К задаче стабилизации двумерной линейной дискретной системы Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.71

К ЗАДАЧЕ СТАБИЛИЗАЦИИ ДВУМЕРНОЙ ЛИНЕЙНОЙ ДИСКРЕТНОЙ СИСТЕМЫ

© 2009 г. М.М. Шумафов

Адыгейский государственный университет, Adyghe State University,

ул. Университетская, 208, г. Майкоп, 385000, Universitetskaya St., 208, Maykop, 385000,

adsu@adygnet.ru adsu@adygnet.ru

Дается элементарное доказательство теоремы о стабилизации линейной дискретной системы со скалярным входом и скалярным выходом с помощью периодической обратной связи.

Ключевые слова: линейная дискретная система управления, передаточная функция, стабилизация, периодическая обратная связь.

In the paper elementary proof of the theorem of stabilization of linear discrete system of second order with single-input and single-output by periodic feedback is given.

Keywords: linear discrete control system, transfer function, stabilization, periodic feedback.

Проблема стабилизации линейным объектом управления с помощью стационарной линейной обратной связи является классической и рассматривалась многими авторами (см., например, обзоры [1-4], а также библиографию в [5]). Были получены достаточные условия стабилизируемости (и управления спектром матрицы) линейных систем с помощью стационарной обратной связи. Одним из достоинств решения проблемы стационарной стабилизации является его аналитически замкнутая форма, что весьма важно в теории и практике управления при синтезе линейной обратной связи.

Однако, как хорошо известно, возможности стационарной стабилизации ограничены по сравнению с нестационарной.

В работах [6-11] было показано, как введение нестационарной периодической обратной связи в линейной дискретной системе расширяет возможности управления спектром матрицы замкнутой системы (и, в частности, стабилизации). Отметим, что для непрерывных систем соответствующая проблема нестационарной стабилизации была поставлена Р. Брокеттом в [12]. Решению этой проблемы посвящены работы Леонова [13, 14], Моро и Аэлса [15].

В работе [11] в ряде важных случаев дано решение дискретного аналога стабилизационной проблемы Брокетта. В частности, доказана теорема, дающая необходимые и достаточные условия стабилизируемо-сти двумерной линейной дискретной системы с помощью периодической с достаточно большим перио-

дом (низкочастотная стабилизация) обратной связи. Доказательство вышеупомянутой теоремы использует ряд общих теорем, и поэтому в целом является непростым.

В настоящей статье дается элементарное и прямое доказательство теоремы Леонова о стабилизируемо-сти линейной дискретной системы с помощью периодической с периодом 3 обратной связи.

Постановка задачи

Рассмотрим двумерную линейную дискретную систему со скалярным входом и скалярным выходом х(к +1) = Ах(к)+Ъи(к), у(к) = сх(к) (к = О,1,2,...) (1)

Здесь х(к) е К2 - вектор состояния в текущий момент времени / = к: и(к) с Н и у(к) с Н - вход (управление) и выход соответственно в момент времени t = к', .(.Лис — вещественные постоянные матрицы размерами 2x2, 2х1и1х2 соответственно.

Введем в рассмотрение передаточную функцию системы (1)

\У(г) = с(А-г1у1Ь (геС). (2)

Здесь / - единичная 2x2 матрица.

В работе [11] доказано следующее утверждение.

Теорема о стабилизации [11]. Пусть передаточная функция (2) системы (1) невырождена.

Тогда для стабилизируемости системы (1) необходимо и достаточно, чтобы было выполнено по крайней мере одно из условий

W(0) Ф 0 или |det < 1. (3)

При этом в обратной связи и(к) = s(k)y(k), стабилизирующей систему (1), функция s = s(k) имеет

достаточно большой период.

Отметим, что сформулированная выше теорема Леонова дает полное решение дискретного аналога проблемы Брокетта [12] для двумерных систем.

Как было отмечено во введении, при доказательстве теоремы Леонова используется ряд вспомогательных общих теорем, доказательства которых в свою очередь непростые. В настоящей статье дается элементарное и прямое доказательство вышеприведенной теоремы Леонова.

Некоторые предварительные понятия и факты из линейной теории управления

Напомним некоторые хорошо известные понятия и факты из линейной теории управления, которые понадобятся нам ниже.

