Управление спектром матричной системы второго порядка с обратной связью по вектору ускорения Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2023 Управление, вычислительная техника и информатика № 63

Tomsk: State University Journal of Control and Computer Science

Научная статья

УДК 517.935.2+517.977.1

doi: 10.17223/19988605/63/3

Управление спектром матричной системы второго порядка с обратной связью по вектору ускорения

Евгений Александрович Перепелкин

Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения, Санкт-Петербург, Россия, perepelkin@guap.ru

Аннотация. Решается задача управления спектром линейной матричной системы второго порядка с неполной информацией о состоянии. Предполагается, что измерению доступны вторые производные переменных выхода. Управление строится в виде динамического компенсатора первого порядка. Рассматриваются необходимые и достаточные условия существования решения задачи, описывается алгоритм расчета параметров компенсатора. Результаты работы могут найти применение при проектировании механических систем с несколькими степенями свободы.

Ключевые слова: управление спектром; система второго порядка; динамический компенсатор.

Для цитирования: Перепелкин Е.А. Управление спектром матричной системы второго порядка с обратной связью по вектору ускорения // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2023. № 63. С. 23-28. doi: 10.17223/19988605/63/3

Original article

doi: 10.17223/19988605/63/3

Pole assignment problem for a second-order matrix system with acceleration feedback

Evgenii A. Perepelkin

Saint-Petersburg State University of Aerospace Instrumentation, Saint-Petersburg, Russian Federation, perepelkin@guap.ru

Abstract. The paper solves pole assignment problem for a second-order linear matrix system with incomplete state information. It is assumed that the second derivatives of the output variables are available for measurement. The control is constructed in the form of a first-order dynamic compensator. Necessary and sufficient conditions of problem solution existence are considered, and the algorithm for calculating compensator parameters is described. The results of the work can be used in the design of mechanical systems with several degrees of freedom. Keywords: pole assignment; second-order system; dynamic compensator.

For citation: Perepelkin, E.A. (2023) Pole assignment problem for a second-order matrix system with acceleration feedback. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie, vychislitelnaja tehnika i informatika -Tomsk State University Journal of Control and Computer Science. 63. pp. 23-28. doi: 10.17223/19988605/63/3

Введение

Задача управления спектром линейной динамической системы является классической задачей математической теории управления. В случае статической обратной связи по выходу данная задача относится к классу трудно решаемых задач [1-3], поскольку сводится к решению системы полиномиальных уравнений.

© Е.А. Перепелкин, 2023

Динамическая обратная связь по выходу [4. С. 315] в виде наблюдателей состояния и динамических компенсаторов позволяет свести задачу синтеза обратной связи к решению систем линейных алгебраических уравнений, линейных матричных уравнений или неравенств.

В данной работе решается задача управления спектром матричной системы второго порядка. Такого рода системы встречаются в механике, электротехнике, робототехнике. В основном известны решения для систем с полной обратной связью по вектору положения и вектору скорости [5, 6]. При неполной обратной связи решение задачи усложняется. В самом простом случае, для системы с двумя входами и двумя выходами, решение задачи управления спектром при статической обратной связи по выходу сводится к последовательному решению квадратного уравнения и системы линейных алгебраических уравнений [7], [8]. В более сложных случаях необходимо решать системы полиномиальных уравнений.

В данной работе задача управления спектром решается для матричной системы второго порядка с одним входом и обратной связью по вектору вторых производных - вектору ускорения. Управление строится в виде динамического компенсатора первого порядка. Получены необходимые и достаточные условия существования решения задачи, описан алгоритм расчета параметров обратной связи. Особенность предлагаемого подхода заключается в том, что компенсатор содержит только одно уравнение первого порядка, в отличие от классических наблюдателей и динамических компенсаторов полного и пониженного порядков.

Работа является продолжением работы [9], в которой получено решение задачи управления спектром матричной системы вторго порядка с обратной связью по вектру положения.

1. Постановка задачи

Рассмотрим линейную динамическую систему, поведение которой описывается уравнением

У + + А2у = Ьи, (1)

где и - скалярный вход системы, у - «-мерный вектор положения системы, у - «-мерный вектор скорости системы, у - «-мерный вектор ускорения системы, А,, А 2 - пуп -матрицы, Ь - «-вектор-столбец.

