Управление подвижными объектами в априори неформализованных средах Текст научной статьи по специальности «Физика»

Раздел I. Системы управления

УДК 681.511.4

В.Х. Пшихопов

УПРАВЛЕНИЕ ПОДВИЖНЫМИ ОБЪЕКТАМИ В АПРИОРИ НЕФОРМАЛИЗОВАННЫХ СРЕДАХ*

Введение

Решению задач организации движения подвижных объектов (ПО) в априори неформализованных средах посвящен ряд работ отечественных [1, 2, 3] и зарубежных [4, 5, 6] авторов. Предлагаемые решения реализуются как в классе интеллектуальных систем планирования перемещений (стратегический уровень) и управле-

,

управления ПО. Например, в работах, базирующихся на положениях работы [4], предлагаются алгоритмы формирования управляющих воздействий, предполагающие предварительное планирование траекторий движения ПО, что не всегда возможно в условиях непредсказуемой неопределенности среды [1] и вычисление двух составляющих закона управления: стабилизирующей траекторию движения

. [5] , -

ложенная в основу метода достоверных решеток, требует картографирования локальной области функционирования ПО, что предъявляет дополнительные требования к организации сенсорной системы объекта. Алгоритмы формирования управляющих воздействий, представленные в [7], также предполагают предварительное картографирование области функционирования ПО и определение габаритов и параметров движения препятствий.

, -дов к формированию управлений тактического уровня, с нашей точки зрения, заключаются в следующем: в необходимости предварительного планирования траектории или картографирования области функционирования ПО, что налагает существенные ограничения на движение объектов в априори неформализованных средах; в недостаточной проработанности процедур согласования стратегических уровней планирования и тактических уровней управления; в необходимости дополнительной информации о геометрии, фазовых координатах объекта управления и т.д.

В настоящей работе, на основе результатов, полученных автором в [8, 9, 10], предлагается подход к реализации тактического уровня управления ПО, функционирующими в априори неформализованных средах, с привлечением третьей теоремы Ляпунова (теоремы о неустойчивости) [11, 12], что позволяет формировать управляющие воздействия в реальном времени без использования интеллектуальных технологий и при минимальных требованиях к сенсорному обеспечению ПО.

Математическая модель ПО и постановка задачи

Пусть модель динамики ПО и его кинематические свойства описываются системой следующих дифференциальных уравнений [4]:

(1)

(2)

(3)

где X - т-вектор внутренних координат; M - (т*т)-матрица массо-инерционных параметров, элементами которой являются масса, моменты инерции, присоединенные массы ПО; Ри (X,7,3,1) - т-вектор управляющих сил и моментов, здесь I - вектор конструктивных параметров,; ^ (X,7,1) - т-вектор нелинейных элементов динамики ПО; Ру - т-вектор измеряемых и неизмеряемых внешних возмущений; 3 - т-вектор управляемых координат (углы отклонения рулей, рычагов управления тягой двигателя и т.п.); К - (т*т)-матрица коэффициентов управления; и - т-вектор управляющих воздействий; 7 = (Р, 0) - я-вектор положения

Р и ориентации 0 связанной системы координат относительно базовой, я < 6; 2(0, X) - я-вектор кинематических связей; Ър (0, X) -у-вектор линейных

скоростей связанной системы координат относительно базовой; ^0 (0, X) -

(я-у)-вектор угловых скоростей связанной системы координат относительно ба.

Следует отметить, что моделью (1)-(3) описывается достаточно широкий класс подвижных объектов: летательные аппараты, колесные тележки, воздухоплавательные комплексы и т.д.

, -ционарные препятствия /7,- , известны координаты (х, у, 2) характерной точки ПО в базовой системе координат, а также заданы координаты целевой точки Af (хА, уА, 2а) в той же системе координат. В общем случае точка Af может быть нестационарной. Предположим также, что сенсорная система объекта позволяет определить кратчайшие расстояния Яс , с = 1, к от характерной точки ПО (например, центр связанной системы координат) до ближайших точек, принадлежащих одному или нескольким препятствиям П, находящихся в зоне действия сенсора.