Систему (1) называют управляемой, есшгапкф,АЬ)=2,

и наблюдаемой, если гапк(с*, А*с*) = 2 .

Здесь знак * обозначает операцию транспонирования.

Вместо управляемости и наблюдаемости системы (1) часто говорят просто об управляемости и наблюдаемости пар (A,Ь) и (A, с) соответственно.

Передаточная функция W(z) системы (1) называется невырожденной, если её нельзя представить в виде отношения многочленов со степенью знаменателя меньшей, чем 2. Хорошо известно, что невырожденность передаточной функции W (z) эквивалентна управляемости и наблюдаемости пар (A, Ь) и (A, с). Отметим также, что передаточная функция инвариантна относительно невырожденных линейных преобразований.

Систему (1) называют стабилизируемой, если существует обратная связь

и(к) = s(k)y(k) (к = 0,1,2,...), (4)

где s(k) f R такая, что система (1) замкнутая обратной связью (4), т.е. система

х(к +1) = (А + s(k)bc)x(k), (5)

асимптотически устойчива.

Если s(k) = const, то говорят о стационарной стабилизации, а если s(k) Ф const, то - о нестационарной стабилизации.

Асимптотическая устойчивость дискретной системы (5) определяется аналогично, как и для непрерывных систем.

Хорошо известен [5] следующий критерий асимптотической устойчивости линейных дискретных систем вида X/. | = Н\~/. с постоянной матрицей В .

Линейная дискретная система х/( | = 11х/( асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда все

собственные значения матрицы В лежат внутри единичного круга на комплексной плоскости.

Переформулировка задачи

Будем искать стабилизирующую функцию 5 = .\(к) в обратной связи (4) в классе периодических с периодом 3 функций:

5(£ + 3) = 5(А:) \/ке б(Д,2,../. (6)

Тогда система (1), замкнутая периодической обратной связью (4), (6), будет периодической с периодом 3.

Пусть г е (-{1.2.... . Тогда, используя (1) и (6), легко найти связь между состояниями х(3г) и х(3(г +1)): х(3(г +1)) = (А + я(2)Ьс)(А + я(1)Ьс)(А + 5(0)6с)х(3г) .(7) Введя обозначения := х(3г), перепишем соотношение (7) в виде

+1) = М£(г), г е €{,1,2,... , (8)

где

М = (А + я(2)Ьс)(А + я(1)Ьс)(А + я(0)Ьс). (9) Таким образом, динамика периодической системы

(I), (4), (6) определяется динамикой системы (8) с постоянной матрицей (9). Ясно, что асимптотическая устойчивость системы (5) эквивалентна асимптотической устойчивости системы (8), (9).

Итак, задача стабилизируемости системы (1) с помощью периодической обратной связи (4), (6) сводится к следующей.

Даны вещественные 2x2, 2x1 и 1x2 матрицы А , Ь и с соответственно.

Требуется найти вещественные числа 5(0), 5(1) и 5(2) такие, что собственные значения матрицы М из (9) лежат внутри единичного круга.

Элементарное доказательство теоремы Леонова о стабилизации двумерной дискретной системы

А. Необходимость доказывается так же, как и в

[II]. Если не выполнены соотношения (3), то, используя хорошо известное детерминантное равенство [5]

с1е!(/ + КМ*) = 1 +М*К (К и М - матрица-столбцы, а I - единичная матрица) и учитывая равенство 1¥(0) = сА~1Ь = 0, имеем ±ЦА + в(к)Ьс) = дЛАх х <Ы(1 + 8{к)А~1Ъс) = А* А • (1 + 8{к)сА= А* А. Так как |с)е1.11 > 1 по предположению, то

Используя последнее неравенство, из формулы об-

к

щего решения системы (5) х(к +1) = ] | (А + 5(/')йс)х(0)

г=0

легко выводится отсутствие асимптотической устойчивости системы (5) при любой функции 5 - .\(к).

В. Доказательство достаточности. Представим передаточную функцию Ж(е) системы (1) в виде

С2г + С\

W(z) -

2

z + a0z + л

(10)

т

Здесь а 2; с1, с2 - некоторые вещественные числа. Заметим, что знаменатель дроби (10) -характеристический многочлен матрицы А .