Будем считать, что измерению доступен вектор ускорения. Уравнение (1) дополним уравнениями динамической обратной связи по вектору ускорения

и = -1 у-г, ¿ + рг = ч у, (2)

где 1 ц, р - параметры обратной связи, { и ц - «-вектор-строки, р - скаляр. Все матрицы, векторы и скаляр в уравнениях (1), (2) вещественные.

Матрицу

D(s) =

A( s) + bf s2 b -q s2 s + p

(3)

где Л(5) = Ens2 + Л15 + А2, будем называть матрицей замкнутой системы. Здесь и далее Еп -единичная матрица размера «, 5 - комплексная переменная.

Под спектром системы (1), (2) будем понимать корни характеристического полинома замкнутой системы й (5) = ёе! В(^). Спектр содержит 2« + 1 значение, поскольку deg й (5) = 2п +1.

Задача управления спектром системы (1), (2) заключается в выборе параметров обратной связи (т.е. 1, ц, р), при которых корни полинома й(5) совпадают с заданным набором значений

£ = {.у, :л2--. .:л2и+1}. Набор может содержать как вещественные, так и комплексные числа. При этом, поскольку коэффициенты полинома й(5) вещественны, комплексные числа должны входить в комплексно сопряженными парами. Числа в наборе 5 не обязательно различны. Для асимптотической устойчивости системы (1), (2) также требуется, чтобы спектр системы находился в левой части комплексной плоскости.

Перепелкин Е.А. Управление спектром матричной системы второго порядка с обратной связью

Эквивалентная постановка задачи заключается в выборе параметров обратной связи, при которых полином й(я) совпадает с заданным полиномом й (я) , корни которого есть числа из набора 5".

2. Алгоритм синтеза обратной связи

Рассмотрим полином а(я) = det А(я) . Заметим, что degа(я) = 2п . Запишем а(я) в виде:

а О) = 52" + а^2"'1 + ... + а2п. Обозначим через А*(я) присоединенную к А(я) матрицу, которую запишем в виде матричного полинома

А*(я) = Еп 2" "2 + В^2" "3

В

2/7—2 >

где В , I = 1,2п - 2 - п х п -матрицы.

Из равенства А(я)А (я) = а(я)Еп следует, что коэффициенты полинома а(я) и матрицы В связаны соотношениями

В1 + А1 = а1Еп,

В2 + А1В1 + А2= а2Еп,

В3 + А1В2 + А^ = а3Еи, (4)

В2п-2 + А1В2п-3 + А2В2п-4 = а2п-2Еп •

Если известны коэффициенты полинома а(я), то матрицы В могут быть найдены последовательно из соотношений (4).

Заметим, что коэффициенты полинома а(я) можно найти как коэффициенты характеристического полинома матрицы

" 0 Е„

А =

А2 А1

det(sE2n - А) = det

= det А( я).

поскольку

^ -Еп "

_ А2 *Еп + А1 _

Утверждение 1. Характеристический полином замкнутой системы равен

й (я) = (я + р)а(я) + я 2 (я + р) + я))А*(я)Ъ. Доказательство. Справедливы следующие преобразования определителя матрицы замкнутой системы (3):

det D(s) = det

А(я) + Ъfs2 Ъ

2 я + р

2

= det

А(я) + Ъя 2 (Г + (я + р)-1я) Ъ 0 я + р

2

= (я + р^ (А(я) + Ъя 2 (Г + (я + рУ^)) = (я + р)а( я) + я 2 (Г (я + р) + ц)А* (я)Ъ.

Здесь мы применили равенство det(A + Ъс) = det А + сА*Ъ, где Ъ - вектор-столбец, с - вектор-строка [10. С. 133]. Утверждение доказано. Построим полином

^ (*) = ¿0 2П(* - ) = (*2и+1 +а1*2"+...+ё2п+Х (5)

1=1 х ' корнями которого являются числа из набора £ = {51;52;...;52и+1}. Далее будем рассматривать полиномы (5) такие, что

а2пй2п * а2п-1й2п+1. (6)

Составим 2n x 2n -матрицу

C =

b Bib B2b в2й_2ь 0

о ь в^ ... в2и_3ь в2и_2ь

Следующее утверждение формулирует необходимое и достаточное условие существования решения задачи управления спектром системы (1), (2) и одновременно описывает алгоритм решения этой задачи.

