Проблема Брокетта для систем нелинейных дифференциальных уравнений с запаздыванием Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

УДК 518.5

И. В. Бойков

ПРОБЛЕМА БРОКЕТТА ДЛЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

Аннотация. Даны необходимые и достаточные условия решения проблемы Брокетта об асимптотической стабилизации к нулю решения систем нелинейных дифференциальных уравнений с запаздыванием dx(t) = A(t,x(t-л)) +

dt

+B(t) K(t) C(t) x(t), x e Rn, где B(t), C(t) - данные матрицы, A(t, x) - данная вектор-функция, K (t) - подлежащая определению стабилизирующая матрица.

Ключевые слова: проблема Брокетта, асимптотическая стабилизация, нелинейное дифференциальное уравнение с запаздыванием.

Abstract. The article adduces the necessary and sufficient conditions to solve the Brokett problem of asymptotic stabilization to zero of solution for the systems of

nonlinear differential equations with delay dx(t) = A(t,x(t-л)) + B(t)K(t)x

dt

xC(t) x(t), x e Rn. Here B(t) and C(t) are the given matrixes, A(t, x) is a given vector-function, K (t) is an unknown stabilization matrix subject to determination.

Key words: Brokett problem, asymptotical stabilization, nonlinear differential equations with delay.

Введение

Рассмотрим линейную систему уравнений

= Ax(t) + Bu (t); (1)

dt

У (0 = Cx(t), (2)

где x(t) e Rn, u (t) e Rm, y(t) e Rl.

Управляющее воздействие u (t) описывается системой уравнений

u (t ) = K (t) y (t). (3)

Выражения (1), (2) с управлением (3) описываются системой дифференциальных уравнений

dx(t) = Ax(t) + BK (t )Cx(t). (4)

dt

Проблема стабилизации с периодически зависящим от времени управлением была сформулирована Брокеттом [1] как одна из важнейших открытых проблем в теории управления.

Проблема Брокетта [1]. Дана тройка матриц (A, B, C). При каких условиях существует матрица K(t) такая, что система (4) асимптотически устойчива?

Проблема Брокетта исследовалась в [2, 3], где в ряде случаев были получены необходимые и достаточные условия стабилизации систем вида (4) периодическими матрицами.

Результаты исследования проблемы Брокетта, полученные к 2002 г., приведены в [3].

Проблема Брокетта исследовалась в случае дискретных уравнений в работах Acyels and Willems [4], Леонова [5], Artstein and Weiss [6], для уравнений (4) - в работах Леонова [2, 3], Allwright, Moreau and Acyels [7].

В работах Бойкова [8-10] дано решение проблемы Брокетта для систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями:

dx(t) = A(t)x(t) + B(t)K(t)C(t), x e Rn;

dt

dx(t) = A(t, x(t)) + B(t)K(t)C(t, x(t)), x e Rn;

d

разностными уравнениями:

x(m +1) = A(m)x(m) + B(m)K(m)C(m)x(m), x e Rn; x(m + 1) = A(m)x(m) + B(m)K(m)C(m, x(m)), x e Rn; уравнениями в частных производных:

du(t,x1,x2)= d2u(t,x1,x2) , d2u(t,xbx2) ,

= A(t)-------о----+ B(t)------------+

du dx2 dx]_dx-

1Ш2

+С(ґ) ^ 11 (^Х2) + Ь(ґ)К(ґ)М(ґ)и(ґ,Хі,Х2), хє Яп.

Эх2

В работе [10] также рассматривается обобщенная проблема Брокетта.

В данной работе исследуется проблема Брокетта для систем нелинейных дифференциальных уравнений с запаздыванием.

Пусть дана система нелинейных дифференциальных уравнений

= А(ґ, х(ґ - л)) + В(ґ)К(ґ)С(ґ)х, х є Я„, (5)

Лґ

где В(ґ) = {Ьу (ґ)}, і = 1,...,п, у = 1,..., т, С ( ґ) = {Су (ґ)}, і = 1,...,/, у = 1,..., п,

В(ґ) = [Ьь-(ґ)}, і = 1,...,п, у = 1,..., т, А(ґ,х) = (а^ґ,х),...,ап(ґ,х))Г.