По условию функция Ж(е) невырождена, т.е. выполнено неравенство

2 2 Cj - a2CiC2 + ахс2 ^ 0 •

(11)

Как было отмечено выше, невырожденность функции W(z), и следовательно, выполнение неравенства (11) является необходимым и достаточным условием управляемости и наблюдаемости системы (1). Поэтому в силу свойства инвариантности передаточной функции W(z) систему (1) при помощи некоторого невырожденного линейного преобразования можно привести к каноническому виду, для которого

А = [ ° 1 l,6=í° l, с = (с1с2). (12)

Таким образом, не умаляя общности, можно считать, что система (1) уже имеет канонический вид (1), (12). Теперь легко подсчитать матрицу М из (9). Введя обозначения М = гцч (i,j = 1,2); sn= sin)

(п - 0,1,2), имеем

Щ i = («2 + sic2)(ai + ^oq),

Щ2 = (а2 + s\c2)(a2 + S0C2) - («1 + ^l) ,

т21 = («1 + •S'oQ) t'l + S2C\)~ («2 + S2C2)(«2 + s\c2)

rn22 = («i + s2Ci)(a2 + s0c2) - (a2 + s2c2)ml2. Потребуем, чтобы m\2 = 0, т.е.

(«2 + slc2)(a2 + S0C2) = a\+ • (13) Из (13) находим (ctx +slcl)-a2(ct2 + si<:2)

s0 =-

c2(a2 +sxc2)

если с2ф 0, и

s\ =

2 «2

- ai

ci

(a2+Slc2* 0), (14)

(15)

если с2= 0 (при этом С\Ф 0 в силу (11)).

При значениях ^ и ^, определяемых из (14) и (15), спектр <т(М) (набор собственных значений) матрицы М имеет вид

= 1 (16) К«1 + «2с1)(а2 +«ос2) ) Из (16) видно, что собственные значения матрицы М зависят от двух варьируемых параметров ^ и ^ в случае С\Ф 0, с2 т 0 и л() и $2 в случае с\ Ф 0, с2= 0, а в случае су = 0, с2 Ф 0 - от одного варьируемого параметра ^ .

Рассмотрим эти случаи в отдельности: 1) С! Ф0, с2 =0.

Тогда спектр а(М ) - ¿^(^+^0^); а2(я1+52с1) из (16) лежит внутри единичного круга, если значения

и ^2 определяются из неравенств

— €¡1 — т^-т < с\й: < —€¡1 +т—г, ] = 0,2 (а2 Ф 0). (17)

Ы \а2\

(Если а2 = 0, то оба собственных значения матрицы М равны нулю). Поскольку ¡¥(0) = /сц , то система (1) в рассматриваемом случае стабилизируема с помощью периодической обратной связи (4) периода 3, если Щ0) Ф 0;

2) <4=0, с2 Ф 0 .

В этом случае спектр (16) в силу равенства (13) имеет вид

a(M) = la1(a2+s1c2),

aj2

(18)

«2 + ад ]

Спектр (18) лежит внутри единичного круга, если выполняются неравенства

-a2

i i

-r~\<c2s\< -a2+-n

{ахФ 0)

ли

С2s\< -а2~ ai

2

2

(19)

С251 > ~а2+ а1 (Если - 0, то оба собственных значения матрицы М равны нулю.)

Система неравенств (19) удовлетворяется, если 1^1 <1. (20) Поскольку с1е1 А = сц . то из (20) следует, что система (1) в рассматриваемом случае стабилизируема с помощью периодической обратной связи (4) периода 3, если |с)еЫ| < 1; 3) схФ 0 , с2Ф 0 . Из равенств (14)и(13) находим

Оахс2 - С1а2)(д2 + ад)+с1 (а1 + ад)

ai + Soq = -

с2(а2 +ь\с2)

(21)

а2 + s0c2 = (а2 + SlC2 * о ). (22)

а2 + sxc2

Подставляя (21) и (22) в (16), перепишем выражение для спектра <т(М) в следующем виде:

'(alc2- a2cl)(a2+ slc2) + cl(al+ SjCj) ^

<t(M) =

c2

(a^ S2Ci)(ai + sici) ai+ sc

ic2

. (23)

Заметим, что в (23) два свободных параметра ^ и ^2. Спектр (23) лежит внутри единичного круга, если выполнены неравенства

|(а^2 - а2С1)(а^ 5^2) + С1(а^ |с2|

a +S10

2ci

a + Sic

ici

ai+ sc

ic2

<i (ai+ sic^0)

