CC BY
32
УДК 517.977+669.046
раздел МАТЕМАТИКА
УПРАВЛЕНИЕ НАГРЕВОМ ХРУПКИХ ТЕЛ ПРИ НАЛИЧИИ ОГРАНИЧЕНИИЙ НА ТЕРМОНАПРЯЖЕНИЯ И МАКСИМАЛЬНУЮ ТЕМПЕРАТУРУ
© Н. Д. Морозкин*, Н. Н. Морозкин
Башкирский государственный университет Россия, Республика Башкортостан, 450076 г. Уфа, ул. Заки Валиди, 32.
Тел./факс: +7 (347) 273 32 87.
E-mail: morozkin@bashedu.ru
Рассматривается одномерная задача оптимального наиточнейшего нагрева пластины с учетом ограничений на максимальную температуру и на сжимающие и растягивающие термонапряжения. Предполагается, что нагрев осесимметричный, а в качестве управления выступает температура внешней (греющей) среды. Учитывается нелинейная зависимость коэффициента теплопроводности от температуры. Все остальные теплофизические коэффициенты считаются постоянными. Предложен итерационный способ, основанный на сведении исходной нелинейной задачи к последовательности линейных задач оптимального управления, а также способ поиска управления, который позволяет за фиксированное время получить распределение температур в теле максимально близкое к заданному.
Ключевые слова: оптимизация, теплопроводность, нагрев, термонапряжения, интегральные преобразования, аппроксимация, оптимальное управление.
Введение
При высокотемпературном нагреве теплофизические параметры нагреваемых материалов (пределы прочности, коэффициент теплопроводности и др.) претерпевают значительные изменения. Так, например, коэффициент теплопроводности материала ЖС6У, используемый при высокотемпературной штамповке в диапазоне температур от 20 °С до 1000 °С изменятся в 2.8 раза, а пределы прочности на сжатие и растяжение в этом же диапазоне температур в 6 раз. Учет таких нелинейностей значительно усложняет задачу. Поэтому при исследовании задач оптимального нагрева с фазовыми ограничениями эти факторы, как правило, не учитываются, либо учитываются не в полной мере. Так, в работе [1] рассматриваются задачи одномерного нагрева с учетом сжимающих и растягивающих термонапряжений и линейной зависимости пределов прочности от температуры, в предположении, что все остальные механические и теплофизиче-ские коэффициенты постоянны. Решение задачи находится лишь в предположении, что оптимальный нагрев можно осуществить, двигаясь только по верхним границам наложенных ограничений.
В настоящей работе развивается подход, предложенный в работах [2, 3]. Исходная нелинейная задача с использованием метода последовательных приближений [4] сведена к итерационному процессу, где на каждом шаге решается задача, описываемая линейным уравнением параболического типа с линейными фазовыми ограничениями. Доказана сходимость решений задач, построенных таким образом, к решению исходной задачи в некоторой норме типа нормы ^210. Задача оптимального управления с фазовыми ограничениями и с линейным уравнением состояния решается с использованием метода условного градиента [3].
Постановка задачи
Процесс нагрева пластины внешними тепловыми источниками описывается следующими соотношениями
cp дт = д (¿(T ) дТ )
dt дх дх
x е (0, l), t е (0, t ), 0 < t < гс, T(х,0) = T0 = const, xе [0, l],
А(Т) = аШ~ T(l, t)), t
дх dT (0,t )
(1)
дх
- = 0,
(2)
е [0,t], (3) tе [0,t], (О
где T - температура (°С), t - время, c - коэффициент теплоемкости, р - плотность, X - коэффициент теплопроводности, l - толщина пластины, x - пространственная координата, а - коэффициент теплообмена, v(t ) - управление, v(t)е V, V = {v = v(t) v(t)е L2[0,i] + }.
Предположим, что в промежутке изменения температур [Tl, T2] функция A(T) положительна и имеет ограниченную производную по Т. Кроме того, предположим, что
0 <Я1<Л(Т) <Л2, VT е [Tj,T2] (5) При указанных условиях система уравнений (1)-(4) при каждом фиксированном v(t) е V имеет обобщенное решение из пространства V21,0(Qt- ) [5], где Qt = {(x,t): xе (0,l), tе (0,t)}.
По условию задачи недопустимо, чтобы нагреваемое тело в процессе нагрева получило бы необратимые деформации.