Для систем дифференциальных уравнений с запаздыванием проблема Брокетта формулируется следующим образом.

Проблема Брокетта. Даны вектор-функция А(ґ, х) и матрицы В(ґ) и С(ґ). При каких условиях существует матрица К(ґ) такая, что система (5) асимптотически устойчива?

В работах [11, 12] исследовалась проблема Брокетта для систем линейных дифференциальных уравнений с запаздыванием в управлении. Такие системы описываются системами обыкновенных дифференциальных уравнений:

dx(t) dt

= Ax(t) + BK(V)Cx(t -т), x є Rn.

(6)

Получены [11, 12] условия импульсной стабилизации систем вида (6) к тривиальному решению.

Статья построена следующим образом. В разделе 1 исследуется устойчивость и асимптотическая устойчивость решений систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений с запаздыванием.

В разделе 2 при ряде дополнительных условий дано решение проблемы Брокетта для систем дифференциальных уравнений с запаздыванием.

В статье критерии устойчивости решений систем дифференциальных уравнений выражены через логарифмическую норму. Напомним определение логарифмической нормы.

Определение 1 [13]. Логарифмической нормой оператора А называется предел

Л(А) = Нш(|| I + НА ||-1)/ к,

к10

где символ к X 0 означает, что к стремится к нулю, убывая.

Для наиболее употребительных норм логарифмическая норма известна. Пусть дана вещественная матрица А = (агу }, 7, ] = 1,2,..., п, в п -мерном

пространстве Яп векторов х = (х1,..,хп) с нормой

Iх І1і= 2 І Хк ^ II Х 12 = к=1

2 1 хк\ к=1

1/2

Iх 13= тах 1 хк |. 1<к <1

Логарифмическая норма матрицы А равна [14]

( > (

А1(А) = тах

і

* 21

а

іі У

\ і*і

Л 2 (А) =

А + А

Лз( А) =

шах

7

а,- +

2і

і Фі

Для бесконечных матриц А логарифмические нормы квадратных матриц известны [13] в пространствах /1 и с. Если логарифмическая норма вычисляется в пространстве /1 всех абсолютно суммируемых последовательно-

стей с нормой | I х 11 = 2 І £ і і=1

то

(

Л (А) = 8ир

і

Кеаіі+ 2 1 акі

к=1, к Ф і

Если логарифмическая норма вычисляется в пространстве с всех сходящихся последовательностей с нормой

| |х 11 =8Ир| £ у ^

У =1

то

( ™ >

Л( А) = 8ир

]

Яе ау + 2 I и]к

к=1, к Ф у

а !к .

1. Устойчивость решений нелинейных уравнений с запаздыванием

В данном разделе приводится ряд утверждений об устойчивости и асимптотической устойчивости решений нелинейных дифференциальных уравнений с запаздыванием, которые будут использованы при исследовании проблемы Брокетта.

Рассмотрим в банаховом пространстве X уравнение

^ = Мх(() + Ь( х(( -Л)). (7)

ш

Здесь М е [X, X] - линейный ограниченный оператор, действующий из X в X; Ь(х) - нелинейный оператор, действующий из X в X, причем ¿(0) = 0.

Будем считать выполненными условия

| | Ь(х) | |<Р 11 х 11, Л(М) + Р<0. (8)

Теорема 1.1 [15]. Пусть логарифмическая норма оператора М отрицательна (Л(М) < 0) и выполнено условие (8). Тогда тривиальное решение уравнения (7) устойчиво.

Для достижения асимптотической устойчивости требуются более жесткие условия, нежели (8). Потребуем выполнение условия

Ре|Л(М)|л <| Л(М) |. (9)

Теорема 1.2 [15]. Пусть логарифмическая норма оператора А отрицательна (Л(М) < 0) и выполнены условия (8), (9). Тогда тривиальное решение уравнения (7) асимптотически устойчиво.

Из теоремы 1.2 следует, что существует такой набор параметров Р, л и Л(М), при которых решение системы уравнений (7) асимптотически устойчиво.

