CC BY
13
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2018 Управление, вычислительная техника и информатика № 44
УДК 517.935.2+517.977.1 Б01: 10.17223/19988605/44/3
Е.А. Перепелкин
УПРАВЛЕНИЕ СПЕКТРОМ СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ ПО УСКОРЕНИЮ
Решается задача управления спектром системы второго порядка с обратной связью по вектору ускорения. Установлены ограничения, накладываемые на спектр замкнутой системы. Описан алгоритм расчета матрицы обратной связи, который сводится к последовательному решению квадратного уравнения и системы линейных алгебраических уравнений. Приводится пример решения задачи управления спектром механической системы. Ключевые слова: система второго порядка; управление спектром; обратная связь по ускорению.
Задача управления спектром линейной стационарной динамической системы в случае статической обратной связи по выходу относится к трудно решаемым задачам математической теории управления [1]. Эту задачу можно рассматривать как обратную проблему собственных значений [2]. Подобного рода задачи встречаются не только в теории автоматического управления, но и в механике, физике, обработке сигналов, вычислительной математике.
Обратная проблема собственных значений, как правило, сводится к решению систем нелинейных алгебраических уравнений. В отличие от систем линейных алгебраических уравнений системы нелинейных алгебраических уравнений могут не иметь действительных решений или иметь конечное число таких решений. Поиск всех действительных решений системы нелинейных алгебраических уравнений в общем случае является достаточно сложной вычислительной задачей.
В данной работе решается задача управления спектром системы второго порядка с двумя переменными входа и двумя переменными выхода. Предполагается, что измерению доступны вторые производные переменных выхода. Управление строится в виде статической обратной связи по вектору измерений. Такого вида обратную связь принято называть обратной связью по ускорению.
В работе рассматриваются условия существования решения задачи управления спектром и ограничения, накладываемые на спектр замкнутой системы. Описывается алгоритм расчета матрицы обратной связи, который сводится к последовательному решению квадратного уравнения и системы линейных алгебраических уравнений.
Аналогичный метод синтеза обратной связи по выходу для системы, заданной передаточной функцией, описан в работе [3]. Необходимо также отметить работы [4-6], в которых представлено решение задачи управления спектром для систем второго порядка с обратной связью по скорости и ускорению. В этом случае синтез обратной связи может быть осуществлен на основе решения линейных матричных уравнений или линейных матричных неравенств. Для систем со статической обратной связью по ускорению этот подход неприменим.
Данная статья дополняет работу [7], в которой получено решение задачи управление спектром системы второго порядка в случае статической обратной связи по выходу.
1. Постановка задачи
Рассмотрим линейную динамическую систему, поведение которой описывается уравнением
А у + А^у + А2 у = Ви,
где и , у — 2-векторы входа и выхода, А0 , А1, А2 , В — (2 х 2)-матрицы с вещественными элементами. Управление будем искать в виде обратной связи по вектору вторых производных
и = -Р у,
где ^ - (2 х 2)-матрица обратной связи с вещественными элементами. Замкнутая обратной связью система описывается уравнением
(Л + БЕ)у + Лху + Л2у = 0 . Под спектром разомкнутой системы будем понимать корни характеристического многочлена разомкнутой системы
а(5) = ае1(Л(5)), Л(?) = Л0я2 + Л15 + Л2. Под спектром замкнутой системы будем понимать корни характеристического многочлена замкнутой системы
Ъ(5) = ае^ЛС?) + БЕ52 ).
Будем считать, что ае1 Л ф 0, и будем рассматривать только те матрицы обратной связи, при которых ае1(Л + БЕ) ф 0 . В этом случае спектры разомкнутой и замкнутой систем состоят из четырех чисел, deg а(5) = deg Ъ(5) = 4.
Задача управления спектром заключается в выборе матрицы обратной связи Е, при которой корни многочлена Ъ(5) совпадают с заданным набором комплексных чисел 5" = 52; 53; 54} . Коэффициенты многочлена Ъ(5) действительные, поэтому комплексные числа 5 должны входить в набор 5 комплексно сопряженными парами. Для обеспечения асимптотической устойчивости замкнутой системы необходимо также, чтобы числа 5 находились в левой части комплексной плоскости.