Задача термоупругости в квазистатической постановке и в предположении, что aT, E не зависят от температуры решается аналитически. Анализ термонапряжений показывает [1, 6], что в условиях рассматриваемой задачи растягивающие напряжения наибольших значений достигают на оси, а сжимающие - на поверхности нагреваемого тела. С
* автор, ответственный за переписку
ISSN 1998-4812
Вестник Башкирского университета. 2013. Т. 18. №1
5
учетом вышесказанного ограничения на термонапряжения можно записать в виде
(-т (0, Г)+1+3Г
1 -V
6Т l2
¡T (£ t №
(6)
l
(£t)d£) <a(T(0,t))
^\t (#, t)d#-l 0 6 Г l
\%T(#,t)d#) <a2(T(l,t))
l
^ (T (l, t) -1 - 3r 1 -V
(7)
Здесь аТ - коэффициент линейного расширения, Е - модуль упругости, V - коэффициент Пуассона, параметр Г е[0,1] характеризует степень защемления от поворота краев пластины, &(Т), <гс (Т)
- соответственно пределы прочности на растяжение и сжатие.
Кроме выполнения неравенств (6), и (7) потребуем выполнения ограничения на максимальную температуру в теле, которая в рассматриваемом случае внешнего нагрева достигается на поверхности
т (г, г )< тдоп (8)
Задача 1. При фиксированной длительности
нагрева г >0 найти управление
V0 (г)ёУ, г € [0, г0], обеспечивающее при всех
г € (0,1] выполнение неравенств (6)-(8) и минимизирующее функционал
l 2 I = }[t(x,t0,v0)-T(x)] dx,
(9)
на решениях системы (1)-(4). Здесь Т(х) заданное конечное распределение температур в теле.
Линеаризация Для решения поставленной задачи воспользуемся идеей метода последовательных приближений, изложенной в работе [4]. Пусть
Л0 = Ц+А2)/2. (10)
Системе уравнений (1)-(4) поставим в соответствие следующий итерационный процесс
cp
dTk +1 -Л 9 T+1
э
dt -Эх2 dx 1 (ЛТ> )-Я0) Tk+1 (x,0) = T0, xе [0, l],
Л0 dTxL ~a(v(t) - Tk+1(x, t)) L
T
dx
= (Л0 -Л(Т))
эт„
dT,
dx
dx
x=l = 0
(11) (12)
(13)
(14)
Решение задачи (1)-(4) будем искать как предел решений задач (11)-(14) в пространстве
W1^0 (й), где й, = {(х, г): х € (0,1), г € (0, г)}. Сходимость данного итерационного процесса показано в работе [2].
Переход в безразмерные переменные Запишем систему уравнений (11)-(14) и ограничения (6)-(7) в безразмерных единицах. Вводя обозначение й0 = Л)/ ср и безразмерные переменные
г = х, в = ат(Т -Т0), т = Ц-,
l
l2
u = ат (v - T0), u ~=aT (v T0), u + =aT (v + - T0),
(15)
a* = (1 -v)a1 / E,
a* = (1 - v)a2 / E, в°оп = aT (T0011 - T0) T = a0t /12, Bi = —, 6 = aT (T - T0)
получим
6 d%
дт dr2
Л0
Л(бк-1) -Л d6± Л J dr
rе (0,1), те (0,T) вк (r,0) = 0, r е [0,1],
dr
d6
= Bi(u(T) -вк (1, т)) +
dr
, Л0 -Л(6к-1) d6k-1
(16)
(17)
(18)
Л
д6„
dr
dr
= 0,
где u(t)
u{t)e U, U =
■ u(T) u(T)e
(19)
управление, \u +
{u = u(t) uT)e L2 [0,T], 0 < u" < u{t) < u+}
1
6k (0,т) + (1 + 3 Г )\вк (Z,T)d% +
0
1
6 Г \&k (£,т№<а*(вк (0,т)),
0
1
вк (1,т) - (1 - 3Г )}6k (£,тЩ-
— <
+ (
(20)
(21)
1
6 Г ¡6 (%,тЩ<а2(вк (1,т)),
Ограничения на максимальную температуру соответственно будут иметь вид
вк (1, т) <вдоп (22)
Конечномерная аппроксимация
Воспользовавшись конечным интегральным преобразованием Фурье
