УПРАВЛЕНИЕ СПЕКТРОМ МАТРИЧНОЙ СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ДИНАМИЧЕСКОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ ПО ВЫХОДУ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И

ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ N. 4, 2022 Электронный журнал, рег. Эл. N ФС77-39410 от 15.04.2010 ISSN 1817-2172

http://diffjournal, spbu. ruf e-mail: [email protected]

Численные методы

Управление спектром матричной системы второго порядка с динамической обратной связью по выходу

Перепелкин Е.А.

Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического

приборостроения [email protected]

Аннотация. Решается задача управления спектром линейной матричной системы второго порядка с одним входом и обратной связью по вектору выхода в виде динамического компенсатора первого порядка. Рассматриваются необходимые и достаточные условия существования решения задачи и описывается алгоритм расчета параметров обратной связи. Приводится численный пример. Особенность предлагаемого подхода заключается в том, что компенсатор содержит только одно уравнение первого порядка, в отличие от классических наблюдателей и динамических компенсаторов полного и пониженного порядка.

Ключевые слова: управление спектром, система второго порядка, динамический компенсатор.

1 Введение

Задача управления спектром линейной динамической системы является классической задачей математической теории управления. В случае статической

обратной связи по выходу данная задача относится к классу трудно решаемых задач [1], [2], поскольку сводится к решению системы полиномиальных уравнений.

Динамическая обратная связь по выходу [3, с. 315] в виде наблюдателей состояния и динамических компенсаторов позволяет свести задачу синтеза обратной связи к решению систем линейных алгебраических уравнений, линейных матричных уравнений или неравенств.

В данной работе решается задача управления спектром матричной системы второго порядка. Такого рода системы встречаются в механике, электротехнике, робототехнике. В основном известны решения для систем с полной обратной связью по вектору положения и вектору скорости [4]-[8]. При неполной обратной связи решение задачи усложняется. В самом простом случае, для системы с двумя входами двумя выходами, решение задачи управления спектром при статической обратной связи по выходу сводится к последовательному решению квадратного уравнения и системы линейных алгебраических уравнений [9], [10]. В более сложных случаях необходимо решать системы полиномиальных уравнений.

В данной работе задача управления спектром решается для матричной системы второго порядка с одним входом и обратной связью по выходу в виде динамического компенсатора первого порядка. Получены необходимые и достаточные условия существования решения задачи и описан алгоритм расчета параметров обратной связи. Особенность предлагаемого подхода заключается в том, что компенсатор содержит только одно уравнение первого порядка, в отличие от классических наблюдателей и динамических компенсаторов полного и пониженного порядка.

2 Постановка задачи

Рассмотрим линейную динамическую систему, поведение которой описывается уравнением

У + Ах у + А2У = Ьи, (1)

где и - скалярный вход системы, у - п-мерпый выход системы, Ах, А2 -п х п-матрицы, Ь п- вектор-столбец.

Уравнение (1) дополним уравнениями динамической обратной связи по выходу

и = -/У - ¿ + Рг = qy, (2)

D(s) =

(3)

где f p q - параметры обратной связи, f ид- n-вектор-строки, p - скаляр. Все матрицы, векторы и скаляр в уравнениях (1), (2) вещественные.

Матрицу

'A(s) + bf b —q s + p

где A(s) = Ens2 + Ai s + A2, будем называть матрицей замкнутой системы. Здесь и далее En - единичная матрица размера n, s - комплексная переменная.

Под спектром системы (1), (2) будем понимать корни характеристического полинома замкнутой системы d(s) = det D(s). Спектр содержит 2n + 1 значение, поскольку deg d(s) = 2n + 1.

Задача управления спектром системы (1), (2) заключается в выборе па-

f p q d(s)

падают с заданным набором значений S = {s1; s2;... ; s2n+1}. Набоp S может содержать как вещественные, так и комплексные числа. При этом, посколь-

d(s)

S

тельно различны. Для асимптотической устойчивости системы (1), (2) также требуется, чтобы спектр системы находился в левой части комплексной плоскости.

Эквивалентная постановка задачи заключается в выборе параметров обратной связи, при которых полипом d(s) совпадает с заданным полиномом d(s), корни которого есть числа из набора S.

3 Алгоритм синтеза обратной связи

Рассмотрим полином a(s) = det A(s). Заметим, что dega(s) = 2n. Запишем a(s) в виде

a(s) = s2n + ais2n—1 + • • • + a2n.

Обозначим через A*(s) присоединенную к A(s) матрицу, которую запишем в виде матричного полинома

A*(s) = Ens2n—2 + Bis2n—3 + • • • + B2n—2,

где B¿, i = 1, 2n — 2 - n x п-матрицы.