Утверждение 2. Спектр системы (1), (2) можно произвольно задать с учетом ограничения (6) тогда и только тогда, когда матрица С невырождена.

Доказательство. Полиномы й(я) и й (я) совпадают тогда и только тогда, когда совпадают их коэффициенты. Следовательно, й (я) = й (я) тогда и только тогда, когда

1Ъ = й0 -1,

+ (1р + = й0й1 - а1 - р, Ж2Ь + (^ + я)В1Ь = й?0й?2 -а2 -ахр,

®2и-2Ь + + я)В2и_3Ь = <10<12п_2 - а2п_2 - а2п_ър,

^Р + Я)В2и_2Ь = й0 й2п-1 - а2п-1 - а2п-2Р

и

а2п + а2п-1р = й0й2п, ^

а2пр = й0й2п+1-

Значения параметров р и йо однозначно определяются из равенств (8), если выполняется условие (6). Значения этих параметров равны

_ а2пй2п+1 ^ __(а2п) й2п+1__^

а2пй2п - а2п-1й2п+1 й2п+1 (а2пй2п - а2п-1й2п+1)

Обозначим г = {р + ц. Равенства (7) запишем в виде системы линейных алгебраических уравнений

^ г ]С = V, (10)

где

\ = [а0-1, а^-а^-р, с10с12-а2-а1Р, ... <1^2п_х-а2п_х-а2п_2р]. Система уравнений (10) имеет решение относительно векторов f иг при любых значениях коэффициентов полинома й (я) тогда и только тогда, когда det С Ф 0 . Это решение является единственным и может быть записано в виде [Г г] = vC \ Если векторы f и г найдены, то q = г - fp.

Таким образом, мы доказали, что спектр системы (1), (2) можно произвольно задать с учетом ограничения (6) тогда и только тогда, когда матрица С невырождена. Утверждение доказано.

Алгоритм расчета параметров обратной связи заключается в следующем. Задаем желаемый спектр системы с обратной связью. Находим коэффициенты полинома й (я) . Вычисляем параметры р и й0 по формулам (9). Решаем систему уравнений (10). Находим q = г - fp.

3. Численный пример

Пусть

" 5,7 -3,9 2,5" "-3,9 2,7 -8,2" "-6,7"

Ai = 9,1 8,3 - 4,3 , a2 = 4,1 - 3,5 6,2 , b = 3,4

-2,4 9,5 8,1 -3,8 2,7 9,1 "8,2.

Полином

a(s) = s6 + 22,1s5 + 244,75s4 + 1078,292s3 -914,752s2 - 1064,64s + 43,438.

Перепелкин Е.А. Управление спектром матричной системы второго порядка с обратной связью Матрицы

"16,4 3,9 -2,5" " 113,68 52,64 4,22

В ! = - 9,1 13,8 4,3 , в 2 = - 67,49 57,37 41,06

2,4 - 9,5 14 110,17 -47,49 75,4

B,

-0,11 -57,53 41,02 114,56 10,1 -116,48 86,66 30,0 -60,9

B

-48,59 -46,71 -11,96" -60,87 -66,65 -9,44 -2,23 0,27 2,58

Зададим желаемый спектр системы с обратной связью равным

5 = {-0,9 + 5г; - 0,9 - 5г; - 2,7 + г; - 2,7 - г; - 0,3; - 0,5; - 0,8}.

Тогда

й(я) = я7 + 8,8/ + 56,13/ + 230,216я4 + 496,3203/ + 496,49608/ + 187,54779я + 25,675788. Параметр обратной связи р = 0,0314328, й0 = 0,0531777. Система уравнений (7) имеет единственное решение

{= [0,1901 0,2069 0,04592], г = [2,9149 1,3390 -0,0304].

Вектор

q = [2,9089 1,3325 -0,03187 ].

Проверка показывает, что спектр системы с обратной связью совпадает с заданным. Все вычисления выполнялись с помощью системы компьютерной математики Scilab.

Заключение

В работе решена задача управления спектром для матричной системы второго порядка с обратной связью по вектору ускорения в виде динамического компенсатора первого порядка. Получены необходимые и достаточные условия существования решения задачи. Описан алгоритм расчета параметров компенсатора, который сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений. Рассмотрен численный пример.

