О стабилизации двумерных линейных дискретных систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.71

ББК 22.181

Ш 96

М. М. Шумафов

О стабилизации двумерных линейных дискретных систем

(Рецензирована)

Аннотация

В работе дается элементарное доказательство теоремы о стабилизации линейной дискретной системы управления второго порядка со скалярным входом и скалярным выходом с помощью периодической с периодом 3 обратной связи.

Ключевые слова: линейная дискретная система управления, передаточная функция, стабилизация, периодическая обратная связь

M. M. Shumafov

On stabilization of two-dimensional linear discrete-time systems

Abstract

In the paper, an elementary proof of the theorem of stabilization of linear discrete single-input and singleoutput system of second order by periodic feedback is given.

Key words: linear discrete control system, transfer function, stabilization, periodic feedback.

Введение

Проблема стабилизации линейным объектом управления с помощью стационарной линейной обратной связи является классической и рассматривалась многими авторами (см., например, обзоры [1 - 4], а также библиографию в [5]). Были получены достаточные условия стабилизируемости (и, более общо, управления спектром матрицы) линейных систем с помощью стационарной обратной связи. Одним из достоинств решения проблемы стационарной стабилизации является его аналитически замкнутая форма, что весьма важно в теории и практике управления при синтезе линейной обратной связи.

Однако, как хорошо известно, возможности стационарной стабилизации ограничены по сравнению с нестационарной.

В работах [6-11] было показано, как введение нестационарной периодической обратной связи в линейной дискретной системе расширяет возможности управления спектром матрицы замкнутой системы (и, в частности, стабилизации). Отметим, что для непрерывных систем соответствующая проблема нестационарной стабилизации была поставлена Р. Брокеттом в [12]. Решению этой проблемы посвящены работы Леонова [13,14], Моро и Аэлса [15].

В работе [11] в ряде важных случаев дано решение дискретного аналога стабилизационной проблемы Брокетта. В частности, в этой работе доказана теорема, дающая необходимые и достаточные условия стабилизируемости двумерной линейной дискретной системы с помощью периодической с достаточно большим периодом (низкочастотная стабилизация) обратной связи. Доказательство вышеупомянутой теоремы использует ряд общих теорем, и поэтому в целом является непростым.

В настоящей статье дается элементарное и прямое доказательство теоремы Леонова о стабилизируемости линейной дискретной системы с помощью периодической с периодом 3 обратной связи.

Постановка задачи

Рассмотрим двумерную линейную дискретную систему со скалярным входом и скалярным выходом

x(k + 1) = Ax(k) + bu(k), y(k) = cx(k) (k = 0,1,2,...). (1)

Здесь x(k) £ R2 есть вектор состояния в текущий момент времени t = k , u(k) £ R и

y(k) е R - вход (управление) и выход соответственно в момент времени t = k; A, b и c являются вещественными постоянными матрицами размеров 2 х 2, 2 х 1 и 1 х 2 соответственно.

Введем в рассмотрение передаточную функцию системы (1)

W(z) = c( A - zI)-1 b (z е C). (2)

Здесь I - единичная 2 х 2 матрица.

В работе [11] доказано следующее утверждение.

Теорема Леонова о стабилизации ([11]). Пусть передаточная функция (2) системы (1) невырождена. Тогда для стабилизируемости системы (1) необходимо и достаточно, чтобы было выполнено, по крайней мере, одно из условий

W(0) Ф 0 или |det A < 1. (3)

При этом в обратной связи u(k) = s(k)y(k), стабилизирующей систему (1), функция

s = s(k) имеет достаточно большой период.

Отметим, что сформулированная выше теорема Леонова дает полное решение дискретного аналога проблемы Брокетта [12] для двумерных систем.

Как было отмечено во введении, при доказательстве теоремы Леонова используется ряд вспомогательных общих теорем, доказательства которых, в свою очередь, непростые.

Некоторые предварительные понятия и факты из линейной теории управления

Напомним некоторые хорошо известные понятия и факты из линейной теории управления, которые понадобятся нам ниже.