Из равенства А(в)А*(в) = а(в)Е следует, что коэффициенты полинома а(в) и матрицы В^ связаны соотношениями

Вх + Ах = ахЕп,

В2 + АхВх + А2 = Й2Еп,

Вз + АхВ2 + А2Вх = азЕп,

(4)

В2п—2 + АхВ2п-3 + А2В2п—4 = а2п—2Еп.

Если известны коэффициенты полиномаа(в), то матрицы В^ могут быть найдены последовательно из соотношений (4).

Заметим, что коэффициенты полинома а(в) можно найти как коэффициенты характеристического полинома матрицы

А =

поскольку

det(вE2n — А) = det

0 Еп —А2 —Ах

вЕ — Е А2 вЕп + Ах

= det А(в).

Утверждение 1 Характеристический полином замкнутой системы равен

ф) = (в + р)а(в) + (/(в + р) + я)А*(в)Ь. (5)

Доказательство. Справедливы следующие преобразования определителя матрицы замкнутой системы (3)

det в(в) = det

= det

А(в) + Ь/ Ь

—Я в + р

А(в) + Ь(/ + (в + р)—хя) Ь 0 в + р

= (в + р) det (А(в) + Ь(/ + (в + р)—хя)) = = (в + р) ^ А(в) + (/ + (в + р)—хя)А*(в)Ь) = = (в + р)а(в) + (/(в + р) + я)А*(в)Ь.

Здесь мы применили равенство det(A + Ьс) = det А + сА*Ь, где Ь - вектор-столбец, с - вектор-строка [11, с. 133]. Утверждение доказано.

Составим 2п х 2п-матрицу

С =

Ь ВхЬ В2Ь 0 Ь ВхЬ

В2п—2Ь 0

В2п зЬ В2п 2Ь

Следующее утверждение формулирует необходимое и достаточное условие существования решения задачи управления спектром системы (1), (2) и одновременно описывает алгоритм решения этой задачи.

Утверждение 2 Спектр системы (1)7 (2) можно произвольно задать, выбирая параметры обратной связи / р и я, тогда и только тогда, когда С

Доказательство. Обозначим

Пк =

вк вк—х ... 1

т

а =

а2 ... а2п

В=

Ь ВхЬ ... В2п-2Ь

Тогда

а(в) = в2п +

ва(в) = в2п+х + ахв2п +

ах а

2п

П2п—х(в),

а 0

П2п—х(в),

А*(в)Ь =

0В

П2п—х(в), вА*(в)Ь =

В0

П2п—х(в).

0

Характеристический полином замкнутой системы (5) можно записать в следующем виде

ф) = в2п+х + (р + ах)в2п+

+ р

ах а

+

а 0

+ /

В0

+ (/р + я)

0В

П2п—х(в).

Построим ПОЛИНОМ

2п+х

ф) = ^ (в — вг) = в2п+х + ф2п + • • • + ^

2п+х ;

г=х

корнями которого являются числа из набора Этот полином запишем в виде

ф) = в2п+х + б?хв2п + ¿П2п—х(в),

2п

где

<2 =

¿2 ... (

2п+1

Полиномы ¿(й) и ¿(й) совпадают тогда и только тогда, когда совпадают их коэффициенты. Следовательно, ¿(й) = ¿(й) тогда и только тогда когда

р + 0-1 = (¿1,

Р

о1 а

+

2 0

+ /

В 0

+ (/р + д)

0В

= а.

(6) (7)

р

чим г = /р + д. Равенство (7) запишем в виде системы линейных алгебраических уравнений

/ г

С = ( — р

а1 а

а 0

(8)

/г

бом векторе ( тогда и только тогда, когда det С = 0. Это решение является единственным и может быть записано в виде

/г

= (( — р

а1 аа

аа 0

С

1

Если векторы / и г найдены, то д = г — /р.

Таким образом, мы доказали, что спектр системы (1), (2) можно произвольно задать, выбирая параметры обратной связи /, р, д, тогда и только

С

Алгоритм расчета параметров обратной связи заключается в следующем. Задаем желаемый спектр системы с обратной связью. Находим коэффициенты полинома ¿(й). Полагаем р = < — а^ Решаем систему уравнений (8). Находим д = г — /р.