2. Алгоритм синтеза обратной связи
Запишем матрицы А, В, Е поэлементно: Л( 5) =
Тогда
Ъ(?) = Я(5) + С^Х/ц + С2(5)/12 + Сз(5)/21 + С4(5)/22 + С5(.5)(./11/22 - /21/12) ,
где
а(?) = ап (5)а22 (?) - «21 (?)«12 (?) , С1 (?) = («22 (?)ЪП - «12 (5^ >2,
С2 (?) = (а11 (?)Ъ21 - а21 (5)Ъ11>2 , С3 (?) = (а22 (?)Ъ12 - а12 (5)Ъ22 5 ,
а11(5) а12(5) , Б = "¿11 Ъ12 , Е = "/11 /12"
а21(5) а22 (5)_ р21 Ъ22 _ /21 /22 _
Обозначим
С4(?) = (ап(^)Ъ22 - «21(?)Ъ12)?2, С5(?) = (ЪПЪ22 - Ъ21Ъ12)?4 .
4 3 2 4 3 2
а(?) = а05 + а1? + а25 + а35 + а4, С1 (?) = С105 + С11? + С125 ,
4 3 2 4 3 2
С2(?) = С205 + С215 + С225 , С3(?) = С305 + С315 + С325 , /' Л 4 3 2 / \ _ 4
С4(5) = С40 5 + С415 + С42 5 , С5(5) = С505 .
Следовательно, коэффициенты характеристического многочлена замкнутой системы
Ъ(?) = Ъ0 54 + Ъ1?3 + Ъ2 52 + Ъ35 + Ъ4
равны
Ъ0 = а0 + С10/11 + С20/12 + С30/21 + С40/22 + С50 (/11/22 - /21/12) , Ъ1 = а1 + С11/11 + С21/12 + С31/21 + С41/22 , Ъ2 = а2 + С12/11 + С22/12 + С32/21 + С42/22 ,
Ъ3 = а3 , Ъ4 = а4 .
Составим многочлен
Ъ (5) = Ъ0(5 - 51)(5 - 52)(5 - 53)(5 - 54) = Ъ0(54 + Ъ^3 + Ъ252 + Ъ35 + Ъ4) , где ? , ? , ? , ? - желаемый спектр замкнутой системы. Приравняем коэффициенты многочленов Ъ(?) и Ъ (5). Получим систему уравнений
b0bl = bl > b0b2 = b2 > b0b3 = a3 > b0b4 = a4 • (1)
Система уравнений (1) является системой нелинейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов обратной связи /и, /12, /21, /22.
Будем считать, что a4 = det ^ 0 . Это означает, что спектр разомкнутой системы не содержит нулевых чисел. Из равенств (1) следует, что корни многочлена b (5) связаны соотношением
l l l l a
.+--= —
(2)
Соотношение (2) накладывает ограничение на спектр замкнутой системы. Пусть соотношение (2) выполняется. Тогда в системе уравнений (1) можно оставить первые три уравнения. Запишем эту систему уравнений в матричном виде:
С/ = р + qg . (3)
Здесь
C =
C10b1 C11 C10b2 - C12 C10b3
C20b1 - C21 C20b2 - C22 C20b3
C30b1 - C31 C30b2 - C32 C30b3
C40b1 - C41 C40b2 - C42 C40b3
f =
f11 f12 f21 f22
aj - a0b1 - C50b1
P = a2 - a0b2 , q = - C50b2
a3 - a0b3 _ - C50b3 _
g = f11f22 f2\f\2 •
Пусть строки матрицы С линейно независимы, rank С = 3. Тогда при заданном значении g система уравнений (3) имеет бесконечно много решений. Частное решение, обладающее минимальной нормой, можно построить с помощью псевдообратной матрицы
f = C (p + qg), C += C ICC
(ccT )-1 •
(4)
Введем матрицу
G =
0 0 0 1 0 0 -10 0 0 0 0
0 0 0 0
Неизвестную переменную g можно записать в виде квадратичной формы:
Подставим (4) в (5). Получим уравнение
g = f Gf •
r0 g + r1g + r2 = 0 '
(5)
(6)
где
r0 = q
t(c +JgC+q , r = PT (c +JgC+q + qT (c + ) GC+p
-1,
г2 = рТ (С + }вС+р .
Пусть — 4г0г2 — 0. Тогда существует одно или два действительных решений g уравнения (6), для которых мы можем получить вещественные решения уравнения (3)
/ = С + (р + qg),
и, соответственно, матрицы обратной связи, при которых корни характеристического многочлена замкнутой системы совпадают с заданным набором комплексных чисел 5".
