объекта;
D - достоверность результатов работы подсистемы анализа технического состояния объекта;
F (tB) - функция распределения времени выполнения работ по восстановлению работоспособного состояния объекта; F(t's ) - совместная функция распределения времени срабатывания подсистемы защиты и продолжительности анализа технического состояния.
Введём следующие обозначения: R(t) = Xi,D = Х2, F(tB) = Хз, F(t3) = Х4. Тогда выражение (1) примет вид:
Р(t)= Хг • Х2 + (1 - Х2) • X! • Хз • Х4. (2)
Для повышения значения вероятности
устойчивого функционирования объекта возможно проведение модернизации системы, на что выделяются суммарные ресурсы Со. Модернизация допускает проведение работ как на основном объекте, так и на отдельных подсистемах, при этом изменяются показатели Х\, X*, Х3, Х4. Работы проводятся таким образом, что после их выполнения показатель Хг может изменяться на величину АХг, г = 1,2,3,4. Соответствующее приращение АХг требует на свою реализацию затрат Сг, г = 1,2,3,4. Задача заключается в том, чтобы выбрать такие значения X*, X*, X*, X*, при которых
Р (*) = Р (X*, х2*, х3* ,х*) =
= тах*Р(Хг + Кг • АХг) {К}
(3)
при условии
КгСг < Со, 0 < Хг < 1, г = 1, 4, (4)
г=1
где Кг - кратность приращения.
Алгоритм решения
Сформулированная постановка задачи относится к классу задач нелинейного математического программирования. Для решения таких задач предложено значительное число методов [2-5].
Остановимся на некоторых особенностях этой задачи. С учётом физического смысла переменных выражения (2) ясно, что область допустимых решений заключена внутри четырёхмерного куба со сторонами Х\,..., Х4. Так как все величины 0 < Хг < 1, г = 1, 4 непрерывны в области своего определения, то для нахождения экстремума вида (3) целесообразно использовать значение градиента, который обеспечивает наибольшую скорость изменения функции (2). Использование методов градиентного типа приводит к необходимости вычисления частных производных вида
дР(Хг, г = 1, ..., 4)
дХг
, г = 1,
4,
(5)
определяющих величину приращения функции Р(Хг,г = 1, ..., 4) в направлении соответствующего аргумента.
Учтём также выделяемые ресурсы. Тогда приращение величины вероятности устойчивого функционирования (2) по соответствующему аргументу, приведённое к единице затрачиваемых ресурсов, примет вид:
При определении направления вложения ресурсов для повышения показателя устойчивости функционирования объекта более удобно пользоваться не абсолютными значениями градиента вида (6), а их относительными величинами т, получаемыми при построении диаграммы Парето
кг
4
£
,г=1
дР (Хг, г = 1, ..., 4) дХг
■С,
-1
дР (Хг, г = 1, ..., 4) 1
дХг ^
X 1
(7)
при ЭТОМ жг = 1.
Подобный подход позволяет определить как выбор характеристики из множества (Хг, г = 1, ..., 4), наилучшим образом обеспечивающей повышение показателя Р(Хг, г = 1, ..., 4), так и относительный «вклад» каждой характеристики в улучшение этого показателя.
После проведения ранжирования значений ж г в порядке убывания решение о выборе направления модернизации принимается по правилу: выбрать такую характеристику (её номер для которой
К] = тах{жг, г = 1, ... , 4}.
(8)
Дальнейшие операции сводятся к оценке возможности продолжения работ по модернизации. Это достигается на основе использования соотношения
С0 — С] > тгп Сг.
(9)
где С] - затраты ресурсов на реализацию выбранного на основе (8) мероприятия по повышению значения (2).
В случае выполнения условия (9) повторяются расчёты на основе выражений (5), (7), (8), (9) с учётом произведённых изменений в
х
характеристиках Х\, Х2, Х3, Х4. Вычисления осуществляются до тех нор, пока не будут израсходованы выделенные ресурсы. Этот факт будет иметь место в случае, когда первый раз нарушится соотношение (9).
Структура, .методики
Предложенное решение может быть реализовано на основе методики, структура которой представлена на рисунке 1.
Рисунок 1 Схема реализации методики оценки устой чивости функционирования системы при модернизации
Последовательность операций но реализации предложенной методики сводится к следующему.
После ввода в блоке 1 исходных данных в виде начальных значений К(1),И,Р(Ьв),Р(Ъз) приращений этих величин в результате реализации заданного объема работ но модернизации применительно к каждой характеристике АК(1),АБ, АР (¡в), АЁ^з), соответствующих ресурсов Сг, г = 1, 2, 3, 4, выделенных суммарных ресурсов Со в блоке 2 проверяется
возможность проведения модернизации на основе соотношения С0 > min Ci, г = 1, 2, 3,4.