Рассмотрим в банаховом пространстве X неавтономное уравнение с запаздыванием

= А(() х(1) + Б(Г, х(1 -л)). (10)

Дадим функции х(^) возмущение

х(0 = ¥( 0, -л<(< 0, I I у( 011с[-л,0] = 8. (11)

Пусть при любом г выполняются условия Л(А(г)) < -а(г), а(0 > 0, | | Б(г, x(t))| |<Р(г)| | х(г) |1, -а(г) + Р(г)<0, (12)

где Р(г) - неубывающая функция.

Теорема 1.3 [15]. Пусть выполнены условия (12). Тогда тривиальное решение уравнения (10) устойчиво.

Приведем еще один критерий асимптотической устойчивости систем дифференциальных уравнений с запаздыванием.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений (7) и исследуем устойчивость тривиального решения. Дадим функции х(г) возмущение

х(г ) = у (г), -л< г < 0, | | у(г) | |С[-л,0]= 8. (13)

Из условия (13) следует, что в момент времени ¿0=0 возмущение

х(0) = у(0) = х0, I | х0 11 < 8. (14)

Обозначим через х(г, у) траекторию решения задачи (7), (13), (14).

Из теоремы 1.1 следует, что при выполнении условий (8) траектория х(г, у) не выходит из шара Б(0,8). Зафиксируем произвольный момент времени Т (Т > 2л) и исследуем траекторию х(г,у) задачи (7), (13) в промежутке времени [Т ,Т + л].

Очевидно, при г е [Т, Т + л]

г

х(г) = еМ (г-Т) х(Т) + | еМ (г - 5) Ь( х( 5 - л))Ж. (15)

Т

Обозначим через 8т норму 11 х(г)|С[Т-Г|Т] . Переходя в (15) к нормам, имеем

I I х(г) 11< еЛ(М)(г-Т) 11 х(Т) 11 +1еЛ(М)(г-5) 11 Ь(х(5 - л))Ш5 11<

Т

< еЛ (М )(г-Т > 8т + р8Т |еЛ( М » - 5) ск.

т

Тогда

ґ " А(м )л

-в

| | х(Т + л) 11 < (вЛ(М)л +- -(і -

11 ' ^ |Л(М)|\

Будем считать выполненным условие

ч = вЛ(м)л н--—----(і -вЛ(м)л) < і. (16)

|Л(М)|1 I ' '

Выше было показано, что траектория х(і, у) не выходит из шара 5(0,8). Следовательно, ||х(Т + л)||<^8. Так как Т - произвольное значение

времени (Т > 2л), то неравенство || x(t)||< q5 справедливо при tе [T,T + л]. Следовательно 5т+л < qS.

Аналогично можно показать, что 5т+2^ < qS. Продолжая этот процесс,

имеем max(5т+зл,5т+4л )< q25 и т.Д., max(5т+2и+ь5т+2n+2 )< q”5 Отсюда следует, что

lim || x(t) ||= 0.

t

Таким образом, доказано следующее утверждение.

Теорема 1.4. Пусть выполнены условия (8) и (16). Тогда тривиальное решение уравнения (7) асимптотически устойчиво.

Для конструирования асимптотической импульсной стабилизации систем дифференциальных уравнений с запаздыванием понадобится критерий асимптотической устойчивости систем дифференциальных уравнений с запаздыванием, включающих линейный оператор, зависящий от времени. Рассмотрим в банаховом пространстве X уравнение

^ = J (t) x(t) + L(t, x(t -л)), (17)

dt

где J (t) - линейный, кусочно-постоянный оператор, у которого длительность интервалов постоянства кратна л: J(t) = const при кл<t < (к + 1)л,

к = 0,1,...

Будем считать выполненными следующие условия:

|| L(t,x) ||< Рк I |x 11, A(J(t)) <-«к, tе[кл,(к + 1)л), к = 0,1,...; (18)

Рк - а к <0, е~акл + Рк- (1-e _“кл )< q <1, к = 0,1,.. (19)

«к

Теорема 1.5. Пусть выполнены условия (18), (19). Тогда тривиальное решение уравнения (17) асимптотически устойчиво.