Постановка задачи заключается в следующем: для ПО, описываемого системой уравнений (1), (3), необходимо синтезировать такой закон формирования управляющих воздействий ¥и (Р, X) и алгоритм функционирования тактического уровня системы управления, которые обеспечивали бы перемещение объекта из произвольной точки (х0, у0, 20) в заданную целевую точку Af (хА, уА, хА) (в случае необходимости могут задаваться и требования к желаемой ориентации ПО в точке А-), с выполнением условий:

где к - количество ближайших точек, принадлежащих одному или нескольким

;

Я - константа, задающая допустимое кратчайшее расстояние от характерной точки ПО до любого из препятствий П).

В отличие от постановки задач, сформулированных в [9, 10], в данном случае для организации движения ПО не требуются значения скорости и ускорения, с которыми перемещаются препятствия П, на число препятствий и характер их движе-

Яс > Я, с = 1, к ,

(4)

ния не накладываются никакие ограничения и не требуется определение координат каких-либо характерных точек. То есть мы расширяем представление о препятствиях до геометрически сложной фигуры, не вдаваясь в ее геометрические характеристики, а зная только расстояние Яс.

Синтез управляющих воздействий

Как показано в работе [10], все множество требований к установившемуся режиму движения ПО в пространстве ЯпУ'п базовых координат У и скоростей У , в общем случае может быть представлено в виде вектор-функции *¥ базовых координат и углов ориентации, а также их производных вида:

¥ = ¥* + ЛЧск = 0,

Т =

т tr

N (P, t) PTAa(t) P + An(t) P + Ai3 (t)

Ф( P, 0, t) 0j (P, 0, t)

= 0, i = 1, v, j = 1,,,

N(v) =4 (PTAvi (t)P + Av2 (t)P + Av3 (t)),

V = (o

-V *2),

o,

J. =

dN

ov-i , 4V * „ ^

= JsY+Jt +V = 0, dimTtr = dimTcr = v+,= m, dN

(5)

ЭPT

ЭФ

Э0Т

дФ

dP Э0Т

1 JN0

J0P J00

2PTAa(t) + A2(t) 0 ЭФ ,■ ЭФ ,■

Jt =

ЭPІ Э0Т

(PT Aii(t) + Ai2(t ))P + Ai3 ЭФ j (P, 0, t)

dim Js = (m X n),

A =

Эt

A

0

0 A,

Ф

где A - блочная диагональная матрица коэффициентов, dim A = (mxm); Аф - (j-t^fj,)-матрица коэффициентов, определяющих характер переходных процессов по углам ориентации ПО, здесь /л - размерность вектора Ф ^ , задающего

требования к углам ориентации ПО; А - диагональная (уху)-матрица, определяющая характер движения ПО относительно траекторного многообразия , здесь v - размерность пространства функционирования ПО; Ау - матрицы коэффициентов соответствующей размерности, формируемые планировщиками перемещений на основе данных сенсорных систем и определяющие вид нестационарной траектории; Aj - матрица производных по времени элементов матрицы Aj или оценок их скорости изменения; Ф ^ - дважды дифференцируемая функция своих

аргументов, отражающая требования к углам ориентации ПО; - параметр, при-

нимающий значение 0 (для позиционной задачи) или 1 (для случая движения с за-

данной скоростью); V, V - скорость ПО и ее желаемое значение; 0у-1,0 ц - векторы нулевых элементов размерности V - 1 и /л соответственно.

При управлении ПО на плоскости, У = (х у а)Т V = 2, I = 1, здесь х, у, а - координаты положения и угол ориентации ПО. В зависимости от конкретной задачи, многообразия (5) задаются в следующем виде:

♦ движение вдоль прямой у = кх+Ь , проходящей через две стационарные точки (х0, у0) и (х^ уО, с постоянной скоростью V*:

А12 = (- к ^ А13 = Ь, А11 = А21 = 0, А22 = 0, А23 = 0,

- к 1 0

0 0 0

г = (0 , (V2 - V*2)), Js =

(6а)

, у г - У0 ь

здесь к =---------------, Ь = у0 - х0к;

хГ - х0

♦ поворот на заданный угол а при движении с заданной скоростью V*:

Фх = а-а\ V = ((2 -V*2) , 0)

0 0 0 0 0 1

(66)

♦ выход в стационарную точку (хй у^ с нулевой скоростью:

А11 = А21 = 0, А12 = (1 0), А22 = (0 1), А13 =-х/, А23 =-у/,

V = 0, 3,

1 0 0 0 1 0

(6 )

