Управление состоянием готовности системы безопасности к отражению угрозы Текст научной статьи по специальности «Математика»

БарановН.А., Северцев Н.А.

Вычислительный центр им. А.А.Дородницына РАН, Россия, Москва

УПРАВЛЕНИЕ СОСТОЯНИЕМ ГОТОВНОСТИ СИСТЕМЫ БЕЗОПАСНОСТИ К ОТРАЖЕНИЮ УГРОЗЫ

Функционирование многих объектов сопряжено с риском неблагоприятных внешних воздействий, для минимизации которого создаются подсистемы обеспечения безопасности объекта [1].

Поддержание системы безопасности в состоянии постоянной готовности к отражению внешней угрозы требует с одной стороны определенных материальных затрат, а с другой - снижает эффективность функционирования объекта по его основному целевому назначению. Поэтому в зависимости от ожидаемого времени неблагоприятного внешнего воздействия система безопасности может находиться в различных состояниях готовности.

Перевод системы безопасности в состояние готовности характеризуется определенной длительностью, которая в общем случае является случайной величиной.

С другой стороны, ожидаемое время возникновения внешней угрозы также является, как правило, случайной величиной. Кроме того, внешнее воздействие и противодействие ему не являются мгновенными событиями, а также представляют собой некоторые процессы, развивающиеся во времени.Однако во многих работах, посвященных исследованию проблем безопасности и риска, временные факторы не учитываются, и анализ ведется на уровне событий [1 - 3].

Здесь мы рассмотрим подход к решению задачи управления готовностью системы безопасности к отражению угрозы на частном примере, предполагая, что время внешнего воздействия является известной величиной. В основе излагаемого подхода лежат оценки рисков опасных внешних воздействий с учетом длительности процессов подготовки системы безопасности, длительности воздействия внешней угрозы и противодействия ей, а также соотношения затрат на поддержание ее готовности и уровня ущерба от реализации неблагоприятного внешнего воздействия [4- б] .

Примем допущение, что реализация внешней угрозы происходит не мгновенно, а в течение некоторого случайного времени td .

Отражение внешней угрозы осуществляется подсистемой безопасности, которой в случае ее готовности на реализацию мероприятий по противодействию внешнему воздействию необходимо некоторое время tb , которое также является случайной величиной.Если в момент возникновения угрозы подсистема безопасностине была приведена в состояние готовности, то ее приведение в состояниеготовности к отражению угрозы осуществляется за случайное время ta .

Будем предполагать, что все времена td , tb , ta имеют показательный закон распределения с параметрами l , Л , Л соответственно.

Если во время воздействия внешней угрозы подсистема безопасности успела выполнить всю совокупность мероприятий по отражению внешнего воздействия, то с вероятностью q внешняя угроза будет успешна отражена.

Вероятность отражения угрозы определяется условием, что завершение мероприятий по отражению угрозы произошло раньше, чем реализация воздействия внешней угрозы. Если 9(t) - вероятность того, что система безопасности завершит выполнение мероприятий по отражению угрозыза время t, а f(t)-вероятность того, что время реализации внешней угрозы больше t, то вероятность отражения угрозы будет определяться соотношением вида

q = qfq'(t)f(t) dt.

0

Используя данное соотношение и принимая во внимание допущение о показательном законе распределения времен td , tb , ta , можем вычислить в явном виде вероятности отражения угрозы.

В случае если подсистема безопасности в момент возникновения угрозы находилась в состоянии готовности, то вероятность отражения угрозы будет равна

9i = q f exp (-VR exp (-V) dt = q Л .

0 ЛЬ + 1d

Если система безопасности не была приведена в готовность, то после возникновения угрозы будет потрачено некоторое время ta на ее подготовку и только после этого она начнет осуществлять противодействие внешней угрозе.

Вероятность того, что за время t подсистема безопасности будет приведена в состояние готовности и успеет выполнить мероприятия по отражению угрозы, равна t

p (t) = f p'(t)9(t -t) dt ,

0

где p(t) - вероятность того, что к моменту времени t подсистема безопасности будет приведена в состояние готовности, а q(t - t) -вероятность того, что за оставшееся время она успеет выполнить всю совокупность мероприятий по отражению внешней угрозы. Тогда для вероятности p (t) имеем t

p,(t) = f exp (-lat) la (1 - exp (-lb (t - t))) dt =

0

A

= 1 + Л -\(Xb exp (-1at )-1a exp (-Abt)) .

Следовательно, вероятность отражения угрозы в случае, если приведена в состояние готовности, будет равна

ЛЛ

qo = q

1 - f exp (-Idt) Id (1 -p(t)) dt I = q

o ) 1d + 1a 1d +Л

Предположим, что поддержание системы безопасности в состоянии

трат, которые измеряются величиной zc

равной величине затрат

подсистема безопасности не была

готовности требует некоторых зав единицу времени, выраженных в

ценах на момент начала эксплуатации системы.

Производительность объекта, который защищает подсистема безопасности от внешних воздействий, измеряется величиной w0 , если система безопасности не приведена в состояние готовности, и величиной w в противном случае. При этом выполняется условие

w, £ w0 ,

т.е. поддержание системы безопасности в состоянии готовности не только сопряжено с определенными затратами, но и снижает производительность защищаемого объекта.