Доказательство. Исследуем устойчивость тривиального решения уравнения (17). Дадим функции x(t) возмущение

x(t) = y(t), - л < t <0, || y(t)||С[-л,0] = 5, (20)

тогда

x(0) = у(0) = x0, || x0 ||< 5. (21)

Из теоремы 1.1 следует, что при выполнении условий (18) траектория x(t, у) решения уравнения (17) при условиях (20), (21) не выходит из шара 5(0,5).

При t е[кл,(к + 1)л) имеем

t

x(t) = eJ(кл)(г-кл)x(kл) + \eJ(кл)(г-s)L(s, x(s - ^)ds.

кл

Так как функция x(t) непрерывна, то из предыдущего уравнения имеем

(к+1)л

x(^ + 1)л) = eJ(кл)л x(kл) + J eJ(kл)(t-s)L(s, x(s - л))ds . (22)

кл

Обозначив sup | x(t) | через 5к и переходя к нормам, имеем (к-1)л<Г <кл

(к+1)л

5к+1 < e «кл5к +рк (тах(5к,5к-1) J e «к(( +1)л s ds =

кл

Л

= (тах(8к,§k_i)))е “кЛ + “к---е “кЛ) <q(max(8k,ViX

где qk = е" “к Л+-^- -- е" “к Л)< q “і, \ /

«к

Тогда || х((2п + 2)л)||< яп || х0 || и, следовательно, Нт || х(п^)||=0.

п——^

Асимптотическая устойчивость тривиального решения уравнения (17) следует из непрерывности решения.

2. Проблема Брокетта

В данном разделе критерии асимптотической устойчивости решений уравнений с запаздыванием применяются к решению проблемы Брокетта.

Предварительно рассмотрим систему уравнений

^ = адх(0, х е я«. (23)

ш

Будем говорить [10], что п х п матрица ) принадлежит классу S, если тривиальное решение системы уравнений (23) устойчиво в целом.

Частным случаем класса S является класс «1.

Будем говорить, что п х п матрица ) с непрерывными элементами принадлежит классу «1, если при любом ^(0 < ^ < ^) ее логарифмическая норма отрицательна и АБ^) < -а, а > 0.

Исследуем устойчивость решения системы уравнений (5) в предположении, что матрицы Б(^) и С(^) необратимы. Пусть || Л(^, х) 11<Р ||х 11. Обозначим через Б^) матрицу п х п такую, что А(Б^)) = -у(^), где ) > 0 при каждом значении ^^ е [0, ^). Очевидно, что существует бесконечное множество пх п матриц с таким свойством.

Положим

Б(1) К (I )С (I) = Б(1). (24)

Обозначим через Б- 1 (^) полуобратную матрицу для п х т матрицы Б(I). Полуобратная матрица вводится формулой Б(I) = Б(¿) Б(-1(г1) Б(^).

В книге [16] показано, что полуобратные матрицы всегда существуют, но определяются неединственным способом. Каждой матрице размера п х т можно поставить в соответствие ее левые и правые аннулирующие матрицы

Б-V) = 1п-Б(г)Б(-1(0, Б-^) = /т-Б0"1(^)Б^). Здесь 1п и 1т - единичные матрицы размера п хп и т х т соответственно.

Очевидно, если существует матрица К(^), являющаяся решением уравнения (24), то при выполнении условий теоремы 2.3 она осуществляет стабилизацию системы уравнений (5) к тривиальному решению.

Теорема 2.1. Пусть Б- 1(^) и С- 1(^) - полуобратные матрицы для матриц Б(0 и С^). Пусть || Ь(х)||<Р|| х ||. Пусть существует матрица О(^) е «1 с логарифмической нормой, удовлетворяющей неравенствам А(О) + Р<0. Для того чтобы существовала стабилизация класса «1, необходимо и достаточно, чтобы для матрицы О(^) выполнялись равенства

БЦ) Б0-1(0 Б(Г ) = Б(Г),

Б(( )С0-1( ()С (Г ) = Б(().

Тогда матрица К( ¿) = Б0 1( ¿)О( ОС 1( ¿) осуществляет стабилизацию системы (5) относительно тривиального решения.