♦ движение вдоль траектории, проходящей через две нестационарные точки (хо(1;), у0(ф и (х$), у^)), с постоянной скоростью V*:

А12 = (- к(х) 1), А13 = Ь(хX А11 = А21 = 0 А22 = 0, А23 = 0

Г = (0 , (V2 - V*2)), )

= 1 0 , 3г = - к&(Х)х + у - Ь(Х)

я 0 0 0 ’ х 0

. (6 )

В работах [8, 9, 10] были синтезированы законы формирования управляющих ( ), (5),

= -М (ЙК0)-1(ЙК1^0 + ^ + К3 + К4 (х)) + ^ (7)

К 0 = (331Рх + 3 031вх ), К1 = (331Р0 + 3 03 К 2 = (Т + А)Л + ТАГ я ,

К3 = А V + ¥хг, К4 = (Т + А)3х + 3х*, 3 = (3Р + 3у ),

JV = (0(v-

1)xv

2^Р °uxv) , JYAj =

dj

здесь i -{P, ©}, j -{x, 0},

Jp =

JNP J ФР

J 0 =

J

J

N0

0

2

jt (1, 1), jt (1, 2), jt (1, 3),

d 2Ф1 d 2Ф 2

dt

2

dt2

dt2

Jt (1,k) - ((+ (k2)( + 2(2PT Ak\ + Ak2)P + Ak3 ) =

где Г - первая производная по времени матрицы Js; A - вторая производная по

времени матрицы А или ее оценка; Fv - оценка вектора неопределенных сил и

моментов, T - диагональная, знакоопределенная матрица коэффициентов, определяющих характер переходных процессов, dim T - (mxm).

Матрица

T

имеет следующую структуру: T 0

T -

0T

Ф

где Тф - ^х^)-матрица коэффициентов, определяющих характер переходных процессов по углам ориентации ПО; Т - диагональная (уху)-матрица, определяющая характер движения ПО относительно траекторного многообразия . Причем при ^ = 1, элемент T(у, у) будет определять характер изменения траек-

торной скорости Vk в переходном режиме.

, -ниями кинематики (3), то говорят о синтезе алгоритма кинематического управления [13]. Вводя на m выходах регулятора дополнительные динамические звенья в виде интеграторов X = U, можно получить следующий алгоритм кинематического управления:

Fu =-M (~4Ko)"1(~4KiZ0 + K2Z + K3 + *4(0), (7a)

где функциональные матрицы* o, *1, K 2, K3, K 4 имеют тот же смысл, что и в

(7).

, (7 ) -

тов вектора внешних возмущений FV и вектора нелинейных элементов динамики Fd, что существенным образом сказывается на качестве отработки ПО заданий при больших скоростях и значительных внешних возмущениях.

Алгоритм (7) обеспечивает стабилизацию многообразий (6) при следующих

(7):

JP =

- к 1 0 0

J0= 0, Jt = 0, rs = 0.

(Sa)

О О 0

5 III о II о 0 , J0 - 1

1 0 0

Г, - 0, Jp - 0 1 , J0 - 0

J * = ° г

JP -

- к (О 0

J0 = 0,

- к (г) о о 0 0 0

Jt -

—к(г) х +—к (г) х+у—¿(г) 0

(86) (8в) . (8г)

Матрицы ./у,-,- и JF однозначно определяются по уравнениям (3) динамики конкретного ПО в соответствии с выражениями, представленными в (7).

Структурно-алгоритмическая реализация системы управления ПО

Основная идея предлагаемого подхода к структурно-адгоритмической реализации системы управления ПО заключается в использовании управляющих воздействий (6), стабилизирующих траектории (5) в зонах свободных от препятствий, и в применении третьей теоремы Ляпунова (теорема о неустойчивости) при нарушении неравенств (4), т.е. при нахождении ПО в зоне стационарных или нестационарных препятствий на расстояниях Яс, меньше допустимого значения Я.

,

зоне свободной от препятствий, когда соблюдаются неравенства (4) , или зоне, где эти условия не выполняются, предлагается организовывать такие режимы движения ПО, при которых планируемые траектории, задаваемые многообразиями (5), были бы устойчивыми в первом случае и неустойчивыми во втором.