5
5
5
5
a
2
3
4
4
3. Пример
Рассмотрим двухмассовую механическую систему с активным демпфированием, движение которой в окрестности положения равновесия подчиняется уравнениям
т\У\ =~КУ\ - <1у1 + к2{у2 - ух) + й2{у2 - ух) + щ - и2,
т2у2 = -к2(У2 - У1) - <2(у2 - у1) + и2 > где у1, у2 - отклонения масс от положения равновесия (м); щ, и2 - управляющие силы; щ, т2 -значения масс (кг); к1, к2 - коэффициенты жесткости (Н/м); <, <2 - коэффициенты демпфирования (Нс/м).
Матрицы системы равны
<1 + ^2 <2
Л) =
т1 0 " <1
II
0 т2 _ -
Л =
5 =
к1 + к2 - к2 _ - к2 к2 _ Характеристический многочлен разомкнутой системы:
а($) = т1т2$4 + ((< + <2)т2 + Л2т1)^3 + ((к1 + к2)т2 + к2т1 + <1й2)$2 +
+ (к<2 + к2< )$ + к1к2 . Характеристический многочлен замкнутой системы:
6(5) = (т2/ц + т1/22 -т2/21 + /11/22 -/12/21 + т1т2)?4 + + О^П + <2/2 + ^УЬ + (<1 + <2 )т2 + <2т1 >3 +
+ (
(к2 С/11 + /12) + к1/22 + (к1 + к2)т2 + к2т1 + <1<2 У
+
Ограничение (2) принимает вид:
+ (к1<2 + к2<1 )$ + к1к2 .
1111 к< + — + — + — + — = ——-
$1 $9 Sд к к
(7)
51 °2 °3
Пусть т1 = 2, т2 = 3, к1 = 2, к2 = 4, <1 = 3, <2 = 5 . Спектр разомкнутой системы равен $ = -4,242; $2 = -0,94; $3 = -0,24 + 0,53/; $4 = -0,24 - 0,53? . Зададим желаемый спектр замкнутой системы в виде
$ = -V + №; $2 = -V - № ; $3 = $1; $4 = $2.
Из соотношения (7) следует
2 4кк 2
№ =-—-V - V .
+
Например, при V = 1 получим № = 0,67 . Составим многочлен, корнями которого являются числа $1 = -1 + 0,67/; $2 =-1 - 0,67/; $3 = $1; $4 = $2. Ранг матрицы С равен 3, уравнение (6) имеет вещественные решения ^ = -8,28 ; = -6,1 . Соответственно находим две матрицы обратной связи:
¥ =
- 0,348 - 3,09
- 2,74 - 0,563
¥ =
- 0,59 - 2,85
- 2,26 - 0,563
при которых спектр замкнутой системы совпадает с заданными числами.
Заключение
В работе показано, что спектр системы второго порядка с обратной связью по ускорению нельзя назначить произвольно. При выборе допустимого спектра матрицу обратной связи можно найти, решая
2
последовательно две алгебраические задачи - квадратное уравнение и систему линейных алгебраических уравнений. В результате при определенных условиях можно получить две матрицы обратной связи, которые обеспечивают заданный спектр замкнутой системы.
Результаты работы могут найти применение при решении задач управления колебаниями механических систем на основе сигналов датчиков ускорений, что подтверждается рассмотренным в статье примером решения задачи управления спектром двухмассовой механической системы.
ЛИТЕРАТУРА
1. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Трудные задачи линейной теории управления. Некоторые подходы к решению // Автоматика и телемеханика. 2005. № 5. С. 7-46.
2. Chu M., Golub G. Inverse Eigenvalue Problems: Theory, Algorithms, and Application. Oxford : Oxford University Press, 2005. 387 p.
3. Wang Q.-G., Lee T., Hang C. Pole assignment by output feedback: a solution for 2 x 2 plants // Automatica. 1993. V. 29, № 6. P. 1599-1601.
4. Abdelaziz T.H.S. Robust pole placement for second-order linear systems using velocity-plus-acceleration feedback // IET Control Theory & Applications. 2013. V. 7, № 14. P. 1843-1856.
5. Abdelaziz T.H.S. Robust pole assignment using velocity-acceleration feedback for second-order dynamical systems with singular mass matrix // ISA Transactions. 2015. V. 57. P. 71-84.