г
Если условие не выполняется, то фиксируется отказ от модернизации (блок 11). При удовлетворении этого условия в блоке 3 вычисляется значение показателя (1), а затем в блоке 4 на основе соотношения (9) оценивается возможность проведения дальнейших работ по модернизации. При выполнении условия (9) в блоках 5, 7, 8, 9 осуществляются расчеты на основе выражений (5), (6), (7) и производится с учетом выражения (8) выбор характеристики для модернизации.
Блок 10 является вспомогательным, где осуществляется учет затраченных ресурсов, вносятся изменения в исходные данные по той характеристике, применительно к которой была проведена модернизация.
В дальнейшем следует вернуться к блоку 3, где будет рассчитана полученная после модернизации величина вероятности устойчивого функционирования основного объекта. Затем в блоке 4 проверяется возможность дальнейшей модернизации на основе использования выражения 9. При выполнении этого условия повторяются операции блоков 5,7^10. В противном случае фиксируются достигнутые результаты.
Результатами реализации методики будут определение последовательности проведения работ по модернизации, оценки как объема израсходованных ресурсов, так и значения показателя устой чивого функционирования основного объекта после модернизации.
Пример
Рассмотрим условную систему электроснабжения, для которой известны следующие исходные данные представленные в таблице 1.
Таблица 1 Исходные данные
Показатель R(t) = Xi D = X2 * со со * jb.
Начальные значения 0,85 0,90 0,85 0,80
Приращение за счет модернизации 0,03 0,03 0,05 0,05
Затраты Ci 1,00 0,90 0,70 0,80
Значение суммарных ресурсов Со = 2,00. В блоке 2 проверяется условие Со = 2 > min Ci = 0,7.
г
Далее в блоке 3 вычисляется значение вероятности устойчивого функционирования, соответствующее начальным условиям:
Р(t) = Xi • Х2 + (1 - х2) • Xi • Х3 • Х4 = 0,8228.
Проверка возможности проведения дальнейших работ осуществляется в блоке 4 на основе
соотношения (9), причём на первом шаге
Cj = 0.
Со - Cj = 2 - 0 > min Сг = 0,7.
i
Результатом выполнения операций в блоках 5, 7 являются значения соотношений вида (6) для каждой характеристики:
дР(Хг, г = 1, ..., 4) dXi
дР (Xi, i = 1, ..., 4)
8X2
дР (Хг, г = 1, . .., 4)
дХз
дР (Хг, г = 1, . .., 4)
• С-1 = [Х2 + (1 - Х2) • Х3 • ХА] • С-1 = 0,9680; С2"1 = Xi[1 - Х3 • Х4] • С2"1 = 0,3022; ■С3"1 = Xi[1 - Х2]Х4 • С3"1 = 0,0971;
дХА
• С4"1 = Xi[1 - Х2]Хз • С4"1 = 0,0903.
Далее в блоках 8, 9 вычисляется значение «вклада» каждой характеристики в показатель устойчивого функционирования объекта:
я-1 = 0,664; = 0,207; = 0,067; = 0,062.
На основе ранжирования с использованием выражения (8) определяется порядок проведения работ по модернизации. В нашем случае результат ранжирования имеет вид {Х1, Х2, Х3, Х4}.
Рассмотрение полученных результатов
показывает, что наибольший эффект при модернизации будет достигнут в случае, если осуществить улучшение характеристики Х1, что соответствует повышению значения вероятности безотказной работы основного объекта. Это потребует затрат С1 = 1, при этом вероятность безотказной работы вырастет с = 0,85 до Я^) = 0,88.
В блоке 10 вносятся изменения в исходные данные для дальнейшей возможной работы по модернизации (таблица 2).
Таблица 2 - Данные для последующей модернизации
Показатель Ri(t)= Xi D = Х2 F (t*B) = X3 F(t*B) = X4
Значение показателя 0,88 0,90 0,85 0,80
Приращение за счет модернизации 0,03 0,03 0,05 0,05
Затраты Сг 1,00 0,90 0,70 0,80
Значение остаточных ресурсов равно С = Со - Сз = Со - Сх = 2,0 - 1,0 = 1,0.
На основании данных таблица 2 в блоке 3 осуществляется расчёт полученного после 1 шага модернизации значения вероятности устойчивого функционирования:
Рх(1) = Хх • Х2 + (1 - Х2) • Хх • Хз • х4 = 0,88 • 0,90 + (1 - 0,90) • 0,88 • 0,85 • 0,80 = 0,8518.