В работах [14, 15] показано, что неравенства вида (4) могут быть представлены одним равенством, которое в настоящей работе предлагается формировать в следующем виде:

в-Ъ \ЯС — Я + 1 (Яс — Я), (9)

где ] - количество ближайших точек, находящихся в зоне действия сенсорной системы ПО и принадлежащих одному или нескольким препятствиям.

Очевидно, что при соблюдении всех неравенств (4) значение параметра в

(9) ,

(4) . , в .

В работе [9] показано, что устойчивый характер движения ПО вдоль траектории ¥гг обеспечивается при положительной определенности матриц Т и А. Соответственно при нарушении условий (4), одна из или обе матрицы Т и А должны быть отрицательно определенными. Без потери общности предположим, что

Т - А - diag , -1, V, где - некоторый функциональный параметр, задаюТ А .

С учетом вышеизложенного, элементы матриц Т и А предлагается задавать в виде следующей функции:

,0 - сотг > 0, при в - 0,

(10)

здесь 50 задает характер движения в свободной от препятствия зоне.

, -стью вида (10), мы обеспечиваем устойчивый характер движения ПО вдоль многообразия , за исключением областей, где нарушаются неравенства (4).

Поскольку в предлагаемой организации движения ПО предполагается переход из одного устойчивого состояния через неустойчивое движение в другое устойчивое состояние, то параметр в предлагается назвать бифуркационным.

Структурная схема замкнутой системы, реализующей предлагаемый алгоритм управления, представлена на рис.1 и включает в себя следующие элементы: блоки М , ^ , £(0, х), сумматор, интеграторы и связи, отражающие структуру объекта управления (1), (3); планировщик движений ПО (оператор, бортовая ЭВМ, нейросеть и т.п.), предназначенный для формирования коэффициентов многообразий

(5), (6) и элементов матриц Т и А ; датчики внутренних Dx и внешних Dy координат; блок Fu вычисления в соответствии с выражениями (7), (8) управляющих воздействий; датчик R определения расстояния до ближайших точек, находящихся в зоне действия сенсорной системы ПО и принадлежащих одному или нескольким препятствиям.

Рис. 1. Структурная схема замкнутой системны

Замкнутая система функционирует следующим образом. После инициализации системы управления блок R определяет расстояния Rc и вычисляет, в соответствии с выражением (9), значение бифуркационного параметра в, которое передается в планировщик для формирования элементов матриц Т и А.

Планировщик формирует вектор I параметров движения: координаты целевой точки Ас в общем случае нестационарной; элементы матриц Ац, определяющих требования к установившимся движениям ПО (в начальный момент, в случае отсутствия препятствий, элементы матриц Ац задают прямую, соединяющую начальное положение ПО с точкой Ас); желаемую скорость перемещения объекта V*; параметры определяемые в соответствии с выражением (10) и задающие характер движения ПО в переходных режимах; параметр £, характеризующий вид задачи

управления; и, в случае необходимости, векторы оценок I и Р'у конструктивных параметров и внешних возмущений [16].

Блок Fu, на основании параметров I, полученных от планировщика, в соответствии с выражением (7), (8а), формирует управляющие воздействия Fu, которые подаются на исполнительные механизмы ПО и обеспечивают его движение вдоль прямой, соединяющей начальное положение ПО с точкой Лс.

В случае нарушения условий (4), планировщик, в соответствии с выражением

(10), изменяет значение параметров б1 и ПО переходит в режим неустойчивого движения до обнуления бифуркационного параметра в , т^. выхода объекта в зо, .

После выхода в зону, свободную от препятствий, планировщик формирует элементы матриц А^ в выражении (66) и объект, в соответствии с управляющими , (7), (8 ),

п

выполнения условия а а -а< —, где аА, а - соответственно угол направления

на целевую точку Ас и текущее значение угла ориентации объекта. В случае равенства нулю бифуркационного параметра в планировщик формирует элементы матриц Ац, соответствующие прямой, соединяющей текущее положение ПО с точкой Аь , а блок Fu обеспечивает движение ПО вдоль вновь спланированной прямой. В противном случае, при в ^ 0, объект переходит в режим неустойчивого движения до обнуления бифуркационного параметра в .

, -ределения направления его движения вдоль вновь спланированной прямой. В случае использования иных процедур формирования требований к траекторией скорости V [3], этап разворота может быть исключен из предлагаемого алгоритма.