Доказательство. Необходимость. Пусть существуют матрицы К(¿) и О(0, дающие стабилизацию системы уравнений (5). Тогда умножая

уравнение (24) на Б-1 ( ¿), имеем

Б( t) Б-1( t) О( t) = О( о.

Умножая уравнение (24) на С г 1( ¿), имеем

Б( ос-1( ос ( о = Б( о.

Необходимость доказана.

Докажем достаточность условий теоремы. Пусть выполнены условия

О( 0 = Б( 0Бд1 ( 0О(0, Б( 0 = О( ОС-1 ( ОС( 0. (25)

Нужно показать, что существует матрица К( 0 такая, что выполняется

равенство (24). Полагая К ( 0 = Б-1(0 О(0 С(-1(0 и используя равенства (25), превращаем (24) в тождество.

Теорема доказана.

Рассмотрим условия, при которых возможно найти матрицу К( 0, реализующую асимптотическую устойчивость решения уравнения (5) к нулю. Согласно формулировке проблемы Брокетта требуется именно асимптотическая устойчивость. Вначале рассмотрим систему уравнений

Шх(1 = Л(х(t - л)) + БК( 0Сх( 0, х е Яп, (26)

где Л(х) = (а1(х),...,Оп (х))Т; Б = {6у}, I = 1,...,п, ] = 1,...,т, С = {,■,},

/ = 1,..., I, j = 1,..., п, - матрицы с постоянными коэффициентами;

К (^ = {ку ^)}, I = 1,..., т, j = 1,..., I, | |Л( х) | |<Р | |х 11.

По аналогии с доказательством теоремы 1.5 доказываются следующие утверждения.

Теорема 2.2. Пусть Б-1 и С-1 - полуобратные матрицы для матриц Б и С соответственно. Пусть существует матрица ) е «1 с логарифмической

нормой, удовлетворяющей неравенствам

А(О) + р < 0, Ре|А(°)|л <| А(О) |. (27)

Для того чтобы существовала асимптотическая стабилизация к нулю решения системы (26) необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия

ББ-1Б = О, БС-1С = О.

Тогда матрица К = Б0 ^С- 1 осуществляет асимптотическую

стабилизацию системы уравнений (26) к тривиальному решению.

Теорема 2.3. Пусть Б-1 и С-1 - полуобратные матрицы для матриц Б и С соответственно. Пусть существует матрица Ое «1, логарифмическая норма которой удовлетворяет неравенствам

А(О) < 0, е|А(О)|л + —Р—(1 - е|А(О)|л) <1. (28)

| А( О)| V I

Для того чтобы существовала асимптотическая стабилизация к нулю решения системы (26) необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства

ББ0"1О = О, ОС-1С = О.

Тогда матрица К = Б0 ^С- 1 осуществляет асимптотическую стабилизацию системы уравнений (26) к тривиальному решению.

В случае, если неравенство (27) (или неравенство (28)) выполняется не для одной матрицы О, возможна импульсная асимптотическая стабилизация к нулю решения системы уравнений (26).

Воспользовавшись утверждением теоремы 1.5 и повторяя рассуждения, приведшие к теоремам 2.2, 2.3, приходим к следующим утверждениям.

Теорема 2.4. Пусть Б- 1 и С- 1 - полуобратные матрицы для матриц Б и С соответственно. Пусть существует кусочно-постоянная матрица )() = Ок при tе [кл, (к + 1)л), к = 0,...,) )е «1 с логарифмической

нормой, удовлетворяющей неравенствам

А(О)<0, А(О) + Р <0, Ре|А(О)|л <| А(О)|.

Для того чтобы существовала асимптотическая импульсная стабилизация класса «1, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства

BB-1D(t) = D(t), D(t)С-1С = D(t).

Тогда матрица K(t) = Bq 1D(tCq1 осуществляет асимптотическую стабилизацию системы уравнений (26) к тривиальному решению.