Возможность выполнения последующих работ определяется в блоке 4 на основе выполнения условия (9):
Со - С5 = Со - Ci = 1,0 > min Ci = 0,7.
i
Далее повторяются операции блоков 5, 7, 8, 9.
Результаты представлены в таблице 3.
Таблица 3 - Результаты расчетов
Показатель Ri(t) D F (t*B) F(t*B)
Значение • 1 0,9680 0,8129 0,1006 0,0935
Значение щ 0,6563 0,2121 0,0682 0,0634
Значение показателя после второго шага Сг 0,91 0,90 0,85 0,80
Значение остаточных ресурсов равно С = С - Сэ =0.
Значение вероятности устойчивого функционирования объекта после 2 шага модернизации Р2(г) = 0,91 • 0,90 + (1 - 0,90) • 0,91 • 0,85 • 0,80 = 0,8809.
Рассмотрение полученных данных показывает, что все ресурсы израсходованы, проведено 2 шага модернизации характеристик безотказности основного объекта и при этом получены значения вероятности устойчивого функционирования объекта Р2(Ь) = 0,8809.
При рассмотрении проблемы промышленной безопасности часто более существенно не повышение вероятности устойчивого функционирования, а уменьшение вероятности нахождения объекта в состоянии неустойчивого функционирования 2 (¿). Так как эти два события составляют полную группу, то показатели, обеспечивающие максимальное значение вероятности (1) и минимальное значение вероятности 2(¿) = 1 - Рг(Ь), совпадают. Это даёт возможность оценить эффект модернизации в интересах снижения
вероятности нахождения системы в неустойчивом состоянии.
В рассмотренном примере начальное значение вероятности неустойчивого функционирования:
гх(Ь) = 1 - Рх(г) = 0,1772.
После модернизации:
= 1 - Р2(г) = 0,1191.
Сопоставление этих данных показывает, что проведённая модернизация позволяет уменьшить вероятность неустойчивого состояния в 1,49 раза.
Заключение
В статье предложена методика распределения ограниченных ресурсов в интересах обеспечения устойчивого функционирования широкого класса технических систем. Её реализация позволяет как обоснованно выбирать направления работ по модернизации таких систем, так и получать количественную оценку её результатов.
Литература
1. Воскобоев В.Ф. Рейхов Ю.Н. Структура совместной оценки устойчивости и безопасности функционирования технического объекта / / Научные и образовательные проблемы гражданской защиты, 2013. № 2,С.6-14.
2. Хедли ДЖ. Нелинейные и динамические программирование, М., Мир, 1972, 506 с.
3. Фиакко А., Мак-Кормик Г. Нелинейное программирование. М., Мир, 1972, 240 с.
4. Полак Э. Нелинейные методы оптимизации. - М., Мир, 1974, 376 с.
5. Гурпн Л.С. Дымарский Я.С.. Меркулов А.Д. Задачи и методы оптимального распределения ресурсов - М., Советское радио, 1968. 464 с.
ABOUT CHOICE OF EVENTS FOR INCREASE IN STABILITY OF THE TECHNICAL SYSTEM FUNCTIONING AT LIMITED RESOURCES
Victor VOSKOBOEV
D.(Technical), Professor,
Professor of the Department
Civil Defence Academy EMERCOM of Russia
Address: 141435, Moscow Region, Khimki, md.
Novogorsk
E-mail: v.voskoboevQamchs.ru
Abstract. The article covers matters related to problem of increase in value of probability of steady functioning of technical systems due to work on its modernization at limited resources. The structure of a technique of distribution of limited resources which cornerstone the ideas of gradient methods of the solution of extreme tasks are is described. The example is given. Keywords: technical system, stability of functioning, limited resources, modification. Citation: Voskoboyev V.F. About choice of events for increase in stability of the technical system functioning at limited resources // Scientific and educational problems of civil protection. 2019. No. 1 (40). pp. 13-18.
References
1. Voskoboev V., Reikhov Yu. Structure of the joint assessment of stability and safety functioning of technical object//Science and educational problems of Civil Defenese, 2013, №2, 6-14 pp.
2. G.Hadley. Nonlinear and dynamic programming. - M.:Mir.l967, 506 pp.
3. A.Fiacco, G.McCormick. Nonlinear programming. - M.:Mir. 1972. 240 pp.
4. E.Polak. Computatioanal methods in optimization. - M.:Mir. 1974, 376 pp.
5. Gurin L.S., Dymarscy Ya.S., Merkulov A.D. Tests and methods in optimization of resource allocation. M.: Sov.radio. 1968, 464 pp.