6. Zhang J., Ouyang H. , Zhang Y., Ye J. Partial quadratic eigenvalue assignment in vibrating systems using acceleration and velocity feedback // Inverse Problems in Science and Engineering. 2015. V. 23, № 3. P. 479-497.
7. Перепелкин Е.А. О задаче управления спектром системы второго порядка // Дифференциальные уравнения. 2017. Т. 53, № 11. С. 1555-1558.
Поступила в редакцию 9 марта 2018 г.
Perepelkin E.A. (2018) POLE ASSIGNMENT FOR SECOND-ORDER SYSTEM BY ACCELERATION FEEDBACK. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie vychislitelnaja tehnika i informatika [Tomsk State University Journal of Control and Computer Science]. 44. pp. 25-30
DOI: 10.17223/19988605/44/3
Pole assignment problem for a linear stationary dynamical system with static output feedback belongs to the hard-to-solve problems of mathematical control theory. In general case this problem is reduced to solving systems of nonlinear algebraic equations.
In this paper pole assignment problem for a second-order system with acceleration feedback is solved. The system, the behavior of which is described by the equation
A0y + y + A2y = Bu ,
is considered, where u, y are 2-vectors of input and output, A0 , a , a, b are 2 x 2-matrices with real elements. It is proposed to construct control law in the form of feedback with respect to the second derivative vector, acceleration vector:
u = -F y ,
where F is a feedback 2 x 2-matrix with real elements.
The spectrum of open-loop system is the roots of the polynomial
a(s) = det(As2 + As + A) = aS + + aS + °3S + a4 .
The spectrum of closed-loop system is the roots of the polynomial
b(s) = det ((A + BF)s2 + As + A) .
Pole assignment problem is to selecting a feedback matrix F under which the roots of the polynomial b(s) coincide with a given set of complex numbers S = {sj; s2; s3; s4}.
It is shown that the spectrum of a closed-loop system have to satisfy the relation
- + — + — + —-- a.
S1 S2 S3 S4 a4
If this relation is satisfied, then the solution of pole assignment problem reduces to the sequential solution of the square equation and the system of linear algebraic equations. The conditions under which there exist real feedback matrices providing a given spectrum of a closed-loop system are determined.
The results of the paer can be applied in solving the problems of vibration control of mechanical systems based on the signals of acceleration senso that is confirmed by the example of solving pole assignment problem of a two-mass mechanical system.
Keywords: second-order system; pole assignment; acceleration feedback.
E.A. nepene^Kun
PEREPELKIN Evgenii Alexandrovich (Doctor of Technical Science, Professor, Polzunov Altai State Technical University, Barnaul, Russian Federation). E-mail: [email protected]
REFERENCES
1. Polyak, B.T. & Shcherbakov, P.S. (2005) Hard Problems in Linear Control Theory: Possible Approaches to Solution. Automation and Remote Control. 66(5). pp. 681-718. DOI: 10.1007/s10513-005-0115-0
2. Chu, M. & Golub, G. (2005) Inverse Eigenvalue Problems: Theory, Algorithms, and Application. Oxford: Oxford University Press.
3. Wang, Q.-G., Lee, T. & Hang, C. (1993) Pole assignment by output feedback: A solution for 2x2 plants. Automatica. 29(6). pp. 1599-1601.
4. Abdelaziz, T.H.S. (2013) Robust pole placement for second-order linear systems using velocity-plus-acceleration feedback. IET Control Theory & Applications. 7(14). pp. 1843-1856. DOI: 10.1049/iet-cta.2013.0039
5. Abdelaziz, T.H.S. (2015) Robust pole assignment using velocity-acceleration feedback for second-order dynamical systems with singular mass matrix. ISA Transactions. 57. pp. 71-84. DOI: 10.1016/j.isatra.2014.11.015
6. Zhang, J., Ouyang, H., Zhang, Y. & Ye, J. (2015) Partial quadratic eigenvalue assignment in vibrating systems using acceleration and velocity feedback. Inverse Problems in Science and Engineering. 23(3). pp. 479-497. DOI: 10.1080/17415977.2014.922076
7. Perepelkin, E.A. (2017) Pole assignment problem of a second order system. Differential Equations. 53(11). pp. 1524-1527. (In Russian). DOI: 10.1134/S0012266117110167