4 Пример

Пусть

3, 8 —9,3 —3, 1 —0, 2 3 4, 3, 5 —3, 1

А = —3, 6 1, 2 4, 2 , А = 2, 9 —3,4 4, 2 , ь = 7,4

5, 3 2, 7 —2, 6 1, 4 4, 7 4, 2 —5, 2

Полином

ф) = / + 2, 4й5 - 36, 23й4 - 110, 71й3 - 609, 743 + 119, 56 + 44, 079. Матрицы

Д1 =

Дз =

-1, 4 9,3 3,1 3, 6 1, 2 -4, 2 -5, 3 -2, 7 5

-17, 2 45,12 -35, 74 50,8 2, 27 -36, 71 7, 25 -7, 55 29, 29

Д> =

Д4 =

-13,66 -36, 85 -38,84

10 10, 55 -9

-17,48 -64, 25 -32, 52

-34,02 -1,61 29, 96 "

-6, 3 -5, 74 10, 99

18.39 6,96 -11, 79

Зададим желаемый спектр системы с обратной связью равным ^ = {-1, 5 + 3г; -1, 5 - 3г; -0,3 + 7г; -0, 3 - 7г; -0, 5; -0,6; -0, 7}. Тогда

ф) = й7 + 5, 4Й6 + 69, 69Й5 + 269, 934Й4 + 896, 7443Й3+

+ 1171, 9233Й2 + 623, 2651Й + 115,9751.

Параметр обратной связи р = < - а = 3. Матрица

-3, 1 57,04 -28, 376 573,056 -62, 244 0

7,4 19, 56 93,87 50, 21 -80,094 0

С = -5, 2 -29, 55 -252,158 -230, 653 55,803 0

0 -3, 1 57,04 -28,376 573,056 -62, 244

0 -5, 2 -29, 55 -252,158 -230, 653 55,803

невырожденная. Система уравнений (8) имеет единственное решение

/ = Вектор

3,3171 13,1419 -2, 2602

г =

2,8515 -2, 2718 -0,3715

Я =

-7,0999 -41,6976 6,409

Проверка показывает, что спектр системы с обратной связью совпадает с заданным. Все вычисления выполнялись с помощью системы компьютерной математики ЗсПаЬ.

Электронный журнал, http://diffjournal.spbu.ru/ 111

5 Заключение

Решена задача управления спектром для матричной системы второго порядка с обратной связью по выходу в виде динамического компенсатора первого порядка. Получены необходимые и достаточные условия существования решения задачи. Описан алгоритм расчета параметров компенсатора, который сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений. Рассмотрен численный пример.

Список литературы

[1] Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Трудные задачи линейной теории управления. Некоторые подходы к решению // Автоматика и телемеханика. 5, 2005, С. 7-46.

[2] Eremenko A., Gabrielov A. Pole placement by static output feedback for generic linear systems// SIAM J. Control Optim. 41(1). 2002, pp. 303-312.

[3] Sontag E. Mathematical Control Theory: Deterministic Finite Dimensional Systems. Springer-Verlag, 1998.

[4] Chu E.K. Pole assignment for second-order systems // Mechanical Systems and Signal Processing. 16(1), 2002. pp. 39-59.

[5] Henrion D. Sebek M. Kucera V. Robust pole placement for second-order systems: An LMI approach // Kybernetika. 41(1), 2005, pp. 1-14.

[6] Abdelaziz T.H.S. Robust pole placement for second-order linear systems using velocity-plus-acceleration feedback // IET Control Theor. Appl. 7(14), 2013, pp. 1843-1856.

[7] Abdelaziz T.H.S. Robust pole assignment using velocity-acceleration feedback for second-order dynamical systems with singular mass matrix // ISA Trans. 57, 2015, pp. 71-84.

[8] Zhang J., Ouyang H., Zhang Y., Ye J. Partial quadratic eigenvalue assignment in vibrating systems using acceleration and velocity feedback // Inverse Problems in Science and Engineering. 23(3), 2015, pp. 479-497.

[9] Перепелкин E.A. О задаче управления спектром системы второго порядка // Дифференциальные уравнения. 53(11), 2017, С. 1555-1558.

[10] Перепелкин Е.А. Управление спектром системы второго порядка с обратной связью по ускорению// Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. №44, 2018, С. 25-30.

[11] Bernstein D.S. Matrix Mathematics: Theory, Facts, and Formulas. Princeton University Press, 2009.

Control of spectrum of second-order matrix system with dynamic

output feedback

Perepelkin E.A.

Saint-Petersburg State University of Aerospace Instrumentation

[email protected]

Abstract. The control problem of the spectrum of a linear matrix second-order system with one-input and multi-output feedback in the form of a firstorder dynamic compensator is solved. Necessary and sufficient conditions for the existence of a solution to the problem are considered and an algorithm for calculating the feedback parameters is described. A numerical example is given. A feature of the proposed approach is that the compensator contains only one first-order equation, in contrast to classical observers and full- and reduced-order dynamic compensators.

Key words: control of spectrum, second-order system, dynamic compensator.