Результаты работы могут найти применение при решении задач управления колебаниями механических систем на основе сигналов датчиков ускорений.

Список источников

1. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Трудные задачи линейной теории управления. Некоторые подходы к решению // Автоматика

и телемеханика. 2005. № 5. С. 7-46.

2. Eremenko A., Gabrielov A. Pole placement by static output feedback for generic linear systems // SIAM J. Control Optim. 2002.

V. 41 (1). P. 303-312.

3. Chu M., Golub G. Inverse Eigenvalue Problems: Theory, Algorithms, and Application. Oxford : Oxford University Press, 2005.

387 p.

4. Sontag E. Mathematical Control Theory: Deterministic Finite Dimensional Systems. New York : Springer-Verlag, 1998. 531 p.

5. Chu E.K. Pole assignment for second-order systems // Mechanical Systems and Signal Processing. 2002. V. 16 (1). P. 39-59.

6. Henrion D., Sebek M., Kucera V. Robust pole placement for second-order systems: An LMI approach // Kybernetika. 2005. V. 41 (1).

P. 1 -14.

7. Перепелкин Е.А. О задаче управления спектром системы второго порядка // Дифференциальные уравнения. 2017. Т. 53,

№ 11. С. 1555-1558.

8. Перепелкин Е.А. Управление спектром системы второго порядка с обратной связью по ускорению // Вестник Томского

государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2018. № 44. С. 25-30.

9. Перепелкин Е.А. Управление спектром матричной системы второго порядка с динамической обратной связью по выходу //

Дифференциальные уравнения и процессы управления. 2022. № 4. С. 105-114.

10. Bernstein D.S. Matrix Mathematics: Theory, Facts, and Formulas. Princeton : Princeton University Press, 2009. 1059 p.

References

1. Polyak, B.T. & Shcherbakov, P.S. (2005) Hard Problems in Linear Control Theory: Possible Approaches to Solution. Automation

and Remote Control. 66(5). pp. 681-718.

2. Eremenko, A. & Gabrielov, A. (2002) Pole placement by static output feedback for generic linear systems. SIAM Journal

of Control Optim. 41(1). pp. 303-312.

3. Chu, M. & Golub, G. (2005) Inverse Eigenvalue Problems: Theory, Algorithms, and Application. Oxford: Oxford University

Press.

4. Sontag, E. (1998) Mathematical Control Theory: Deterministic Finite Dimensional Systems. Springer-Verlag.

5. Chu, E.K. (2002) Pole assignment for second-order systems. Mechanical Systems and Signal Processing. 16(1). pp. 39-59.

6. Henrion, D., Sebek, M. & Kucera, V. (2005) Robust pole placement for second-order systems: An LMI approach. Kybernetika.

41(1). pp. 1-14.

7. Perepelkin, E.A. (2017) On the pole assignment problem of the second order system. Differential Equations. 53(11). pp. 1524-

1527.

8. Perepelkin, E.A. (2018) Pole assignment for second-order system by acceleration feedback. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo

universiteta. Upravlenie, vychislitel'naya tekhnika i informatika - Tomsk State University Journal of Control and Computer Science. 44. pp. 25-30. DOI: 10.17223/19988605/44/3

9. Perepelkin, E.A. (2022) Control of spectrum of second-order matrix system with dynamic output feedback. Differentsial'nye

uravneniya iprotsessy upravleniya - Differential Equations and Control Processes. 4. pp. 105-114.

10. Bernstein, D.S. (2009) Matrix Mathematics: Theory, Facts, and Formulas. Princeton University Press.

Информация об авторе:

Перепелкин Евгений Александрович - профессор, доктор технических наук, профессор кафедры прикладной математики Санкт-Петербургского государственного университета аэрокосмического приборостроения (Санкт-Петербург, Россия). E-mail: perepelkin@guap.ru

Автор заявляет об отсутствии конфликта интересов.

Information about the author:

Perepelkin Evgenii A. (Doctor of Technical Sciences, Professor, Saint-Petersburg State University of Aerospace Instrumentation, Saint-Petersburg, Russian Federation). E-mail: perepelkin@guap.ru

The author declares no conflicts of interests.

Поступила в редакцию 08.01.2023; принята к публикации 09.06.2023 Received 08.01.2023; accepted for publication 09.06.2023