После выхода объекта в свободную от препятствий зону целевой точки М планировщик формирует элементы матриц Ау по выражениям (6в) или (6г), что соответствует управляющим воздействиям (7), (8в) или (7), (8г) соответственно.

Из описанного алгоритма функционирования системы управления ПО следуют ограничения на его использование: так, например, при целенаправленном блокировании перемещений объекта со стороны препятствий или других ПО объект может не выйти из режима неустойчивого движения; в случае, если препятствия имеют достаточно сложную форму, типа лабиринта, то поставленная перед объектом задача может быть не решена им в рамках предлагаемого алгоритма без ин-

, -нологий [17]; цель управления может быть не достигнута, если энерговооруженность ПО не соответствует динамике нестационарных препятствий и цели.

Основные преимущества предлагаемого в настоящей работе подхода заключаются в простоте его реализации и в том, что при организации обхода препятствий в априори неформализованной среде не требуется построение траекторий в , , среды, не всегда представляется возможным в реальном времени.

В описанном алгоритме могут быть использованы отличные от (7), (8) выражения для формирования управляющих воздействий, стабилизирующие спланированные траектории в свободной от препятствий области функционирования ПО.

Моделирование движения ПО

Моделирование движения ПО на базе колесной тележки, имеющей переднее рулевое колесо и два задних ведущих колеса, управляемых одним приводом в априори неформализованных средах, проведено с использованием изложенных выше процедур и пакета МаШаЪ 7.4. Математическая модель ПО представлена в [9].

(7) -

дующими выражениями:

=

г ереа - к г *а| ериа + к

и ре а й

и ре а й

г * шр

я(.) = біп(.), е(.) = соб(.),Р = (х у),0 = а, X = (а р) ,

где со - угловая скорость задних колес; /? - угол поворота рулевого колеса; а - угол ориентации продольной оси тележки относительно базовой системы координат; г , к, й, а, Ь1, Ь2 - конструктивные параметры.

Соответственно,

ЪР0

г *а\ - ериа-

г а ереа

ки ре а й

кириа

3

ЪРх

й

гереа -гериа +

00 = 0, 0х

кириа

ки ре а ~~й

г *ир г*аер

г а^- иреа -г*а\ - $р$а +

кериа

~~й

кереа

~~й

На рис. 2 представлены результаты моделирования движения ПО из начальной точки (0;0) к стационарной точке Ас (140; 140) в среде с выпуклыми препятствиями: а) траектории движения ПО при различном расположении и геометрии стационарных препятствий и б) графики изменения бифуркационного параметра в на траектории движения.

150

100

50

сО о>о м

с"о7!)"0" О о

о/О о о

150

100

50

150

100

50

50 100

х(1)

50

100

х(1)

50

100

Х(1)

150

оХ о о ... -О м

ЪУ* оЧо о <5 о

(р с э ° о

150

° с О ° / М

о ° ° / О о ) ^ 9 ^

к ^ ) о

150

б

Рис. 2. Результаты моделирования движения ПО к стационарной точке Ау в среде с выпуклыми препятствиями: а - траектории движения ПО; б - графики изменения бифуркационного параметра в на траектории движения

На рис. 3 приведены результаты моделирования движения ПО из начальной точки (30;30) к стационарным точкам Ас в среде с линейными препятствиями, со скоростью У=3 м/с и У=2 м/с (а) траектории движения и б) значения траекторией скорости ПО) Нижний рис. 3,а демонстрирует ограничение на использование предлагаемого подхода. Задача управления может быть успешно решена при придании планировщику интеллектуальных свойств.

а

500 400 300 ' 200 100 0

400

300

200

100

уМ

400 300 : 200 100

100 200 300 400 500

Х(1)

‘"■А Г

100 200 300 400

х(0

А1

100 200 300 400

Х(1)

а

4 3 и Е 2

1

'

1

0 50 100 150 200 250 ї,с

б

Рис. 3. Результаты моделирования движения ПО к стационарной точке Ау в среде с линейными препятствиями: а - траектории движения ПО; б - графики изменения траекторией скорости V

На рис. 4 представлены траектории движения ПО к целевой нестационарной точке в среде с различными вариантами размещения выпуклых препятствий. Причем целевая точка осуществляет равномерное прямолинейное движение из точки А0 в точку А{.