1
вР (ц,т) = ¡в(г,т)со&(рг)&, (23)
0
r=1
r=0
0
0
0
x=0
6
МАТЕМАТИКА
запишем решение системы уравнений (16)-(19) в виде ряда
вк (г,т, и) _ £ Опх{пк )(и,т)со^(Мпг), (24)
п=1
где д __2В1 _, ^п > о - корни
п « + В12 + В1 ]со&(^п)' уравнения
В1 оо$(ип) = ип «1п(ип), (25)
хП)(ы,т), п = 1,2,... - компоненты вектора
решений бесконечной системы дифференциальных
уравнений
йх (к)
аХп _ и2 х(к) + и2(ы + тк-1) —- _-МпХп +ип (Ы + 1п ),
йт
I (к-1) _
(к-1) _ г(М&к-1) -Л Щ-Л ^п(Мпг) йг, (26) п Г01 Л ) дг $т(Цп) '
х(пк )(0) _ 0 (27)
Аппроксимировав зависимости а*(в) и (Г2 ( д) линейными функциями
ас(д) = а + Рдд, о*р(д) = а2 + в2д , неравенства (20)-(22) примут вид
£ е^ - в, < 0, I _ Ц, (28)
п _1
2В1
(и2п + В[2 + В,)'
где
е - - "
е2п Рп
1 -в-и "
п
6Г (1 + 3Г )В1 6Г
и
((1 - 3Г)Ы - 6 г
е1п _ Р,
ип оо&(Мп) Л
и2
1
(
с^Си.)
6г
1 + в2--Г
и
ге [0,1],
V г~п ;у
в1 , в2 _~ а2
(29)
вз _д
доп
Система функций (со8(ипг)} ортогональна и полна в пространстве Ь2 [0,1], поэтому почти при всех ге [0,1] для функции д(г) справедливо разложение
д(г) _ Ей-Т Тй2 со»(и„г),
п_1 ||со8(и„г)||
1
8п _ \д(г)со$(р.пг)йг,
0
2 (ип2 + В12 + Вг)81п2(ип)
где
с08(ипг^ _
2В12
(30)
Ограничившись в соотношениях (24), (26), (28) первыми N членами, получим
йх' йт
_-AN(xN -1") + В"и,
ХN (0) _ 0КИ , еNxN < Е,
(31)
(32)
где (xN - Л) _ (х1к) - х(к) - 1«-1)) -
К-мерная вектор-функция; АN _ diag(и12,---,и 2) диагональная матрица (N х N),
(BN _ (и?,...,м1)Т, еN - матрица (3хN) с элементами еп,, _ 1,3, п _ 1, N, Е _ (в1, в2, в3)г.
Бесконечномерной задаче 1 поставим в соответствие следующую конечномерную задачу 2.
Задача 2. Найти управление и е и, обеспечивающее при всех те (0,Т) выполнение неравенств (32) и минимизирующее функционал
I* _ \
у со^(и„г) (вт(и„) (к) - g
у !!со8(и„г)!!2 ^ и " ^,
йг
(33)
на решениях системы (31).
Учитывая ортогональность системы функций |со8(и„г)} функционал (33) можно переписать в
виде
I
(Ми/ Я
в^п ) х(к) - „
и хп ^
п
На каждой итерации конечномерная задача 2
решается способом, изложенным в работе [3].
ЛИТЕРАТУРА
1. Вигак В. М. Управление температурными напряжениями и перемещениями. Киев: Наукова Думка, 1988. 313 с.
2. Голичев И. И., Дульцев А. В., Морозкин Н. Д. Об одном итерационном методе решения задачи оптимального нелинейного нагрева с фазовыми ограничениями // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2000 г. Т. 40. №11. С. 1615-1632.
3. Морозкин Н. Д., Морозкин Н. Н. Оптимизация процессов внешнего нагрева с учетом ограничений на термонапряжения и на максимальную температуру // Вестник Башкирского университета. 2012 г. Т. 17. №1. С. 5-9.
4. Голичев И. И. Решение некоторых задач для параболических уравнений методом последовательных приближений. Уфа: БНЦ УрО АН СССР, 1989. 172 с.
5. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967. 736 с.
6. Морозкин Н. Д. Оптимальное управление процессами нагрева с учетом фазовых ограничений. Уфа: БашГУ, 1997. 114 с.
2
0
2
1
п_1
Поступила в редакцию 18.02.2013 г.