(24)

Ясно, что второе из неравенств (24) разрешимо от-

носительно л 2 (так как суф 0) при любом фиксиро-

ванном значении Ф -а2/с2 .

a

Перепишем первое из неравенств (24) в виде С2 Й2С1С2 + а^)- (С1^2 - С20,10,2 _ С^) < С2 . (25) В силу условия (11) неравенство (25) разрешимо относительно 51. Следовательно, искомые значения параметров 51 и 52 , удовлетворяющие (24), определяются из неравенств:

I I 2 II

- С2 + (С1«2 _ С2 а1^2~ С^) < 5^ А < С2 +

+ (С1«2 - С2 а^2 - С1а1)

а2 51С2

ai + SjCJ

si ^ - ai/ci

ai < S2Ci <

a2 + SiC2

ai + sici

s2

■a2l c2 ■

(26)

2 2 Здесь A := q -a2qc2+ayc2 в силу (11).

Итак, в рассматриваемом случае система (1) всегда стабилизируема с помощью периодической обратной связи (4) периода 3.

Таким образом, достаточность, и, следовательно, теорема Леонова о стабилизируемости двумерной дискретной системы доказана.

Замечание. В ходе вышеприведенного доказательства теоремы дан конструктивный метод нахождения стабилизирующей систему (1) периодической с периодом 3 обратной связи (4), (6). При этом значения sq , s и S2 определяются из неравенств (17) (в случае q Ф О , с2 = 0), (19) (в случае q = 0 , с2 * 0 ), (26) (в случае q Ф 0, с2 Ф 0 ).

Литература

1. Andry A.N., Shapiro E.Y., Chung J.C. Eigenstructure As-

signment for Linear Systems // IEEE Aerospace & Electronic Systems. 1983. Vol. Aes-19, № 5. P. 711-728.

2. Bernstein D.S. Some Open Problems in Matrix Theory Aris-

ing in Linear Systems and Control // Linear Algebra and its Applications. 1992. Vol. 162-164. P. 409-432.

3. Static Output Feedback.-A Survey / V.L. Syrmos [et al.]

// Automatica. 1977. Vol. 33, № 2. P. 125-137.

4. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Трудные задачи линейной

теории управления. Некоторые подходы к решению // Автоматика и телемеханика. 2005. № 5. С. 7-46.

5. Леонов Г.А., Шумафов М.М. Методы стабилизации ли-

нейных управляемых систем. СПб., 2005. 420 с.

6. Greschak J.P., Verghese G.C. Periodically varying compen-

sation of time-invariant systems // Systems and Control Letters. 1982. Vol. 2. P. 88-93.

7. Kaczorek T. Pole placement for linear discrete-time systems

by periodic output feedbacks // Systems and Control Letters. 1985. Vol. 6. P. 267-269.

8. Willems J.L. Time-varying feedback for the stabilization of

fixed modes in decentralized control systems // Automatica. 1989. Vol. 25. P. 127-131.

9. Aeyels D., Willems J.L. Pole Assignment for Linear Time-

Invariant Second-Order Systems by Periodic Static Output Feedback // IMA J. of Math. Contr. & Inform. 1991. Vol. 8. P. 267-274.

10. Aeyels D., Willems J.L. Pole Assignment for Linear Time-

Invariant Systems by Periodic Memoryless Output feedback // Automatica. 1992. Vol. 28, № 6. P. 1159-1168.

11. Леонов Г.А. Проблема Брокетта для линейных дискрет-

ных систем управления // Автоматика и телемеханика. 2002. № 5. С. 92-96.

12. Brockett R. Stabilization problem // Open problems in Ma-

thematical Systems and Control Theory. Berlin, 1999. P. 75-78.

13. Леонов Г.А. Проблема Брокетта в теории устойчивости

линейных дифференциальных уравнений // Алгебра и анализ. 2001. Т. 13, вып. 4. С. 134-155.

14. Леонов Г.А. Стабилизационная проблема Брокетта

// Автоматика и телемеханика. 2001. № 5. С. 190-193.

15. Moreau L., Aeyels D. Periodic output feedback stabilization

of single-input single-output continuous-time systems with odd relative degree // Systems & Control Letters. 2004. Vol. 54. P. 395-406.

Поступила в редакцию

22 декабря 2008 г.