Систему (1) называют управляемой, если rank(b, Ab) = 2 и наблюдаемой, если rank(c*, A* c* ) = 2 . Здесь знак * обозначает операцию транспонирования.

Вместо управляемости и наблюдаемости системы (1) часто говорят просто об управляемости и наблюдаемости пар (A, b) и (A, c) соответственно.

Передаточная функция W(z) системы (1) называется невырожденной, если её нельзя представить в виде отношения многочленов со степенью знаменателя меньшей, чем 2. Хорошо известно, что невырожденность передаточной функции W (z) эквивалентна управляемости и наблюдаемости пар (A, b) и (A, c) . Отметим также, что передаточная функция инвариантна относительно невырожденных линейных преобразований.

Систему (1) называют стабилизируемой, если существует обратная связь

u(k) = s(k)y(k) (k = 0,1,2,...и s(k)е R) (4)

такая, что система (1), замкнутая обратной связью (4), т.е. система

x(k + 1) = (A + s(k )bc) x(k), (5)

асимптотически устойчива.

Если s(k) = const, то говорят о стационарной стабилизации, а если s(k) Ф const, то - о нестационарной стабилизации.

Асимптотическая устойчивость дискретной системы (5) определяется так же, как и для непрерывных систем.

Хорошо известен ([5]) следующий критерий асимптотической устойчивости линейных дискретных систем вида xk + г = Bxk с постоянной матрицей B : линейная дискретная система xk+ х = Bxk асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда все

собственные значения матрицы B лежат внутри единичного круга на комплексной плоскости.

Переформулировка задачи

Будем искать стабилизирующую функцию ^ = s(k) в обратной связи (4) в классе периодических с периодом 3 функций:

s(k + 3) = s(k) V k £ {0,1,2,...}. (6)

Тогда система (1), замкнутая периодической обратной связью (4), (6) будет периодической с периодом 3.

Пусть г £ {0,1,2,...}. Тогда, используя (1) и (6), легко найти связь между состояниями х(3г ) и х(3(г + 1)):

х(3(г + 1)) = (A + s(2)bc)(A + s(1)bc)(A + s(0)bc)х(3г) . (7)

Введя обозначения X (г) := х(3г), перепишем соотношение (7) в виде

X (г + 1) = МХ (г), г £ {0,1,2,...}, где (8)

М = (А + s(2)bc)( А + s(1)bc)(A + s(0)bc). (9)

Таким образом, динамика периодической системы (1), (4), (6) определяется динамикой системы (8) с постоянной матрицей (9). Ясно, что асимптотическая

устойчивость системы (5) эквивалентна асимптотической устойчивости системы (8).

Итак, задача стабилизируемости системы (1) с помощью периодической обратной связи (4), (6) сводится к следующей:

Даны вещественные 2х 2, 2х 1 и 1х 2 матрицы А, Ь и с соответственно.

Требуется найти вещественные числа s(0), s(1) и s(2) такие, что собственные значения матрицы Ы из (9) лежат внутри единичного круга.

Элементарное доказательство теоремы Леонова о стабилизации двумерной дискретной системы

A. Необходимость доказывается так же, как и в [11].

Если не выполнены соотношения (3), то, используя хорошо известное детерминантное равенство ([5])

¿й(/ + КМ * ) = 1 + Ы * к (К и М - матрицы - столбцы, а I - единичная матрица) и, учитывая равенство W (0) = сА~ 1Ь = 0, имеем

det(A + s(k)bc) = det А • det(I + s(k)A- 1Ье) = det А • (1 + s(k)cA~ 1Ь) = det А.

Так как |det А| > 1 по предположению, то ^е^А + s(k)Ьс)| > 1 V k£ {0,1,2,...}.

Используя последнее неравенство, из формулы общего решения системы (5)

k

х^ + 1) = р (А + s(i)bc)х(0)

i= 0

получаем отсутствие асимптотической устойчивости системы (5) при любой функции s= s(k).

