CC BY
26
УДК 517.977.1
СТАБИЛИЗАЦИЯ ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ ВТОРОГО ПОРЯДКА ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
© 2014 г. М.М. Шумафов
Шумафов Магомет Мишаустович - кандидат физи- Shumafov Magomet Mishaustovich - Candidate of Physi-
ко-математических наук, доцент, профессор, фа- cal and Mathematical Science, Associate Professor, Pro-
культет математики и компьютерных наук, Адыгей- fessor, Faculty of Mathematics and Computer Sciences,
ский государственный университет, ул. Университет- Adyghe State University, Universitetskaja St., 208,
ская, 208, г. Майкоп, Республика Адыгея, 385000, Maykop, R. Adygea, 385000, Russia, e-mail:
e-mail: [email protected]. [email protected].
Рассматривается задача о статической стабилизации по выходу двумерных линейных стационарных управляемых систем с помощью обратной связи с запаздыванием. Показаны возможности стабилизации систем обратной связью с запаздыванием. Даны необходимые и достаточные условия стабилизируемости исследуемых систем. Доказанные теоремы в целом хорошо иллюстрируют эффективность введения запаздывания в обратной связи для стабилизации двумерных линейных стационарных систем.
Ключевые слова: линейная стационарная система, обратная связь с запаздыванием, стационарная стабилизация, асимптотическая устойчивость.
The problem of stabilization of two-dimensional linear time-invariant controllable systems by means of static timeinvariant delayed output feedback is considered. It is shown the potential of delayed output feedback. Necessary and sufficient conditions for output feedback stabilizability of systems considered via delayed feedback are given. The theorems proved in this paper show that such a delayed feedback approach allows to extend the possibilities available with static timeinvariant output feedback for stabilizability of second-order linear systems.
Keywords: linear time-invariant system, delayed output feedback, static time-invariant output feedback stabilization, asymptotic stability.
Одной из важнейших задач теории управления является задача о стабилизации динамических систем. Интерес к проблемам стабилизации мотивируется как запросами практики управления, так и формулировками открытых проблем. Наиболее эффективные методы и алгоритмы стабилизации разработаны для линейных стационарных систем. Им посвящено большое число работ, обзоры которых можно найти, например, в [1-7].
В последние 10-летия вопросы стабилизации изучались весьма интенсивно (см., например, библиографию в [7]). Одна из проблем, стимулировавшая немало публикаций, - задача Брокетта [5] о стабилизации линейной стационарной системы с помощью линейной нестационарной обратной связи. Её решение в ряде важных для практики случаев дано в работах Г.А. Леонова [8, 9], Л. Моро и Д. Аэлса [10]. В них построены алгоритмы низкочастотной и высокочастотной стабилизации линейной стационарной системы. Для двумерных и трехмерных стационарных систем показано, как введение нестационарной обратной связи расширяет возможности стационарной стабилизации.
Спрашивается: существуют ли, кроме нестационарной, другие способы стабилизации линейных стационарных систем, которые позволяют расширить возможности стационарной стабилизации?
Задача: можно ли стабилизировать линейную стационарную систему введением в обратную связь запаздывания в форме Пирагоса? Каковы возможности линейной стационарной обратной связи с запаздыванием в форме Пирагоса для стабилизации линейных стационарных систем?
В настоящей статье решается сформулированная задача для двумерных управляемых систем. Нами получены необходимые и/или достаточные условия стабилизации нулевого состояния равновесия двумерных систем обратной связью по Пирагосу. Проводится сравнение полученных условий с условиями стабилизации системы с помощью традиционной обратной связи.
Постановка задачи
Рассмотрим двумерную линейную систему х(0 = Ах(0 + Ьи(0, y(t) = сх(0 , t> 0. (1)
Здесь x(t) е R2 - вектор состояния в момент времени t; u(t) е R - управление (вход); y(t) еК - выход; A, b и c - вещественные постоянные матрицы размерами 2х2, 2xi и 1х2. Будем предполагать, что система (1) управляема и наблюдаема. Введем в (1) обратную связь [11] u(t) = к(y(t -т) - y(t)), (2)
где к Ф 0 и т > 0 - постоянные.
Задача состоит в том, чтобы найти значения параметров к и т > 0, при которых система (1), замкнутая обратной связью (2), оказалась бы асимптотически устойчивой.
Замкнутая система (1), (2), представляет собой линейное дифференциальное уравнение с запаздывающим аргументом относительно вектор-функции x(t),
где к и т - варьируемые параметры.
Формулировка результатов
Приведем систему (1) невырожденным линейным преобразованием к канонической форме [1]
\xl(t) = x2(t), (3)
[х2 (/) = -OjXj (/) - а2х2 (/) — u(t), y(t) = CjXj (/) + с2х2 (/),
где a , a, С, c2 - заданные вещественные числа.