Теорема 2.5. Пусть В-1 и Cq1 - полуобратные матрицы для матриц В и С соответственно. Пусть существует кусочно-постоянная матрица D(t)(D(t) = Dk при t e[k^,(k + 1)л), k = Q,...,) D(t) е Si с логарифмической нормой, удовлетворяющей неравенствам

Л(D(t)) + Р < -а, а > Q, е|Л(D(t))|л +----Ёе|Л(D(t»h]< q <i.

| Л( D(t ))|\ /

Для того чтобы существовала асимптотическая импульсная стабилизация класса , необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства

BB-1D(t) = D(t), D(t)CQ1C = D(t).

Тогда матрица K(t) = Bq 1D(t)Cq 1 осуществляет асимптотическую стабилизацию системы уравнений (26) к тривиальному решению.

Список литературы

1. Brockett, R. A. Stabilization Problems / R. A. Brockett // Open Problems in Mathematical Systems and Control Theory, Springer. - 1999. - P. 75-78.

2. Леонов, Г. А. Стабилизационная проблема Брокетта / Г. А. Леонов // АиТ. -2QQ1. - № 5. - С. 19Q-193.

3. Леонов, Г. А. Методы стабилизации линейных управляемых систем / Г. А. Леонов, М. М. Шумафов. - СПб. : Изд-во СПб. гос. ун-та, 2QQ2. - 3Q8 с.

4. Aeyels, D. Pole assignment for linear time-invariant systems by periodic memoryless output feedback / D. Aeyels, J. L. Willems // Automatica. - 1992. - № 28 (6). -P. 1159-1168.

5. Леонов, Г. А. Проблема Брокетта для линейных дискретных систем уравнений / Г. А. Леонов // АиТ. - 2QQ2. - № 5. - C. 92-96.

6. Artstein, Z. State nullification by memoryless output feedback / Z. Artstein, G. Weiss // Mathematics of Control Signals, and Systems. - 2QQ5. - V. 17. - P. 38-56.

7. Allwright, J. C. A note on asymptotic stabilization of linear systems by periodic, piece - wise constant output feedback / J. C. Allwright, A. Astolfi, H. P. Wong // Automatica. - V. 41 (2). - 2QQ5. - P. 339-344.

8. Бойков, И. В. К стабилизационной проблеме Брокетта / И. В. Бойков // АиТ. -

2QQ5. № 5. С. 76-82.

9. Boykov, I. V. An Stabilization Problem for Partial Differential Equations / I. V. Boykov // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Серия. «Естественные науки». - 2QQ5. - С. 3-15.

1Q. Бойков, И. В. Устойчивость решений дифференциальных уравнений / И. В. Бойков. Пенза : Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2QQ8. 244 с.

11. Insperger, T. Act- and-wait control concept for discrete-time systems with feedback delay / T. Insperger, G. Stepan // IEE Proceeding Control Theory Applications. 2QQ7. V. 1 (3). P. 553-557.

12. Insperger, T. Brockett problem for systems with feedback delay / T. Insperger, G. Stepan // Proceeding of the 17-th World Congress. The International Federation of Automatic Control. - Seoul, Korea, 2QQ8. - P. 11491-11496.

13. Далецкий, Ю. Л. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / Ю. Л. Далецкий, М. Г. Крейн. - М. : Наука, 1970. - 534 с.

14. Деккер, К. Устойчивость методов Рунге-Кутты для жестких нелинейных дифференциальных уравнений / К. Деккер, Я. Вербер. - М. : Мир, 1988. - 334 с.

15. Бойков, И. В. Об одном критерии устойчивости решения нелинейных дифференциальных уравнений с последействием / И. В. Бойков // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. -

2011. - № 1 (17). - С. 58-68.

16. Соболев, С. Л. Введение в теорию кубатурных формул / С. Л. Соболев. - М. : наука, 1974. - 808 с.

университет E-mail: [email protected]

УДК 518.5 Бойков, И. В.

Проблема Брокетта для систем нелинейных дифференциальных уравнений с запаздыванием / И. В. Бойков // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2011. -

Бойков Илья Владимирович

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей и прикладной математики, Пензенский государственный

Boykov Ilya Vladimirovich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of sub-department of higher and applied mathematics,

Penza State University

№ 4 (20). - С. 3-13.