B. Доказательство достаточности.

Представим передаточную функцию W(z) системы (1) в виде дроби

W (z) = 2С2 z +С . (10)

z + а2 z + а1

Здесь а1, а2; с1, с2 - некоторые вещественные числа. Заметим, что знаменатель дроби (10) есть характеристический многочлен матрицы А .

По условию функция W(z) невырождена, т.е. выполнено неравенство

с12 - а2 с1с2 + а1с2, Ф 0. (11)

Как было отмечено в п.3, невырожденность функции W(z), и, следовательно, выполнение неравенства (11) является необходимым и достаточным условием управляемости и наблюдаемости системы (1). Поэтому в силу свойства инвариантности передаточной функции W(z) систему (1) при помощи некоторого невырожденного линейного преобразования можно привести к каноническому виду, для которого

А _

' 0 1 ' ' 0 '

, Ъ _

- а, 1 - а 2 -1

С = (с С2 ) .

(12)

Таким образом, не умаляя общности, можно считать, что система (1) уже имеет канонический вид (1), (12).

Теперь легко подсчитать матрицу М из (9). Введя обозначения

М _ Ц-} (i, . _ 1, 2); _ 5(п) (п _ 0, 1, 2),

имеем:

ти _ (а + 81с2)(а1 + 50 С1),

Ц12 = (а2 + ^1С2)(а2 + ^0С2) - (а1 + ^1С1),

т21 = (а1 + 50С1)[ (а1 + 52 С1) - (а2 + 52 С2)(а2 + ^1С2)]

т2

2

(а1 + 52С1)(а2 + 50С2) - (а2 + 52С2)т12 .

(а2 + 51С2)(а2 + 50 С2) = а1 + 51С1 .

_ (а1 + 51С1) - а2(а2 + 51С2)

22 5 2 С 2'

Потребуем, чтобы т12 _ 0, т.е. Из (13) находим

50 _

С2(а2 + 51С2)

(а2 + 51с2 Ф 0),

если с2 Ф 0, и

а

а

(13)

(14)

(15)

если с2 = 0 (при этом с1 Ф 0 в силу (11)).

При значениях s0 и s1, определяемых из (14) и (15), спектр о (М) (набор собственных значений) матрицы М имеет вид

0 (М) = {(а2 + ^С2)(а1 + S0C1), (а1 + S2С1)(а2 + ^С2)} . (16)

Из (16) видно, что собственные значения матрицы М зависят от двух варьируемых параметров s1 и s2 в случае с1 Ф 0, с2 Ф 0, и s0 и s2 в случае с1 Ф 0, с2 = 0, а в случае

с1 _ 0, с2 Ф 0

от одного варьируемого параметра

Рассмотрим эти случаи в отдельности.

1). Случай с1 Ф 0, с2 = 0.

Тогда спектр о (М) = {а2(а1 + s0с1); а2(а1 + s2с1)} из (16) лежит внутри единичного круга, если значения s0 и s 2 определяются из неравенств

11

j = 0, 2 (а2 Ф 0). (17)

а

< с15 . < - а1 +

КІ Іа2І

Если а2 = 0, то оба собственных значения матрицы М равны нулю.

с

Поскольку №(0) = с,/а1 , то система (1) в рассматриваемом случае стабилизируема с помощью периодической обратной связи (4) периода 3, если №(0) Ф 0.

2). Случай с1 = 0, с2 Ф 0.

В этом случае спектр (16) в силу равенства (13) имеет вид

а (М) = I а1 (а2 + ^1с2),

а,

а2 + ^С2

(18)

Спектр (18) лежит внутри единичного круга, если выполняются неравенства

1 1 ,

- а2 - -—г < с2 51 < - а2 + |—г , (а1 Ф 0)

а,

с2 51 > - а2 + а1.

а

(19)

Если а1 = 0 , то оба собственных значения матрицы М равны нулю. Система неравенств (19) удовлетворяется, если

а1 < 1

(20)

Поскольку det А = а1, то из (20) следует, что система (1) в рассматриваемом случае стабилизируема с помощью периодической обратной связи (4) периода 3, если

^ А < 1.