Будем различать 3 случая:
1) c1 ф 0, c2 = 0;
2) c1 = 0, c2 ф 0;
3) q ф 0, c2 ф 0.
1. q ф 0, с2 = 0. Без умаления общности можно считать, что c = 1. (В противном случае делаем замену cx ^ X , cX ^ X). Из условий Рауса - Гурвица следует, что стационарная стабилизация системы (3) стандартной обратной связью u(t) = ky(t) (к = const) без запаздывания возможна только для a > 0 и при выборе подходящего значения к. Введем в систему (3) обратную связь с запаздыванием вида (2).
Пусть в системе (3) q = 1, c2 = 0 . Тогда имеет место
Теорема 1. При a > 0 в системе (3) происходит стабилизация нулевого состояния равновесия обратной связью (2) при подходящем выборе параметров к, т.
Отметим, что «подходящие параметры» можно выбрать из условия кт < а2 при a < 0 и кт < 0 при
a < 0.
Нетрудно показать, что приведенное здесь достаточное условие стабилизации является и необходимым.
Так как неустойчивым узлам и фокусам разомкнутой системы (u(t) = 0) ij = х2 х2=-ах,-а^2 отвечают соответственно области {0 < a < a\ 14, a < 0}
и {a > a2 / 4, a < 0} в плоскости параметров системы, то из теоремы 1 непосредственно вытекает
Следствие 1. Пусть нулевое состояние равновесия разомкнутой системы (3) (u = 0), где q ф 0, с2 = 0, есть неустойчивый узел или фокус. Тогда существуют значения параметров к и т такие, что нулевое состо-
яние равновесия системы (3) стабилизируемо обратной связью (2).
2. q = 0, c2 Ф 0. Без ограничения общности можно считать, что c2 = 1. (В противном случае делаем замену c2x ^ X, c2x2 ^ X).
Стационарная стабилизация системы (3) стандартной обратной связью u(t) = ky(t) возможна только для а > 0 и выборе подходящего k . Введем в систему (3) обратную связь (2). Определим числа
m = min (cosa + (sina)/a) , m = min (sina)/a.
ае[0,2я] 1 ае[0,2я]
(Приближенные значения m и щ равны -1,04 и -0,22 соответственно). Пусть в системе (3) q = 0, c2 = 1. Тогда имеет место
Теорема 2. В системе (3) возможна стабилизация нулевого состояния равновесия обратной связью (2) в двух случаях: при а > 0, а > 0 или при
а ^ 0, а j> (тжа2 )2/16 при подходящем выборе параметров k, г .
Отметим, что «подходящие параметры» можно выбрать из условия k = /(тя), г = яД^" .
Нетрудно показать, что приведенное здесь достаточное условие стабилизации является и необходимым. Из теоремы 2 непосредственно вытекают следующие утверждения.
Следствие 2. Пусть состояние равновесия разомкнутой системы (3) (u = 0), где q = 0, c2 Ф 0, есть неустойчивый узел или фокус. Тогда нулевое состояние равновесия стабилизируемо обратной связью (2) в том и только том случае, если а > (тяа2 )2 /16, а < 0.
Следствие 3. Пусть состояние равновесия разомкнутой системы (3) (u = 0), где q = 0, c2 Ф 0, есть седло или характеристический полином системы имеет нулевой корень. Тогда стабилизация нулевого состояния равновесия обратной связью (2) невозможна ни при каких значениях параметров k и г .
3. q Ф 0, c2 Ф 0. Не умаляя общности, можно считать, что c2 = 1. (В противном случае делаем замену c2x ^ X, c2x2 ^ х2).
Стабилизация системы (3) обратной связью u(t) = ky(t) возможна только в случаях, когда c > 0 или c < 0, ca < а , и при выборе подходящего k . Введем в систему (3) обратную связь (2).
Пусть в системе (3) q Ф 0, c2 = 1. Тогда имеет место
Теорема 3. В системе (3) возможна стабилизация нулевого состояния равновесия в трех случаях:
а) при q > 0, а > 0; b) при c < 0, а > 0, а > c; c) c < 0, а > ca + (я^а)2/4.ß1 , -»< а ^ 2щß2/(mß-2c) , ße (0, 2q/m) при подходящем выборе параметров k, г .
«Подходящие параметры» можно выбрать из условия: ктсх < а (при с > 0) и С < ктсх < а, если а2 < 0; ктсх < 0, если а > 0 или кгс = р , 0 <г<т (¡) , Г = (шр-2с )/шс 3 , 3 е (0,2сх/ш) (при с < 0).