Будем предполагать, что если подсистеме безопасности отразить внешнюю угрозу не удалось, то это приводит к ущербу do . Все величины Wo , w, , do выражены в ценах на момент начала эксплуатации

системы.

Если уровень инфляции в течение времени эксплуатации системы постоянен и равен г, а коэффициент дисконтирования равен i [7], то для произвольного момента времени t > 0 показателя производительности, ущерба и затрат, приведенные к моменту времени t = 0 , соответствующему моменту начала эксплуатации системы, будут соответственно равны

d (t) = d0g , Z(t) = Z0g , wn (t) = wn0g , ws (t) = ws0g

где

g =

1 + r 1 + i

Пусть ожидаемое время возникновения внешней угрозы равно T.

Рассмотрим задачу:

- при каком значении времени Твозникновения угрозы целесообразно привести систему безопасности в состояние готовности с точки зрения эффективности функционирования защищаемого объекта.

Здесь под эффективностью функционирования объекта могут пониматься показатели двух видов:

- величина ожидаемого риска внешней угрозы R (T) ;

я W (T )/R (T) суммарной прибыли от функционирования объекта W (T) и ожидае-

- величина отношения^

мого риска R (T ) .

Вычислим значения ожидаемого риска внешней угрозы с учетом затрат на поддержание системы безопасности в готовности. Кроме того, вычислим суммарной прибыли от функционирования объекта на интервале времени [0,T] , предполагая, что в условиях внешнего воздействия объект прекращает функ-

ционирование в соответствии со своим целевым назначением.

В случае если система безопасности не была приведена в состояние готовности, то величина ожидаемого риска R0 (T ) и суммарной прибыли W0 (T ) будут равны

W0 (T ) = w0j /dt = w0 g-1 , R0 (T ) = d0 (1 _ q0)/ .

0 jn g

В случае если система безопасности на интервале времени [0,T] находилась в состоянии готовно-

сти, то ожидаемый риск R1 (T) и суммарная прибыль W1 (T ) будут равны

w1 (t )=w1 j gdt=w1l\ngg~, R1 (T)=z0 mg-+d0 (1 _ q^.

С точки зрения минимального риска время приведения системы безопасности в состояние готовности определяется из условия

R1 (T ) = R0 (T ) ,

откуда получаем

TR = _ jng'n j1 _jn (q1 _ q0)}.

Если в качестве критерия рассматривать марной прибыли к ожидаемому риску

max

W (T)

R (T),

эффективности функционирования объекта отношение

сум-

то время приведения системы безопасности в состояние готовности определяется из условия

w1 (t ) = w 0 (T)

R (t ) R0 (t ) ,

откуда получаем

w R1 (T ) = R0 (T ) .

w.1

Следовательно,

tWi r=_ igln +ln gdi i1 _ q1 _ w0(1 _ q0) .

В частном случае, g= 1 имеем

T* = (q _q) T* = w(1 _q0)_w0(1 _q) z0 Z0 w0

Поскольку w| < w0 , q0 < 1 , то можно показать

что

Действительно,

(л w ^ . w-

q0 I 1 _— I < 1 _ — I w0 ) w0

TWIR < TR .

имеем

откуда

W1 W1 Яо < Яо — +1 - — , Wo Wo

следовательно,

W1 (. W1 ' 1 W1

Я1 - Яо > Я1 - Яо~ - |1 —1

1 o 1 o Wo 1 W0, 1 Wo

wi(1 - Яо)- wo (1 ~ я) Wo

что и доказывает неравенство T^/r <TR .

В качестве примера на рис. 1, 2 представлены зависимости показателей риска и соотношения «прибыль - риск» для различных случаев готовности подсистемы безопасности к отражению внешней угрозы как функции ожидаемого времени возникновения угрозы. Представленные зависимости рассчитаны для

случая g = 1

Рис. 1 - Зависимость риска от ожидаемого времени возникновения внешней угрозы

Рис. 2 - Зависимость показателя «прибыль - риск» от ожидаемого времени возникновения внешней угрозы

Работа выполняется при финансовой поддержке РФФИ (проект № 10-07-00381) и программы фундаментальных исследований ОМН РАН № 3.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ильичев А.В. Начало системной безопасности. /М.: Научный мир. 2003.

2. Катулев А.Н., Северцев Н.А. Исследование операций. Принципы принятия решений и обеспечения безопасности. /М.: Физико-математическая литература. 2000.

3. Северцев Н.А., Дедков В.К. Системный анализ и моделирование безопасности./М.: Высшая школа. 2006 .

4. Баранов Н.А., Васильев И.В., Полянский В.В., Семенов И.М. Марковские модели для оценки показателей безопасности функционирования сложных авиационных систем. // Вестник Московского авиационного института. 2011. Т. 18. № 5. С. 5-12.

5. Баранов Н.А., Васильев И.В. Модель динамики риска с учетом возможностей системы по идентификации опасных внешних воздействий. // Нелинейный мир. 2011. Т. 9. № 12. С. 801-806.

6. BaranovN.A. OptimizationoftheSafetyCostforTechnicalSystemsbytheCriterionofMinimumRisk.

//Europeanresearcher = Европейскийисследователь. 2011. Т. 1. № 5. С. 488-490.

7. Виленский П.Л., Лившиц В.Н., Смоляк С.А. Оценка эффективности инвестиционных проектов. Теория и практика. М.: Дело, 2008.