3) Случай с1 Ф 0, с2 Ф 0.

Из равенств (14) и (13) находим

(а1С2 - с1а2)(а2 + ^1С2) + С1(а1 + ад)

а1 + 50 с1 =

С2(а2 + ^1С2) а^ + s1c1

а2 + s0с2 = —----------— (а2 + s1c7 Ф 0).

а2 + SlC2 2 1 2

(21)

(22)

Подставляя (21) и (22) в (16), перепишем выражение для спектра а (М) в следующем виде:

а (М) =| (а1С2 - а2С1)(а2 + slc2) + С1(а1 + slcl) (а1 + ^С1)(а1 + slcl) I

а2 + slc2

Заметим, что в (23) два свободных параметра 51 и s2. Спектр (23) лежит внутри единичного круга, если выполнены неравенства

|(а1С2 - а2С1)(а2 + ^ + С1(а1 + ^ < |С21,

а + s2c1

а1 + s С1

а2 + s С2

< 1 (а2 + s1c2 Ф 0).

(24)

Ясно, что второе из неравенств (24) разрешимо относительно ^2 (так как с1 Ф 0) при любом фиксированном значении 51 Ф - а2/с2 .

Перепишем первое из неравенств (24) в виде

к(с12 - а2С1С2 + а1С22) - (с1а22 - С2а1а2 - С1а1)\ < К1 . (25)

2

В силу условия (11) неравенство (25) разрешимо относительно ^. Следовательно, искомые значения параметров 51 и s2, удовлетворяющие (24), определяются из неравенств:

- |с2| + (Cja^ - c2ala2 - CjOfj) < SjA < |c2| + (c^ - c2axa2 - c^)

a2 + s C2

a1 + s C1

a.

ax < s2Cj <

a

a2 + s1 C2

a1 + s1 C1

a

(26)

Здесь А := с12 - а2с1с2 + ахс\ Ф 0 в силу (11).

Итак, в рассматриваемом случае система (1) всегда стабилизируема с помощью периодической обратной связи (4) периода 3.

Таким образом, достаточность, и, следовательно, теорема Леонова о стабилизируемости двумерной дискретной системы доказана.

Замечание. В ходе вышеприведенного доказательства теоремы дан конструктивный метод нахождения стабилизирующей систему (1) периодической с периодом 3 обратной связи (4), (6). При этом значения s0, s1 и s2 определяются из неравенств (17) (в случае с1 Ф 0, с2 = 0), из (19) (в случае с1 = 0, с2 Ф 0), из (26) (в случае с1 Ф 0, с2 Ф 0).

c

c

2

Примечания:

1. Andry A.N., Shapiro E.Y., Chung J.C. Eigenstructure Assignment for Linear Systems // IEEE Aerospace & Electronic Systems. 1983. Vol. Aes-19, № 5. P. 711-728.

2. Bernstein D.S. Some Open Problems in Matrix Theory Arising in Linear Systems and Control // Linear Algebra and its Applications. 1992. Vol. 162-164. P. 409-432.

3. Static Output Feedback.-A Survey / V.L. Syrmos,

C.T. Abdallah, P. Dorato, K. Grigoriadis// Automatica. 1977. V. 33, № 2. P. 125-137.

4. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Трудные задачи линейной теории управления. Некоторые подходы к решению// Автоматика и телемеханика. 2005. № 5. С. 7-46.

5. Леонов Г.А., Шумафов М.М. Методы стабилизации линейных управляемых систем. СПб., 2005. 420 с.

6. Greschak J.P., Verghese G.C. Periodically varying compensation of time-invariant systems// Systems and Control Letters. 1982. V. 2. P. 88-93.

References:

1. Andry A.N., Shapiro E.Y., Chung J.C. Eigenstructure Assignment for Linear Systems // IEEE Aerospace and Electronic Systems. 1983. Vol. Aes-19, No. 5. P. 711-728.