Нетрудно показать, что при с < 0 достаточное условие а > 0 теоремы 3 является также и необходимым.
Из теоремы 3 непосредственно получаем
Следствие 4. Пусть в разомкнутой системе (3) (и = 0), где с ф 0 , с2 = 1, нулевое состояние равновесия есть неустойчивый узел или фокус. Тогда если с > 0, то существуют значения параметров к иг такие, что нулевое состояние равновесия стабилизируемо обратной связью (2). Если с < 0, то нулевое состояние равновесия стабилизируемо, если выполнено хотя бы одно из условий Ь) или ф теоремы 3.
Пусть теперь нулевое состояние равновесия разомкнутой системы (3) (и = 0) асимптотически устойчиво (устойчивый узел или фокус). Спрашивается, может ли данное равновесие стать неустойчивым для замкнутой системы (3), (2) при каком-либо выборе к и г ? Ответ на этот вопрос дают
Утверждение 1. Пусть нулевое состояние равновесия системы (3) (и = 0), где с = 1, с = 0, асимптотически устойчиво. Тогда существуют значения параметров к иг такие, что нулевое состояние равновесия замкнутой системы (3), (2) является неустойчивым. При этом значения параметров к и г можно выбрать так: кг > а2.
Утверждение 2. Пусть нулевое состояние равновесия системы (3) (и = 0), где с = 0, с2 = 1, асимптотически устойчиво. Тогда и при всех значениях параметров к ф 0, г > 0 нулевое состояние равновесия системы (3), (2) асимптотически устойчиво.
Утверждение 3. Пусть нулевое состояние равновесия системы (3) (и = 0), где с ф 0 , с2 = 1, асимптотически устойчиво. Тогда существуют значения параметров к иг такие, что нулевое состояние равновесия системы (3), (2) является неустойчивым. При этом значения параметров к иг можно выбрать из условия ктсх > а .
Выводы
Сформулированные выше теоремы 1-3 дают необходимые и/или достаточные условия стабилизи-руемости нулевого состояния равновесия системы (1) обратной связью с запаздыванием вида (2). В случаях,
Поступила в редакцию_
когда выходом системы (1) является первая координата x или линейная комбинация обеих координат X и x вектора состояния x = (x, X), введение запаздывания в обратную связь расширяет при a < 0
возможности стабилизации нулевого состояния равновесия системы обычной обратной связью u(t) = ky(t) (теоремы 1 и 3). В случае, когда выходом системы (1) является вторая координата x вектора состояния x, обратная связь вида (2) не приводит к расширению области стабилизации (теорема 2).
Доказательства теорем 1-3 основаны на применении метода D-разбиения [12] плоскости
К2 ={(a, a )} коэффициентов характеристического
квазиполинома
F(z; a, a, c, c) =
= z2 + (a - kc2 )z + (a - kcx) + ke~TZ (c2z + cx) с последующим применением теоремы Руше о нулях аналитической функции.
Литература
1. Андреев Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами. М., 1976. 424 с.
2. Bernstein D.S. Some open problems in matrix theory arising in linear systems and control // Linear Algebra Appl. 1992. Vol. 162-164. P. 409-432.
3. Blondel V., Gevers M., Lindquist A. Survey on the state of systems and control // Eur. J. Control. 1995. Vol. 1. P. 5-23.
4. Syrmos V.L., Abdallah C.T., Dorato P., Grigoriadis K. Static output feedback: a survey // Automatica. 1997. Vol. 33, № 2. P. 125-137.
5. Brockett R. A stabilization problem // Open problems in mathematical systems and control theory. London, 1999. P. 75-78.
6. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Трудные задачи линейной теории управления. Некоторые подходы к решению // Автоматика и телемеханика. 2005. № 5. С. 7-46.
7. Леонов Г.А., Шумафов М.М. Методы стабилизации линейных управляемых систем. СПб., 2005. 420 с.
8. Леонов Г.А. Стабилизационная проблема Брокетта // Автоматика и телемеханика. 2001. № 5. С. 190-193.
9. Леонов Г.А. Проблема Брокетта в теории устойчивости линейных дифференциальных уравнений // Алгебра и анализ. 2001. Т. 13, вып. 4. С. 134-155.
10. Moreau L., Aeyels D. Periodic output feedback stabilization of single - input single - output continuous - time systems with odd relative degree // Syst. & Control Lett. 2004. Vol. 51, № 5. P. 395-406.
11. Pyragas K. Continuous control of chaos by self - controlling feedback // Phys. Lett. A. 1992. Vol. 170. P. 421-428.
12. Неймарк Ю.И. Динамические системы и управляемые процессы. М., 1978. 336 с.
5 мая 2014 г.