200

150

100

50

+ А0

> о ..А

ГО о с ° о с Л \ АТ

/ « О с о

200

150

100

50

200

150

100

50

50

100

150

х(1)

,А0

с, о * ° оО. \*

о о =

/о =

50

100

150

х(1)

.^АО-

о? ° !° / ез

-О— О'"

у

/ & СЭ ¡° 0

20 40 60 ВО

х(1)

100

200

150

100

50

,А0

с 0 \

\ат

с о о

у а о о о

200

150

100

50

50

100

150

Х(1)

АП

о ° ?г-

о О'-Ч О

о Ь,

'То о ° о

50

100

150

х(1)

Рис. 4. Траектории движения ПО к нестационарной точке Ау в среде с выпуклыми препятствиями

На рис. 5 представлены результаты моделирования движения ПО при организации его движения в целевую стационарную точку А{ (150, 150) в среде с нестационарными препятствиями, осуществляющими прямолинейное и равномер-. -

.

*0)

Рис. 5. Траектории движения ПО к стационарной точке Ау в среде с нестационарными препятствиями

Следует отметить, что предлагаемый подход не накладывает каких-либо, кроме энергетических, ограничений на характер движения целевой точки, препят-

, .

Представленные результаты моделирования движения ПО в различных априори неформализованных средах демонстрируют эффективность предлагаемого в работе подхода.

Заключение

Предложенный в работе подход к организации движений автономных мобильных объектов в априори неформализованных средах, основанный на введении бифуркационного параметра для формирования режимов неустойчивого движения при переходе из одного устойчивого состояния в другое, не требует привлечения

интеллектуальных технологий планирования и управления, предварительного картографирования, а также наличия сложной системы навигации. Представленные процедуры формирования управляющих воздействий и алгоритм функционирования тактического уровня системы управления позволяют организовать движение ПО в средах со стационарными и нестационарными целевыми точками и препятствиями различной формы.

Предложенные решения могут быть использованы при формировании автопилотов для колесных тележек, транспортных платформ на базе летательных и , .

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Интеллектуальные системы автоматического управления / Под ред. И.М. Макарова, В.М. Лохина. - М.: Физматлит, 2001. - 576 с.

2. Крутько П.Д., Осипов ПА. Кинематические алгоритмы управления движением транспортных систем мобильных роботов // Изв. РАН. Теория и системы управления. - 1999.

- №3. - С.153-160.

3. Бурдаков С.Ф, Мирошник КВ., Стельмаков Р.Э. Системы управления движением колесных роботов. - СПб.: Наука, 2001.

4. Khatib O. Real-Time Obstacle Avoidance for Manipulators and Mobile Robots. The Int. Journal of Robotics Researches, Vol. 5, №1, 1986. - P. 90-98.

5. Borenstein J., Koren Y. Real-time Obstacle Avoidance for Fast Mobile Robots. IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics, Vol. 19, No. 5, Sept./Oct. 1989. - P. 1179-1187.

6. Canudas de Wit, Khennouf C.H., Samson C. and Sordalen O.J. Nonlinear control design for mobile robots // Y. Zheng (ed.) Recent trends in mobile robots. 1993. World Scientific. -P. 121-156.

7. . . // . -

T.2. - 2004. - №4. - C. 239-249. "

8. . . , . ., . ., . .

для моделирования поведения адаптивных мобильных роботов с двухуровневой системой управления // «Мехатроника», - 2000. - №6. - С. 26-30.

9. . ..

препятствиями // «Мехатроника, автоматизация, управление», - 2008. - №2. - С. 34-41.

10. . . -

// . . -дачи управления. - Таганрог: Изд-во ТРТУ, - 2006. - № 3 (58). - С. 117 - 123.

11. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. - М.: Наука, 1967. - 472 с.

12. . . . - : - , 2000. - 386 с.

13. . ., . . -

// . . -

1999. - №3. - С. 153-160.

14. . . , , // -

. - 1980. - 1.

15. . . -

ния. - М: Энергия, 1971. - 112 с.

16. . ., . .

// - .

- 2006. - №1. - С.103-109.

17. . ., . . -

управления автономным мобильным роботом с нейросетевым планировщиком переме-// . « ». - : Изд-во ТРТУ. - 2004. - №3. - С.185-191.