2. Bernstein D.S. Some Open Problems in Matrix Theory Arising in Linear Systems and Control // Linear Algebra and its Applications. 1992. Vol. 162-164. P. 409-432.

3. Syrmos V.L. Abdallah C.T., Dorato P., Grigoriadis K. Static Output Feedback. - A Survey// Automatica. 1977. V. 33. No. 2. P. 125-137.

4. Polyak B.T., Shcherbakov P.S. Difficult problems of the linear theory of management. Some approaches to the decision// Automatics and Telemechanics. 2005. No. 5. P. 7-46.

5. Leonov G.A., Shumafov M.M. Method of stabilization of linear controlled systems. SPb., 2005. 420 pp.

6. Greschak J.P., Verghese G.C. Periodically varying compensation of time-invariant systems// Systems and Control Letters. 1982. V. 2. P. 88-93.

7. Kaczorek T. Pole placement for linear discrete-time 7. Kaczorek T. Pole placement for linear discrete-time

systems by periodic output feedbacks// Systems and systems by periodic output feedbcks// Systems and Control Letters. 1985. V. 6. P. 267-269. Control Letters. 1985. V. 6. P. 267-269.

8. Willems J.L. Time-varying feedback for the 8. Willems J.L. Time-varying feedback for the

stabilization of fixed modes in decentralized control stabilization of fixed modes in decentralized control systems// Automatica. 1989. V. 25. P. 127-131. systems // Automatica. 1989. V. 25. P. 127-131.

9. Aeyels D., Willems J.L. Pole Assignment for Linear 9. Aeyels D., Willems J.L. Pole Assignment for Linear Time-Invariant Second-Order Systems by Periodic Time-Invariant Second-Order Systems by Periodic Static Output Feedback// IMA Journ. of Math. Static Output Feedback // IMA Journ. of Math. Contr.

Contr. & Inform. 1991. V. 8. P. 267-274.

10. Aeyels D., Willems J.L. Pole Assignment for Linear Time-Invariant Systems by Periodic Memoryless Output feedback// Automatica. 1992. V. 28, № 6. P. 1159-1168.

11. Леонов Г.А. Проблема Брокетта для линейных дискретных систем управления// Автоматика и телемеханика. 2002. № 5. С. 92-96.

12. Brockett R. Stabilization problem. In book: Open problems in Mathematical Systems and Control Theory. Berlin, 1999. P. 75-78.

13. Леонов Г.А. Проблема Брокетта в теории устойчивости линейных дифференциальных уравнений // Алгебра и анализ. 2001. Т. 13, вып.

4. С.134-155.

14. Леонов Г.А. Стабилизационная проблема Брокетта // Автоматика и телемеханика. 2001. № 5. С. 190-193.

15. Moreau L., Aeyels D. Periodic output feedback stabilization of single-input single-output continuous-time systems with odd relative degree // Systems & Control Letters. 2004. V. 54. P. 395-406.

and Inform. 1991. V. 8. P. 267-274.

10. Aeyels D., Willems J.L. Pole Assignment for Linear Time-Invariant Systems by Periodic Memoryless Output feedback // Automatica. 1992. V. 28. No. 6. P. 1159-1168.

11. Leonov G.A. Brockett’s problem for linear discrete control systems // Automatics and Telemechanics. 2002. No. 5. P. 92-96.

12. Brockett R. Stabilization problem. In: Open problems in Mathematical Systems and Control Theory. Berlin: Springer, 1999. P. 75-78.

13. Leonov G.A. Brockett’s problem in the theory of stability of the linear differential equations // Algebra and the analysis. 2001. V. 13. Issue 4. P. 134-155.

14. Leonov G.A. Brockett’s stabilization problem // Automatics and Tlemechanics. 2001. No. 5. P. 190-193.

15. Moreau L., Aeyels D. Periodic output feedback stabilization of single-input single-output continuous-time systems with odd relative degree // Systems and Control Letters. 2004. V. 54. P. 395-406.